1、第六章 用有限單元法解平面問題 第六章 用有限元法解平面問題第五節(jié) 單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣第四節(jié) 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 第三節(jié) 單元的位移模式與解答的收斂性第二節(jié) 有限單元法的概念第一節(jié) 基本量及基本方程的矩陣表示概述第六節(jié) 荷載向結(jié)點(diǎn)移置 單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣第六章 用有限單元法解平面問題 第六章 用有限元法解平面問題例題第十一節(jié) 應(yīng)用變分原理導(dǎo)出有限單元法的基本方程 第十節(jié) 計算實(shí)例 第九節(jié) 計算成果的整理 第八節(jié) 解題的具體步驟 單元的劃分第七節(jié) 結(jié)構(gòu)的整體分析結(jié)點(diǎn)平衡方程組習(xí)題的提示與答案教學(xué)參考資料第六章 用有限單元法解平面問題 第六章 用有限單元法解平面問題1.有限元法（Fi

2、nite Element Method） FEM2. FEM的特點(diǎn) 概述（1）具有通用性和靈活性。 首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)，然后再利用 分片插值技術(shù)與虛功原理或變分方法進(jìn)行求解。簡稱FEM，是彈性力學(xué)的一種近似解法。第六章 用有限單元法解平面問題 簡史3. FEM簡史 （2）對同一類問題，可以編制出通用程序，應(yīng)用計算機(jī)進(jìn)行計算。 （3）只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達(dá)到工程要求的精度。 1943年柯朗第一次提出了FEM的概念。 FEM是上世紀(jì)中期才出現(xiàn)，并得到迅速發(fā)展 和廣泛應(yīng)用的一種數(shù)值解法。 第六章 用有限單元法解平面問題 簡史有限單元法的形成與發(fā)展 在尋找連續(xù)系統(tǒng)求解方法的過程中，工程師

3、和數(shù)學(xué)家從兩個不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限元法。有限元法的形成可以回顧到二十世紀(jì)50年代，來源于固體力學(xué)中矩陣結(jié)構(gòu)法的發(fā)展和工程師對結(jié)構(gòu)相似性的直覺判斷。從固體力學(xué)的角度來看，桁架結(jié)構(gòu)等標(biāo)準(zhǔn)離散系統(tǒng)與人為地分割成有限個分區(qū)后的連續(xù)系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上存在相似性。 1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在紐約舉行的航空學(xué)會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問題。他們把結(jié)構(gòu)劃分成一個個三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數(shù)，求得單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的單元剛度矩陣。 1954-1955年，J.H.Argy

4、ris在航空工程雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分析論文。 1960年，Clough在他的名為“The finite element in plane stress analysis”的論文中首次提出了有限元（finite element）這一術(shù)語。第六章 用有限單元法解平面問題 簡史 數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變分原理和加權(quán)余量法。 在1963年前后，經(jīng)過J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞學(xué)磺）等許多人的工作，認(rèn)識到有限元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不

5、同變分原理導(dǎo)出的有限元計算公式。 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學(xué)有限元法的相同步驟求解。 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權(quán)余量法特別是Galerkin法，導(dǎo)出標(biāo)準(zhǔn)的有限元過程來求解非結(jié)構(gòu)問題。第六章 用有限單元法解平面問題 導(dǎo)出方法 我國的力學(xué)工作者為有限元方法的初期發(fā)展做出了許多貢獻(xiàn)，其中比較著名的有：陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法），錢令希（余能原理），錢偉長（廣義變分原理），胡海昌（廣義變分原理），馮康（有限單元法理論）。遺憾的是，從1966年開始的近十年期間，我國的研究工作受

6、到阻礙。 有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場問題的工程問題，從二十世紀(jì)六十年代中期以來，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設(shè)計和優(yōu)化提供了有力的工具。第六章 用有限單元法解平面問題 簡史算法與有限元軟件 從二十世紀(jì)60年代中期以來，大量的理論研究不但拓展了有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?理論研究的一個重要領(lǐng)域是計算方法的研究，主要有： 大型線性方程組的解法，非線性問題的解法，動力問題計算方法。 目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表所列：軟件名稱簡介MSC/Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran動力學(xué)分析程序MSC/Marc非

