1、第六章線性空間與線性變換本章是線性代數(shù)幾何理論的基礎(chǔ)知識，在此章中，我們介紹了線性運(yùn)算、線性空間的 概念，討論線性空間中的向量組及其線性組合、線性相關(guān)性與線性無關(guān)和秩等概念，并通過 引入向量的坐標(biāo)，使一般的n維線性空間V與Rn同構(gòu)，從而在V中可以得到許多平行于Rn 中的結(jié)論.nn第一節(jié)線性空間的定義與性質(zhì)分布圖示引言 線性空間的定義線性空間的判定方法例1例2例3 例4 例5例6 例7 例8線性空間的性質(zhì)線性空間的子空間例9例10例11例12例13內(nèi)容小結(jié)課堂練習(xí)習(xí)題6-1內(nèi)容要點(diǎn)一、線性空間的定義定義1設(shè)V是一個非空集合,R為實數(shù)域.如果對于任意兩個元素a , p e V，總有唯一 的一個元素

2、ye V與之對應(yīng),稱為a與p的和，記作y =a + p ;若對于一數(shù)人e R與任一元素 a e V，總有唯一的一個元素5 e V與之對應(yīng)，稱為人與a的積，記作5 = Xa .若上述的兩種運(yùn)算 滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那么V就稱為數(shù)域R上的線性空間(或向量空間)：設(shè) a，p，y e V;入， e Ra + p = p +a;(a + p) +y =a + (p +y);在V中存在零元素0,對任何aeV，都有a+ 0 = a;對任何aeV,都有a的負(fù)元素peV，使a + p = 0;1a = a;入(pa)=(泌)a;(入 + p )a = Aa + pa;A (a + p) = Aa +ZJ3 .

3、注：滿足以上八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運(yùn)算，稱為V上的線性運(yùn)算；向量空間(或線性空間)中的元素稱為向量，但向量空間V中的向量不一定是有序數(shù) 組.在一個非空集合上，若對于所定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者運(yùn)算不滿足八條性 質(zhì)的某一條，則此集合就不能構(gòu)成向量空間.二、線性空間的性質(zhì)零元素是唯一的.任一元素的負(fù)元素是唯一的.0a= 0；(i)a=-a；X0 = 0.若 Xa = 0,則入=0或= 0.三、線性空間的子空間定義2設(shè)V是一個線性空間匕是V的一個非空子集，如果L對于V中所定義的加法和 數(shù)乘兩種運(yùn)算也構(gòu)成一個線性空間，則稱L為V的子空間.定理1線性空間V的非空子集L構(gòu)成子空間的充分必要條件是:L對

4、于V中的線性運(yùn)算 封閉.例題選講線性空間的定義例1設(shè)V = 0只包含一個元素，對于實數(shù)域R，定義0 + 0 = 0， k0 = 0(k e R),可以驗證上述運(yùn)算好滿足8條運(yùn)算法則，0就是V的零元素，則V = 0是R上的一個線性 空間，稱之為零空間.例2 (1)實數(shù)域R上的n元齊次線性方程組AX = 0的所有解向量，對于向量的加法和數(shù) 量乘法，構(gòu)成R上和一個線性空間，稱為該方程組的一個解空間.(2)實數(shù)域R上的n元非齊次線性方程組AX = b的所有解向量，在上述運(yùn)算下不能構(gòu)成 R上的線性空間，因為關(guān)于線性運(yùn)算不封閉.例3 (E01)記次數(shù)不超過n的多項式的全體為Pxn，即Px = p = a

5、x HF a x + a a ，a，a e R， TOC o 1-5 h z n n n10， n 10試驗證對通常的多項式的加法與數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成線性空間.證注意到通常的多項式的加法與數(shù)乘運(yùn)算滿足線性運(yùn)算的八條規(guī)律且(a xn+ a x + a ) + (bxn + b x + b )= (a+ b)xn+ (a+ b)x + (a+ b ) ePxn10， n10 n n1100nX (a xn + a x + a ) = (Xa )xn + (Xa )x + (Xa ) e Pxn1Onr0/n即Pxn對運(yùn)算封閉.故Pxn構(gòu)成一線性空間.例4 (E02)證明n次多項式的全體Qx = p =

