1、工程數(shù)學(xué)第3講本文件可從網(wǎng)址http:/上下載(單擊ppt講義后選擇工程數(shù)學(xué)子目錄)13 初等函數(shù)21, 指數(shù)函數(shù) 希望能夠在復(fù)平面內(nèi)定義一個(gè)函數(shù)f(z)具有實(shí)函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)ex的三個(gè)性質(zhì):i) f(z)在復(fù)平面內(nèi)解析;ii) f (z)=f(z)iii) 當(dāng)Im(z)=0時(shí), f(z)=ex, 其中x=Re(z)前面的例1中已經(jīng)知道, 函數(shù)f(z)=ex(cos y+i sin y)是一個(gè)在復(fù)平面處處解析的函數(shù), 且有f (z)=f(z), 當(dāng)y=0時(shí), f(z)=ex. f(z)稱(chēng)為指數(shù)函數(shù).記作 exp z=ex(cos y+isin y).(2.3.1)等價(jià)于關(guān)系式: |exp z|

2、=ex,Arg(exp z)=y+2kp(2.3.2)3由(2.3.2)中的第一式可知exp z0.跟ex一樣, exp z也服從加法定理:exp z1exp z2 = exp(z1+z2)(2.3.3)事實(shí)上, 設(shè)z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, 按定義有4鑒于exp z滿(mǎn)足條件iii), 且加法定理也成立, 為了方便, 往往用ez代替exp z. 但是必須注意, 這里的ez沒(méi)有冪的意義, 僅僅作為代替exp z的符號(hào)使用, 因此我們就有ez=ex(cos y+isin y)(2.3.4)特別, 當(dāng)x=0時(shí), 有eiy=cos y+isin y(2.3.5)由加法定理, 我們可以推

3、出exp z的周期性, 它的周期性是2kpi, 即ez+2kpi=eze2kpi=ez其中k為任何整數(shù).52.對(duì)數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)定義為指數(shù)函數(shù)的反函數(shù). 將滿(mǎn)足方程ew=z(z0)的函數(shù)w=f(z)稱(chēng)為對(duì)數(shù)函數(shù). 令w=u+iv, z=reiq, 則eu+iv=reiq,所以u(píng)=ln r, v=q.因此w=ln|z|+iArg z由于Arg z為多值函數(shù), 所以對(duì)數(shù)函數(shù)w=f(z)為多值函數(shù), 并且每?jī)蓚€(gè)值相差2pi的整數(shù)倍,記作Ln z=ln|z|+iArg z(2.3.6)6Ln z=ln|z|+iArg z(2.3.6)如果規(guī)定上式中的Arg z取主值arg z, 則Ln z為一單值函數(shù)

4、, 記作ln z, 稱(chēng)為L(zhǎng)n z的主值, 因此ln z = ln|z|+iarg z(2.3.7)而其余各值可由Ln z=ln z+2kpi(k=1,2,.)(2.3.8)表達(dá). 對(duì)于每一個(gè)固定的k, (2.3.8)式為一單值函數(shù), 稱(chēng)為L(zhǎng)n z的一個(gè)分支.特別, 當(dāng)z=x0時(shí), Ln z的主值ln z=ln x, 就是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù).7例1 求Ln 2, Ln(-1)以及它們相應(yīng)的主值.解 因?yàn)長(zhǎng)n 2=ln 2+2kpi, 所以它的主值就是ln2. 而Ln(-1)=ln 1+iArg(-1)=(2k+1)pi(k為整數(shù)), 所以它的主值是ln(-1)=pi.在實(shí)變函數(shù)中, 負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù), 此

5、例說(shuō)明在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不再成立. 而且正實(shí)數(shù)的對(duì)數(shù)也是無(wú)窮多值的. 因此, 復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣. 利用幅角的性質(zhì)不難證明:8對(duì)數(shù)函數(shù)的解析性. 就主值ln z而言, 其中l(wèi)n|z|除原點(diǎn)外在其它點(diǎn)都是連續(xù)的, 而arg z在原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸上都不連續(xù). 因?yàn)槿粼O(shè)z=x+iy, 則當(dāng)z0時(shí),所以, 除去原點(diǎn)與負(fù)實(shí)軸, 在復(fù)平面內(nèi)其它點(diǎn)ln z處處連續(xù). 綜上所述, z=ew在區(qū)域-pv=arg z0)時(shí), 由于ab具有q個(gè)值, 即當(dāng)k=0,1,.,(q-1)時(shí)相應(yīng)的各個(gè)值.除此而外, 一般而論ab具有無(wú)窮多個(gè)值.12131415zn在復(fù)平面內(nèi)是單值解析函數(shù), (zn)=nzn-1.16

6、174. 三角函數(shù)和雙曲函數(shù) 根據(jù)(2.3.5)我們有eiy=cos y+isin ye-iy=cos y-isin y將這兩式相加與相減, 分別得到現(xiàn)將其推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情形, 定義當(dāng)z為實(shí)數(shù)時(shí), 顯然這與(2.3.12)完全一致.18由于ez是以2pi為周期的周期函數(shù), 因此cos z和sin z以2p為周期, 即cos(z+2p)=cos z,sin(z+2p)=sin z.也容易推出cos z是偶函數(shù):cos(-z)=cos z而sin z是奇函數(shù):sin(-z)=-sin z由指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可以求得(cos z)=-sin z, (sin z)=cos z由(2.3.13),

