1、大學(xué)數(shù)學(xué)競賽第一單元函數(shù)極限連續(xù)1.1 函數(shù)2理學(xué)院一、有關(guān)函數(shù)的四種性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性)例1 求 解 是奇函數(shù)， 是奇函數(shù)， 3理學(xué)院因此是奇函數(shù)。 于是 4理學(xué)院解 (B)不成立，反例 (C)不成立，反例 (D)不成立，反例 (A)成立。 A5理學(xué)院 證明 為奇函數(shù)， 6理學(xué)院二、有關(guān)復(fù)合函數(shù)7理學(xué)院解 8理學(xué)院即分析 函數(shù)D(x)的函數(shù)值是有理數(shù)1或0， 所以19理學(xué)院解 令 則 因此 于是 所以 10理學(xué)院1.2 極限 11理學(xué)院一、數(shù)列與函數(shù)極限的存在準(zhǔn)則 (1)夾逼準(zhǔn)則； (2)單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則 分析 給定數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)子列單調(diào)增加有上界，偶數(shù)項(xiàng)子列單調(diào)減少有下界，

2、因此兩子列均收斂 . 對于這種數(shù)列仍可應(yīng)用單調(diào)有界準(zhǔn)則. 12理學(xué)院解 首先易見又計(jì)算可得 所以兩子列均收斂，然后由遞推式13理學(xué)院兩端取極限得 由此得到14理學(xué)院解 因?yàn)?15理學(xué)院二、冪指函數(shù)的極限16理學(xué)院解 令 則 因此根據(jù)命題1.4可得故原式=1. 17理學(xué)院三、用洛必達(dá)法則與泰勒展開式計(jì)算極限 應(yīng)用洛必達(dá)法則之前應(yīng)注意: (2)通過分解、變量的等價替換、析出可成為 常數(shù)的變量等整理和化簡,以便于計(jì)算導(dǎo)數(shù); (3)可重復(fù)上述步驟. 應(yīng)用泰勒展開式時需注意分子與分母展開的階數(shù)為各自主部的階數(shù).18理學(xué)院例1 設(shè)函數(shù)f(x)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且解 因 因此利用命題1.3的結(jié)論有19理學(xué)院

3、解 用sin6x的泰勒展開式,知應(yīng)選： C . C 注 由于f(x)無可微條件, 此題不能用洛必達(dá)法則 .20理學(xué)院例3 求解21理學(xué)院例4 求 解 原式= 22理學(xué)院解 原式= (應(yīng)用洛必達(dá)法則)23理學(xué)院(應(yīng)用洛必達(dá)法則)(用積分中值定理: 在0和x之間 ) 24理學(xué)院四、無窮小、無窮大量階的比較 (1) 當(dāng)正整數(shù)n時,以下各無窮大數(shù)列的階由低 到高排列為: (2) 當(dāng)實(shí)數(shù)x +時，以下各無窮大量的階由低 到高排列為： 25理學(xué)院(3) 當(dāng)x0時，下列各無窮小量 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 例1 設(shè)當(dāng)x0時(1-cosx)ln(1+x2)是比xsinxn高階的無窮小，而

4、xsinxn是比高階的無窮小，則正整數(shù)n等于( )B26理學(xué)院例2 設(shè)則當(dāng)x0時， 是的 ( ).(A) 高階無窮小 (B) 低階無窮小(C)同階但不等價的無窮小 (D) 等價無窮小解 C27理學(xué)院五、有關(guān)兩個重要公式 (1)(2)28理學(xué)院例1 求 解 當(dāng)x=0時，原式=1. 當(dāng)x0時，原式29理學(xué)院解 則拉格朗日中值定理，有 其中介于(x-1)與x之間，那么 30理學(xué)院于是則2c=1，e2c=e, 即31理學(xué)院解例3 求 32理學(xué)院33理學(xué)院注：2009年全國決賽試題有類似題目34理學(xué)院六、求分段函數(shù)的極限 例1 求 解 35理學(xué)院七、用導(dǎo)數(shù)定義求極限 解 由題設(shè)可知 于是 36理學(xué)院解

5、原式令 37理學(xué)院于是 原式= 0(n)所以原式= 38理學(xué)院八、用定積分定義求極限 公式： (函數(shù)f(x)連續(xù)) 例1 求 分析 如果還想用夾逼定理中方法來考慮 而 39理學(xué)院由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來考慮。解 40理學(xué)院例2 求 解 因?yàn)槎?夾逼定理 41理學(xué)院例3 求 解 原式= 數(shù)列極限普通方法難有成效時，可考慮轉(zhuǎn)化為定積分42理學(xué)院九、求極限的反問題 解 由題設(shè)可知 1+a+b=0 再對極限用洛必達(dá)法則 因此例1 設(shè)，求a和b. 43理學(xué)院解 先用冪指函數(shù)處理方法 再用導(dǎo)數(shù)定義 取 44理學(xué)院于是 因此 所以 再由 則 45理學(xué)院例3 設(shè)函數(shù) 當(dāng)x0時的極限

