1、, 名校名師舉薦 ,第六章 數(shù)列與數(shù)學歸納法一基礎題組1. 【浙江省嘉興市2022 屆高三上期期末】各項均為實數(shù)的等比數(shù)列6a n,如a 11,a 59,就a 3_,公比 q_,定義【答案】 3 3期期末】對給定的正整數(shù)n n2. 【浙江省寧波市2022 屆高三上f x a 0 a x 1 a x 2 2 a x ,其中 n na 0 1,a i 2 a i 1 i N *, i n,就a 6 _；當 n 2022 時,f 2 _2022【答案】 64 4 13【解析】a 0 1, a i 2 a i 1 , a n 2 n,a 6 2 664, n 2022 時,2022 2022 2022

2、f 2 1 4 4 2. 4 2022 1 4 4 1,故答案為（ 1） 64 ；（2）4 1 . 1 4 3 33. 萊因德紙草書是世界上最古老的數(shù) 著作之一書中有一道這樣的題目：把 100個面包分給五個人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的 1 是較小的兩份之和,問7最小 1份為（）A. 5 B. 10 C. 5 D. 113 3 6 6【答案】 A 【解析】試題分析：設五個人所分得的面包為a52 d,ad, ,ad,a2 d,（其中d0）；2d）a100,a20；就 a2d）（ad）a（ad）（a由1（7aada2 d）a2dad,得553 a3d7 2 a3 d）；24d11

3、a,d61 ,1 分為a名校名師舉薦 ,應選 A所以,最小的2 d20110563考點：等差數(shù)列的性質4. 【浙江省臺州市2022 屆高三上期期末】已知數(shù)列a n滿意a 11,an1a n2nN*,就 C. S nn D. 2S n2n1A. a n2 n1 B. an2 n1【答案】 C 【解析】由于 a n 1 a n 2,所以 a n a n a n 1 a n 1 a n 2 . a 2 a 1 a 12 n 1 1 2 n 1,所以 S n 1 3 5 . 2 n 1 n 1 2 n 1 n 2,應選 C. 25. 【浙江省臺州中 2022 屆高三上 期第三次統(tǒng)練】已知數(shù)列 a n

4、的各項均為正數(shù),a 1 2 ,a n 1 a n 4,如數(shù)列 1 的前 n 項和為 5,就 na n 1 a n a n 1 a n【答案】 120【解析】考點： 1. 數(shù)列求和； 2. 累和法求數(shù)列通項 . 【名師點睛】此題考查數(shù)列求和,累和法求數(shù)列通項,屬中檔題；由數(shù)列的遞推公式求通項公式時,如遞推關系為 an1anf （n）或 an1f （ n） an,就可以分別通過累加、累乘法求得通項公式, 另外, 通過迭代法也可以求得上面兩類數(shù)列的通項公式,數(shù)列求和的常用方法有倒序相加法,錯位相減法,裂項相消法,分組求和法,并項求和法等,可依據(jù)通項特點進行選用 . 6. 【2022 年 12 月浙江

5、省高三上期期末熱身】我國古代數(shù)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一段記載：“ 三百七十八里關,初步健步不犯難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關” 其大意為： “ 有一個人走 378 里路, 第一天健步行走, 從其次天起腳痛每天走的路程為前一天的2 , 名校名師舉薦 ,一半,走了 6 天才到達目的地” 就該人第一天走的路程為 _里【答案】 192 【解析】設每天走的路程里數(shù)為 a n由題意知 a n 是公比為1 的等比數(shù)列2S 6 37861a 1 12S 6 3781 12a 1 192故答案為 192.7. 【2022 年 12 月浙江省高三上期期末熱身】設S 是等差數(shù)列a n的前 n項和,如a 12022

6、,S 62 S 318,就S 2022（）A. 2022 B. 2022 C. -2022 D. -2022 【答案】 B a 12022a 2022a 12022 1d20222022 220222022S 2022a 1a 2022202220222022202222應選 B. 8. 【浙江省部分市校（新昌一中、臺州中等） 2022 屆高三上a 6期 9+1 聯(lián)考】已知等差數(shù)列a n、b n的前 n 項和分別為S 、nT ,如S nn2,就的值是（）T nn1b 73 ,13 C. 名校名師舉薦 ,A. 13 14 B. 14 D. 11121514【答案】 A S 22 a 1d14,即

