1、 隨機(jī)過程 概率論復(fù)習(xí)二、隨機(jī)變量、隨機(jī)向量及其概率函數(shù)2、隨機(jī)向量實(shí)際問題中常常需要多個(gè)隨機(jī)變量才能很好地描述某一隨機(jī)試驗(yàn)或現(xiàn)象。樣本空間標(biāo)準(zhǔn)化為高維歐氏空間總概率分布在n維歐氏空間內(nèi)分布的方式和一維類似離散型隨機(jī)向量連續(xù)型隨機(jī)向量混合型隨機(jī)向量2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院2聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)（離散型）2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院3聯(lián)合概率分布函數(shù)（連續(xù)型及離散型）2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院4聯(lián)合概率密度函數(shù)（連續(xù)型及離散型）2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院5邊界概率函數(shù)分類邊界概率質(zhì)量函數(shù)邊界概率分布函數(shù)邊界概率密度函數(shù)定義低維隨機(jī)變量的概率函數(shù)被稱為邊界概率函

2、數(shù)可以由高維隨機(jī)變量的概率函數(shù)得到pmf：對(duì)其他維數(shù)的隨機(jī)變量求和cdf：令其他維數(shù)的隨機(jī)指數(shù)為無窮大pdf：對(duì)其他維數(shù)的隨機(jī)變量積分2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院6二維例子設(shè)X, 是一個(gè)二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度為 其中 ，求 ， 。 2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院7用同樣的方法得到： 2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院8本例中X, 就是具有二維正態(tài)聯(lián)合概率密度的隨機(jī)變量，也是服從正態(tài)分布的。顯然，二維正態(tài)密度函數(shù)的邊沿密度函數(shù)N維隨機(jī)變量分布函數(shù)的性質(zhì)設(shè)X是n維隨機(jī)變量，則不難證明X的聯(lián)合分布函數(shù)具有下列性質(zhì)：（1） 對(duì)任一 （i=1,2,n）是單調(diào)不減函數(shù)； （2） 對(duì)任

3、一 （i=1,2,n）是右連續(xù)函數(shù)； （3） i=1,2,n，；（4）設(shè) ， i=1,2,n，則2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院9N維離散性隨機(jī)向量分布函數(shù)若n維隨機(jī)變量X的可能取值為有限時(shí)或可列無限時(shí)，則稱n維隨機(jī)變量X為離散型n維隨機(jī)變量。離散型n維隨機(jī)變量 的分布可用聯(lián)合分布律來描述，即：其中 ， 是離散集，i=1,2,n,這時(shí)X的聯(lián)合分布函數(shù)為：2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院10N維隨機(jī)向量分布函數(shù)與概率密度關(guān)系設(shè)n維隨機(jī)變量X的聯(lián)合分布函數(shù)為 ，如果存在非負(fù)可積函數(shù) 使得：2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院11則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱為連續(xù)型n維隨機(jī)變量X的聯(lián)合概率密度

4、函數(shù)。邊界分布保留 個(gè) ，比如 ，而令其它 都趨于 ，得到k維邊沿分布函數(shù) 2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院12若X是連續(xù)型n維隨機(jī)變量，則有:=可見也是連續(xù)型k維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，其聯(lián)合概率密 度函數(shù)為：= = 對(duì)于任意的 ，有 則稱隨機(jī)變量 相互獨(dú)立。 2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院13若X=（ ）是離散型n維隨機(jī)變量，則相互獨(dú)立的充要條件是= 其中是，i=1,2,n的所有可能取值 多個(gè)隨機(jī)變量相互間的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立用概率密度表示的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立條件若X=（ ）是連續(xù)型n維隨機(jī)變量，則 相互獨(dú)立的充要條件是2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院14隨機(jī)向量和隨機(jī)變量的關(guān)系隨機(jī)向量包含了單