7、線性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件ABAQUS非線性分析軟件另外還有許多針對某類問題的專用有限元軟件，例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform，焊接與熱處理分析軟件SysWeld等。第六章 用有限單元法解平面問題 簡史有限元應(yīng)用實(shí)例有限元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域： 固體力學(xué)，包括強(qiáng)度、穩(wěn)定性、震動和瞬態(tài)問題的分析； 傳熱學(xué)； 電磁場； 流體力學(xué)。轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析（用MSC/Nastran完成）第六章 用有限單元法解平面問題 導(dǎo)出方法有限元應(yīng)用實(shí)例金屬成形過程的分析（用Deform軟件完成）分析金屬成形過程中的各種缺陷。 型材擠壓成形的分析。型材

8、在擠壓成形的初期，容易產(chǎn)生形狀扭曲。 螺旋齒輪成形過程的分析 第六章 用有限單元法解平面問題 導(dǎo)出方法有限元應(yīng)用實(shí)例結(jié)構(gòu)與焊縫布置 焊接殘余應(yīng)力分析（用Sysweld完成） 焊接過程的溫度分布與軸向殘余應(yīng)力 第六章 用有限單元法解平面問題 導(dǎo)出方法有限元應(yīng)用實(shí)例淬火3.06 min 時的馬氏體分布 淬火3.06 min 時的溫度分布 第六章 用有限單元法解平面問題 6-1 基本量和基本方程的 矩陣表示 本章無特別指明，均表示為平面應(yīng)力 問題的公式。 采用矩陣表示,可使公式統(tǒng)一、簡潔， 且便于編制程序。第六章 用有限單元法解平面問題 基本物理量： 體力:基本物理量位移函數(shù):應(yīng)變:應(yīng)力:結(jié)點(diǎn)位移列

9、陣:結(jié)點(diǎn)力列陣:面力:第六章 用有限單元法解平面問題 物理方程: FEM中應(yīng)用的方程： 幾何方程:應(yīng)用的方程其中D為彈性矩陣，對于平面應(yīng)力問題是:第六章 用有限單元法解平面問題 -結(jié)點(diǎn)虛位移; -對應(yīng)的虛應(yīng)變。應(yīng)用的方程ij虛功方程:其中: 在FEM中，用結(jié)點(diǎn)的平衡方程代替平衡微分方程，后者不再列出。第六章 用有限單元法解平面問題 3.整體分析。 6-2 有限單元法的概念 FEM的概念，可以簡述為：采用有限自由度 的離散單元組合體模型去描述實(shí)際具有無限自由 度的考察體，是一種在力學(xué)模型上進(jìn)行近似的數(shù) 值計算方法。 其理論基礎(chǔ)是分片插值技術(shù)與變分原理。 FEM的概念1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)；

10、 2.單元分析； FEM的分析過程：第六章 用有限單元法解平面問題 結(jié)構(gòu)力學(xué)研究的對象是離散化結(jié)構(gòu)。如桁架， 各單元（桿件）之間除結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián) 系（圖（a）。彈力研究的對象，是連續(xù)體（圖（b）)。結(jié)構(gòu)離散化1. 結(jié)構(gòu)離散化將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)第六章 用有限單元法解平面問題 將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)（圖（c）： 即將連續(xù)體劃分為有限多個、有限大小的單元， 并使這些單元僅在一些結(jié)點(diǎn)處用絞連結(jié)起來，構(gòu) 成所謂離散化結(jié)構(gòu)。結(jié)構(gòu)離散化第六章 用有限單元法解平面問題 圖（c）與圖( a）相比，兩者都是離散 化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是，桁架的單元是桿件，而 圖（c）的單元是三角形塊體（注意：三角 形單元內(nèi)

11、部仍是連續(xù)體）。結(jié)構(gòu)離散化例如：將深梁劃分為許多三角形單元，這 些單元僅在角點(diǎn)用鉸連接起來。第六章 用有限單元法解平面問題 2.單元分析 求解方法 每個三角形單元仍然假定為連續(xù)的、均勻的、各向同性的完全彈性體。因單元內(nèi)部仍是連續(xù)體，應(yīng)按彈性力學(xué)方法進(jìn)行分析。 取各結(jié)點(diǎn)位移 為基本未知量。然后對每個單元,分別求出各物理量,并均用 來表示。 第六章 用有限單元法解平面問題 （1）應(yīng)用插值公式, 由單元結(jié)點(diǎn)位移 ，求單元的位移函數(shù)求解方法這個插值公式稱為單元的位移模式，為： 單元分析的主要內(nèi)容： 第六章 用有限單元法解平面問題 （4）應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力 ， 求出單元的結(jié)點(diǎn)力，表示為 （3）應(yīng)

