1、第八章 分離變數(shù)法8.2 非齊次振動(dòng)方程和輸運(yùn)方程8.3 非齊次邊界條件的處理8.1 齊次方程的分離變數(shù)法8.4 泊松方程（一）、分離變數(shù)法8.1 齊次方程的分離變數(shù)法考慮定解問(wèn)題：泛定方程邊界條件初始條件弦兩端固定弦兩端固定，之間形成駐波駐波的一般式分離變量邊界條件代入泛定方程代入邊界條件和與x 和 t 無(wú)關(guān)令邊界條件有（1）、 0以下求X而由邊界條件（1）、 0故 0而由邊界條件因?yàn)樗杂杏蒚滿足的方程稱為本征值是Furier級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族分離變數(shù)的解當(dāng) n =1，稱為基波；稱為本征振動(dòng)本征振動(dòng)的角頻率為頻率為當(dāng) n 1，稱為 n 階諧波本征振動(dòng)的線性疊加仍滿足泛定方程和邊界條件，故為一

2、般解An 和 Bn由初始條件確定初始條件初始條件初始條件稱為本征振動(dòng)系數(shù)解題過(guò)程：泛定方程得X和 T分離變數(shù)邊界條件得本征值本征振動(dòng)初始條件得本征振動(dòng)系數(shù)（二）、例題例：兩端自由振動(dòng)的自由桿定解問(wèn)題：泛定方程邊界條件初始條件弦兩端自由駐波的一般式分離變量邊界條件代入泛定方程代入邊界條件和與x 和 t 無(wú)關(guān)令邊界條件有（1）、 0而由邊界條件因?yàn)樗杂杏蒚滿足的方程稱為本征值是Furier級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族分離變數(shù)的解初始條件所有本征振動(dòng)的疊加為初始條件本征振動(dòng)系數(shù)例：細(xì)桿熱傳導(dǎo)問(wèn)題，初始一端溫度為0，另一端為 u0 , 零的一端溫度保持不變，另一端與外界絕熱。求細(xì)桿溫度泛定方程邊界條件初始條件駐

3、波的一般式分離變量邊界條件代入泛定方程代入邊界條件和與x 和 t 無(wú)關(guān)令（1）、 0而由邊界條件因?yàn)樗杂杏蒚滿足的方程為本征值分離變數(shù)的解Ck 由初始條件定初始條件例：矩形薄板的穩(wěn)定溫度分布問(wèn)題，邊界條件如圖所示。 泛定方程邊界條件分離變量非齊次邊界條件，化簡(jiǎn)泛定方程邊界條件分離變量邊界條件泛定方程邊界條件和以及有邊界條件所有本征振動(dòng)的疊加為故故例P160，題8：鈾塊的中子擴(kuò)散和增殖過(guò)程。每秒鐘在單位體積中產(chǎn)生的中子數(shù)用 u 表示。研究厚為l的層狀鈾塊。求臨界厚度。泛定方程邊界無(wú)中子流入與流處臨界條件n=0, l=0無(wú)意義n=1, 為最小厚度中子濃度分布例P160，題10：薄膜的限定源擴(kuò)散，

4、膜厚為l,膜兩面的表層已有一定雜質(zhì)，如每單位表面下雜質(zhì)總量為 0，但此外不再有雜質(zhì)進(jìn)入薄膜。泛定方程邊界無(wú)雜質(zhì)進(jìn)入薄膜每單位表面下雜質(zhì)總量為 0有解代入初始條件例：輸電線影響帶電云層與地間的電場(chǎng) 柱外泛定方程導(dǎo)體為等勢(shì)體，不妨取零點(diǎn)在導(dǎo)體上 得Laplace 方程在極坐標(biāo)下的表達(dá)方程為邊界條件空間一點(diǎn)電勢(shì)為 u無(wú)限遠(yuǎn)處，Ey=0, Ex=E0 即：泛定方程邊界條件解：令因?yàn)槌Ｎ⒎址匠虨闅W拉方程令則下面確定系數(shù)邊界條件邊界條件若導(dǎo)體原來(lái)不帶電D0=0例P161題19：半徑為a,表面熏黑的金屬長(zhǎng)圓柱，受到陽(yáng)光照射，陽(yáng)光的方向垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為q，求柱內(nèi)穩(wěn)定溫度分布。泛定方程穩(wěn)定溫度分布一般解穩(wěn)

5、定溫度分布一般解代入邊界條件在0，2區(qū)間展開(kāi)付氏級(jí)數(shù)考慮定解問(wèn)題：泛定方程邊界條件初始條件弦兩端固定用式代入方程，不能分離變量8.2 非齊次振動(dòng)方程和輸運(yùn)方程（齊次邊界條件）泛定方程邊界條件分離變量得本征方程對(duì)應(yīng)齊次方程為1、齊次解一、Fourier級(jí)數(shù)法仿照常數(shù)變易法，令2、Tn(t) 的解泛定方程將代入泛定方程其中將代入初始條件例：求定解問(wèn)題：泛定方程邊界條件初始條件解：代入泛定方程有將代入初始條件有考慮定解問(wèn)題：另一方法：考慮線性疊加法令有考慮強(qiáng)迫弦振動(dòng)定解問(wèn)題：f(x,t)表示單位長(zhǎng)度、單位質(zhì)量作用力tt +f(x,t)f(x, ) 表示 內(nèi)的沖量這個(gè)沖量使得系統(tǒng)的速度有一定的增量，即

6、 f(x, ) ,(二）、沖量定理法tt +f(x,t)現(xiàn)在，我們把在時(shí)間 內(nèi)得到的速度增量看成是 t= 瞬時(shí)集中得到的，而在 的其余時(shí)間里沒(méi)有沖量的作用，即認(rèn)為在這段時(shí)間內(nèi)沒(méi)有力的作用，故方程是齊次的。 t= 時(shí)的集中速度可置于 “初始 ”條件中， 得到的關(guān)于瞬時(shí)力引起的振動(dòng)的定解方程為：顯然令而例：用沖量法求定解問(wèn)題：泛定方程邊界條件初始條件解：用沖量法，上述定解問(wèn)題變?yōu)?v 的定解問(wèn)題代入初始有初始有于是于是考慮定解問(wèn)題：泛定方程邊界條件初始條件用式代入方程，不能分離變量8.3 非齊次邊界條件的處理1、邊界條件的齊次化2、輔助函數(shù)w(x,t) 的選取令使具有上述性質(zhì)的w(x,t)有多個(gè)， 最簡(jiǎn)單選取一條 w(x,t)x 直線于是定解問(wèn)題成為：泛定方程邊界條件初始條件弦兩端固定例：研究一端固定，一端作周期運(yùn)動(dòng)的弦振動(dòng)泛定方程邊界條件初始條件解：令再令有3、其它非齊次邊界條件的處理泛定方程邊界條件初始條件令使定解問(wèn)題：邊界條件8.4泊松方程泊松方程與時(shí)間無(wú)關(guān)不管邊界條件如何，令特解 v若就轉(zhuǎn)化為 Laplace 方程例：在圓域內(nèi)求泊松方程邊值問(wèn)題泊松方程由對(duì)稱性1）、尋找泊松方程的特解解：考慮令特解 v2）、泊松方程的轉(zhuǎn)化為邊界條件泊松方程為 Laplace 方程方程一般解圓域內(nèi)代入邊界條件邊界條件例：在0 xa