7、b 14 d23 d T 22 b 1d23S 33a 13 d15,即b 15 d24 d T 33 b 13d24由解得d 1d ,b 1d 1133d 15 d 1a 6a 15 d 12b 7b 16 d2d 16 d 114應選 A. 9. 【浙江省嘉興第一中 2022 屆高三 9 月基礎學問測試】等差數(shù)列中,就（）A. 45 B. 42 C. 21 D. 84 【答案】 A 【解析】由題意得：,故. 應選： A 點睛：等差數(shù)列的基本量運算問題的常見類型及解題策略：（1）化基本量求通項求等比數(shù)列的兩個基本元素和,通項便可求出,或利用知三求二,用方程求解（2）化基本量求特定項利用通項公

8、式或者等差數(shù)列的性質求解4 , 名校名師舉薦 ,（3）化基本量求公差利用等差數(shù)列的定義和性質,建立方程組求解（4）化基本量求和直接將基本量代入前項和公式求解或利用等差數(shù)列的性質求解10. 【浙江省名校協(xié)作體*2022 屆高三上期測試】設數(shù)列nx的各項都為正數(shù)且x 11. ABC 內(nèi)的點nPnN均滿意P AB 與P AC 的面積比為 2 :1,如P A1x n1P B2xn1P C0,就4x 的值為 2A .15 .17 .29 .31【答案】 A 【解析】就P AP DP E1x n1P B ,P E1,P B22SPnAExn1,P CP C112 為公比的等比SPnAB2P DAE2x n

9、SPnACSPnAC11x n,SPnADSPnAE2x n1構成以 2 為首項,以就SPnACx n11S2 1 2x n2PnAB即x n12x n1,x n11（x n1）,就數(shù)列,所以x4122316,所以x 415；應選 A5 ,名校名師舉薦 ,a n的前 n 項和S ,且滿意 n11. 【浙江省名校協(xié)作體2022 屆高三上期測試】已知數(shù)列S n2a n3nN*,就S 6（ ）D . 93A . 192B . 189C . 96【答案】 B 12. 【浙江省鎮(zhèn)海中 2022 屆高三上期期中】設函數(shù)fxxa3a, aR ,如x關于 x的方程fx2有且僅有三個不同的實數(shù)根,且它們成等差數(shù)

10、列,就實數(shù)a 的取值構成的集合 _【答案】9 5 ,53 33. -5. 有一根為 3,8【解析】fxxa3axx33 , xxaa. x2 , a xx由x32,解得,x1或 3. x當a1時,xa 時fx2有兩個根1或 3,由于方程fx2有且僅有三個不同的實數(shù)根,且它們成等差數(shù)列,所以另一個根為即5a ,且532a2,解得a9,滿意題意；,55當1a3時, xa 時fx2有兩根, 設為x x , xa 時fx2且有x 132x . 6 , 名校名師舉薦 ,x 3 2 a 2 即 x 22 a 2 x 3 0 的兩根為 x x . 有 1 2 x 1 x 2 2 a 2,x x 1 2 3

11、: x解得 a 5 3 33, 由于 1 a 3,所以 a 5 3 33；8 8當 a 3 時,f x 2 最多有兩個根,不符合題意 . 綜上實數(shù) a 的取值構成的集合為 9 5, 3 33 . 5 813. 【浙江省鎮(zhèn)海中 2022 屆高三上期期中】已知數(shù)列 a n 中,a 1 a ,a 2 2 a,a n 2 a n 2,如數(shù)列 a n 單調遞增,就實數(shù) a 的取值范疇為 _,S 2n _【答案】0,1 2n 214. 【浙江省鎮(zhèn)海中 2022 屆高三上 期期中】 等比數(shù)列 a n 的前 n 項和為 S ,如 S 3 2,S 618,就s 10等于s 5A. -3 B. 5 C. -31

12、D. 33 【答案】 D 【解析】等比數(shù)列1a n5中,S 6S 3q S ,所以 3q3S 6S 3S 31828. 2所以q2. q33. s 10s 55 q s 5s 5s 5應選 D. . . 7 ,名校名師舉薦 ,是公差不為0 的15. 【浙江省溫州市2022 屆高三 9 月高考適應測試（一模） 】已知數(shù)列等差數(shù)列, B. ,數(shù)列的前項,前項,前項的和分別為,就（）A. C. D. 【答案】 D 【解析】是公差不為 0 的等差數(shù)列,是以公比不為 的等比數(shù)列,由等比數(shù)列的性質,可得 成等比數(shù)列,可得,應選 D. 16. 【浙江省清 中 2022 屆高三 9 月月考】已知 a n 是等

