1、32函數(shù)的單調(diào)性與最值(教師獨(dú)具內(nèi)容)1能夠結(jié)合具體的函數(shù)及圖象(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等)深刻理解單調(diào)性的有關(guān)概念及實(shí)質(zhì)2會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義3能利用函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題，如利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性、求最值或值域4重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)(教師獨(dú)具內(nèi)容)1理解好函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義，能夠解決證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用函數(shù)的單調(diào)性求最值(值域)、利用單調(diào)性比較大小及求參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題2函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，高考一般不單獨(dú)考查，但是是每年必考的內(nèi)容，高考對(duì)單調(diào)性與最值的考

2、查常常與其他知識(shí)相結(jié)合，小題和大題均有考查，小題的考查如與對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合，考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；大題的考查如與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，考查函數(shù)的單調(diào)性(教師獨(dú)具內(nèi)容)(教師獨(dú)具內(nèi)容)1函數(shù)的單調(diào)性(1)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間DI：如果x1，x2D，當(dāng)x1x2時(shí)，都有f(x1)f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上 eq o(,sup3(01)單調(diào)遞增特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞增時(shí)，我們就稱(chēng)它是增函數(shù)如果x1，x2D，當(dāng)x1f(x2)，那么就稱(chēng)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上 eq o(,sup3(02)單調(diào)遞減特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱(chēng)它是減函數(shù)注

3、：增(減)函數(shù)定義中的x1，x2的三個(gè)特征：一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同屬于一個(gè)單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可(2)單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間D上 eq o(,sup3(03)單調(diào)遞增或 eq o(,sup3(04)單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)yf(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做yf(x)的 eq o(,sup3(05)單調(diào)區(qū)間注：有關(guān)單調(diào)區(qū)間的兩個(gè)防范單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用不等式表示有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫(xiě)，不能用符號(hào)“”連接，也不能用“或”連接，只能用“逗號(hào)”或“和”連接2函數(shù)的最值(1)一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮.如果存在實(shí)數(shù)M滿足：xI，

4、都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)yf(x)的 eq o(,sup3(01)最大值(2)一般地，設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮.如果存在實(shí)數(shù)M滿足：xI，都有f(x)M；x0I，使得f(x0)M.那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)yf(x)的 eq o(,sup3(02)最小值注：函數(shù)最值存在的兩條結(jié)論(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)最值一定在端點(diǎn)取到(2)開(kāi)區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大(小)值3常用結(jié)論(1)若函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，則在區(qū)間I上具有以下性質(zhì)：當(dāng)f(x)，g(x)都是增(減)函數(shù)時(shí)，f(x)g(x)是增(

5、減)函數(shù)；若k0，則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同；若k0)在公共定義域內(nèi)與yf(x)，y eq f(1,f（x）)的單調(diào)性相反；復(fù)合函數(shù)yf(g(x)的單調(diào)性與yf(u)和ug(x)的單調(diào)性有關(guān)，簡(jiǎn)記：“同增異減”(2)增函數(shù)與減函數(shù)形式的等價(jià)變形：x1，x2a，b且x1x2，則(x1x2)f(x1)f(x2)0 eq f(f（x1）f（x2）,x1x2)0f(x)在a，b上是增函數(shù)；(x1x2)f(x1)f(x2)0 eq f(f（x1）f（x2）,x1x2)0和u0時(shí)單調(diào)遞減，于是得函數(shù)y eq f(1,x2x2)在區(qū)間 eq blc(rc(avs4alco1(，f(1,2)上單調(diào)遞增，

6、所以函數(shù)y eq f(1,x2x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為 eq blc(rc(avs4alco1(，f(1,2).5如果二次函數(shù)f(x)3x22(a1)xb在區(qū)間(，1)上是減函數(shù)，那么a的取值范圍是_答案(，2解析二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x eq f(a1,3)，由題意知 eq f(a1,3)1，即a2.1(2021全國(guó)甲卷)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()Af(x)x Bf(x) eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3) eq sup15(x)Cf(x)x2 Df(x) eq r(3,x)答案D解析解法一(排除法)：取x11，x20，對(duì)于A，有f(x1)1，f(x2)0，所以A不符合

