1、第八講隨量及其分布離散型隨量及分布列知識點睛離散型隨量如果在試驗中，試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量 X 來表示，并且 X 是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的，把這樣的變量 X 叫做一個隨量隨量常用大寫字母 X , Y , 表示如果隨量 X 的所有可能的取值都能一一列舉出來，則稱 X 為離散型隨離散型隨量的分布列將離散型隨量 X 所有可能的取值 xi 與該取值對應的概率 pi (i 1, 2 , , n) 列表表示：量稱這個表為離散型隨量 X 的概率分布，或稱為離散型隨量 X 的分布列離散型隨量的分布列的性質(zhì) pi 0 ，i 1，2 ，n ； p1 p2 pn 1 例題精講【例1】 寫出下列各隨量

2、可能的取值旅游，可能乘火車、汽車，也可能乘飛機，他的旅費分別為100 元、260要去元和600 元，記他的旅費為 X ； 正方體的，各面分別刻著1，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，隨意擲兩次，所得的點數(shù)之和 X 61Xx1x2xixnPp1p2pipn 設隨量 所有可能取值為1，2 ，3，4 ，且已知概率 P( k) 與 k 成正比，求 的分布【例2】a n n 1量 的概率分布規(guī)律為 P n n 1, 2, 3, 4 ，其中a 是常數(shù)，則 隨P 1 5 的值為() 22 A 23B 34C 45D 56【例3】甲、乙等五名奧運被隨機地分到 A ，B ，C ，D 四個不同的崗位服務，每個崗位至少

3、有一名 求甲、乙兩人同時參加 A 崗位服務的概率； 求甲、乙兩人不在同一個崗位服務的概率； 設隨量 為這五名中參加 A 崗位服務的人數(shù)，求 的分布列袋中裝有黑球和白球共7 個，從中任取2 個球都是白球的概率為 1 ，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋7中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用 X 表示取球終止所需要的取球次數(shù)【例4】求袋中所有的白球的個數(shù)；求隨量 X 的概率分布；求甲取到白球的概率62典型的離散隨機分布知識點睛兩點分布如果隨量 X 的分布列為其中0 p 1 ， q 1 p ，則稱離散型隨量 X 服從參數(shù)為

4、p 的二點分布二點分布舉例：某次活動中，一件產(chǎn)品合格記為1，不合格記為0 ，已知產(chǎn)品的為80% ，隨量 X 為任意抽取一件產(chǎn)品得到的結(jié)果，則 X 的分布列滿足二點分布兩點分布又稱0 1 分布，由于只有兩個可能結(jié)果的隨機試驗叫做試驗，所以這種分布又稱為分布超幾何分布一般地，設有總數(shù)為 N 件的兩類物品，其中一類有M 件，從所有物品中任取n 件(n N ) ，這n 件中所含這類物品件數(shù) X 是一個離散型隨量，它取值為 m 時的概率為Cm Cnm m) MN MP( X(0 m l ， l 為n 和 M 中較小的一個) CnN稱離散型隨 量 X 的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱 X 服從參數(shù)為

5、 N ，M ，n 的超幾何分布在超幾何分布中，只要知道 N ， M 和n ，就可以根據(jù)公式求出 X 取不同值時的概率 P( X m) ，從而列出 X 的分布列(幾何分布是離散型概率分布的一種，所描述的是n 次試驗成功的概率在n 次試驗中，前n 1次皆失敗，第n 次才成功的概率分布就是幾何分布)二項分布獨立重復試驗如果每次試驗，只考慮有兩個可能的結(jié)果 A 及 A ，并且事件 A 發(fā)生的概率相同在相同的條件下，重復地做n 次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立，那么一般就稱它們?yōu)閚 次獨立重復試驗n次獨立重復試驗中，事件 A 恰好發(fā)生k 次的概率為 P (k) Ck pk (1 p)nk (k 0, 1,

6、 2 , , n) nn二項分布若將事件 A 發(fā)生的次數(shù)設為 X ，事件 A 不發(fā)生的概率為q 1 p ，那么在 n 次獨立重復試驗中，事件 A 恰好發(fā)生k 次的概率是 P( X k) Ck pk qnk ，其中k 0 , 1, 2, , n 于是得到 X 的分布n列由于表中的第二行恰好是二項展開式(q p)n pnq0 各n對應項的值，所以稱這樣的離散型隨量 X 服從參數(shù)為 n ，p 的二項分布，記作 X B(n , p) 63X01knPC0 p0qnnC1 p1qn1nCk pk qn knq0X10P0.80.2X10Ppq例題精講甲、乙兩人參加2010 年廣州亞運會青年【例5】的選拔

7、打算采用現(xiàn)場答題的方式來進行，已知在備選的10 道試題中，甲能答對其中的 6 題，乙能答對其中的8 題規(guī)定每次都從備選題中隨機抽出3 題進試，至少答對2 題才能入選 求甲答對試題數(shù) 的概率分布； 求甲、乙兩人至少有一人入選的概率【例6】將一個半徑適當?shù)男∏蚍湃肼涞倪^程中，將3 次遇到的容器最上方的處，小球?qū)⑾侣湫∏蛟谙挛?，最后落?A 袋或 B 袋中已知小球每次遇到黑色物時，向左、右兩邊下落的概率都是 1 2求小球落入 A 袋中的概率 P(A) ；在容器處依次放入4 個小球，求落入 A 袋中的小球至少有3 個的概率AB64【例7】 已知甲投籃中率是0.9 ，乙投籃中率是0.8 ，兩人每次投籃都