7、 易知eiz=cos z+isin z(2.3.14)普遍正確, 即對(duì)于復(fù)數(shù), 歐拉公式仍然成立.19由定義可知三角函數(shù)許多公式仍然成立由此得 cos(x+iy)=cosxcosiy-sinxsiniy, sin(x+iy)=sinxcosiy+cosxsiniy.但當(dāng)z為純虛數(shù)iy時(shí), 我們有20所以這兩個(gè)公式對(duì)于計(jì)算cos z與sin z的值有用.當(dāng)y時(shí), |siniy|和|cosiy|都趨于無(wú)窮大, 因此, |sinz|1和|cosz|1在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不再成立. 其它復(fù)變數(shù)三角函數(shù)的定義如下:21與三角函數(shù)密切相關(guān)的是雙曲函數(shù), 定義分別稱(chēng)為雙曲余弦,正弦和正切函數(shù).chz和shz都是以2

8、pi為周期的函數(shù), chz為偶函數(shù), shz為奇函數(shù), 它們都是復(fù)平面內(nèi)的解析函數(shù), 導(dǎo)數(shù)分別為:(chz)=shz,(shz)=chz(2.3.18)不難證明 chiy=cosy, shiy=isiny(2.3.19)225. 反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù) 反三角函數(shù)定義為三角函數(shù)的反函數(shù), 設(shè)z=cos w,則稱(chēng)w為z的反余弦函數(shù), 記作w=Arccos z.23用同樣的方法可以定義反正弦和反正切函數(shù), 并且重復(fù)上述步驟, 可以得到它們的表達(dá)式:24反雙曲函數(shù)定義為雙曲函數(shù)的反函數(shù). 用與推導(dǎo)反三角函數(shù)表達(dá)式完全類(lèi)似的步驟, 可以得到各反雙曲函數(shù)的表達(dá)式:它們都是多值函數(shù).25第三章 復(fù)變函數(shù)的

9、積分1 復(fù)變函數(shù)積分的概念261. 積分的定義 設(shè)C為平面上給定的一條光滑(或按段光滑)曲線(xiàn). 如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正方向(或正向), 則將C理解為帶有方向的曲線(xiàn), 稱(chēng)為有向曲線(xiàn). 設(shè)曲線(xiàn)C的兩個(gè)端點(diǎn)為A與B, 如果將A到B的方向作為C的正方向, 則從B到A的方向就是C的負(fù)方向, 并記作C-. 常將兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)作為起點(diǎn), 另一個(gè)作為終點(diǎn), 則正方向規(guī)定為起點(diǎn)至終點(diǎn)的方向. 而簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)的正方向是指當(dāng)曲線(xiàn)上的點(diǎn)P順此方向沿該曲線(xiàn)前進(jìn)時(shí), 鄰近P點(diǎn)的曲線(xiàn)內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.27定義 設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi), C為在區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn)為B的一條光滑的有向曲線(xiàn). 把曲

10、線(xiàn)C任意分成n個(gè)弧段, 設(shè)分點(diǎn)為A=z0,z1,.,zk-1,zk,.,zn=BAz1z1z2z2z3z3.zk-1zkzkDzkBxyO28在每個(gè)弧段zk-1,zk(k=1,2,.,n)上任意取一點(diǎn)k, 并作和式29容易看出, 當(dāng)C是x軸上的區(qū)間axb, 而f(z)=u(x)時(shí), 這個(gè)積分定義就是一元實(shí)函數(shù)定積分的定義.302,積分存在的條件及計(jì)算法 設(shè)光滑曲線(xiàn)C由參數(shù)方程z=z(t)=x(t)+iy(t), atb(3.1.2)給出, 正方向?yàn)閰?shù)增加的方向, 參數(shù)a及b對(duì)應(yīng)于起點(diǎn)A及終點(diǎn)B, 并且z(t)0, atb.如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D內(nèi)處處連續(xù), 則u(x,

11、y)及v(x,y)均為D內(nèi)的連續(xù)函數(shù). 設(shè)zk=xk+ihk, 由于Dzk= zk-zk-1=xk+iyk-(xk-1+iyk-1)=(xk-xk-1)+i(yk-yk-1)=Dxk+iDyk,所以,3132由于u,v都是連續(xù)函數(shù), 根據(jù)線(xiàn)積分的存在定理, 我們知道當(dāng)n無(wú)限增大而弧段長(zhǎng)度的最大值趨于零時(shí), 不論對(duì)C的分法如何, 點(diǎn)(xk,hk)的取法如何, 上式右端的兩個(gè)和式的極限都是存在的. 因此有3334上式右端可以寫(xiě)成如果C是由C1,C2,.,Cn等光滑曲線(xiàn)首尾連接而成, 則我們定義35例1 計(jì)算 , 其中C為原點(diǎn)到點(diǎn)3+4i的直線(xiàn)段.解直線(xiàn)的方程可寫(xiě)作x=3t, y=4t, 0t1,或z=3t+i4t, 0t1.在C上, z=(3+4i)t, dz=(3+4i)dt. 于是36例2 計(jì)算 , 其中C為以z0為中心, r為半徑的正向圓周, n為整數(shù).z0rqz-z0=reiqzOxy37解