7、題意；對(duì)于B，有f(x1) eq f(3,2)，f(x2)1，所以B不符合題意；對(duì)于C，有f(x1)1，f(x2)0，所以C不符合題意故選D.解法二(圖象法)：如圖，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出A，B，C，D四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的大致圖象，由圖可快速直觀地判斷D項(xiàng)符合題意故選D.2(2020全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)ln |2x1|ln |2x1|，則f(x)()A是偶函數(shù)，且在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)單調(diào)遞增B是奇函數(shù)，且在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)單調(diào)遞減C是偶函數(shù)，且在 eq blc(rc)(avs4alco1(，f

8、(1,2)單調(diào)遞增D是奇函數(shù)，且在 eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2)單調(diào)遞減答案D解析f(x)ln |2x1|ln |2x1|的定義域?yàn)?eq blcrc(avs4alco1(xblc|(avs4alco1(xf(1,2)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又f(x)ln |12x|ln |2x1|ln |2x1|ln |2x1|f(x)，f(x)為定義域上的奇函數(shù)，可排除A，C；當(dāng)x eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)時(shí)，f(x)ln (2x1)ln (12x)，yln (2x1)在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2

9、)上單調(diào)遞增，yln (12x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)上單調(diào)遞減，f(x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,2)上單調(diào)遞增，排除B；當(dāng)x eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2)時(shí)，f(x)ln (2x1)ln (12x)ln eq f(2x1,2x1)ln eq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,2x1)，1 eq f(2,2x1)在 eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2)上單調(diào)遞減，f()ln 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知f(x)在 eq blc(

10、rc)(avs4alco1(，f(1,2)上單調(diào)遞減，D正確故選D.3(2020全國(guó)卷)若2x2y3x3y，則()Aln (yx1)0 Bln (yx1)0Cln |xy|0 Dln |xy|0答案A解析由2x2y3x3y，得2x3x2y3y.令f(t)2t3t，y2t為R上的增函數(shù)，y3t為R上的減函數(shù)，f(t)為R上的增函數(shù)xy，yx0，yx11，ln (yx1)0，故A正確，B錯(cuò)誤|xy|與1的大小關(guān)系不確定，故C，D無(wú)法確定故選A.一、基礎(chǔ)知識(shí)鞏固考點(diǎn)證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性例1(2022貴州省甕安第二中學(xué)高三月考)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又是R上的增函數(shù)的是()Ayx cos x By

11、6x6xCyx23 Dyx|x|1答案B解析對(duì)于A，因?yàn)閒(x)(x)cos (x)x cos xf(x)，所以yx cos x是奇函數(shù)，但不單調(diào)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)閒(x)6x6x(6x6x)f(x)，所以y6x6x是奇函數(shù)，因?yàn)閥6x是增函數(shù)，y6x是減函數(shù)，所以y6x6x是增函數(shù)，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)閒(x)(x)23x23f(x)，所以yx23是偶函數(shù)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)閒(x)x|x|1x|x|1f(x)，f(x)f(x)，所以yx|x|1是非奇非偶函數(shù)，所以D錯(cuò)誤故選B.例2(2022山西運(yùn)城高三月考)已知函數(shù)f(x) eq f(axb,x21)(a，bR)，且f(

12、1) eq f(1,2)，f(2) eq f(2,5).(1)求a，b；(2)判斷f(x)在1，)上的單調(diào)性并用定義證明解(1)因?yàn)閒(1) eq f(1,2)，f(2) eq f(2,5)，所以 eq blc(avs4alco1(f(ab,2)f(1,2)，,f(2ab,5)f(2,5)，)解得 eq blc(avs4alco1(a1，,b0.)(2)由(1)知，f(x) eq f(x,x21)，f(x)在1，)上單調(diào)遞減證明如下：在1，)上任取x1，x2，且x1x2，則f(x1)f(x2) eq f(x1,x eq oal(sup3(2),sdo1(1)1) eq f(x2,x eq oa

