1、不得用于商業(yè)用途一.基本原理1加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時常用基本原理求解。二排列：從n個不同元素中，任取mmm,n1,7k03eN漢療“=嗆_1酗一切21規(guī)定：山=1n-用家(挖一1)!,(川+1)棗濰！=(“+1)1:wI=(+1)1I=+1爲總!-I=(+1)1-Is；.-”：n_m+1-1_h+11_11心+1)!+1)I+1)I椒+1引川(說+1！三-組合；從.n個小冋兀素呼任取m個兀素并組戚一組，汕做從n個不1-公式=4

2、嚴廠血-1-X1L5=左-*hl同元素中取岀m平元素的一節(jié)組合，所有組合書數(shù)記為C：.“iim+li門！川巨賓用藝1,然巨Q珮eNm!m!n-md規(guī)定：空=1狡組合的甑=儈=于七y%說+炭+“、+u；=】夕sw,吩叫+陷+釜+竊=空注：齢+為+隔+必丿+空=瑞+筠+備+陷+空=空扌+略2+殆+只=當;若Cf=代-JQlJm,=tn$蟲nr：=n四.處理排列組合應(yīng)用題1明確要完成的是一件什么事(審題)有序還是無序分步還是分類。2解排列、組合題的基本策略兩種思路：直接法：間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時一種常用的解題方法。分類處理：當

3、問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計數(shù)原理得出結(jié)論。注意：分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類，又要分步。其原則是先分類，后分步。兩種途徑：元素分析法；位置分析法。3排列應(yīng)用題：窮舉法(列舉法)：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；特殊兀素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；例1.電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式(結(jié)果用數(shù)值表示).解：分二步：首尾必須播

4、放公益廣告的有堪種；中間4個為不同的商業(yè)廣告有挖種，從而應(yīng)當填A(yù)A=48.從而應(yīng)填48.例2.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即爲-坨-&+曲=720-2x120+24二504解二：(1)分類求解：按甲排與不排在最右端分類.1J甲排在爰石端時,有生種掛法；切甲不排在最右端(甲術(shù)拯在舉左端)時，則甲有爲種排法，乙有攪種掃E法，其他人有盤種掛法，共有爲爲爲種排法分類相加得共苞4+444=504種挫法-相鄰問題：捆邦法：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素捆綁”起來，看作一大”元素與其余元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進行排列。全不相鄰問題，插空

5、法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對其他元素進行排列，剩余的幾個位置放定序的元素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有2種排法；例有4個男生，3個女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從

6、矮到高排列，有多少種排法？分析一：先在7個位置上任取4個位置排男生，有州種排法剩余的3個位置排女生，因要求從矮到高”，只有1種排法，故共有虜1=840種.“小團體”排列問題一一采用先整體后局部策略對于某些排列問題中的某些元素要求組成小團體時，可先將小團體看作一個元素與其余元素排列，最后再進行小團體內(nèi)部的排列。分排問題用直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。數(shù)字問題(組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù))能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)。能被4整除的數(shù)的特征：

7、末兩位是4的倍數(shù)。能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25，50,75。能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4組合應(yīng)用題：至少”至多問題用間接排除法或分類法：1從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有解析1:逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有70種.解析2：至少要甲型和乙型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有+=70種.“含”與“不含”用間接排除法或分類法：2從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽

8、如果4人中男生和女生各選2人，有種選法；如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有種選法；如果男生中的甲與女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，有種選法；如果4人中必須既有男生又有女生，有種選法盜析：本題肴查利用種數(shù)去式解答與組合相關(guān)的間題由于選出的人沒有地位的差異，所以是組合間題.解：門先從男主中選3人，育礙種選法，再從女生中選2人，有種選法，所以共有學(xué)p(種藍;除去吐乙玄外x其奈2人可以從剩下的丁衣中任意選擇，鬼共有礙(神.爲)在吐人選比人的選法中，耙甲和乙都不在內(nèi)的去掉，得到符合條件的選窪瓠耳-篤毛1(種趴直接法，則可分為3奘只含甲；只含乙同時含甲和乙，得到符合條件的方法+cf+ct+=9i俐oW)在

9、9人選4人的選法中，把只有男生和只有女生的情況擁除掉，得到選法總數(shù)迓-C；-C；=12O(種).直接法：分別按照含男生4岔$人券獎得到符合條件的選法為郵詠：十勞U；=l沏J種).5分組問題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘。即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。6分配問題：定額分配：(指定到具體位置)即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機分配：(不指定到具體位置)即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。7隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問題