12、用物理方程，由單元的應(yīng)變 ， 求出單元的應(yīng)力，表示為 （2）應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)d， 求出單元的應(yīng)變，表示為求解方法第六章 用有限單元法解平面問題 單元對結(jié)點(diǎn)的 作用力，與 數(shù) 值相同,方向相反， 作用于結(jié)點(diǎn)。 -結(jié)點(diǎn)對單元的作用力，作用 于單元，稱為結(jié)點(diǎn)力，以正標(biāo)向為正。求解方法第六章 用有限單元法解平面問題 （5）將每一單元中的各種外荷載，按虛功 等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上，化為結(jié)點(diǎn)荷 載，表示為 求解方法第六章 用有限單元法解平面問題 為已知值, 是用結(jié)點(diǎn)位移表示的值。 通過求解聯(lián)立方程，得出各結(jié)點(diǎn)位移值，從而求出各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。 各單位移置到i 結(jié)點(diǎn)上的結(jié)點(diǎn)荷載 其中 表示對圍

13、繞i 結(jié)點(diǎn)的單元求和；求解方法3.整體分析各單元對i 結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)力 作用于結(jié)點(diǎn)i上的力有： 第六章 用有限單元法解平面問題 求解方法 3.整體分析 2.對單元進(jìn)行分析 1.將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu) 歸納起來，F(xiàn)EM分析的主要步驟： （1）單元的位移模式（2）單元的應(yīng)變列陣（4）單元的結(jié)點(diǎn)力列陣（5）單元的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣建立結(jié)點(diǎn)平衡方程組，求解各結(jié)點(diǎn)的位移。（3）單元的應(yīng)力列陣第六章 用有限單元法解平面問題 思考題 1.桁架的單元為桿件，而平面體的單元為三角形塊體，在三角形內(nèi)仍是作為連續(xù)體來分析的。前者可用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解，后者只能用彈性力學(xué)方法求解，為什么？2. 在平面問題中，是否也可以考慮

14、其它的單 元形狀，如四邊形單元？第六章 用有限單元法解平面問題 應(yīng)用插值公式，可由 求出位移 。 首先必須解決：由單元的結(jié)點(diǎn)位移 來求出單元的位移函數(shù) FEM是取結(jié)點(diǎn)位移 為基本未知數(shù)的。問題是如何求應(yīng)變、應(yīng)力。 這個插值公式表示了單元中位移的分布形式，因此稱為位移模式。6-3 單元的位移模式與 解答的收斂性 位移模式第六章 用有限單元法解平面問題 插值公式（a）在結(jié)點(diǎn) 應(yīng)等于結(jié)點(diǎn)位移值 。由此可求出 泰勒級數(shù)展開式中，低次冪項是最重要的。所以三角形單元的位移模式，可取為： 三角形單元（a）第六章 用有限單元法解平面問題 將式（a）按未知數(shù) 歸納為: 其中 包含 三角形單元或用矩陣表示為:（b

15、）第六章 用有限單元法解平面問題 N 稱為形（態(tài)）函數(shù)矩陣。三角形單元（c）第六章 用有限單元法解平面問題 A為三角形 的面積（圖示坐標(biāo)系中， 按逆時針編號），有：其中:三角形單元第六章 用有限單元法解平面問題 三結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式，略去了2次以 上的項，因而其誤差量級是 且其中只包含 了 的1次項，所以在單元中 的分布如圖 （a）所示， 的分布如圖（b）、（c）所示。 三角形單元(a)(b)(c)1第六章 用有限單元法解平面問題 所以當(dāng)單元趨于很小時，即 時，為了使FEM之解逼近于真解。則為了保證FEM收斂性,位移模式應(yīng)滿足下列條件： FEM中以后的一系列工作，都是以位移 模式為基礎(chǔ)的

