1、7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義目標導(dǎo)航核心知識目標核心素養(yǎng)目標1.理解復(fù)數(shù)的幾何意義,會用復(fù)平面內(nèi)的點和向量來表示復(fù)數(shù).2.了解復(fù)數(shù)模的概念及幾何意義,會求復(fù)數(shù)的模.3.了解共軛復(fù)數(shù)的概念及意義.通過復(fù)數(shù)代數(shù)形式及其幾何意義的理解、復(fù)數(shù)模的運用,共軛復(fù)數(shù)的概念的理解,發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).新知探究素養(yǎng)啟迪課堂探究素養(yǎng)培育新知探究素養(yǎng)啟迪1.復(fù)平面(1)定義:建立了 來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面.(2)實軸:在復(fù)平面內(nèi), 叫做實軸,單位是 ,實軸上的點都表示 .(3)虛軸:在復(fù)平面內(nèi), 叫做虛軸,單位是 ,除 外,虛軸上的點都表示 .(4)原點:原點(0,0)表示 .2.

2、復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi一一對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點 .直角坐標系x軸1實數(shù)y軸i原點純虛數(shù)實數(shù)0Z(a,b)(2)復(fù)數(shù)z=a+bi一一對應(yīng)平面向量 .3.復(fù)數(shù)的模相等4.共軛復(fù)數(shù)(1)定義:一般地,當兩個復(fù)數(shù)的實部 ,虛部 時,這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).互為相反數(shù)(3)性質(zhì):兩個共軛復(fù)數(shù)的對應(yīng)點關(guān)于 對稱.實軸它本身小試身手B(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限D(zhuǎn)解析:由題意知點A的坐標為(6,5),點B的坐標為(-2,3).由中點坐標公式,得線段AB的中點C的坐標為(2,4),故點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2+4i.故選C.3.在復(fù)平

3、面內(nèi),復(fù)數(shù)6+5i,-2+3i對應(yīng)的點分別為A,B.若C為線段AB的中點,則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是( )(A)4+8i (B)8+2i(C)2+4i (D)4+iC答案:9課堂探究素養(yǎng)培育探究點一復(fù)平面內(nèi)的點同復(fù)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi);(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方.解:點Z在x軸上,所以a2-2a-15=0且a+30,所以a=5.故a=5時,點Z在x軸上.變式訓(xùn)練1-1:本例中題設(shè)條件不變,求復(fù)數(shù)z表示的點Z在x軸上時,實數(shù)a的值.變式訓(xùn)練1-2:本例中題設(shè)條件不變,求復(fù)數(shù)z表示的點Z在y軸上時,實數(shù)a的值.變式訓(xùn)練1-3:本例中題設(shè)條件不變,如果點Z在直線x+y+7=0上,求實數(shù)a的

4、值.方法總結(jié)利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系解題的步驟(1)首先確定復(fù)數(shù)的實部與虛部,從而確定復(fù)數(shù)對應(yīng)點的橫、縱坐標.(2)根據(jù)已知條件,建立實部與虛部滿足的關(guān)系,通過解方程(組)或不等式(組)求解.即時訓(xùn)練1-1:已知復(fù)數(shù)z=(a2-1)+(2a-1)i,其中aR.當復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z滿足下列條件時,求a的值(或取值范圍).(1)在實軸上;即時訓(xùn)練1-1:已知復(fù)數(shù)z=(a2-1)+(2a-1)i,其中aR.當復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z滿足下列條件時,求a的值(或取值范圍).(2)在第三象限內(nèi).備用例1 (1)實部為-2,虛部為1的復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于復(fù)平面的()(A)第一象限(

5、B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:(1)實部為-2,虛部為1的復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的復(fù)平面內(nèi)的點為(-2,-1),位于第三象限.故選C.答案:(1)C(2)i為虛數(shù)單位,設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱,若z1=2-3i,則z2=.解析:(2)可知z1=2-3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點為(2,-3),再由z1,z2對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱易知z2對應(yīng)點的坐標為(-2,3),所以z2=-2+3i.答案:(2)-2+3i復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系探究點二 方法技巧(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系,可知當平面向量的起點為原點時,向量的終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù).反之復(fù)數(shù)對應(yīng)的點確

6、定后,從原點引出的指向該點的有向線段,即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量.(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的題目時,一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)的關(guān)系為工具,實現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化.(A)1+i,1+i(B)2+i,2+i(C)1+i,2+i(D)2+i,1+i備用例2 在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)i,1,4+2i對應(yīng)的點分別是A,B,C.求平行四邊形ABCD的頂點D所對應(yīng)的復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)的模及其幾何意義探究點三 (1)求|z1|與|z2|的值,并比較它們的大小;(2)設(shè)復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z滿足|z2|z|z1|,復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的集合是什么?解:(2)|z2|z|z1|,由(1)知1|z|2.因為不等式|z

7、|1的解集是圓|z|=1上和該圓外部所有點的集合,不等式|z|2的解集是圓|z|=2上和該圓內(nèi)部所有點組成的集合,所以滿足條件1|z|2的點Z的集合是以原點O為圓心,以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)(包括邊界),如圖所示.方法總結(jié)(1)兩個復(fù)數(shù)不全為實數(shù)時不能比較大小,而任意兩個復(fù)數(shù)的模均可比較大小.(2)復(fù)數(shù)模的意義是表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點到原點的距離,這可以類比實數(shù)的絕對值,也可以類比以原點為起點的向量的模來加深理解.(3)|z1-z2|表示z1,z2所表示的兩點間的距離,|z|=r表示以原點為圓心,以r為半徑的圓.即時訓(xùn)練3-1:已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2-2|z|-8=0,則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的軌跡為(

8、)(A)一個圓(B)線段(C)兩點 (D)兩個圓解析:因為|z|2-2|z|-8=0,所以(|z|-4)(|z|+2)=0,所以|z|=4,表示一個圓.故選A.即時訓(xùn)練3-2:已知3-4i=x+yi(x,yR),則|1-5i|,|x-yi|,|y+2i|的大小關(guān)系為 .答案:|y+2i|x-yi|1-5i|備用例3 已知復(fù)數(shù)z=3+ai(aR),且|z|4,求實數(shù)a的取值范圍.課堂達標A1.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標為(1,-1),則z等于( )(A)1-i (B)1+i(C)-1-i (D)-1+i解析:復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標為(1,-1),所以z的實部為1,虛部為-1,所以z=1-i.故選A.B2.若復(fù)數(shù)a+1+(1-a)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限,則實數(shù)a的取值范圍是( )(A)(-,1)