1、 6平面方程及其應(yīng)用秒殺知識點知識點1：（空間平面方程）設(shè)平面經(jīng)過空間一點，且法向量，記平面內(nèi)任一點為，則由得，所以，即，其形式為（不全為0）于是得到：定理1空間中，以為法向量的平面方程為（不全為0）（*）從方程形式可以很快確定該平面的法向量，給我們解決問題帶來了很大的方便一般地，若知道空間中不共線的三點，將它們的坐標(biāo)代入（*）式，通過解方程組，就能確定平面的方程，從而確定其法向量知識點2：（點到平面距離公式）定理2設(shè)空間中點的坐標(biāo)為，平面的方程為，則點到平面的距離證明：設(shè)平面內(nèi)任一點，則，又平面的法向量，且，所以點到平面的距離上述定理可看作平面內(nèi)點到直線距離公式在空間的推廣，該公式形式簡捷，

2、具備對稱和諧之美，學(xué)生也便于記憶，有很強的操作性平面方程問題在原人教B版選修2-1P106（探索與研究）專欄中有過介紹，但對它的應(yīng)用教材并未涉及本節(jié)主要介紹平面方程的一些基本應(yīng)用就運算來說雖然不能簡化，但就解題思路是一種通性通法，就解題路徑講是一種“秒殺”方式秒殺思路分析利用平面方程可以解決高考中的立體幾何的平行、垂直、二面角、直線與平面成角以及點到平面距離問題解題思路一般依條件建立空間坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)進而求出相應(yīng)平面方程，利用平面方程寫出法向量或討論相關(guān)問題【示例1】如圖，在正三棱柱中，是的沿長線上一點，過三點的平面交于，交于（1）當(dāng)平面平面時，求的值；（2）求證：平面【秒殺方法】（1）

3、如圖，取的中點，的中點，以為原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系則在平面中，設(shè)平面的方程為，則：，于是平面的方程為得平面的一個法向量在平面中，設(shè)平面的方程為，則：于是平面的方程為，得平面的一個法向量為，當(dāng)平面平面時，即（2）由（1）知平面的一個法向量為，又，且，所以，即，所以平面【示例2】（2017年全國卷理19）如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，是的中點（1）證明：直線平面（2）點在棱上，且直線與底面所成角為，求二面角的余弦值【秒殺方法】（1）由已知得，以為坐標(biāo)原點，方向為軸正方向，以為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的方程為則于是平面的方程為，得平面的一

4、個法向量，平面（2）由與平面所成角為，可求點設(shè)平面的方程為,則，即，則平面的方程為可得平面的一個法向量為又平面的方程為，則法向量為因此二面角的余弦值為【示例3】（原人教B版選修2-1P113例2）如圖，已知四棱錐，底面，是中點，在上，且，求點到平面的距離【秒殺方法】以為坐標(biāo)原點，分別以直線，為軸，軸，軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)平面的方程為即即則平面的方程為即到平面的距離方法對比【例1】（2017年全國卷理19）如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，（1）證明：平面平面；（2）過的平面交于點，若平面把四面體分成體積相等的兩部分，求二面角的余弦值常規(guī)方法（1）證明：由題設(shè)可得，從而，又

5、是直角三角形，所以取的中點，連接，則，又因為是正三角形，故，所以為二面角的平面角，在中，又，所以，故所以平面平面（2）解：由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸正方向，為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，由題設(shè)知，四面體的體積為四面體的體積的，從而到平面的距離為到平面的距離的，即為的中點，得，故，設(shè)是平面的法向量，則即可取設(shè)是平面的法向量，則同理可取，則所以二面角的余弦值為秒殺方法（1）證明：取中點，中點，由已知，又，平面，即平面，又平面，故平面平面（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，由已知為中點，設(shè)平面的方程為即則平面的方程為，即可得法向量設(shè)平面的方程為即即，平面的方

6、程為可得法向量則所以二面角的余弦值為【例2】（2014年新課標(biāo)全國文18）如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為的中點（1）證明：平面；（2）設(shè)，三棱錐的體積，求到平面的距離常規(guī)方法（1）連接交于點，連接為矩形，為中點又為中點，則，又平面，平面，故平面（2），由可得作交于，由題意知平面，則，故平面又，故到平面的距離為秒殺方法（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，設(shè)平面的方程為，則即則平面的方程為，即可得法向量，又，故平面（2）由，可得，則，設(shè)平面的方程為，則即則平面的方程為，即，則到平面的距離秒殺訓(xùn)練【試題1】已知點，平面經(jīng)過點，求點到平面的距離【試題2】已知為空間直角坐標(biāo)系內(nèi)一定點，過作一

7、平面與三坐標(biāo)軸的正半軸分別交于三點，則所有這樣的四面體的體積的最小值為_【試題3】如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，（1）證明：四點共面；（2）略【試題4】已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，分別是的中點，點在直線上，且（1）證明：無論取何值，總有；（2）當(dāng)取何值時，直線與平面所成的角最大?并求該角取最大值時的正切值；（3）是否存在點，使得平面與平面所成的二面角為，若存在，試確定點的位置，若不存在，請說明理由真題回放【試題1】（2016年江西預(yù)賽）如圖，在四面體中，為正三角形，則點到面的距離為_【試題2】（2017年安徽預(yù)賽）設(shè)正八面體的棱長為1，則其兩個平行平面之間的距離為_【試題3】（2017年清華大學(xué)領(lǐng)軍計劃試題）已知點集，則的體積是（ ）ABCD【試題4】（2017年新課標(biāo)全國卷理18）如圖，在四棱錐中，且（1）證明平面平面；（2）若，求二面角的余弦值【試題5】（2011年江西高考理科題）（