1、其次十一章 二次根式 學問點一：二次根式概念 1. 概念 : 形如 a a 0這樣的式子叫做二次根式 a b也是二次根式 ,“ ”稱為二次 根號；其中 a 可以是數(shù) , 也可是單項式和多項式； 2. 求二次根式中字母的取值范疇的基本依據(jù) ： 被開方數(shù)不小于零；分母中有字母時,要保證分母不為零； 3. 性質 基本性質一： a 0 a 0 基本性質二： a 2 = a a 0 2基本性質三： a a積的性質： ab = a b a 0,b 0 商的性質： ab = ab a 0,b 0 注 ：一般地,二次根式化簡的結果中分母中不含根號,而且根號內的數(shù)就是一個自然 數(shù),且自然數(shù)的因數(shù)中,不含有除 1

2、 以外的自然數(shù)的平方數(shù), 被開方數(shù)帶分數(shù)時,仍要先化為假分數(shù)再利用性質化簡； 學問點二：二次根式的乘除 1. 算術平方根的積等于各個被開方數(shù)積的算術平方根 a b= ab a 0,b 0 2. 兩個二次根式相除,等于把被開方數(shù)相除,作為商的被開方數(shù) a ba a 0,b 0 b留意 : 假如被開方數(shù)是帶分數(shù),應先化成假分數(shù)； 學問點三：二次根式的加減 1. 最簡二次根式的兩個條件 ： （1）被開方數(shù)不含分母 即因數(shù)是整數(shù),因式是整式 ； （2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式； 2. 同類二次根式 : 幾個二次根式化成最簡二次根式以后,假如被開方數(shù)相同,這幾個二次根 式就叫做同類二次根式

3、與二次根式的系數(shù)無關 ； 3. 二次根式的加減 : 在二次根式加減或其它運算時,把根號前的乘數(shù)看作它的系數(shù) 先化為最簡二次根式,再合并同類二次根式,與合并同類項類似,把同類二次根式的系 數(shù)相加減,作為結果的系數(shù),根號及根號內部都不變； 其次十二章 一元二次方程 學問點一：一元二次方程概念 1第 1 頁,共 12 頁1. 定義： 方程的兩邊都是整式 , 只含有一個未知數(shù) , 并且未知數(shù)的 最高 次數(shù)是 2 次 , 我們把這 樣的方程叫做一元二次方程； 2. 一般形式： ax2 +bx+c=0a , b,c 為常數(shù)且 a 0 ；一般地 , 任何一個關于 x 的一元二次方 程都可以化為 ax2+bx

4、+c=0 的形式；其中 ax2, bx, c 分別稱為 二次項 , 一次項 , 常數(shù) 項 ,a, b 分別稱為二次項系數(shù),一次項系數(shù)； b 和 c 可以為 0, 但 a 不能為 0, 由于一元 二次方程必需有二次項 , 一次項和常數(shù)項沒有的時候就是 b 和 c 為 0 的情形 留意 : 二次項,二次項系數(shù),一次項,一次項系數(shù),常數(shù)項都是 包括符號 的； 3. 一元二次方程的解： 使一元二次方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫一元二次方程的解 或 根 ； 判別式 ： =b2-4ac 一元二次方程 ax2+bx+c=0a 0 根的情形： 1 當 0 時 , 方程有兩個不相等的實數(shù)根； 2 當 =0 時 ,

5、方程有兩個相等的實數(shù)根； 3 當 0 時 , 方程無實數(shù)根； 依據(jù)根的情形 , 也可以逆推出 的情 形 , 這方面的學問主要用來求取值范疇等問題； 學問點二：一元二次方程根與系數(shù)的關系 韋達定理 1. 一元二次方程的 求根公式 : 2. 一元二次方程 根與系數(shù)的關系 : 如方程 ax2 +bx+c=0a 0 的兩根分別為 補充規(guī)律 : 兩根均為負的條件 : x1x20, x1x20 兩根均為正的條件 : x1x20, x1x20 兩根一正負的條件 : x1x2 0 x1,x2, 就 x1x2= b/a, x1 x2=c/a 當然 , 以上仍必需中意一元二次方程有根的條件 :b 2-4ac 0