13、l(sup3(2),sdo1(2)1) eq f(x1（x eq oal(sup3(2),sdo1(2)1）x2（x eq oal(sup3(2),sdo1(1)1）,（x eq oal(sup3(2),sdo1(1)1）（x eq oal(sup3(2),sdo1(2)1）) eq f(（x2x1）（x1x21）,（x eq oal(sup3(2),sdo1(1)1）（x eq oal(sup3(2),sdo1(2)1）)，因?yàn)?x10，x1x210，(x eq oal(sup3(2),sdo1(1)1)(x eq oal(sup3(2),sdo1(2)1)0，可得f(x1)f(x2)0，所

14、以f(x1)f(x2)，所以f(x)在1，)上單調(diào)遞減1.(多選)下列函數(shù)中，滿足“對(duì)任意的x1，x2(0，)，x1x2，使得 eq f(f（x1）f（x2）,x1x2)0”成立的是()Af(x)x22x1Bf(x)x eq f(1,x)Cf(x)x1Df(x)log eq sdo16(f(1,2)(2x)1答案AD解析對(duì)任意的x1，x2(0，)，x1x2，使得 eq f(f（x1）f（x2）,x1x2)0，則函數(shù)f(x)在(0，)上為減函數(shù)對(duì)于A，f(x)x22x1為二次函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸為直線x1，在(0，)上單調(diào)遞減，符合題意；對(duì)于B，f(x)x eq f(1,x)，其導(dǎo)數(shù)f(x)1 eq

15、f(1,x2)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于C，f(x)x1在(0，)上單調(diào)遞增，不符合題意；對(duì)于D，f(x)log eq sdo16(f(1,2)(2x)1在(0，)上單調(diào)遞減，符合題意2(2022湖南衡陽(yáng)階段測(cè)試)已知函數(shù)f(x)2x eq f(1,2x)，x0，判斷f(x)在其定義域上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論解f(x)在其定義域上單調(diào)遞增證明如下：當(dāng)x0時(shí)，設(shè)0 x10得x1，則f(x)的定義域?yàn)?eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2)(1，)，函數(shù)u2x23x1在 eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2)上單調(diào)遞減

16、，在(1，)上單調(diào)遞增，又yln u在u(0，)上單調(diào)遞增，于是得f(x)在 eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為 eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2).故選B.例4函數(shù)f(x)x22x4的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)；單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)答案(，1)(1，)解析f(x)x22x4圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x1，開(kāi)口向上，所以f(x)x22x4在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增3.(2022河北保定月考)函數(shù)y|x22x1|的單調(diào)遞增區(qū)間是_，單調(diào)遞減區(qū)間是_答案(1 eq r(2)，1)，(1 eq r

17、(2)，)(，1 eq r(2)，(1，1 eq r(2)解析作出函數(shù)y|x22x1|的圖象，如圖所示，觀察圖象得，函數(shù)y|x22x1|在(1 eq r(2)，1)和(1 eq r(2)，)上單調(diào)遞增，在(，1 eq r(2)和(1，1 eq r(2)上單調(diào)遞減，所以原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1 eq r(2)，1)，(1 eq r(2)，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，1 eq r(2)，(1，1 eq r(2).4函數(shù)g(x)x2x的單調(diào)遞增區(qū)間是_；函數(shù)y2x2x的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，) eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)

18、，)解析g(x)x2x的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為直線x eq f(1,2)，故 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)是其遞增區(qū)間；記ux2x，則x eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,2)時(shí)，ux2x單調(diào)遞減，x eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，)時(shí)，ux2x單調(diào)遞增，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，y2u單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則，y2x2x的單調(diào)遞增區(qū)間是 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，).(1)“指數(shù)型”的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則來(lái)判斷單調(diào)區(qū)間(2)結(jié)合函數(shù)圖象也可寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間考