10、五.二項式定理1.O+b)11=Can+Gn-1b+Cn-%2+-+Can-rbr+-比二展開式的逋項公式gTr+1=計抵=hl-n)t7ft(a+b)n的二項展開式的第工+1項，而不是第工項孑(工二0的情沏“氏要怨視：)為二項式系數(shù)毬區(qū)別于該項的系數(shù)3二項式定理的應(yīng)用求二項展開式中的任何一項，特別是常數(shù)項：變量的指數(shù)為0、有理項：指數(shù)為整數(shù)；證明整除或求余數(shù)；利用賦值法證明某些組合恒等式；近似計算。4.二項式系數(shù)的性質(zhì)：仃對稱性：.=芒笄|=山1,鐵,ni二項式系數(shù)和：蹲+羈+S=2M代+氏+盅+一熾+代+4+=.嚴(4)最值：n為偶數(shù)時？n+1為奇數(shù)-中間一項的二項式系數(shù)最犬且為第|彳+1

11、|項，二項式系數(shù)宵緒壯詢奇數(shù)時心+1)為偶數(shù)，中間兩項的二式系數(shù)鍛大卩第二；丄項及第匕丄+1頃M-lM+1其二項式系數(shù)位e7=75區(qū)分某一項的二項式系數(shù)與系數(shù)項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù)。如在3+鈔的展開式中/第r+l項的二項式系數(shù)為俱，第r+l項的系數(shù)為而+丄瀘的X展開式中的系數(shù)就是二項式系數(shù)。二項式系數(shù)最大項與系數(shù)最大項二項式系數(shù)最大項是中間項嚴的系數(shù)汀的系數(shù)系數(shù)最大項求法：設(shè)第k+1項的系數(shù)最大，由不等式組求k。再求第k+1項值。系數(shù)的絕對值最大的項a燈力6二項展開式的系數(shù)絕對值最大項的求法，設(shè)第r+1項系數(shù)的絕對值最大,卩+

12、的系數(shù)|3卩的至數(shù)|則此項系數(shù)的絕對值必不小于它左、右相鄰兩項系數(shù)的絕對值，即由求r注意：(衛(wèi)-加沁方二項展開式中系數(shù)最大的項及系數(shù)最小的項的求法:先求系數(shù)的絕對值最大項第r+1項，然后再求第r+1項的符號，若這一項的系數(shù)符號為正，則它為展開式中系數(shù)最大的項；若這一項的系數(shù)符號為負，則它為展開式中系數(shù)最小的項二項展開式中，二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和二項式系數(shù)和:空+亡；+2=丫應(yīng)用賦值法可求得二項展開式中各項系數(shù)和即令式子中變量為1。/(x).=(a+如y=(20H念？1-%才TOC o 1-5 h z令x=i得：勺+a：+比+色+心+心=于CD令遵=一1得：兩一住i+禺一爲+-+色+(-1尸召

13、=於&1+但、fr?-:創(chuàng)+、+= HYPERLINK l bookmark34 o Current Document ”2.耳2空得=應(yīng)4-2號注意：(1)C-陶”血沁0)二項展開式的各項系數(shù)絕對值的和相當于的各項系數(shù)的和。即令原式中的x=-1即可。審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？、知識結(jié)構(gòu)超幾何分布廠離散型隨機變量廠十二項分布隨機變量離散型隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望方差正態(tài)分布-*連續(xù)性隨機變量條件概率事件的獨立性二、知識點隨機試驗的特點：試驗可以在相同的情形下重復(fù)進行；試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個，但在一

14、次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現(xiàn)哪一個結(jié)果.分類隨機變量(如果隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果可以用一個變量X來表示，并且X是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化，那么這樣的變量叫做隨機變量.隨機變量常用大寫字母x、y等或希臘字母g、n等表示。離散型隨機變量在上面的射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.連續(xù)型隨機變量對于隨機變量可能取的值，可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機變量.連續(xù)型隨機變量的結(jié)果不可以一一列出.離散型隨機變量的分布列一般的，設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為XT，,xi,，XnX取每一個值xi(i=1,2