16、。 收斂性條件第六章 用有限單元法解平面問題 因為當(dāng)單元 時，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量剛體位移和常量位移。 （1）位移模式必須能反映單元的剛體位移。 收斂性條件（2）位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。第六章 用有限單元法解平面問題 收斂性條件可見剛體位移項在式（a）中均已反映。 與剛體位移相比， 將式（a）寫成 第六章 用有限單元法解平面問題 （3）位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。 即應(yīng)盡可能反映原連續(xù)體的位移連續(xù) 性。在三角形單元內(nèi)部，位移為連續(xù)；在兩單元邊界ij 上， 之間均為線性變化，也為連續(xù)。 對式（a）求應(yīng)變，得：收斂性條件可見常量應(yīng)變也已反映。 第六章 用有限單元法解平面

17、問題 （1）和（2）是必要條件，而加上（3）就為充分條件。收斂性條件 為了保證FEM的收斂性：第六章 用有限單元法解平面問題 6-4 單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣 位移函數(shù)其中， 單元中的位移函數(shù)用位移模式表示為 第六章 用有限單元法解平面問題 應(yīng)用幾何方程，求出單元的應(yīng)變列陣： 應(yīng)變第六章 用有限單元法解平面問題 應(yīng)變S稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣，寫成分塊形式為再應(yīng)用物理方程，求出單元的應(yīng)力列陣：B 稱為應(yīng)變矩陣，用分塊矩陣表示， 第六章 用有限單元法解平面問題 對于線性位移模式，求導(dǎo)后得到的應(yīng)變和應(yīng)力，均成為常量，因此，稱為常應(yīng)變（應(yīng)力）單元。應(yīng)變和應(yīng)力的誤差量級是 其精度比位移低一階，且相鄰單元的應(yīng)力

18、是跳躍式的。應(yīng)力第六章 用有限單元法解平面問題 6-5 單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣 現(xiàn)在來考慮其中一個單元：模型 在FEM中，首先將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)的模型。第六章 用有限單元法解平面問題 （2）單元與周圍的單元在邊界上已沒有聯(lián) 系，只在結(jié)點(diǎn) 互相聯(lián)系。 （1）將作用于單元上的各種外荷載，按靜 力等效原則移置到結(jié)點(diǎn)上去，化為等 效結(jié)點(diǎn)荷載。故單元內(nèi)已沒有外荷載。第六章 用有限單元法解平面問題 假想將單元與結(jié)點(diǎn)i 切開，則： 其數(shù)值與 相同，而方向相反。結(jié)點(diǎn)力以沿正坐標(biāo)向為正。對單元而言，這是作 用于單元上的“外力”。 結(jié)點(diǎn)作用于單元上的力，稱為結(jié)點(diǎn)力，單元作用于結(jié)點(diǎn)的力，為：第六章 用有限

19、單元法解平面問題 按虛功方程，在虛位移上，外力的虛功等于應(yīng)力的虛功。結(jié)點(diǎn)力而其內(nèi)部有應(yīng)力作用， 考察已與結(jié)點(diǎn)切開后的單元 ，則此單元上作用有外力結(jié)點(diǎn)力 ，應(yīng)用虛功方程，求單元的結(jié)點(diǎn)力：第六章 用有限單元法解平面問題 假設(shè)發(fā)生一組結(jié)點(diǎn)虛位移 則單元內(nèi) 任一點(diǎn)（x,y）的虛位移為 單元內(nèi) 任一點(diǎn)（x,y）的虛應(yīng)變?yōu)?代入虛 功方程：在單元中，外力（結(jié)點(diǎn)力 ）在虛 位移（結(jié)點(diǎn)虛位移 ）上的虛功，等于應(yīng) 力 在虛應(yīng)變 上的虛功，即： 虛功方程第六章 用有限單元法解平面問題 其中 與 無關(guān)，故式(a) 成為 式(b)是由應(yīng)力求結(jié)點(diǎn)力的一般公式。 因為 是獨(dú)立的任意的虛位移，虛功方程對任意的 均應(yīng)滿足，可

20、得出 代入 (b)第六章 用有限單元法解平面問題 式（c）是由結(jié)點(diǎn)位移求結(jié)點(diǎn)力的一般公式， 稱為單元的勁度矩陣 K其中： 再將應(yīng)力公式代入上式，得 單元勁度矩陣（c）（d）第六章 用有限單元法解平面問題 對于三角形單元，B 矩陣內(nèi)均為常數(shù)， 有 代入 B，D，得出 k 如書中（6-37）及（6-38）所示。第六章 用有限單元法解平面問題 （1） 是66的方陣， 中每一個元素都表示 單元各結(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時所 引起的結(jié)點(diǎn)力。（2）由反力互等定理， 所以 是對稱 矩陣，以對角線為對稱軸。單元勁度矩陣k的性質(zhì)：（3）當(dāng)單元作剛體平移時，如 三角形內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，結(jié)點(diǎn)力也為0。第六章 用