13、差數(shù)列,其公差為非零常數(shù) d ,前 n 項和為 S ,設數(shù)列 S n 的前 n 項和為 T ,當且僅當 n 6 時,T 有最大值,就 a 1 的n d取值范疇是（）A. , 5 B. 3, C. 3, 5 D. , 3 5,2 2 2【答案】 C S 6a 15d062S 7a 13d50,7解得3d0. a 1d2應選： C. 17. 二才能題組8 ,名校名師舉薦 ,2a nn滿意a 13,32n. 1. 【浙江省杭州市2022 屆高三上期期末】設數(shù)列a21an1a n20nN*. 1S n2 n3n（）求證：a n1；（）求證：2a n1a ；n（）設數(shù)列a n的前 n 項和為S ,求證：

14、223【答案】（）見解析（）見解析（）見解析3 化簡得a nn1211,由（ 2）得2a n1a ,1an122即a2a n2an231n1an22n1三邊同時求和,即可證明a n1,23解析：（）整理得an1a n21,a n由于a n1an212 211,故a n1 . an（）又由于an12an23a n2a nan由于a n1,所以a n12與a n2同號,所以a n12與a 12同號,由于a 12,所以a n12,9 , 名校名師舉薦 ,那么 a n 1 a n 21 0,就 a n 1 a ,所以 2 a n 1 a . a n（）由（）知 a n 1 2 a n 2 a n 1,

15、故 a n 1 21 1,a n a n 2 a n由于 2 a n 1 a ,所以 11 11 1 2,2 a n a 1 3故 1 a n 1 2 2,2 a n 2 3n 1 n 1所以 1a n 2 2,2 3n n不等式三邊同時求和,得 2 1 1S n 2 n 3 1 2,2 3n n所以 2 2 1S n 2 n 3 3 2 . 2 3點睛： 此題是道數(shù)列綜合題目,主要考察了數(shù)列里的不等式,在第一問中利用了基本不等式證明結果,其次、三問中通過化簡、變形,確定符號或是由結果得出了不等式成立,需要構造,題目有肯定難度2. 【浙江省嘉興市2022 屆高三上期期末】已知數(shù)列a n*滿意a

16、 11,annn1a n1n2（）求數(shù)列a n的通項公式；（）求證：對任意的nN*,都有123an3；a 12a 22a 322N）n11112112k1（k2,kk1a na na na nk【答案】 1 a nn 2 見解析10 ,當名校名師舉薦 ,n1a 11,試題解析：（）n2時,anann11當n2時,a nn 又a 11,a nn ,n* N 2411111（）證明：當n1時, 13成立；當n2時,n1312n n1n1a n2nn n1111n n1n n1n1n111n1n111n1n12nn1n1123n2 a 1a22a 32a n211111111113243546nnn

17、n1 1111132nn1a2a3n32 a 122a n2231a1112a111n11n12121a nna nnknnknk1n111,設s1n11n121211,就s1112nnknknknk1n2s111n111212n1111nnknknknkny,當且僅當當x0,y0時,xy112yx4,11xyxyxxy11 x,名校名師舉薦 ,n14k14k1,y 時等號成立當k2,kN*時,2 sn41nk1k11knkns2k1即1111212k1k1a na na na nkk1點睛 : 證明數(shù)列不等式, ,常用方法為方縮法,值與結果大小即可經(jīng)過放縮, 將數(shù)列化為可求和,最終再比較和3

18、. 【浙江省寧波市2022 屆高三上期期末】已知數(shù)列a n滿意a n 22,n 為奇數(shù),a n+1 2a na 1a . 2；2 a n2,n 為偶數(shù)（）如a1,求證：對任意正整數(shù)n n1均有an（）如a3,求證：4 n1a 1a 2a 3a 2n4 n3對任意nN*恒成立 . 【答案】 證明見解析； 證明見解析. a 2k1a 2k13b k1b k1143b k4. 又由22b kk1b k11111b 111可得b 1b 24n . b nb 112. 所以bb kb k121234 n3a 1a 2a 2nb 1b 2b n2試題解析：（）當a2時,依據(jù)g x2 x2和fx2 x2在

