1、課時(shí)規(guī)范練64離散型隨機(jī)變量的均值與方差基礎(chǔ)鞏固組1.某人進(jìn)行一項(xiàng)實(shí)驗(yàn),若實(shí)驗(yàn)成功,則停止實(shí)驗(yàn),若實(shí)驗(yàn)失敗,再重新進(jìn)行實(shí)驗(yàn),若實(shí)驗(yàn)3次均失敗,則放棄實(shí)驗(yàn),若此人每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為23,則此人實(shí)驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是()A.43B.139C.53D.1372.(2021湖北武漢二中期末,5)隨機(jī)變量X的分布列如表,若E(X)=2,則D(X)=()X124P12abA.65B.43C.54D.323.已知5臺(tái)機(jī)器中有2臺(tái)存在故障,現(xiàn)需要通過逐臺(tái)檢測(cè)直至區(qū)分出2臺(tái)故障機(jī)器為止.若檢測(cè)一臺(tái)機(jī)器的費(fèi)用為1 000元,則所需檢測(cè)費(fèi)的均值為()A.3 200B.3 400C.3 500D.3 6004.(20

2、21浙江湖州期末)一個(gè)口袋中有7個(gè)大小、質(zhì)地完全相同的球,其中紅球3個(gè)、黃球2個(gè)、綠球2個(gè).現(xiàn)從該口袋中任取3個(gè)球,設(shè)取出紅球的個(gè)數(shù)為,則E()=.5.已知隨機(jī)變量XB(n,p),若E(X)=3,D(X)=2,則p=,P(X=1)=.6.某投資公司在2021年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上,現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇.項(xiàng)目一:新能源汽車.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利30%,也可能虧損15%,且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和29;項(xiàng)目二:通信設(shè)備.據(jù)市場(chǎng)調(diào)研,投資到該項(xiàng)目上,到年底可能獲利50%,可能損失30%,也可能不賠不賺,且這三種情況發(fā)生的概率分別為35,13和115

3、.針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目,請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目,并說明理由.綜合提升組7.(2021浙江三模)已知離散型隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3,且P(X1)=23,P(X=3)=16,若X的數(shù)學(xué)期望E(X)=54,則D(4X-3)=()A.19B.16C.194D.748.(2021浙江二模)已知0k1,0 x1,隨機(jī)變量X的分布列如下X02x41-x2Pk1214當(dāng)E(X)取最大值時(shí),D(X)=()A.1B.2C.3D.9-29.一個(gè)不透明袋中放有大小、形狀均相同的小球,其中紅球3個(gè)、黑球2個(gè),現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球.當(dāng)有放回依次取出兩個(gè)小球時(shí),記取出的紅球數(shù)為1,則E(1)=;若

4、第一次取出一個(gè)小球后,放入一個(gè)紅球和一個(gè)黑球,再第二次隨機(jī)取出一個(gè)小球.記取出的紅球總數(shù)為2,則E(2)=.10.(2021山東濟(jì)寧一模)垃圾分類收集處理是一項(xiàng)利國(guó)利民的社會(huì)工程和環(huán)保工程.搞好垃圾分類收集處理,可為政府節(jié)省開支,為國(guó)家節(jié)約能源,減少環(huán)境污染,是建設(shè)資源節(jié)約型社會(huì)的一個(gè)重要內(nèi)容.為推進(jìn)垃圾分類收集處理工作,A市通過多種渠道對(duì)市民進(jìn)行垃圾分類收集處理方法的宣傳教育,為了解市民能否正確進(jìn)行垃圾分類處理,調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到如下列聯(lián)表(單位:人):能否正確進(jìn)行垃圾分類能不能總計(jì)55歲及以下903012055歲以上5030

5、80總計(jì)14060200(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為A市能否正確進(jìn)行垃圾分類與年齡有關(guān)?(2)將頻率視為概率,現(xiàn)從A市55歲及以下的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人,共抽取3次.記被抽取的3人中“不能正確進(jìn)行垃圾分類”的人數(shù)為X,若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求隨機(jī)變量X的分布列和均值E(X).附:K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.P(K2k0)0.150.100.050.025k02.0722.7063.8415.02411.(2021山西運(yùn)城考前適應(yīng))某工廠為提高生產(chǎn)效率,需引進(jìn)一條新的生產(chǎn)線投入生產(chǎn),現(xiàn)有兩條生