19、點(diǎn)利用單調(diào)性求函數(shù)的最值或值域例5(2022山西太原五中高三月考)若函數(shù)f(2x)xx2，則f(x)在0，1上的最大值與最小值之和為()A.2 B eq f(7,4) C0 D eq f(1,4)答案A解析令2xt，則x2t，所以f(t)(2t)(2t)2t23t2，所以f(x)x23x2，圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線x eq f(3,2（1）) eq f(3,2)，所以f(x)在0，1上單調(diào)遞增，f(x)maxf(1)0，f(x)minf(0)2，所以f(x)在0，1上的最大值與最小值之和為2.故選A.例6(2021上海交大附中高三期末)若函數(shù)yf(x)的值域是 eq blcrc(avs4al

20、co1(f(1,2)，3)，則函數(shù)F(x)f(2x1) eq f(1,f（2x1）)的值域是_答案 eq blcrc(avs4alco1(2，f(10,3)解析由函數(shù)yf(x)的值域是 eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，3)，得函數(shù)tf(2x1)的值域?yàn)?eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，3)，函數(shù)F(x)變?yōu)閥t eq f(1,t)，t eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，3)，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知yt eq f(1,t)在 eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，1)上遞減，在1，3上遞增，t1時(shí)，ymin2，而t eq f(1

21、,2)時(shí)，y eq f(5,2)，t3時(shí)，y eq f(10,3)，即ymax eq f(10,3)，所以原函數(shù)的值域是 eq blcrc(avs4alco1(2，f(10,3).5.(2022湖南長(zhǎng)沙一中月考)函數(shù)f(x) eq r(2x) eq r(x26x10)的值域?yàn)開(kāi)答案 eq blcrc)(avs4alco1(r(2)，)解析由已知得 eq blc(avs4alco1(2x0，,x26x100，)解得x2，所以f(x)的定義域?yàn)閤|x2，且x2時(shí)，y eq r(2x)與y eq r(x26x10)都是減函數(shù)，所以f(x)在(，2上是減函數(shù)，f(x)f(2) eq r(2)，所以f(

22、x)的值域?yàn)?eq r(2)，).6(2021重慶市第七中學(xué)高三期中)已知二次函數(shù)f(x)mx24xn的值域?yàn)?，)，且f(1)4，則K eq f(m2n2,mn)的最大值為_(kāi)答案7解析由題意可知m0，n0，164mn0，得mn4，f(1)mn44，即mn8，又mn2 eq r(mn)4，當(dāng)且僅當(dāng)mn2時(shí)取等號(hào)，所以4mn8，K eq f(m2n2,mn) eq f(（mn）22mn,mn)mn eq f(8,mn)，設(shè)mnt，則4t8，yt eq f(8,t)，函數(shù)yt eq f(8,t)在4，8上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t8時(shí)，函數(shù)yt eq f(8,t)取得最大值，ymax8 eq f(8,8)

23、7.求函數(shù)值域(最值)的方法(1)分離常數(shù)法形如y eq f(cxd,axb)(ac0)的函數(shù)的值域經(jīng)常使用“分離常數(shù)法”求解(2)配方法配方法是求“二次函數(shù)型函數(shù)”值域的基本方法，形如F(x)af(x)2bf(x)c(a0)的函數(shù)的值域問(wèn)題，均可使用配方法(3)換元法代數(shù)換元形如yaxb eq r(cxd)(a，b，c，d為常數(shù)，ac0)的函數(shù)，可設(shè) eq r(cxd)t(t0)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域三角換元：如yx eq r(1x2)，可令xcos ，0，.利用換元法求值域，一定要注意新元的范圍對(duì)值域的影響(4)判別式法把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的一元二次方程，通過(guò)方程有實(shí)根，知判別式0，從而求得

24、原函數(shù)的值域，形如y eq f(a1x2b1xc1,a2x2b2xc2)(a1，a2不同時(shí)為零)的函數(shù)的值域常用此法求解用判別式法求值域的注意事項(xiàng)：函數(shù)的定義域應(yīng)為R；分式的分子、分母沒(méi)有公因式(5)有界性法形如sin f(y)，x2g(y)，axh(y)等，由|sin |1，x20，ax0可解出y的范圍，從而求出其值域(6)數(shù)形結(jié)合法若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯，如距離、斜率等，可用數(shù)形結(jié)合的方法(7)基本不等式法利用基本不等式：ab2 eq r(ab)(a0，b0).用此法求函數(shù)值域時(shí)，要注意條件“一正，二定，三相等”(8)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值(9)圖象法：先作