21、有限單元法解平面問題 （4）由（3）可導(dǎo)出行列式 。（5） 的元素與 單元的形狀和方位等 有關(guān)，但與單元的大小和剛體的平動以及作 度轉(zhuǎn)動無關(guān)。即有： 中每一行（或列）的元素之和為零（其中第1、3、5元素之和或2、4、6元素之和也為0）。 例題：圖示等腰三角形單元，求其形態(tài)矩陣N。 單元剛度矩陣的性質(zhì)： 例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設(shè)1、求B2、求D3、求S4、求 連續(xù)彈性體離散為單元組合體時，為簡化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向結(jié)點(diǎn)移置(分解)，而成為結(jié)點(diǎn)載荷。如果彈性體受承受的載荷全都是集中力，則將所有集中力的作用點(diǎn)取為結(jié)點(diǎn)，就不存在移置的問題，集中力就是結(jié)點(diǎn)載荷。但實(shí)際問

22、題往往受有分布的面力和體力，都不可能只作用在結(jié)點(diǎn)上。因此，必須進(jìn)行載荷移置。如果集中力的作用點(diǎn)未被取為結(jié)點(diǎn)，該集中力也要向結(jié)點(diǎn)移置。 將載荷移置到結(jié)點(diǎn)上，必須遵循靜力等效的原則。靜力等效是指原載荷與結(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原則。66荷載向結(jié)點(diǎn)移置 單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣 第六章 用有限單元法解平面問題 在FEM中，須將作用于單元中的外荷載向結(jié)點(diǎn)移置，化為等效結(jié)點(diǎn)荷載，第六章 用有限單元法解平面問題 （2）變形體靜力等效原則在任意的虛位移上，使原荷載與移置荷載的虛功相等。 1、等效原則 （1）剛體靜力等效原則使原荷載與移置荷載的主矢

23、量以及對同一點(diǎn)的主矩也相同。 移置原則 剛體靜力等效原則只從運(yùn)動效應(yīng)來考慮，得出移置荷載不是唯一的解；變形體的靜力等效原則考慮了變形效應(yīng)，在一定的位移模式下，其結(jié)果是唯一的，且也滿足了前者條件的。 所以在FEM中，采用變形體的靜力等效原則。6 單元載荷移置集中荷載等效節(jié)點(diǎn)力假設(shè)各節(jié)點(diǎn)發(fā)生了虛位移：按照靜力等效原則，節(jié)點(diǎn)荷載在節(jié)點(diǎn)虛位移上的虛功等于原荷載集中力在其作用點(diǎn)的虛位移上的虛功。分布體力的節(jié)點(diǎn)荷載移置分布面力的節(jié)點(diǎn)荷載移置第六章 用有限單元法解平面問題 3、單元邊界 上面力 的移置公式 應(yīng)用式 ，將 代之為 并在邊界 上積分，得: 對于任意的虛位移 ，虛功方程都必須滿足，得： 面力第六章

24、 用有限單元法解平面問題 應(yīng)用式 ，將 代之為 并對單 元域A 積分，得 4、單元內(nèi)體力 的移置公式 體力 當(dāng)位移模式為線性函數(shù)時，由虛功方程得出的移置荷載，與按剛體靜力等效原則得出的結(jié)點(diǎn)荷載相同。6 單元載荷移置 例：總載荷的2/3移置到結(jié)點(diǎn)i，1/3移置到結(jié)點(diǎn)j，與原載荷同向6-7 整體分析 將各單元組合成結(jié)構(gòu)，進(jìn)行整體分析。整體分析分4個步驟1、建立整體剛度矩陣；2、根據(jù)支承條件修改整體剛度矩陣；3、解方程組，求出結(jié)點(diǎn)位移；(消去法與疊加法)4、根據(jù)結(jié)點(diǎn)位移求出應(yīng)力。 6-7 整體分析 1、建立整體剛度矩陣(也叫作結(jié)構(gòu)剛度矩陣) 上圖中的結(jié)構(gòu)有六個結(jié)點(diǎn)，共有12個結(jié)點(diǎn)位移分量和12個結(jié)點(diǎn)

