1、10.210.3綜合拔高練五年高考練考點(diǎn)1事件的相互獨(dú)立性1.(2020天津,13,5分,)已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為12和13.假定兩球是否落入盒子互不影響,則甲、乙兩球都落入盒子的概率為;甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.2.(2019課標(biāo),15,5分,)甲、乙兩隊進(jìn)行籃球決賽,采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊以41獲勝的概率是.3.(2020課標(biāo)理,19,12分,)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽,約定賽制

2、如下:累計負(fù)兩場者被淘汰;比賽前抽簽決定首先比賽的兩人,另一人輪空;每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽,負(fù)者下一場輪空,直至有一人被淘汰;當(dāng)一人被淘汰后,剩余的兩人繼續(xù)比賽,直至其中一人被淘汰,另一人最終獲勝,比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽,甲、乙首先比賽,丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為12.(1)求甲連勝四場的概率;(2)求需要進(jìn)行第五場比賽的概率;(3)求丙最終獲勝的概率.4.(2019課標(biāo),18,12分,)11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成1010平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的

3、概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方1010平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.考點(diǎn)2用頻率估計概率5.(2019課標(biāo),14,5分,)我國高鐵發(fā)展迅速,技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計,在經(jīng)停某站的高鐵列車中,有10個車次的正點(diǎn)率為0.97,有20個車次的正點(diǎn)率為0.98,有10個車次的正點(diǎn)率為0.99,則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計值為.6.(2020課標(biāo),18節(jié)選,8分,)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次,整理數(shù)據(jù)得到下表(單位:天):鍛煉人次空氣質(zhì)量等級0,200(

4、200,400(400,6001(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率;(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).7.(2020北京,18,14分,)某校為舉辦甲、乙兩項不同活動,分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案:方案一、方案二.為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持,對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣,獲得數(shù)據(jù)如下表:男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨(dú)立.(1)分別估計該校男

5、生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率;(2)從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人,全體女生中隨機(jī)抽取1人,估計這3人中恰有2人支持方案一的概率;(3)將該校學(xué)生支持方案二的概率估計值記為p0.假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生,除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為p1.試比較p0與p1的大小.(結(jié)論不要求證明)8.(2020課標(biāo)文,17,12分,)某廠接受了一項加工業(yè)務(wù),加工出來的產(chǎn)品(單位:件)按標(biāo)準(zhǔn)分為A,B,C,D四個等級.加工業(yè)務(wù)約定:對于A級品、B級品、C級品,廠家每件分別收取加工費(fèi)90元,50元,20元;對于D級品,廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩

6、個分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件,乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業(yè)務(wù),在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品,并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級,整理如下:甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)40202020乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表等級ABCD頻數(shù)28173421(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率;(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤,以平均利潤為依據(jù),廠家應(yīng)選哪個分廠承接加工業(yè)務(wù)?9.(2019北京,17,12分,)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來,移動支付已成為主要支付方式之一.為了解某校

7、學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校所有的1 000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下:支付金額支付方式不大于2 000元大于2 000元僅使用A27人3人僅使用B24人1人(1)估計該校學(xué)生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù);(2)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,求該學(xué)生上個月支付金額大于2 000元的概率;(3)已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人,發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2 000元.結(jié)合(2)的結(jié)果,能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本

8、月支付金額大于2 000元的人數(shù)有變化?說明理由.三年模擬練應(yīng)用實(shí)踐 1.(多選)()2020年春節(jié)期間,某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中抽取了40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段:60,65),65,70),70,75),75,80),80,85),85,90,得到如圖所示的頻率分布直方圖.下列結(jié)論正確的是()A.這40輛小型汽車車速的眾數(shù)的估計值為77.5B.在該服務(wù)區(qū)任意抽取一輛小型汽車,車速超過80 km/h的概率為0.35C.若從車速在60,70)的小型汽車中任意抽取2輛,則至少有一輛車的車速在65,70)的概率為1415D.若從車速在60