25、出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值(10)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值考點(diǎn)利用單調(diào)性比較大小例7(2022北京海淀中關(guān)村中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，且在(1，)上單調(diào)遞增，設(shè)af eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，bf(2)，cf(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為()Acba BbacCbca Dabc答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，則af eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，因?yàn)楹瘮?shù)yf(x)

26、在(1，)上單調(diào)遞增，且12 eq f(5,2)3，所以f(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f(3)，即bac.故選B.例8(2021西藏拉薩中學(xué)高三月考)已知函數(shù)f(x)x22x，若alog827，blog211，clog0.258，則()Af(b)f(c)f(a) Bf(b)f(a)f(c)Cf(c)f(a)f(b) Df(c)f(b)log48 eq f(3,2)，alog827log8642， eq f(3,2)alog283，clog0.258log48 eq f(3,2)，1cab，又f(x)x22x在1，)上單調(diào)遞增，f(c)f(a)f(b).故選C

27、.7.定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)且滿足：對(duì)任意的x1，x20，)(x1x2)，有 eq f(f（x2）f（x1）,x2x1)0，則f(2)，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)，f(3)的大小關(guān)系為()Af eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f(3)f(2)Bf(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f(3)Cf(3)f(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)Df(3)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f(2)答案D解析由題意，知f(x)在0，)上是減函數(shù)，又f(x

28、)是偶函數(shù)，所以f(3)f(3)，f(2)f(2)，因?yàn)? eq f(5,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f(3)，即f(2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f(3).故選D.8(2022北京交通大學(xué)附屬中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)，對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(2t)f(2t)成立，則函數(shù)值f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一個(gè)不可能是()Af(1) Bf(1) Cf(2) Df(5)答案B解析對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f(2t)f(2t)成立，函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)的對(duì)稱(chēng)軸為直線x2，當(dāng)a0時(shí)，自變量取值離

29、對(duì)稱(chēng)軸距離越近函數(shù)值越小，函數(shù)值f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的一個(gè)是f(2).當(dāng)a0和a0兩種情況，結(jié)合圖象單調(diào)性，比較出函數(shù)值的大小3要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用考點(diǎn)利用單調(diào)性解不等式(涉及抽象函數(shù))例9(2021東莞市東莞中學(xué)高三月考)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x0對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x10恒成立，則不等式f(x2x1)f(7)的解集為()A2，3B3，2C(，23，)D(，32，)答案A解析函數(shù)圖象關(guān)于直線x0對(duì)稱(chēng)，并且在區(qū)間(，0上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，x2x1 eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2) eq sup15(2) eq f(3,4

30、)0，所以f(x2x1)f(7)x2x17，即x2x60，解得2x3，所以不等式的解集是2，3.故選A.例10(2021上海市復(fù)旦中學(xué)高三月考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在(，0)上單調(diào)遞減，且f(3)0，則xf(x)0的解集為_(kāi)答案x|x3或x3或x0解析因?yàn)槎x在R上的奇函數(shù)f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，且f(3)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞減，且f(3)0，f(0)0，由不等式xf(x)0得 eq blc(avs4alco1(x0，,f（x）0)或 eq blc(avs4alco1(x0，,f（x）0)或x0，解得x3或x3或x0，故不等式xf(x)0的解集為

31、x|x3或x3或x09.(2021?？谥袑W(xué)高三月考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，在(，0上是減函數(shù)，若f(m1)f(3m2)0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案 eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，)解析依題意可得，f(x)是定義在R上的函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，且在(，0上是減函數(shù)，所以f(x)在(0，)上遞增因?yàn)閒(m1)f(3m2)0，所以f(m1)f(3m2)，所以|m1|0，解得m eq f(3,2).所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是 eq blc(rc)(avs4alco1(，f(1,4) eq blc