6、學問點三：一元二次方程的解法 1. 直接開平方法 2. 配方法 : 通過配方 , 將方程的左邊化成一個含未知數(shù)的完全平方式 , 右邊是一個非負常數(shù) , 運用直接開平方求出方程的解的方法 步驟 : , 即轉化成 x+b 2=aa 0 的形式 , 再利用開平方 1 把方程化成一元二次方程的一般形式； 2第 2 頁,共 12 頁2 把二次項系數(shù)化為 1 方程兩邊都除以二次項系數(shù) ； 3 把含有未知數(shù)的項放在方程的左邊 , 不含未知數(shù)的項放在方程的右邊； 4 方程的兩邊同加上 一次項系數(shù)一半的平方 這是關鍵 ； 5 方程的左邊化成完全平方的形式 6 利用直接開平方的方法去解； , 方程的右邊化成非負數(shù)

7、； 假如整理后左邊是完全平方式 , 假如右邊是個負數(shù) , 就指出原方程無實根； 3. 公式法 步驟 : 1 把方程化成一元二次方程的一般形式； 2 寫出方程各項的系數(shù)； 3 運算出 b2-4ac 的值,看 b2-4ac 的值與 0 的關系 , 如 b2-4acr2 ,圓心距為 d,就有 兩圓外離, dr1+r2 ； 兩圓外切, d=r1+r2 ； 兩圓相交, r1-r2dr1+r2 ； 兩圓內切, d=r1-r2 ； 兩圓內含, 0dr1-r2； 學問點五：正多邊形和圓 概念： 正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的 中心 ,外接圓的半徑叫做正多邊形的 半徑 ,正多邊形每一邊所對的圓心角叫做

8、正多邊形的 中心角 ,中心到正多邊形的一 邊的距離叫做正多邊形的 邊心距 ； 學問點六：弧長,扇形和圓錐面積 1.弧長運算公式： 在半徑是 R 的圓中,由于 360的圓心角所對的弧長就是圓周長 C=2 R,所以 n的圓心角所對的弧長為 2.扇形： 由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做 扇形 ； 性質： 圓心角越大,扇形面積越大,反之亦然； 面積運算公式： 在半徑是 R 的圓中,由于 360的圓心角所對的扇形面積就是圓面積 S= R2,所以圓心角為 n的扇形面積是 3.母線： 連接圓錐頂點和底面圓周上任意一點的線段叫做圓錐的 母線 ； 4.圓錐的側面積： 設圓錐的母線長為 R,

9、底面圓的半徑為 r,就其側面積（扇形）為 S= *r*R圓錐的底面積： S=*r 2 圓錐的全面積： S=側面積 +底面積 = *r* R+ *r 2=r （R+ r ） 6第 6 頁,共 12 頁其次十五章 概率初步 學問點一：概率的概念 1. 隨機大事： 在確定條件下,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的大事,稱為 隨機大事 ； 如：任意擲一枚均勻的硬幣,可能正面朝上,也可能不是正面朝上,是反面朝上； 性質： 一般的,隨機大事發(fā)生的可能性是有大小的,不同的隨機大事發(fā)生的可能性的大 小有可能不同； 2. 概率： 在大量重復試驗中,假如大事 A 發(fā)生的頻率會穩(wěn)固在某個常數(shù) p 鄰近,那么這個 常 數(shù) p 就

10、叫做大事 A 的概率,記為 PA=p （0 PA 1）；也有： PA= 大事 A 可能 發(fā)生的結果數(shù)全部可能發(fā)生的結果總數(shù)； 性質： 必定大事發(fā)生的概率為 不行能大事的概率為 1,記作 P 必定大事 1； 0,記作 P（不行能大事） 0； 假如 A 為不確定大事,那么 P（ A）在 0 和 1 之間； 學問點二：概率運算 1. 用列舉法求概率： 一般地 , 假如在一次試驗中 , 有 n 種可能的結果 , 并且它們發(fā)生的可能性 都相等 , 大事 A 包含其中的 m 種結果 , 那么大事 A 發(fā)生的概率為 PA=m/n ； 用列舉法求概率的條件 : 1 試驗的全部結果是有限個 n ； 2 各種結果