6、a x + a x + a |a，,a e R，且a 豐 0nn n110 n 0n對于通常的多項式加法和數(shù)乘運(yùn)算不構(gòu)成線性空間.證,/ 0 - p = 0(a xn + a x + a ) = 0 W Qx ，. Qx對運(yùn)算不封閉.n10nn因而Q xn不能構(gòu)成一線性空間.例5正弦函數(shù)的集合Sx=仃=Asin(x + B) A，B e R，對于通常的函數(shù)加法及數(shù)乘函數(shù) 的乘法構(gòu)成線性空間.證 ,/ s + s = A s i nx (+ B ) + A s i nx (+ B ) = (a cox + b six) + (a cox + b six)1211221122=(a】+ a?)co

7、s x + ( + bz)sin x = A sin(x + B) e S x.人s1 =人A1 sin(x + B1)=(人A1) sin(x + B1) e 5x Sx是一個線性空間.例6 (E03) n個有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體Sn = x = (x ,x ,x )r|x ,x，,x e R 12 n 12 n 對于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的數(shù)乘：力。(氣,xn)T = (0,.,0),人 e R, x e Sn不構(gòu)成線性空間.解 雖然可證得Sn對運(yùn)算封閉，且1。x = 0,不滿足第五條運(yùn)算規(guī)律.由于所定義的運(yùn)算不是線性運(yùn)算，故Sn不是線性空間.例7 (E04)設(shè)S是由兩端都無限的

8、全體數(shù)值序列所構(gòu)成的空間，通常記作如下：x =(1)不構(gòu)成子空間.因為對A = B =gW,有A + B =2b2c2d 任W1,即W對矩陣加法不封閉，不構(gòu)成子空間.(2) 因0 0g W2,即W2非空.(ab0(ab0 11,B =2200c1 j00cJ2對任意A =G W2(a0 )+ a2b + b2有 a + b + c = 0, a2 + b2 + c2 = 0,于是A + B =I1。1 +% J，滿足(a + a ) + (b + b ) + (c + c ) = 0,即 A + B g W ,1212122對任意k g R有kA(ka01kb10且 ka、+ kb + kci

9、 = 0,即kA e吧，故吧是R*的子空間.例12 (E07)設(shè)P是所有實系數(shù)多項式組成的集合,P上的運(yùn)算與函數(shù)空間內(nèi)的定義相 同.則P是所有定義在R上的實值函數(shù)所組成空間的子空間，并且戶口 = = a xn t卜 a x + a a，,a , a e R TOC o 1-5 h z nn10 n10是P的一個子空間.證 若 p = a x tt a x + a , p = b x tt b x + b e P，不妨設(shè) m n ,有1 n n102 m m10a x tt a x + a x + b x tt b x + b xn n10 0 m m10 0=a xt axm+1+ (a+ b

10、)xtt (a+ b )x +(a+ b ) e Pn nm+1m mm1100即p1 + P2 e P .又對于人e R ,有Mp =人 C xn tt a x + a )= (Ma )xn tt (Ma )x + (Ma ) e P所以P是所有定義在R上的實值函數(shù)所組成空間的子空間.參考例1,易證pL是P的一個子空間.例13 (E08)設(shè)H是所有形如(a-2 p, p-2a, a,時的向量所構(gòu)成的集合，其中以,P是 任意的數(shù)量.即H = (a-2P, P-2a, a, p)a, p e R.證明H是R 4的子空間.證 把H中的向量記成列向量的形式,H中的任意向量都具有如下形式:1:-2、-

11、21,p =1200J1 VJ令p1 =，則H是由p1,p2的線性組合的向量所構(gòu)成的集合.即a-2p、1:-2，P2a-2p1=a+a10Vp JV0 JV1J=k p + k p 和 y = l p +1 p ,有1 12 221 12 2p + k p)+Gp +1 p)=(k+1)p+ (k+1)pe H11221122111222H = k p + k p Ik ,k e r1 12 2 12在H中任取兩向量y1y +y = (k12又對于c e R ,有cy = c(k p + k p )= (ck )p + (ck )p e H1112 21122所以H是R4的子空間.注:例13給出了一種非常有用的技巧，利用它可以將子空間H表示成更小的向量集合的 線性組合.如果H是由pp2,，pn的線性組合的向量所構(gòu)成的集