15、,)的概率P(g=令)二匕，則稱表XX1X2X/XnPPiP2PiPn為離散型隨機變量X的概率分布，簡稱分布列性質(zhì)：piO,i=1，2，；p1+p2+Pn=1-一般地，離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和。求離散型隨機變量分布列的解題步驟例題：籃球運動員在比賽中每次罰球命中得1分，不中得o分，已知某運動員罰球命中的概率為0.7，求他罰球一次的得分的分布列.解：用隨機變量X表示“每次罰球得的分值”，依題可知，X可能的取值為：1,0且P(X=1)=0.7，P(X=0)=0.3因此所求分布列為：X10P0.70.3引出二點分布二點分布C應(yīng)用:如果隨機變量X的分布列為

16、:Cnq，q=l-p，則稱離散型隨機變量X服從參數(shù)p的二點分布彩票是否中獎問題、新n生嬰兒的性別問題等.超幾何分布一般地，設(shè)總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n（nWN）件，這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機變量，則它取值為k時的概率為P（X=k）=MCNM（k=0，1*2，m），其中=minMN且nWN,MWN,nM,NwN*則稱隨機變量X的分布列X01mP為超幾何分布列,且稱隨機變量X服從參數(shù)N、M、n的超幾何分布（1）超幾何分布的模型是不放回抽樣；（2）超幾何分布中的參數(shù)是N、M、n,其意義分別是總體中的個體總數(shù)、N中一類的總數(shù)、樣本容量解題步驟：例題、在某年

17、級的聯(lián)歡會上設(shè)計了一個摸獎游戲，在一個口袋中裝有10個紅球和20個白球，這些球除顏色外完全相同.游戲者一次從中摸出5個球.至少摸到3個紅球就中獎，求中獎的概率解：設(shè)摸出紅球的個數(shù)為X,則X服從超幾何分布，其中N=30,M=10,n=5X可能的取值為0,1,2,3,4,5.由題目可知，至少摸到3個紅球的概率為P(X三3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=P(B4=1PP,P(A)0.C3C2C4C1C5C01020+1020+1020C5C5C53030300.191答：中獎概率為0.191.P(BIA)=在A發(fā)生的條件下B包含的樣本點數(shù)AB包含的樣本點數(shù)AB包含的樣本點數(shù)/總數(shù)A包含

18、的樣本點?條件概率=P(AB)定義：對任意事件AP(A件B,在已知事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，叫做條件概率P(BIA),讀作A發(fā)生的條件下B的概率2.事件的若作D=AnBA與事件B的交(或積3.條件概率計算貓式A)1.P(BIA)相當于把A看作新的基本事件空間，求AnB發(fā)生的概率:公式推導(dǎo)過程解題步驟:例題、10個產(chǎn)品中有7個正品、3個次品，從中不放回地抽取兩個，已知第一個取到次品，求第取到次品的概率.解：設(shè)A=第一個取到次品,B=第二個取到次品,所以，P(BIA)=P(AB)/P(A)=2/9答：第二個又取到次品的概率為2/9.P(AB)=PP(B)相互獨立事件定義：事件A(或B)是

19、否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫做相互獨立1判斷3件AiK獨立事件則i!AB*互否對B(或A)說明(1)使用時，使用的前提條件；(2)此公式可作為事件是否相互獨立論依據(jù)P(AB)=P(A)P(B)；B相互獨立的充要條互斥事件是指不可能同時發(fā)生的兩個事件；相互獨立事件是指一事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒影響.如果A、B是相互獨立事件，則A的補集與B的補集、A與B的補集、A的補集與也都相互獨立.相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積。則有3P=.如果事件A1，A2，Ani相互獨立,那么這n個事件同I0寸發(fā)生的概率,等

20、于每個事件發(fā)生的概率的積。即:P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)兩事件是否互為獨立事件的判斷與證明解題步驟例題、一袋中有2個白球，2個黑球，做一次不放回抽樣試驗，從袋中連取2個球，觀察球的顏色情況，記“第一個取出的是白球”為事件A，“第二個取出的是白球”為事件B，試問A與B是不是相互獨立事件？答：不是，因為件A發(fā)生時(即第一個取到白球)，事件B的概率P(B)=1/3,而當事件A不發(fā)生時(即第一個取到的是黑球)，事件B發(fā)生的概率P(B)=2/3，也就是說，事件A發(fā)生與否影響到事件B發(fā)生的概率，所以A與B不是相互獨立事件。證明：由題可知，P(BIA)=1/3，P(BIA的補集)=2