11、顯現(xiàn)的可能性相等； 2. 列表法： 當一次試驗要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子）并且可能顯現(xiàn)的結果數(shù)目較多 時,為不重不漏地列出全部可能的結果,通常接受 列表法 ； 3. 樹形圖： 當一次試驗要涉及 3 個或更多的因素（例如從 3 個口袋中取球）時,列方形表 就不便利了,為不重不漏地列出全部可能的結果,通常接受 樹形圖 ； 4. 利用頻率估量概率： 當試驗次數(shù)很大時 , 一個大事發(fā)生頻率也穩(wěn)固在相應的概率鄰近；因 此 , 我們可以通過多次試驗 率； , 用一個大事發(fā)生的頻率來估量這一大事發(fā)生的概 其次十六章 二次函數(shù) 學問點一：二次函數(shù)概念 1. 定義： 一般地,形如 y=ax2+bx+ ca

12、,b, c 是常數(shù), a0 的函數(shù),叫做 二次函數(shù) ；其 中, x 是自變量, a, b,c 分別是函數(shù)表達式的二次項系數(shù),一次項系數(shù)和常數(shù)項； 2. 圖象： 二次函數(shù)的圖象是 拋 拋物線 ,每條拋物線都有 對稱軸 ,拋物線與對稱軸的交點叫做 7第 7 頁,共 12 頁物線的 頂點 ,頂點是拋物線的 最低點或最高點 ； 性質： 一般地,拋物線 y=ax 2 的對稱軸 是 口向上,頂點是拋物線的最低點, y 軸,頂點是原點,當 a 0 時,拋物線的開 a 越大,拋物線的開口越小,反之亦然；當 a 0 時,拋物線的開口向下,頂點是拋物線的最高點, a 越大,拋物線的開口越大, 反之亦然； 一般的,

13、拋物線 y=ax-h2+k 與 y=ax 2 形狀相同,位置不同,把拋物 y=ax2線 向 上（下）向左（右）平移,可以得到拋物線 y=ax-h2+k ；平移的方向,距離根 據(jù) h, k 的值來準備： （1） a 0 時,開口向上；當 a 0 時,開口向下； （2）對稱軸是直線 x=h； （3）頂坐標是（ h,k ）； 3. 配方法： 一般地,我們可以用配方求拋物線 y ax 2bx c a 0 的頂點與對稱軸 y ax 2 bx c a x b 24ac b 2 ,因此,拋物線 y ax 2bx c 2a 4a 的對稱軸是 x b,頂點坐標是（ b, 4ac b 2 ）； 2a 2a 4 a

14、 24. 最?。ù螅┲担?一般地,由于拋物線 y ax bx c 的頂點是最低（高）點,所以當 2x b時,二次函數(shù) y ax 2bx c 有最?。ù螅┲?4ac b； 2a 4 a 學問點二：二次函數(shù)與一元二次方程 x 一般的,從二次函數(shù) y ax 2bx c 的圖象可知, （ 1）假如拋物線 y ax 2bx c 與 x 軸有公共點,公共點的橫坐標 x ,那么當 x0 時,函數(shù)的值是 0,因此 x 2 x0 就是方程 ax bx c 0 的一個根； （ 2）二次函數(shù)的圖象與 x 軸的位置關系有三種：沒有公共點,有一個公共點,有兩個 公共點,這對應著一元二次方程根的三種情形：沒有實數(shù)根,有兩

15、個相等的實數(shù)根,有兩 個不等的實數(shù)根； 其次十七章 相像 學問點一：圖形的相像 1. 定義： 形狀相同的圖形叫做 圖 形放大或縮小得到； 相像圖形 ；兩個圖形相像,其中一個圖形可以看作由另一個 8第 8 頁,共 12 頁2. 成比例線段： 對于四條線段 a,b, c, d,假如其中兩條線段的長度比與另兩條線段的比 相等,如 a: b=c: d 或 a/b=c/d 即 ad=bc,那么這四條線段 a, b, c, d 叫 做 成比例線段 ,簡稱 比例線段 ； a, b, c, d 叫比例的項 , 其中 ,a , d 叫 外 項 ,b , c 叫 內項 ； 3. 相像比： 相像多邊形對應邊的比；