32、(rc)(avs4alco1(f(3,2)，).10(2022廣西桂林高三月考)若定義在R上的函數(shù)f(x)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f(x)在(，0)上單調(diào)遞減且f(10)0，求滿足xf(x10)0的x的取值范圍解不等式xf(x10)0可化為 eq blc(avs4alco1(x0，,f（x10）0)或 eq blc(avs4alco1(x0，,f（x10）0，)由奇函數(shù)的性質(zhì)得f(10)f(10)0f(0)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞減， eq blc(avs4alco1(x0，,0 x1010)或 eq blc(avs4alco1(x0，,10 x100，)解得10 x20或x0，滿足xf(x1

33、0)0的x的取值范圍是010，20.1根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性以及單調(diào)性解抽象不等式2解不等式時(shí)，要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，將原函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為一般不等式，求解集即可考點(diǎn)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例11(2021北京海淀人大附中高三月考)函數(shù)f(x)x22(a1)x2在(，4)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是()A5，) B3，)C(，3 D(，5答案A解析函數(shù)f(x)x22(a1)x2圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線xa1，開(kāi)口向下，f(x)x22(a1)x2在(，4)上是增函數(shù)，則a14，可得a5，所以a的取值范圍是5，).故選A.例12(2021桐鄉(xiāng)市茅盾中學(xué)高三月考)已知函數(shù)f(x) eq blc(avs4alc

34、o1(x3a，x0，,x2ax1，x0)是(，)上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A0a eq f(1,3) Ba0Ca0 D01)是(，)上的增函數(shù)，則a的取值范圍是()A4，0) B4，2C(，2 D(，0)答案B解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x) eq blc(avs4alco1(x2ax7，x1，,f(a,x)，x1)是R上的增函數(shù)，所以 eq blc(avs4alco1(f(a,2)1，,a0，,a31，)解得2x0，,h（x），xx0，)解法如下：當(dāng)函數(shù)在全體實(shí)數(shù)上單調(diào)遞增(遞減)時(shí)，需由g(x)單調(diào)遞增(遞減)列出關(guān)于參數(shù)的不等式，由h(x)單調(diào)遞增(遞減)列出關(guān)于參數(shù)的不等式，由h(x0)

35、g(x0)(h(x0)g(x0)得到關(guān)于參數(shù)的不等式，將以上關(guān)于參數(shù)的不等式聯(lián)立求解即可二、核心素養(yǎng)提升例1(2022沈陽(yáng)市第十中學(xué)高三月考)若xx|1x5，不等式x2ax20恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A eq blcrc(avs4alco1(ablc|(avs4alco1(af(23,5) B eq blcrc(avs4alco1(ablc|(avs4alco1(f(23,5)a1)Ca|a1 D eq blcrc(avs4alco1(ablc|(avs4alco1(af(23,5)答案D解析解法一：因?yàn)閤x|1x5，x2ax20恒成立，所以xx|1x5，f(x)max0.所以 eq

36、blc(avs4alco1(f（1）0，,f（5）0，)即 eq blc(avs4alco1(1a20，,255a20，)解不等式組可得a eq f(23,5).故選D.解法二：由于xx|1x5，不等式x2ax20恒成立，所以xx|1x5，a eq f(2,x)x恒成立，即a eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,x)x) eq sdo7(min).令f(x) eq f(2,x)x，顯然f(x)在x1，5上單調(diào)遞減，f(x)minf(5) eq f(2,5)5 eq f(23,5)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是 eq blcrc(avs4alco1(ablc|(avs4alco1(af(

37、23,5).故選D.例2已知函數(shù)f(x)x eq f(4,x)，g(x)2xa，若x1 eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，1)，x22，3，使得f(x1)g(x2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案 eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，)解析依題意知f(x)maxg(x)max.f(x)x eq f(4,x)在 eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，1)上單調(diào)遞減，f(x)maxf eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq f(17,2).又g(x)2xa在2，3上單調(diào)遞增，g(x)max8a，因此 eq f(17,2)8a，解得

