1、上次課回顧：1、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)2、平面應(yīng)力狀態(tài)分析（1）斜截面上的應(yīng)力1（2）應(yīng)力圓sOtCs2FA1B1B2A2D1D2Etxtysysxs12a02a應(yīng)力圓和單元體的對(duì)應(yīng)關(guān)系圓上一點(diǎn)，體上一面；圓上半徑，體上法線；轉(zhuǎn)向一致，數(shù)量一半；直徑兩端，垂直兩面。2（3）主平面和主應(yīng)力37-3 空間應(yīng)力狀態(tài)的概念 下圖所示單元體的應(yīng)力狀態(tài)是最普遍的情況，稱為一般的空間應(yīng)力狀態(tài)。圖中x平面有：圖中y平面有：圖中z平面有： 在切應(yīng)力的下標(biāo)中，第一個(gè)表示所在平面，第二個(gè)表示應(yīng)力的方向。xyzOdxdydztxytxzsxtyxsytyztxysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz4

2、可以證明，對(duì)上述應(yīng)力狀態(tài)一定可找到一個(gè)單元體，其三對(duì)相互垂直的面都是主平面，其上應(yīng)力分別為： 空間應(yīng)力狀態(tài)共有9個(gè)分量，然而，根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，獨(dú)立的分量只有6個(gè)，即：空間應(yīng)力狀態(tài)：三個(gè)主應(yīng)力都不等于零；平面應(yīng)力狀態(tài)：兩個(gè)主應(yīng)力不等于零；單向應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)主應(yīng)力不等于零。該單元體稱為主單元體。5考慮圖a所示主單元體中斜截面上的應(yīng)力。對(duì)與3平行的斜截面： 同理：和2平行的斜截面上應(yīng)力與2無(wú)關(guān)，由1、3的應(yīng)力圓確定；和1平行的斜截面上應(yīng)力與1無(wú)關(guān)，由2、3的應(yīng)力圓確定。下面分析空間應(yīng)力狀態(tài)下的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力。cabs1s3s3(b)s2s1s2s1s3s3s2(a) 進(jìn)一步研究表明，

3、一般斜截面abc面上應(yīng)力位于圖c所示的陰影部分內(nèi)。由圖b可知，該面上應(yīng)力、與3無(wú)關(guān)，由1、2的應(yīng)力圓來(lái)確定。6 max作用面為與2平行，與1或3成45角的斜截面。所以，由1、3構(gòu)成的應(yīng)力圓最大，max作用點(diǎn)位于該圓上，且有：因?yàn)椋簊tOs3s2s1smaxBDAtmax(c)注意：max作用面上，0。7例7-4 用應(yīng)力圓求圖a所示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力、主平面，最大切應(yīng)力max及作用面。解：由圖示應(yīng)力狀態(tài)可知z=20MPa為一主應(yīng)力，則與該應(yīng)力平行的斜截面上的應(yīng)力與其無(wú)關(guān)?？捎蓤Db所示的平面應(yīng)力狀態(tài)來(lái)確定另兩個(gè)主應(yīng)力。202040(b)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyz8 圖b所示

4、平面應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力圓如圖c。最后依據(jù)三個(gè)主應(yīng)力值可繪出三個(gè)應(yīng)力圓，如圖d。tsOs3s1ACD2D1(c)tsOtmaxs3s2s1BACD2D12a0(d)由此可得：9 作用面與2平行而與1成45角，如圖e所示。最大剪應(yīng)力對(duì)應(yīng)于B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即x(e)s3s2s1tmax451710解析法：117-4 應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系1、各向同性材料的廣義胡克定律 時(shí)，2）純剪應(yīng)力狀態(tài)：1）單向應(yīng)力狀態(tài)：橫向線應(yīng)變：stxgxy時(shí)，123）空間應(yīng)力狀態(tài)：對(duì)圖示空間應(yīng)力狀態(tài)： 正負(fù)號(hào)規(guī)定：正應(yīng)力分量同前，拉為正、壓為負(fù)；切應(yīng)力分量重新規(guī)定，正面（外法線與坐標(biāo)軸指向一致）上切應(yīng)力矢與坐標(biāo)軸正向一致或負(fù)面

5、上切應(yīng)力矢與坐標(biāo)軸負(fù)向一致時(shí)，切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。六個(gè)應(yīng)力分量，dxdydztxytxzsxtyxsytyztxysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz對(duì)應(yīng)的六個(gè)應(yīng)變分量，13 正負(fù)號(hào)規(guī)定：正應(yīng)變分量同前，拉為正、壓為負(fù)；切應(yīng)變分量以使直角減小為正，反之為負(fù)。 對(duì)各向同性材料，在線彈性、小變形條件下，正應(yīng)力只引起線應(yīng)變，切應(yīng)力只引起切應(yīng)變，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的關(guān)系可由疊加原理求得：三個(gè)正應(yīng)力分量單獨(dú)作用時(shí)，x方向的線應(yīng)變?yōu)椋?4同理可得：則可得：對(duì)切應(yīng)力分量與切應(yīng)變的關(guān)系，有：15 上述六個(gè)關(guān)系式即為空間應(yīng)力狀態(tài)下，線彈性和小變形條件下各向同性材料的廣義胡克定律。對(duì)平面應(yīng)