25、力分量。由結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量求結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力向量時，轉(zhuǎn)換關(guān)系為： 分塊形式為： 其中子向量 和 都是二階向量，子矩陣 是二行二列矩陣。整體剛度矩陣K是12*12階矩陣。6-7 整體剛度矩陣的形式 整體剛度矩陣 是單元剛度矩陣 的集成。 1、剛度集成法的物理概念： 剛度矩陣中的元素是剛度系數(shù)，即由單位結(jié)點(diǎn)位移引起的結(jié)點(diǎn)力。 由2-8節(jié)的例題可見，與結(jié)點(diǎn)2和3相關(guān)的單元有單元和，當(dāng)結(jié)點(diǎn)3發(fā)生單位位移時，相關(guān)單元和同時在結(jié)點(diǎn)2引起結(jié)點(diǎn)力，將相關(guān)單元在結(jié)點(diǎn)2的結(jié)點(diǎn)力相加，就得出結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)2的結(jié)點(diǎn)力。由此看出，結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)是相關(guān)單元的剛度系數(shù)的集成，結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是相關(guān)單元的對應(yīng)子塊的集成。6-7

26、 整體剛度矩陣的形式 2、剛度矩陣的集成規(guī)則： 先對每個單元求出單元剛度矩陣 ，然后將其中的每個子塊 送到結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的對應(yīng)位置上去，進(jìn)行迭加之后即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣K的子塊，從而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣K。 關(guān)鍵是如何找出 中的子塊在K中的對應(yīng)位置。這需要了解單元中的結(jié)點(diǎn)編碼與結(jié)構(gòu)中的結(jié)點(diǎn)編碼之間的對應(yīng)關(guān)系。6-7 整體剛度矩陣的形式 2、剛度矩陣的集成規(guī)則： 結(jié)構(gòu)中的結(jié)點(diǎn)編碼稱為結(jié)點(diǎn)的總碼，各個單元的三個結(jié)點(diǎn)又按逆時針方向編為i,j,m,稱為結(jié)點(diǎn)的局部碼。 單元剛度矩陣中的子塊是按結(jié)點(diǎn)的局部碼排列的，而結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是按結(jié)點(diǎn)的總碼排列的。因此，在單元剛度矩陣中，把結(jié)點(diǎn)的局部碼換成總碼，并把其

27、中的子塊按照總碼次序重新排列。7 整體剛度矩陣的形式 以單元為例，局部碼i,j,m對應(yīng)于總碼5,2,4，因此 中的子塊按照總碼重新排列后，得出擴(kuò)大矩陣 為： 整體剛度矩陣的形式 用同樣的方法可得出其他單元的擴(kuò)大矩陣 將各單元的擴(kuò)大矩陣迭加，即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣K： 集成規(guī)則包含搬家和迭加兩個環(huán)節(jié)： 1、將單元剛度矩陣 中的子塊搬家，得出單元的擴(kuò)大剛度矩陣 。 2、將各單元的擴(kuò)大剛度矩陣 迭加，得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣K。 (例題略)6-7 支承條件的處理 整體剛度矩陣K求出后，結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)力F可表示為 在無支桿的結(jié)點(diǎn)處，結(jié)點(diǎn)力就等于已知的結(jié)點(diǎn)載荷。在有支桿的結(jié)點(diǎn)處，則求結(jié)點(diǎn)力時，還應(yīng)把未知的支桿反力考慮在

28、內(nèi)。如果用P表示結(jié)點(diǎn)載荷和支桿反力組成的向量，則結(jié)點(diǎn)的平衡方程為 根據(jù)支承條件對平衡方程加以處理。先考慮結(jié)點(diǎn)n有水平支桿的情況。與結(jié)點(diǎn)n水平方向?qū)?yīng)的平衡方程是第2n-1個方程， 根據(jù)支承情況，上式應(yīng)換成 ，即在K中，第2n-1行的對角線元素 應(yīng)改為1，該行全部非對角線元素應(yīng)改為0。在P中，第2n-1個元素 應(yīng)改為0。 此外，為了保持矩陣K的對稱性，則第2n-1列全部非對角線元素也改為0。6-7 支承條件的處理 同理，如果結(jié)點(diǎn)n有豎向支桿，則平衡方程的第2n個方程應(yīng)改為 ，為此，在矩陣K中，第2n行的對角線元素改為1，該行全部非對角線元素改為0，同時，第2n列全部非對角線元素也改為0。在P中，