19、2,均為增函數(shù) . 2 x12 ,名校名師舉薦 ,g a ng22. 從而當a n2時,必有a n1f a nf22或a n1當1a2時,由fx2x 22在 1,2 上為減函數(shù),得a 22. x當a2時,a 2a 32,從而a n2恒成立 . N. 綜上所述,a n2對全部滿意n1的正整數(shù) n均成立 . （）一方面,由第（）題知a 2k1a 2k4k2,k又a 1a 2395. 4a2k1,所以a 1a 2a 2n4 n1. 另一方面,a 2k1a 2ka 2k1a 2 2k1232 a 2k1k22 a 2k12a211114. 且a 2k12 a 2k22 a 2k12 a 2k12,a

20、21k1令a 2k12b ,就b k12b kb k121,1b k1即b k12 b k1,且b 11,b 21. b k2a 2k1a2k3a2 2k1k2a2k12 3 b k10 b k8132a212b k12b k1由b k1b kb kb k1b b k11b kb k1,b k1b k11. 且b 2b 10知kb為遞減數(shù)列,且kb0. 所以b k11從而a 2k1a 2k13b k1b k1143b k4. 22又由b k1b k11b k111b 1111. b kb k213 , 名校名師舉薦 ,所以 b 1 b 2 b n b 1 2 . 112所以 a 1 a 2 a

21、 2n 3 b 1 b 2 b n 4 n 3 4 n . 24. 【浙江省臺州市 2022 屆高三上 期期末】數(shù)列 a n,b n 中,S 為數(shù)列 n a n 的前 n項和,且滿意 a 1 b 1 1, 3 S n n 2 a ,b n a n 1 n N , *n 2a n（）求 a n,b n 的通項公式；（）求證：1 1 1 1 1；a 2 a 4 a 8 a 2 n 22（）令 c n ln b ,T n c 1 c 2 c 3 c ,求證：T n 2 n n n N *2 n n 11, n 1,n n 1 *【答案】（1）a n2 n N,b n n 1, n 2;（2）見解析（

22、 3）見解析n 1ln1 ln 1ln 2ln 3ln n 1ln 1 2 3 n 1ln 2,先證明3 4 5 n 1 3 4 5 n 1 n n 1fxx12lnx在 1,上單調遞增,所以fxf10,即x12lnx0,xx從而可得結果 . 試題解析：（）3 S n2n2a ,1當n2時,n3 S n1n1a n1,3 a nn,an1na n1a nan1n114 ,名校名師舉薦 ,1n n1,a na 1a 2a 3a n1a n113 4nn2na 1a 2a na n1 2n122a nn n1nN*,b nn1, nn1,2;1, 1211,n（）1n 22n 22n1n 21n

23、211a 2n11n 22 2n11111111a 2a 4a 8a 2n383222n11111111111111,84 n31136n 4362lnn1,411111；a 2a 4a 8a 2n2（）（1）當n1時,左邊T 1lnb 10右邊,（2）當n2時,T nln1ln1ln2ln3345n1ln1 23n1ln21,3 45n1n nT nln212nn2,n n2 n n1lnn n1n2n2,令 x=n n1x1222 n n12lnx0就lnn n12 nn2ln2 x2 xx1x122n n1x易知fxx12lnx在 1,上單調遞增,x所以fxf10,T n2nn2n2,2

24、n n115 , 名校名師舉薦 ,2由（ 1）（2）可知對于任意的 n N *,T n 2 n n2 n n 15. 【浙江省臺州中 2022 屆高三上 期第三次統(tǒng)練】設數(shù)列 a n 的前 n 項和為 S ,2 *a 1 1, S n na n 2 n 2 n n N . （1）求證：數(shù)列 a n 為等差數(shù)列,并分別寫出 a 和 S 關于 n 的表達式；（2）是否存在自然數(shù) n ,使得 S 1 S 2 S 3 S n 2 n1124？如存在,求出 n的值；2 3 n如不存在,請說明理由；（3）設c n27nN*,T nc 1c2c 3. cnnN*,如不等式n a nT nmmZ對n* N 恒

25、成立,求 m的最大值 . 32【答案】（1）詳見解析； （ 2）n10；（3）m max7試題解析：（1）由S nnan2n22n nN*, 得S n1n1an12n122n1n2,相減得a nna nn1a n14 n4n1a nn1a n14n1a na n14n2. 故數(shù)列a n是以 1為首項 , 3nN*,S nn a 1a n22 nn nN*. 以 4 公差的等差數(shù)列. a n1n144 n2（2）由（ 1）知S n2n1nN*, n16 ,.名校名師舉薦 ,2 n12nn12 n12 nn 22 nS 1S 2S 3S n2 n13 5.23n2, 由, 得n10, 即存在滿意條