9、,70)的小型汽車中任意抽取2輛,則車速都在60,65)內(nèi)的概率為132.(2020北京師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末,)甲、乙二人獨(dú)立地破譯同一密碼,甲破譯出密碼的概率為0.8,乙破譯出密碼的概率為0.7,記事件A:甲破譯出密碼,事件B:乙破譯出密碼.(1)求甲、乙二人都破譯出密碼的概率;(2)求恰有一人破譯出密碼的概率;(3)小明同學(xué)解答“求密碼被破譯的概率”的過程如下:解:“密碼被破譯”也就是“甲、乙二人中至少有一人破譯出密碼”,所以隨機(jī)事件“密碼被破譯”可以表示為A+B,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8+0.7=1.5.請指出小明同學(xué)錯誤的原因,并給出正確解答過程.深度解析3.(

10、)某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間20,25),需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫10,15)15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)估計六月份這種酸奶一天的需求

11、量不超過300瓶的概率;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元).當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時,寫出Y的所有可能值,并估計Y大于零的概率.4.(2020山東濟(jì)南歷城二中高一下檢測,)某商店銷售某海鮮,統(tǒng)計了春節(jié)前后50天海鮮的需求量x(10 x20,單位:公斤),其頻率分布直方圖如圖所示.該海鮮每天進(jìn)貨1次,商店每銷售1公斤可獲利50元,若供大于求,剩余的降價處理,每處理1公斤虧損10元;若供不應(yīng)求,可從其他商店調(diào)撥,銷售1公斤可獲利30元.假設(shè)商店每天該海鮮的進(jìn)貨量為14公斤,商店的日利潤為y元.(1)求商店的日利潤y關(guān)于需求量x的函數(shù)表達(dá)式;(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)

12、據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替.求這50天商店銷售該海鮮日利潤的平均數(shù);估計日利潤在區(qū)間580,760)內(nèi)的概率.答案全解全析五年高考練1.答案16;23解析設(shè)“甲、乙兩球都落入盒子”為事件A,則P(A)=1213=16.設(shè)“甲、乙兩球至少有一個落入盒子”為事件B,則P(B)=1-112113=1-13=23.2.答案0.18解析由題意可知七場四勝制且甲隊以41獲勝,則共比賽了5場,且第5場甲勝,前4場中甲勝3場.第一類:第1場、第2場中甲勝1場,第3場、第4場甲勝,則P1=(0.60.4+0.40.6)0.52=2352514=325;第二類:第1場、第2場甲勝,第3場、第4場中甲勝1場,則P2=

13、0.62(0.50.5+0.50.5)=352214=950,所以甲隊以41獲勝的概率P=325+9500.6=0.18.3.解析(1)甲連勝四場的概率為116.(2)根據(jù)賽制,至少需要進(jìn)行四場比賽,至多需要進(jìn)行五場比賽.比賽四場結(jié)束,共有三種情況:甲連勝四場的概率為116;乙連勝四場的概率為116;丙上場后連勝三場的概率為18.所以需要進(jìn)行第五場比賽的概率為1-116-116-18=34.(3)丙最終獲勝,有兩種情況:比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為18;比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝,則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況:勝勝負(fù)勝,勝負(fù)空勝,負(fù)空勝勝,概率分別為116,18

14、,18.因此丙最終獲勝的概率為18+116+18+18=716.4.解析(1)X=2就是1010平后,兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束,則這2個球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.50.4+(1-0.5)(1-0.4)=0.5.(2)X=4且甲獲勝,就是1010平后,兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束,且這4個球的得分情況為:前兩球是甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.因此所求概率為0.5(1-0.4)+(1-0.5)0.40.50.4=0.1.5.答案0.98解析設(shè)經(jīng)停該站高鐵列車所有車次中正點(diǎn)率為0.97的事件為A,正點(diǎn)率為0.98的事件為B,正點(diǎn)率為0.99的事件為C,則用頻率估計概

15、率有P(A)=1010+20+10=14,P(B)=2010+20+10=12,P(C)=1010+20+10=14,所以經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計值為0.9714+0.9812+0.9914=0.98.6.解析(1)由所給數(shù)據(jù),該市一天的空氣質(zhì)量等級為1,2,3,4的概率的估計值如下表:空氣質(zhì)量等級1234概率的估計值0.430.270.210.09(2)一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值為1100(10020+30035+50045)=350.7.解析(1)設(shè)“該校男生支持方案一”為事件A,“該校女生支持方案一”為事件B.依題意知,抽取的樣本中共有男生600人,其中支持方