6、力狀態(tài)：設(shè)z=0，xz=0，yz=0，有：16若用主應(yīng)力和主應(yīng)變來(lái)表示廣義胡克定律，有：二向應(yīng)力狀態(tài)：設(shè)有17可見，即使3 =0，但3 0而且各向同性材料有18每單位體積的體積改變，稱為體積應(yīng)變，即：所以：2、各向同性材料的體應(yīng)變對(duì)圖示主單元體，有：而變形后單元體體積為：321dxdzdy19可見，任一點(diǎn)處的體積應(yīng)變與三主應(yīng)力之和成正比。對(duì)平面純剪應(yīng)力狀態(tài)：因此： 即在小變形條件下，切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變，在空間應(yīng)力狀態(tài)下，材料的體積應(yīng)變只與三個(gè)線應(yīng)變有關(guān)，并有：20例7-5 已知一受力構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)處的兩主應(yīng)變值為1=24010-6，3=16010-6。材料的彈性模量E =2

7、10GPa，泊松比 =0.3。求該點(diǎn)處的主應(yīng)力值數(shù)，并求另一應(yīng)變2的數(shù)值和方向。解：因主應(yīng)力和主應(yīng)變相對(duì)應(yīng)，則由題意可得：即為平面應(yīng)力狀態(tài)，有21聯(lián)立兩式可解得：主應(yīng)變2為：其方向必與1和3垂直，沿構(gòu)件表面的法線方向。22例7-6 討論圖示各應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變。因?yàn)椋核裕?010050(a)408050(b)因?yàn)椋核裕嚎梢姡?3ss=ts=t可見，圖c和d所示應(yīng)力狀態(tài)下無(wú)體積應(yīng)變。 4010060(c)t(d)因?yàn)椋核裕阂驗(yàn)椋核裕?4例7-7 邊長(zhǎng)a =0.1m的銅立方塊，無(wú)間隙地放入體積較大、變形可忽略的鋼凹槽中，如圖a所示。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比 =0.34。當(dāng)

8、受到F=300kN的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí)，試求銅塊的主應(yīng)力、體應(yīng)變以及最大切應(yīng)力。解：銅塊應(yīng)力狀態(tài)如圖b所示，橫截面上的壓應(yīng)力為：sysxsz(b)yxz(a)Faaa25聯(lián)解可得： 受鋼槽的限制，銅塊在另兩個(gè)方向的應(yīng)變?yōu)榱?，并產(chǎn)生壓應(yīng)力，即有：26利用空間應(yīng)力狀態(tài)下最大切應(yīng)力的計(jì)算式可得：則銅塊的主應(yīng)力為：由此可得其體應(yīng)變?yōu)椋?7例7-8 已知圖示簡(jiǎn)支梁C點(diǎn)45方向的線應(yīng)變，材料的彈性模量為E，橫向變形系數(shù)為求載荷F。l/32l/3FC45bh28 而：所以：解：C點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)。tC453=t1=t主應(yīng)力方向如圖中紅線所示，一主應(yīng)力方向的應(yīng)變已知，并且29例7-9 圖示圓截面桿，

9、已知d=100mm, E=200Gpa, =0.3, . 求F、M。 解： 307-5 空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度 在線彈性范圍和小變形條件下，應(yīng)變能與加載順序無(wú)關(guān)，只取決于外力(變形)的最終值。單位體積的應(yīng)變能，稱為應(yīng)變能密度，即：1、單向應(yīng)力狀態(tài)dzdydxss312、三向應(yīng)力狀態(tài) 比例加載：圖示主單元體中，各面上的應(yīng)力按同一比例增加直至最終值。dzdydxs2s1s3 此時(shí)，對(duì)每一主應(yīng)力，其對(duì)應(yīng)的應(yīng)變能僅與對(duì)應(yīng)的主應(yīng)變有關(guān)，而與其它主應(yīng)力在該主應(yīng)變上不作功，同時(shí)考慮三個(gè)主應(yīng)力，有：32由前述廣義虎克定律有：則應(yīng)變能密度為：而主單元體體積為：333、形狀改變比能一般情況，單元體有體積改變，也有形狀改變。1=+主單元體分解為圖示兩種單元體的疊加，有s2s3s(a)smsmsm(b)s2-sm=s2s1-sm=s1s3-sm=s3(c)平均應(yīng)力：34則體積不變，僅發(fā)生形狀改變。 在m作用下，圖b無(wú)形狀改變，且其體積應(yīng)變同圖a，而對(duì)圖c，因?yàn)椋?與此對(duì)應(yīng)，圖a的體積改變能密度等于圖b的應(yīng)變能密度，而圖a的形狀改變能密度等于圖c所示單元體的應(yīng)變能密度，即：而：35而：所以：另外，由圖c可得：36所以：由兩者相加并與圖a的