26、件的自然數(shù)n10. （3）cn127211111n11,T nc 1c 2c 11111.1n11n ann n2n2223n1n112n,2nT n1T nn1T n2n1n10,T nT n1, 即T 單調遞增 , 故 n2n1n12n2T nminT 11 4要使m恒成立 , 只需m1成立 , 即m8mZ. 32324故符合條件 m的最大值為 7 . 考點：數(shù)列的基本概念,數(shù)列求和,不等式6. 【2022 年 12 月浙江省高三上期期末熱身】已知數(shù)列1a n滿意：a 10,ln a n1a na nn ln20nN*. c ,并說明理由求3a ；證明：ln 221nan11 2n；是否存

27、在正實數(shù)c,使得對任意的n* N ,都有a n【答案】（1）1 21；（2）證明見解析； （3）存在c21 6. 4 ean1a neann ln 2ane1 ln 2 2nn ln 2a n2n1,再結合117 ,名校名師舉薦 ,0a e21n22nn1ann11 2n2nn 2124 212212,即可求出 c 的值 . n3 2n試題解析：（ 1）由已知a n1a nea nnln2,a 1a 21,a 3141e2a n2n,2（2）a n1a ,a 10a n0,就a n1a neann ln2a nenln2a na n12n1a n22n22n1a 121令fna en1 2n2

28、,就2a en1n2na eeln 2a enfn1fna en12n2a n e2n1ea ne eannln 212na e eannln 22n0nnln 2a n2n2 fn 是遞增數(shù)列f nf10,即e an2 1n20a nln 21 2n綜上ln 21 2nan11 2n（3）由 2 得an1a neannln 2a neln 22 11anan12n12a n22n122n12a 112211122 2122n12122n122n1n 2124 21212n3,n23 2n1112125. 當n4時,a n111121262 3 23 2n2632n6詳細由a n的單調性知：當

29、n1 2 3,時,na5,6. 綜上：對任意的nN ,都有 *a n5,所以存在c恒成立問題的求解等問題,66（c 的取值不唯獨,如c 取其它值相應給分）點睛： 此題考慮數(shù)列的不等式的證明和數(shù)列與函數(shù)的關系,18 , 名校名師舉薦 ,涉及到數(shù)列與不等式的綜合運用,其中放縮法的應用和構造法的應用是解題的關鍵7. 【浙江省部分市校（新昌一中、 臺州中等）2022 屆高三上期 9+1 聯(lián)考】已知數(shù)列a n滿意：a 1pp1,p1,an1a na1. lnn（1）證明：a na n11；1n 21. （2）證明：2a n1a n1an21；an（3）證明：11n 21lna a 1 2a npn 21

30、pn 21【答案】 1 證明見解析； 2 證明見解析； 3 證明見解析 . 【解析】試題分析： （1）先用數(shù)歸納法證明a n1,再設fxx1x lnx ,x1,求出 fx 的單x1,推出n1an1a 111n111,再依據(jù) lnx2p2lna a 2a nlna 1lna 2lna n1n 2n1,然后由lnxk111,推出p21xlna a 2a n11n 2n1,即可得證 . p21aka k1a1. 試題解析：（ 1）先用數(shù)歸納法證明a n1 . 當n1時,p1,a 1pp11；假設當 nk 時,a k1,就當nk1時,1lnakak119 ,名校名師舉薦 ,1,10,由可知a n1 .

31、 再證a na n1. an1a nana1 nanan1a nlna n,lnlnan令fxx1x lnx ,x1,就fxln x0,所以 fx 在 1,上單調遞減,所以fxf10,所以an1a nlnan0,即a na n1. lnan（2）要證2an1an1a n21,只需證2a n1a n1a n2a nanlna n只需證2a lna nna n210,0,其中a n1,a n1lna2 a n2,g先證2 anlna nan210,令fx2 lnxx21,x1,只需證fx0. 由于fx2lnx22x2x122x0,所以 fx 在 1,上單調遞減,所以fxf10. 再證a n1 ln

32、a n2 a n20,令g xx1 ln x2x2,x1,只需證g x0,gxlnxxx12lnx11,x令h xlnx11,x1,就hx11x210 xxx2x所以 h x 在 1,上單調遞增,所以h xh10,從而gx0,所以 g x 在 1,上單調遞增,所以g x綜上可得2 an1an1a n21. an20 ,名校名師舉薦 ,1n1,（3）由（2）知,一方面,an1an11,由迭代可得a n1a 111n1122p2由于 ln xx1,所以lna nan111n1,所以p2lna a 2a nlna 1lna 2lna n110111n1p2221111n1n 2n1；2p1p212另