16、案一的有200人,故P(A)=200600=13;抽取的樣本中共有女生400人,其中支持方案一的有300人,故P(B)=300400=34.(2)由(1)可知,“該校男生支持方案一”的概率估計值為13;“該校女生支持方案一”的概率估計值為34.設(shè)“抽取的該校2個男生和1個女生中,支持方案一的恰有2人”為事件C,該事件包括“2個男生均支持方案一而女生不支持方案一”“2個男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一”,故所求概率為P(C)=132134+21311334=1336.(3)p180160=12,則p2p0,故可知該校除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率應(yīng)低于平均概率,即p132,所

17、以該校除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率應(yīng)低于平均概率,即p1p0.8.解析(1)由試加工產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表知,甲分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為40100=0.4;乙分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率的估計值為28100=0.28.(2)由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤6525-5-75頻數(shù)40202020因此甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為6540+25205207520100=15.由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為利潤70300-70頻數(shù)28173421因此乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤為7028+30

18、17+0347021100=10.比較甲、乙兩分廠加工的產(chǎn)品的平均利潤,應(yīng)選甲分廠承接加工業(yè)務(wù).9.解析(1)由題知,樣本中僅使用A的學(xué)生有27+3=30人,僅使用B的學(xué)生有24+1=25人,A,B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.故樣本中A,B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40人.估計該校學(xué)生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)為401001 000=400.(2)記事件C為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,該學(xué)生上個月的支付金額大于2 000元”,則P(C)=125=0.04.(3)記事件E為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人,該學(xué)生本月的支付金額大于2 000

19、元”.假設(shè)樣本僅使用B的學(xué)生中,本月支付金額大于2 000元的人數(shù)沒有變化,則由(2)知,P(E)=0.04.答案示例1:可以認(rèn)為有變化.理由如下:P(E)比較小,概率比較小的事件一般不容易發(fā)生,一旦發(fā)生,就有理由認(rèn)為本月支付金額大于2 000元的人數(shù)發(fā)生了變化.所以可以認(rèn)為有變化.答案示例2:無法確定有沒有變化.理由如下:事件E是隨機(jī)事件,P(E)比較小,一般不容易發(fā)生,但還是有可能發(fā)生的.所以無法確定有沒有變化.三年模擬練應(yīng)用實(shí)踐1.ABC在A中,由題圖可知,眾數(shù)的估計值為最高矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)對應(yīng)的值75+802=77.5,A正確;在B中,車速超過80 km/h的頻率為0.055+0.0

20、25=0.35,用頻率估計概率知B正確;在C中,由題可知,車速在60,65)內(nèi)的小型汽車數(shù)為2,車速在65,70)內(nèi)的小型汽車數(shù)為4,運(yùn)用古典概型求概率得,至少有一輛車的車速在65,70)的概率為1415,即車速都在60,65)內(nèi)的概率為115,故C正確,D錯誤.故選ABC.2.解析(1)由題意可知P(A)=0.8,P(B)=0.7,且事件A,B相互獨(dú)立,事件“甲、乙二人都破譯出密碼”可表示為AB,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.80.7=0.56.(2)事件“恰有一人破譯出密碼”可表示為AB+AB,且AB,AB互斥,所以P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A

21、)P(B)=(1-0.8)0.7+0.8(1-0.7)=0.38.(3)小明同學(xué)的錯誤在于事件A,B不互斥,而用了互斥事件的概率加法公式.正確解答過程如下:“密碼被破譯”也就是“甲、乙二人中至少有一人破譯出密碼”,可以表示為AB+AB+AB,且AB,AB,AB兩兩互斥,所以P(AB+AB+AB)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-0.8)0.7+0.8(1-0.7)+0.80.7=0.94.誤區(qū)警示在處理“恰有一個”類型的問題時,要時刻注意,當(dāng)事件A發(fā)生時,事件B一定不發(fā)生,或者事件B發(fā)生時,事件A一定不發(fā)生,不能只注意某一個事件發(fā)生,而忽略掉另一個事件的情況,要注意“恰有一個”的意思是有且僅有一個.3.解析(1)這種酸奶一天的需求量不超過300瓶,當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25,由題表數(shù)據(jù)知,最高氣溫低于25的頻率為2+16+3690=0.6,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時,若最高氣溫不低于25,則Y=6450-4450=900;若最高氣溫位于區(qū)間20,25),則Y=6300+2(450-300)-4450