6、產(chǎn)線可供選擇,生產(chǎn)線:有A,B兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.01,0.05.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為16萬元;若A工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加2萬元;若B工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加3萬元;若A,B兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬元.生產(chǎn)線:有a,b兩道獨(dú)立運(yùn)行的生產(chǎn)工序,且兩道工序出現(xiàn)故障的概率依次是0.04,0.02.若兩道工序都沒有出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本為15萬元;若a工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加8萬元;若b工序出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加5萬元;若a,b兩道工序都出現(xiàn)故障,則生產(chǎn)成本增加13萬元.(1)若選擇生產(chǎn)線,求生產(chǎn)成本恰好為20萬元的概

7、率;(2)為最大限度節(jié)約生產(chǎn)成本,你會(huì)給工廠建議選擇哪條生產(chǎn)線?請(qǐng)說明理由.創(chuàng)新應(yīng)用組12.(2021江蘇蘇錫常鎮(zhèn)四市一模)某地發(fā)現(xiàn)6名疑似病人中有1人感染病毒,需要通過血清檢測(cè)確定該感染人員,血清檢測(cè)結(jié)果呈陽性的即為感染人員,呈陰性表示沒感染.擬采用兩種方案檢測(cè):方案甲:將這6名疑似病人血清逐個(gè)檢測(cè),直到能確定感染人員為止.方案乙:將這6名疑似病人隨機(jī)分成2組,每組3人.先將其中一組的血清混在一起檢測(cè),若結(jié)果為陽性,則表示感染人員在該組中,然后再對(duì)該組中每份血清逐個(gè)檢測(cè),直到能確定感染人員為止;若結(jié)果為陰性,則對(duì)另一組中每份血清逐個(gè)檢測(cè),直到能確定感染人員為止.(1)求這兩種方案檢測(cè)次數(shù)相同

8、的概率;(2)如果每次檢測(cè)的費(fèi)用相同,請(qǐng)預(yù)測(cè)哪種方案檢測(cè)總費(fèi)用較少?并說明理由.13.(2021山東泰安一模)某市為了了解本市高中生周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間,隨機(jī)調(diào)查了3 000名學(xué)生,統(tǒng)計(jì)了他們的周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間,制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)按照分層抽樣,從40,50)和80,90中隨機(jī)抽取了9名學(xué)生.現(xiàn)從已抽取的9名學(xué)生中隨機(jī)推薦3名學(xué)生參加體能測(cè)試.記推薦的3名學(xué)生來自40,50)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)由頻率分布直方圖可近似認(rèn)為:周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間t服從正態(tài)分布N(,2),其中,為樣本的平均數(shù)t,近似為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差s,并已求得s14.6.可以用該樣本的頻率估計(jì)總體的概率,現(xiàn)從本市所

9、有高中生中隨機(jī)抽取12名學(xué)生,記周末運(yùn)動(dòng)時(shí)間在(43.9,87.7之外的人數(shù)為Y,求P(Y=3)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表,結(jié)果精確到0.001).參考數(shù)據(jù):當(dāng)YN(,2)時(shí),P(-Y+)0.682 7,P(-2Y+2)0.954 5,P(-3Y+3)0.997 3,0.818 690.165 1,0.181 430.006 0.答案：課時(shí)規(guī)范練1.B解析:由題意可得=1,2,3,每次實(shí)驗(yàn)成功的概率為23,則失敗的概率為13,P(=1)=23,P(=2)=1323=29,P(=3)=1313=19,則實(shí)驗(yàn)次數(shù)的分布列如下123P232919所以此人實(shí)驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望是E()=12

10、3+229+319=139.故選B.2.D解析:由分布列的性質(zhì)以及數(shù)學(xué)期望公式可得E(X)=12+2a+4b=2,a+b=12,解得a=b=14,所以D(X)=12(1-2)2+14(2-2)2+14(4-2)2=32.故選D.3.C解析:設(shè)檢測(cè)的機(jī)器的臺(tái)數(shù)為X,則X的所有可能取值為2,3,4.P(X=2)=A22A52=110,P(X=3)=C21C31A22+A33A53=310,P(X=4)=C21C32A33C21A54=35,所以E(X)=2110+3310+435=3.5,所以所需的檢測(cè)費(fèi)用的均值為1 0003.5=3 500.4.97解析:依題意,設(shè)取出紅球的個(gè)數(shù)為,則=0,1,