21、/3因為P(BIA)HP(BIA的補集)所以A與B不是相互獨立事件P(k)=Ckpk(1一p)n-knn獨立重復(fù)試驗1定義：在同等條件下進行的，各次之間相互獨立的一種試驗2.說明：這種試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗的概率都是一樣的每次試驗是在同樣條件下進行；每次試驗間又是相互獨立的，互不影響.前提T二項分布1引入:一般地，如果在1次實驗中某事件A發(fā)生的概率是P,那么在n次獨立重復(fù)試驗中這個事件恰好發(fā)生k次的概率是P(A)Pn(k)是(1-P)+Pn的通項公式，所以也把上式叫做二項分布公式.二項分布定義：疋一個隨機變量.如A不發(fā)生的概率為q=1-p

22、，那么在n次事件設(shè)在n次獨立重復(fù)試驗中某個事件A發(fā)生的次數(shù)，A發(fā)生次數(shù)果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p,獨立重復(fù)試驗中、P(g=k)=Ckpkqn-kn(其中k=O,l,n,q=l-p)于是可得隨機變量g的概率分布如下：g0c01knPC0p0qnniC1p1qn-1C1n2Ckpkqn-knCnpnq0nC2占tCkpkqn-k入召g一、(a+b)n二Coan+C1an-1b1+.+Cran-rb+.+Cnbn由于n恰好疋項展開式nnnn數(shù)項，所數(shù)，g以，稱這樣的隨機0變量g服從項分1布，記作gB(n，2n-k=BP(k；n,p)0.90250.0950.0025p)，其中中的第kn,p為

23、參并記：Ckpkqtn解題步驟例題、某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品數(shù)g的概率分布.解：依題意，隨機變量gB(2,5%).Ak聯(lián)=0)=(95%)2=0.9025,kP(g=1)=(5%)(95%)=0.095,P(g=2)=(5%)2=0.0025因此，次品數(shù)g的概率分布是幾何分布1.定義：在獨立重復(fù)試驗中，某事件A第一次發(fā)生時所作的試驗次數(shù)g也是一個取值為正整數(shù)的隨機變量。“g=k”表示在第k次獨立重復(fù)試驗時事件A第一次發(fā)生。如果把第k次實驗時事件A發(fā)生記為Ak，p(Ak)=p，事件A不發(fā)生記為，P()=q(q=1-p)，那么P(g=k

24、)=P(AAAAA)123K-1k=P(A)-P(A)-P(A)P(廠)-P(A)123K-1k=P)k-1-P=qk-1-P(k=0丄2.,q=-p.)于是得到隨機變量g的概率分布如下：稱g服從幾何分布，并記g(k,p)=pqk-1=E(ME2=Eg2(EE離散型隨機變量的期望和方差一般地，若離散型隨機變量g的概率分布為gX2XiPP1P2Pi則稱Eg=xlpl+x2p2xnpn為g的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值，數(shù)學(xué)期望又簡稱為期望.是離散型隨機變量(3)后者/隨機變吉一個隨量的數(shù)學(xué)期望官機變量.I與樣本的平均值2系3前者是常數(shù)不依賴k樣本抽取;Dg=(x阿)2P尹(X,-Egpq2p2-I-p

25、q2+(xn-Eg)2Pn+pqk-1(2)一般地，在有限取值離散型隨機變量g的概率分布中，令p1=p2=pn，則有p1=p2=-=pn=，Eg=(x1+x2+xn)，所以g的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值說明：(1)數(shù)學(xué)期望的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平JLJL11叫隨機變量g的均方差，簡稱方差。說明：、Dg的算術(shù)平方根VDg隨機變量g的標準差，記作Og、標準差與隨機變量的單位相同、隨機變量的方差與標準差都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與分散的程度。集中分布的期望與方差一覽期望方差兩點分布Eg=pDg=pq，超幾何分布EMD(X)=g服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布戊n*N（N-n）/（不要求二項分概率密度曲線Eg=npDg=qEgFB（np）q=1-p總體在區(qū)間內(nèi)取值的概幾何分布1/pDg=qq=1-p=npq,=np(1-p)*(N-1)p(匚=k)=g(k,正態(tài)分布連續(xù)機變量巨無限縮小頂邊縮小,那么乃至形成ab頻