38、a eq f(1,2).例3已知函數(shù)f(x)x22x3a，g(x) eq f(2,x1).若對(duì)任意x10，3，總存在x22，3，使得|f(x1)|g(x2)成立，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)答案 eq f(1,3)解析不等式|f(x1)|g(x2)可化為g(x2)f(x1)g(x2)，若對(duì)任意x10，3，總存在x22，3，使得|f(x1)|g(x2)成立，則 eq blc(avs4alco1(g（x2）minf（x1）min，,f（x1）maxg（x2）max，)當(dāng)x2，3時(shí)，g(x) eq f(2,x1)的最大值為g(2) eq f(2,21)2，當(dāng)x0，3時(shí)，f(x)x22x3a的最大值為f(3)32

39、233a33a，最小值為f(1)12213a13a.所以 eq blc(avs4alco1(23a1，,33a2，)解得a eq f(1,3).1含參不等式恒成立問(wèn)題的常見(jiàn)解法(1)分離參數(shù)：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為af(x)恒成立(af(x)max即可)或af(x)恒成立(af(x)min即可)，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值即可得解(2)數(shù)形結(jié)合：對(duì)于f(x)g(x)恒成立的問(wèn)題，使yf(x)圖象在yg(x)圖象上方即可；對(duì)于f(x)c或f(x)c(c為常數(shù))恒成立的不等式，討論最值f(x)minc或f(x)maxc即可2恒成立或存在性問(wèn)題，注意換元法的使用，構(gòu)造常見(jiàn)的函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、對(duì)勾函數(shù))以便

40、于求出函數(shù)的最值課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1(2021長(zhǎng)沙檢測(cè))函數(shù)f(x)log2(x22x8)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A(，2) B(，1)C(1，) D(4，)答案D解析由x22x80，得x4或x2.設(shè)tx22x8，則ylog2t為增函數(shù)要求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即求tx22x8(x4或x2)的單調(diào)遞增區(qū)間因?yàn)楹瘮?shù)tx22x8(x4或x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(4，).2(2021長(zhǎng)春質(zhì)監(jiān))下列函數(shù)中，在(0，)上單調(diào)遞減的是()Ay22x By eq f(x1,1x)Cylog eq sdo16(f(1,2) eq f(1,x) Dyx22xa答案A

41、解析A中，y22x，令t2x，因?yàn)閠2x在(0，)上單調(diào)遞減，所以t(，2)，y2t在(，2)上單調(diào)遞增，所以y22x在(0，)上單調(diào)遞減；B中，y eq f(x1,1x)1 eq f(2,x1)，令tx1，因?yàn)閠x1在(0，)上單調(diào)遞增，所以t(1，)，y1 eq f(2,t)在(1，)上單調(diào)遞增，所以y eq f(x1,1x)在(0，)上單調(diào)遞增；C中，ylog eq sdo16(f(1,2) eq f(1,x)log2x在(0，)上單調(diào)遞增；D中，yx22xa圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x1，所以函數(shù)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減故選A.3(2021武漢模擬)函數(shù)f(x)|x2|x的

42、單調(diào)遞減區(qū)間是()A1，2 B1，0C0，2 D2，)答案A解析f(x)|x2|x eq blc(avs4alco1(x22x，x2，,x22x，x2，)其圖象如圖，由圖象可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是1，2.4(2021全國(guó)卷百?gòu)?qiáng)名校“領(lǐng)軍考試”)已知定義在(，)上的增函數(shù)f(x)滿足對(duì)任意x1，x2(，)，都有f(x1x2) eq f(1,2)f(x1)f(x2)，且f(0)0，f(1)6，若2f(a1)18，則a的取值范圍是()A eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1) B(1，1)C(0，2) D(1，3)答案B解析在f(x1x2) eq f(1,2)f(x1)f(x2

43、)中，令x1x21，得f(2) eq f(1,2)f(1)f(1)18，令x1x20，得f(0)2，所以2f(a1)18，即f(0)f(a1)f(2)，因?yàn)閒(x)為定義在(，)上的增函數(shù)，所以0a12，所以1a1.故選B.5(2021重慶聯(lián)考)下列函數(shù)的圖象既關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，又在區(qū)間1，0上為增函數(shù)的是()Aysinx By|x1|Cycosx Dyexex答案C解析A中，當(dāng)x1時(shí)，ysin01，所以ysinx的圖象不關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，故A錯(cuò)誤；B中，y|x1| eq blc(avs4alco1(x1，x1，,x1，x1)在區(qū)間1，0上為減函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C中，令x1，ycos 1，則yc