5、個(gè)分量隨機(jī)變量的完全信息隨機(jī)向量還包含單個(gè)分量隨機(jī)變量之間的相關(guān)信息2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院152022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院16三、 隨機(jī)變量及隨機(jī)向量 的數(shù)字特征 2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院171、隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的概率分布完全由其分布函數(shù)描述，但是如何確定分布函數(shù)卻是相當(dāng)麻煩的。在實(shí)際問題中，我們有時(shí)只需要知道隨機(jī)變量的某些特征值就夠了。所謂隨機(jī)變量的數(shù)字特征，是指聯(lián)系于它的分布函數(shù)的某些數(shù)字，如平均值、最大可能值等，它們反映隨機(jī)變量的某方面的特征。 2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院18統(tǒng)計(jì)平均值與數(shù)學(xué)期望值 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，是其分布函數(shù)，若

6、 ，則稱為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望或均值。 可將E看作一個(gè)算符或算子數(shù)字特征易測(cè)，數(shù)字（而不是函數(shù)）表示形象2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院19隨機(jī)變量的均值求法：若X是離散型隨機(jī)變量，其分布值為則若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為 ，則 2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院20離散型隨機(jī)變量均值求法例（擲色子）：因?yàn)閜(1)=p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=1/6EX=1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+4(1/6)+5(1/6)+6(1/6)=7/2=3.5連續(xù)性隨機(jī)變量例（指數(shù)隨機(jī)變量）：2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院212、隨機(jī)變量函數(shù)的期望值 設(shè)X是

7、一隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為 ， 是連續(xù)函數(shù)，如果 存在，則 2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院22隨機(jī)變量函數(shù)均值求法例設(shè)（0，T）中的均勻分布。求（t）的數(shù)學(xué)期望。（t0），其中隨機(jī)變量X具有在區(qū)間2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院23其中振幅A、頻率 均取常數(shù)，間的隨機(jī)變量。 隨機(jī)變量函數(shù)均值求法例相位 是一個(gè)均勻分布于求（t）的數(shù)學(xué)期望。2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院24推廣到n維隨機(jī)變量設(shè)X=( ) 是n維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函 數(shù)為 ， 連續(xù)函數(shù),如 果 存在，則 2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院25(t)=Acos(t+ )，-t +，其中A, , 是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)

8、變量，EA=2, DA=4, 是在-5, 5上均勻分布的隨機(jī)變量， 是在-，上均勻分布的隨機(jī)變量。 試求(t)的均值。隨機(jī)變量函數(shù)均值求法例2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院26例子 所以，上式變成因 可見，加權(quán)和的期望等于加權(quán)期望的和。這對(duì)n維隨機(jī)變量的情況也是適用的。這說明了：求數(shù)學(xué)期望是線性運(yùn)算；這里沒有規(guī)定隨機(jī)變量之間非要相互獨(dú)立不可，所以加權(quán)和的期望等于期望的加權(quán)和，它不受兩個(gè)隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立的限制。 2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院273、隨機(jī)變量的各階矩K階原點(diǎn)矩，k階中心矩定義：設(shè)X是隨機(jī)變量，若則稱為隨機(jī)變量X的k階原點(diǎn)矩為X的k階原點(diǎn)絕對(duì)矩為X的k階中心矩由定義知

9、：均值為一階原點(diǎn)矩，而方差為二階中心矩2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院28對(duì)于離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量原點(diǎn)距離散型隨機(jī)變量中心矩連續(xù)型隨機(jī)變量原點(diǎn)矩連續(xù)型隨機(jī)變量中心矩矩的重要性：如果對(duì)于所有的K， 存在且已知，則由 的集合，可以唯一的確定隨機(jī)變量X的概率分布函數(shù)。2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院29原點(diǎn)矩與中心矩之間關(guān)系2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院30聯(lián)合矩兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y，其聯(lián)合矩當(dāng)X,Y為離散型隨機(jī)變量時(shí)：當(dāng)X,Y均為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)：2022/8/7鄭州大學(xué)信息工程學(xué)院31特殊聯(lián)合矩一個(gè)特別重要的聯(lián)合矩是互相關(guān)矩中心化的兩個(gè)隨機(jī)變量X-EX，Y-EY的互相關(guān)矩稱為隨機(jī)變量X,Y的協(xié)方差協(xié)方差描述隨機(jī)變量X,Y的概率相關(guān)程度若CXY=0，表明X，Y之間不相關(guān)CXY=0 即 EXY=EXEY若EXjYk=EXjEYk，則X，Y相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立故，X，Y統(tǒng)計(jì)獨(dú)立意味著X，Y不相關(guān)，