29、第2n個元素改為0。6-7 支承條件的處理 2-8節(jié)中的結(jié)構(gòu)，結(jié)點(diǎn)1有水平支桿，結(jié)點(diǎn)2有兩個支桿，結(jié)點(diǎn)3有豎向支桿。對支承條件處理后，矩陣修改為：6-7 整體剛度矩陣的特點(diǎn) 在有限元法中，整體剛度矩陣的階數(shù)通常是很高的，在解算時常遇到矩陣階數(shù)高和存貯容量有限的矛盾。找到整體剛度矩陣的特性達(dá)到節(jié)省存貯容量的途徑。 1、對稱性。 只存貯矩陣的上三角部分，節(jié)省近一半的存貯容量。 2、稀疏性。 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。6-7 整體剛度矩陣的特點(diǎn) 2、稀疏性。 矩陣的絕大多數(shù)元素都是零，非零元素只占一小部分。 結(jié)點(diǎn)5只與周圍的六個結(jié)點(diǎn)(2、3、4、6、8、9)用三角形單元相連，它

30、們是5的相關(guān)結(jié)點(diǎn)。只有當(dāng)這七個相關(guān)結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生位移時，才使該結(jié)點(diǎn)產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)力，其余結(jié)點(diǎn)發(fā)生位移時并不在該結(jié)點(diǎn)處引起結(jié)點(diǎn)力。因此，在矩陣K中，第5行的非零子塊只有七個(即與相關(guān)結(jié)點(diǎn)對應(yīng)的七個子塊)。6-7 整體剛度矩陣的特點(diǎn) 2、稀疏性。 一般，一個結(jié)點(diǎn)的相關(guān)結(jié)點(diǎn)不會超過九個，如果網(wǎng)格中有200個結(jié)點(diǎn)，則一行中非零子塊的個數(shù)與該行的子塊總數(shù)相比不大于9/200，即在5%以下，如果網(wǎng)格的結(jié)點(diǎn)個數(shù)越多，則剛度矩陣的稀疏性就越突出。 利用矩陣K的稀疏性，可設(shè)法只存貯非零元素，從而可大量地節(jié)省存貯容量。6-7 整體剛度矩陣的特點(diǎn) 3、帶形分布規(guī)律。 上圖中，矩陣K的非零元素分布在以對角線為中心的帶形區(qū)域內(nèi)，稱

31、為帶形矩陣。在半個帶形區(qū)域中(包括對角線元素在內(nèi))，每行具有的元素個數(shù)叫做半帶寬，用d表示。半帶寬的一般計算公式是： 半帶寬 d = ( 相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值 + 1 ) * 2 上圖中相鄰結(jié)點(diǎn)碼的最大差值為4，故d=(4+1)*2=10 利用帶形矩陣的特點(diǎn)并利用對稱性，可只存貯上半帶的元素，叫半帶存貯。 第六章 用有限單元法解平面問題 有限單元法的具體計算步驟： 68解題的具體步驟 單元的劃分 1、劃分單元網(wǎng)格，對單元和結(jié)點(diǎn)編號。 2、選定直角坐標(biāo)系，按程序要求填寫和輸入有關(guān)信息。單元內(nèi)的ijm的局部編號應(yīng)按書中規(guī)定的右手規(guī)則編號。否則會使三角形的面積出現(xiàn)負(fù)號等問題。第六章 用有限單元法解平面問題 3、使用已編好的程序進(jìn)行上機(jī)計算。事先須將有限單元法的公式，計算方法和步驟都編入程序。 4、對成果進(jìn)行整理、分析。 對第1和第4步的工作，也盡可能讓計算機(jī)執(zhí)行，以減少人工的工作量。如自動劃分網(wǎng)格，整理成果等。第六章 用有限單元法解平面問題 關(guān)于單元的劃分，注意幾點(diǎn)：（8）結(jié)構(gòu)具有凹槽或孔洞等應(yīng)力集中處等。（1）單元大小問題；（2）單元在不同部位的合理布置問題；（3）三角形三個內(nèi)角最好較接近；（4）利用對稱性和反對稱性；（5）厚度突變之處和材料不同之處；（6）載荷作用（集中力或突變分布載荷）處；（7）水利閘壩工程問題；第六章 用有限單元法