11、2,3,而口袋中有紅球3個(gè)、其他球4個(gè),故P(=0)=C43C73=435,P(=1)=C31C42C73=1835,P(=2)=C32C41C73=1235,P(=3)=C33C73=135,故E()=0435+11835+21235+3135=4535=97.5.132562 187解析:因?yàn)殡S機(jī)變量XB(n,p),E(X)=3,D(X)=2,所以np=3,np(1-p)=2,解得p=13,n=9,即隨機(jī)變量XB9,13.P(X=1)=C9113238=2562 187.6.解: 若按“項(xiàng)目一”投資,設(shè)獲利為X1萬元,則X1的分布列為X1300-150P7929E(X1)=30079+(-

12、150)29=200.若按“項(xiàng)目二”投資,設(shè)獲利為X2萬元,則X2的分布列為X2500-3000P3513115E(X2)=50035+(-300)13+0115=200.D(X1)=(300-200)279+(-150-200)229=35 000,D(X2)=(500-200)235+(-300-200)213+(0-200)2115=140 000.E(X1)=E(X2),D(X1)2.706,在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1的前提下認(rèn)為A市能否正確進(jìn)行垃圾分類處理與年齡有關(guān).(2)由題意可得XB3,14,P(X=k)=C3k14k1-143-k,k=0,1,2,3,P(X=0)=2764,P

13、(X=1)=2764,P(X=2)=964,P(X=3)=164.可得隨機(jī)變量X的分布列為X0123P27642764964164均值E(X)=314=34.11.解: (1)若選擇生產(chǎn)線,生產(chǎn)成本恰好為20萬元,即a工序不出現(xiàn)故障b工序出現(xiàn)故障,故生產(chǎn)成本恰好為20萬元的概率為(1-0.04)0.02=0.019 2.(2)若選擇生產(chǎn)線,設(shè)增加的生產(chǎn)成本為萬元,則的可能取值為0,2,3,5.P(=0)=(1-0.01)(1-0.05)=0.940 5,P(=2)=0.01(1-0.05)=0.009 5,P(=3)=(1-0.01)0.05=0.049 5,P(=5)=0.010.05=0.

14、000 5.所以E()=00.940 5+20.009 5+30.049 5+50.000 5=0.17,故選生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本期望值為16+0.17=16.17(萬元).若選生產(chǎn)線,設(shè)增加的生產(chǎn)成本為萬元,則的可能取值為0,8,5,13.P(=0)=(1-0.04)(1-0.02)=0.940 8,P(=8)=0.04(1-0.02)=0.039 2,P(=5)=(1-0.04)0.02=0.019 2,P(=13)=0.040.02=0.000 8.所以E()=00.940 8+80.039 2+50.019 2+130.000 8=0.42,故選生產(chǎn)線的生產(chǎn)成本期望值為15+0.42=15

15、.42(萬元).故應(yīng)選生產(chǎn)線.12.解: (1)由題意可設(shè)甲方案檢測(cè)的次數(shù)是X,則X的可能取值為1,2,3,4,5,記乙方案檢測(cè)的次數(shù)是Y,則Y的可能取值為2,3,方案甲與方案乙相互獨(dú)立,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=16,P(X=5)=13,P(Y=2)=13,P(Y=3)=1-P(Y=2)=23,用D表示事件“方案甲所需檢測(cè)的次數(shù)等于方案乙所需檢測(cè)的次數(shù)”,則P(D)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)=1613+1623=16.所以這兩種方案檢測(cè)次數(shù)相同的概率為16.(2)由(1)可知,P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=16,P(X=5)=13,所以E(X)=116+216+316+416+513=103,又P(Y=2)=13,P(Y=3)=23,所以E(Y)=213+323=83,故E(Y)E(X).所以方案乙檢測(cè)總費(fèi)用較少.13.解: (1)根據(jù)分層抽樣,從40,50)中抽取6人,從80,90中抽取3人,隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=C60C33C93=184,P(X=1)=C61C32C93=314,P(X=2)=C62C31C93=1528,P(X=3)=C63C30C93=521.則X的分布列為X0123P1843141