8、不受影響，求投籃 3次甲勝乙的概率（保留兩位有效數(shù)字）正態(tài)分布知識點睛1概率密度曲線：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，在樣本容量越來越大時，直方圖上面的折線所接近的曲線在隨密度曲線量中，如果把樣本中的任一數(shù)據(jù)看作隨量 X ，則這條曲線稱為 X 的概率曲線位于橫軸的上方，它與橫軸一起所圍成的面積是1，而隨間的概率就是對應的曲邊梯形的面積2正態(tài)分布定義：量 X 落在指定的兩個數(shù)a ，b 之如果隨機現(xiàn)象是由一些互相獨立的偶然所引起的，而且每一個偶y然在總體的變化中都只是起著均勻、微小的作用，則表示這樣的x=隨機現(xiàn)象的隨量的概率分布近似服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布的隨量叫做正態(tài)隨量，簡稱正態(tài)變量 ( x )21

9、正態(tài)變量概率密度曲線的函數(shù)表達式為 f (x) 其中 ， 是參數(shù)，且 0 ， e2 2， x R ，2 xO式中的參數(shù) 和 分別為正態(tài)變量的數(shù)學期望和標準差期望為 、標準差為 的正態(tài)分布通常記作 N ( , 2 ) 正態(tài)變量的概率密度函數(shù)的圖象叫做正態(tài)曲線標準正態(tài)分布：重要結(jié)論：把數(shù)學期望為0 ，標準差為1的正態(tài)分布叫做標準正態(tài)分布正態(tài)變量在區(qū)間( , ) ， ( 2 , 2 ) ， ( 3 , 3 ) 內(nèi)，取值的概率分別是68.3% ， 95.4% ， 99.7% 正態(tài)變量在( ， ) 內(nèi)的取值的概率為1，在區(qū)間( 3 ， 3 ) 之外的取值的概率是0.3% ，故正態(tài)變量的取值幾乎都在距 x

10、 三倍標準差之內(nèi)，這就是正態(tài)分布的3 原則65x若 N ( ， ) ， f (x) 為其概率密度函數(shù)，則稱 F (x) P( x) f (t)dt 為概率分布函數(shù)2t 2特別的， N (0 ，1 ) ，稱 (x) 1e 2 dt 為標準正態(tài)分布函數(shù)x22P( x) x 標準正態(tài)分布的值可以通過標準正態(tài)分布表查得分布函數(shù)新課標不作要求，適當了解以加深對密度曲線的理解即可例題精講 x2 2 x11設 X N ( ， 2 ) ，且總體密度曲線的函數(shù)表達式為： f (x) e， x R 【例8】42 求 ， ； 求 P(| x 1| 2 ) 及 P(1 2 x 1 2 2) 的值【例9】在某校舉行的數(shù)

11、學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態(tài)分布 N (70 ，100) 已知成績在90 分以上（含90 分）的學生有12 名 試問此次參賽學生總數(shù)約為多少人？ 若該校計劃競賽成績排50 名的學生，試問設獎的分數(shù)線約為多少分？附：標準正態(tài)分布表 (1.30) 0.9032 ， (1.31) 0.9049 ， (1.32) 0.9066 66實戰(zhàn)演練【演練1】 如果 是一個離散型隨量，則假命題是() 取每一個可能值的概率都是非負數(shù) 取所有可能值的概率之和為1 取某幾個值的概率等于分別取其中每個值的概率之和 在某一范圍內(nèi)取值的概率大于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和c2k量 X 的概率分布列為 P

12、X k ，k 1，2 ，3，4 ，5 ，6 ，其中c 為常數(shù)，則【演練2】 設隨P( X 2) 的值為() A 34B 1621C 6364D 6463量 X 服從正態(tài)分布 N (2， 2 ) ， P( X 4) 0.84 ，則 P( X 0) () 【演練3】 已知隨A 0.16B 0.32C 0.68D 0.84 燈泡廠生產(chǎn)的白熾燈 （： h ），已知 N (1000 ，302 ) ，要使燈泡的平均壽命為1000h 的概率為99.7% ，則燈泡的最低使用應控制在小時以上【演練4】 有六節(jié)電池，其中有2 只沒電， 4 只有電，每次隨機抽取一個測試，不放回，直至分清楚有電沒電為止，所要測試的次

13、數(shù) 為隨量，求 的分布列67【演練5】 從 4 名男生和2 名數(shù) 求 X 的分布列；中任選3 人參加比賽，設隨量 X 表示所選3 人中的人求“所選3 人中人數(shù)不超過1”的概率【演練6】 一個口袋中裝有n 個紅球（ n 5 且n N * ）和5 個白球，一次摸獎從中摸兩個球，兩個球顏色不同則為試用n 表示一次摸獎的概率 p ；若n 5 ，求三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次的概率；記三次摸獎（每次摸獎后放回）恰有一次的概率為 P 當n 取多少時， P 最大？68名校前瞻理工大學【國內(nèi)外地位】亞洲名校、八大院校之一，國內(nèi)地位可以參考交大、復旦大學、浙江大學等?！局攸c專業(yè)】理工類大學，建筑工程、測量學、護理學、服裝與紡織學為優(yōu)勢理科學科理工大學校徽【招生人數(shù)】2014-2015 學年在內(nèi)地招生 290 人，不設上限，參考高考成績，擇優(yōu)錄取。【入學方式】設有入學計劃，并存在招生，招生同國內(nèi)其他院校，通過可以獲得加分但不能直接錄取，獲得國家級競賽獎項可以獲得額外加分。流程：在學校官網(wǎng)提交申請參加高考面試與上報高考成績錄取結(jié)果理工