16、4. 性質： 相像多邊形對應角相等,對應邊的比相等； 學問點二：相像三角形 1. 概念 : 對應角相等,對應邊成比例的兩個三角形,叫做相像三角形 相像符號為“” ； 2. 推理： 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交,所構成的三角形 與 原三角形相像； B DA E B DO E CC注：全等確定相像 , 相像不愿定全等 （全等是相像中相像比為 1 時的特殊情 況）； 3. 三角形相像的判定 （1）定義判定：對應角相等,對應邊成比例 （2）判定 1：兩個角對應相等 判定 2：兩邊對應成比例且夾角相等 判定 3：三邊對應成比例 （3） Rt相像的判定 : 除上述三個外 斜邊與始

17、終角邊對應成比例的兩直角三角形相像； 4. 三角形相像的判定定理推論 推論一：頂角或底角相等的兩個等腰三角形相像； 推論二：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相像； 推論三：有一個銳角相等的兩個直角三角形相像； 推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相像； 9第 9 頁,共 12 頁推論五：假如一個三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個三角形的對應部分 成比例,那么這兩個三角形相像； 推論六：假如一個三角形的兩邊和第三邊上的中線與另一個三角形的對應部分成 比例,那么這兩個三角形相像； 5. 補充 射影定理 : 在 Rt ABC 中, ACB=90 0,CD 是斜邊 AB

18、上的高 ,就 AC2=AD ABBC2=BD ABCD2=AD BD6. 補充 三角形的重心 概念 : 三角形三條 中線的交點 叫做三角形的重心； 三角形的重心與頂點的距離等于它與對邊中點的距離的兩倍； 7. 相像三角形的周長與面積 （1）相像三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平分線的比都等于相像比, （2）相像三角形周長的比等于相像比,相像三角形面積的比等于相像比的平方； 8. 相像多邊形 （1） 概念 : 對應角相等,對應邊成比例的兩個多邊形叫做相像多邊形； （2） 性質 : 性質 1：相像多邊形的對應角相等,對應邊成比例； 性質 2：相像多邊形的周長之比等于相像比 ;面積之比等于相像

19、比的平方； 學問點三：位似圖形 1. 概念 : 假如兩圖形不僅相像 ,而且對應頂點的連線相交于一點,像這樣的兩個圖形叫做 位 似圖形 ,這個點叫做 位似中心 ,這時的相像比又稱為 位似比 ； 2. 性質 : 位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比； 3. 探究 : 利用位似可以把一個圖形放大或縮??； 對應點連線都交于位似中心,對應線段平行或在一條直線上； 在平面直角坐標系中,假如位似變換是以原點為位似中心,相像比為 k,那么位 似圖形對應點的坐標的比等于 k 或 -k.； 其次十八章 銳角三角函數(shù) 學問點 1：銳角三角函數(shù)概念 1.定義： 在如圖 Rt ABC 中,我們把銳角

20、 A 的對邊與斜邊的比叫做 A 的 正弦 ,記作 sin A ；把 A 的鄰邊與斜邊的比叫做 A 的余弦 ,記作 cos A ；把 A 的對邊與鄰邊 的比叫做 A 的 正切 ,記作 tan A；即 , , 就銳角 A 的正弦,余弦,正切都叫做 2.特殊的三角函數(shù)值： A 的 銳角三角函數(shù) ； 10 第 10 頁,共 12 頁學問點二：解直角三角形 1.概念： 在直角三角形中,由已知元素求未知元素的過程,就是 2.直角三角形中邊與角的關系 （1）三邊之間的關系： a2b22 c （勾股定理） （2）兩銳角之間的關系： A+ B=90 （3）邊角之間的關系： 3.實際應用 利用解直角三角形的學問解決實際問題的一般過程如下： 解直角三角形 ； （ 1）將實際問題抽象為數(shù)學問題（畫出平面圖形,轉化為解直角三角形的問題） ； （ 2）依據(jù)條件的特點,適當選用