44、os x的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，當(dāng)x1，0時(shí)，x，0，ycos x在，0上為增函數(shù)，故C正確；D中，令f(x)exex，則f(0)2，f(2)e2e2，則f(0)f(2)，所以yexex的圖象不關(guān)于直線x1對(duì)稱(chēng)，故D錯(cuò)誤6(2021武漢模擬)已知函數(shù)f(x) eq f(1,ex1) eq f(1,2)，若af(21.3)，bf(40.7)，cf(log38)，則a，b，c的大小關(guān)系為()Acab BacbCbac Dabc答案C解析函數(shù)f(x) eq f(1,ex1) eq f(1,2)是R上的減函數(shù)，又log38221.321.440.7，所以f(40.7)f(21.3)f(log38)，即

45、bac.7(2022福建省永春第二中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)若函數(shù)f(x)ax22x3在區(qū)間(，4)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，) B eq blcrc)(avs4alco1(f(1,4)，)C eq blcrc)(avs4alco1(f(1,4)，0) D eq blcrc(avs4alco1(f(1,4)，0)答案D解析當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x3在(，4)上單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)a0時(shí)，要使f(x)在(，4)上單調(diào)遞增，則滿足 eq blc(avs4alco1(a0，,f(1,a)4，)解得 eq f(1,4)a0，設(shè)函數(shù)f(x)

46、eq f(2021x12020,2021x1)2020 x3(xa，a)的最大值為M，最小值為N，則MN的值為()A2022 B2021 C4041 D4038答案C解析f(x) eq f(2021x12020,2021x1)2020 x3 eq f(2021（2021x1）1,2021x1)2020 x32021 eq f(1,2021x1)2020 x3，因?yàn)閥 eq f(1,2021x1)2020 x3為增函數(shù)，所以f(x)在a，a上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)的最大值為f(a)，最小值為f(a)，所以MNf(a)f(a)2021 eq f(1,2021a1)2020a32021 eq f(

47、1,2021a1)2020(a)3404214041.二、多項(xiàng)選擇題9(2021江蘇模擬)設(shè)maxa，b eq blc(avs4alco1(a（ab），,b（ab），)則函數(shù)f(x)maxx2x，1x2的單調(diào)遞增區(qū)間為()A1，0 B(，1C eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，0) D1，)答案CD解析由x2x1x2得2x2x10，解得x1或x eq f(1,2)，當(dāng)x1或x eq f(1,2)時(shí)，f(x)maxx2x，1x2x2x，此時(shí)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為1，)；由x2x1x2得2x2x10，解得 eq f(1,2)x1，當(dāng) eq f(1,2)x2的解集為(1，0)答案BC

48、D解析由于f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x) eq f(2x1,x1) eq f(2f(1,x),1f(1,x)，故f(x) eq f(2x,x1)1 eq f(1,x1)(x0，且x1)，所以f(x)的定義域?yàn)閤|x1，且x0，作出其圖象(圖略)，由圖象知，由于x0，故f(x)的值域?yàn)閥|y1，且y2；f(x)在(0，)上單調(diào)遞減；f(x)1 eq f(1,x1)2，即 eq f(1x1,x1)0，等價(jià)于x(x1)0，解得1x0.故選BCD.三、填空題11(2021聊城檢測(cè))函數(shù)f(x)9x2 eq r(x1)的最小值為_(kāi)答案9解析因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)?，)，且y9x2與y eq r(x1)在1，)上均為增函數(shù)，所以f(x)在1，)上單調(diào)遞增，故f(x)minf(1)9.12(2021山東曲阜月考)函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增，且f(x2)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱(chēng)若f(2)1，則f(x2)1的x的取值范圍是_答案0，4解析因?yàn)閒(x2)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以f(x)是偶函數(shù)又函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)