6、存在,求a的值 . 解 46理學(xué)院例4 設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)且可導(dǎo), a, b應(yīng)取什么值？解 因?yàn)?所以要使函數(shù)在x=1處連續(xù), 必須a+b=1. 又因?yàn)楫?dāng)a+b=1時 所以要使函數(shù)在x=1處可導(dǎo), 必須a=2, 此時b=1.47理學(xué)院十. 曲線的漸近線 1. 水平漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線2. 垂直漸近線48理學(xué)院3. 斜漸近線斜漸近線若49理學(xué)院例1 曲線 漸近線的條數(shù)為 解 曲線有漸近線x=0, y=0 , y=x. (A)0 . (B)1 . (C)2 . (D)3 . 故正確答案為 D .50理學(xué)院1.3 連續(xù) 51理學(xué)院1、討論具體函數(shù)或抽象函

7、數(shù)的連續(xù)與間斷。包括由連續(xù)性確定其中的參數(shù)，證明函數(shù)的連續(xù)性.2、由函數(shù)的連續(xù)性討論它的某些特性，如有界、零點(diǎn)、介值等.一、 問題分類：52理學(xué)院二、 填空題 53理學(xué)院54理學(xué)院三、 計(jì)算及證明 55理學(xué)院56理學(xué)院57理學(xué)院58理學(xué)院1.4 綜合習(xí)題講解 59理學(xué)院一、 填空題 解 可得所以 a = 2. 60理學(xué)院解 所以 61理學(xué)院所以 62理學(xué)院解 ff(x) = 1. 解 原式63理學(xué)院解 64理學(xué)院所以 k1=1990, 即 k = 1991; 解 65理學(xué)院二、 計(jì)算題 1. 求下列極限 解66理學(xué)院67理學(xué)院68理學(xué)院2. 求下列極限 按照等價無窮小代換 69理學(xué)院解 方法1

8、： 70理學(xué)院71理學(xué)院方法2： Taylor展開72理學(xué)院73理學(xué)院(3)解74理學(xué)院(4)解75理學(xué)院所以解又因?yàn)?(5)76理學(xué)院三、證明題 例1 設(shè)f(x)在a, b上連續(xù), 且f(a) b, 試證在(a, b)內(nèi)至少存在一個, 使f() = .證 假設(shè)F(x) = f(x) x,F(a) = f(a) a 0則于是由介值定理在(a, b)內(nèi)至少存在一個, 使f() = .77理學(xué)院例2 設(shè)f(x), g(x)在a, b上連續(xù), 且f(a) g(b),試證在(a, b)內(nèi)至少存在一個, 使f() = g().證 假設(shè)F(x) = f(x) g(x),則F(a) = f(a) g(a)

9、0于是由介值定理在(a, b)內(nèi)至少存在一個, 使f() = g().78理學(xué)院例3 證明方程x53x2 = 0在(1, 2)內(nèi)至少有一個實(shí)根.證 令F(x) = x53x2 , 則F(1) =4 0所以在(1, 2)內(nèi)至少有一個, 滿足F() = 0.79理學(xué)院所以存在( a x1 xn b)，使得證 令所以 例4 設(shè)f(x)在a, b上連續(xù),且a x1 x2 xn b, ci (i = 1, 2, 3, , n)為任意正數(shù), 則在(a, b)內(nèi)至少存在一個, 使80理學(xué)院解 因?yàn)榍宜缘胊 = 1. 極限化為 得b = 4. 因此，a = 1，b = 4. 四、歷年部分競賽真題、考研真題選

10、講 81理學(xué)院2、極限 分析 本題屬基本題型，直接用無窮小量的等價代換進(jìn)行計(jì)算即可. 解 82理學(xué)院3、 分析 本題為未定式極限的求解，利用等價無窮小代換即可.解 83理學(xué)院4、解 因?yàn)?而sinx+cosx有界，故 84理學(xué)院.5、 求極限解 85理學(xué)院6 極限分析 重要極限的應(yīng)用解 因?yàn)?所以原式= 86理學(xué)院7. 計(jì)算 解 先求 87理學(xué)院證 因?yàn)?而 88理學(xué)院分下列情況討論數(shù)列的單調(diào)性， 可得到數(shù)列單調(diào)有界：求極限：得A = 4 (A = 3舍去).89理學(xué)院9. 計(jì)算分析 重要極限的應(yīng)用解 因?yàn)?所以原式= 2011年決賽試題90理學(xué)院10. 計(jì)算分析 定積分的定義解 2011年決賽試題91理學(xué)院人有了知識，就會