33、一方面,即an111a na n1,an2由迭代可得a n1a 111n111n1. a na 12p1 2由于lnx11,所以lnan11p11n1,所以xan1 2lna a 2a nlna 1lna 2ln a n1110111n1p222p11n 211；n 2綜上,112n11lna a 2a n1n 2n1. pn 2p21點睛：此題主要考查利用數(shù)歸納法、分析法證明不等式,考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間及最值問題 . 第一問是利用分析法證明不等式,分析法證明不等式是從結論動身,通過變形轉化之后,變?yōu)橐粋€明顯成立的結論,那么原不等式即是成立的 通過放縮后,利用導數(shù)求最值 證明 . .

34、證明不等式,也可以考慮8. 【浙江省嘉興第一中 2022 屆高三 9 月基礎學問測試】已知數(shù)列滿意,求證：（I ）；21 ,；名校名師舉薦 ,（II ）（III）. 見解析 . 【答案】 1 見解析 ;2 見解析 ;3 試題解析：（I ）（數(shù) 歸納法）當時,由于,所以. 得成立 . 假設當時,成立 , 就當時,由于且所以也成立 . （II ）由于,所以所以）由于. ,所以. （III從而,即. : . 所以所以. 22 又,名校名師舉薦 ,故. 9. 【浙江省名校協(xié)作體2022 屆高三上期測試】已知無窮數(shù)列a n的首項a 11,3. 2111a n1,nN*. a n2a nnb的前 n 項和

35、,證明：對任意正整數(shù) n ,T n（）證明：0a n1；（） 記b na na n12,T 為數(shù)列a a n110【答案】 見解析； 見解析. 2時,11111a 2154就111也為遞減數(shù)列,故當na na n2a 2anan245940所以當n2時,b na na n112a n1a n119a n1a n1,a a na na n140當n1時,T nT 1b 193,成立；40101,1,所以0a k1當n2時,利用裂項求和法即可得證試題解析：（）證明：當n1時明顯成立；假設當 nkkN*時不等式成立,即0ka那么當nk1時,111a k1122a k1 .a ka k2a k即nk1

36、時不等式也成立. 綜合可知,0a n1對任意nN 成立 . *23 , 名校名師舉薦 ,（）a n 12 21,即 a n 1 a ,所以數(shù)列 a n 為遞增數(shù)列；a n a n 1又 1 1 1 1a n 1 1 1a n,易知 1a n 為遞減數(shù)列,a n a n 1 a n 2 a n 2 a n a n所以 1 1 也為遞減數(shù)列,a n a n 1所以當 n 2 時,1 1 1 1 a 2 1 5 4 9a n a n 1 2 a 2 2 4 5 402所以當 n 2 時,b n a n a n 1a n 1 a n 1 1 9 a n 1 a na a n 1 a n a n 1 4

37、0當 n 1 時,T n T 1 b 1 9 3,成立；40 10當 n 2 時,T n b 1 b 2 b n 9 9a 3 a 2 a 4 a 3 a n 1 a n40 409 9 a n 1 a 2 9 9 1 a 2 9 9 1 4 27 340 40 40 40 40 40 5 100 10綜上,對任意正整數(shù) n ,T n 31010. 【浙江省鎮(zhèn)海中 2022 屆高三上 期期中】已知數(shù)列 a n 滿意上：a 1 1,2 *a n 1 a n 2 a n 3 b n N . 2（1）如 b 1,證明：數(shù)列 a n 1 是等差數(shù)列；（2）如 b 1,判定數(shù)列 a 2 n 1 的單調性

38、并說明理由；（3）如 b 1,求證：a 1 a 3 a 2 n 1 3 n 4. 62 2【答案】（1）依題意 b 1,a n 1 1 a n 1 2 恒為常數(shù)；（ 2）見解析；（3）見解析 . 24 ,12 a n名校名師舉薦 ,3a n31,得an11與a n1異號,由2 a n33a n（3）由a n12222a n 23222 a n2a 2n112 a 2 n2 a 2na 2n3a 2n113n133a 2n11252a 2n111a 2n12222332 a 2 n2222432 a 2,求和即可證得222. 試題解析：（1）依題意b1,a n11a n22 a n3a n122

39、,平方得：1同號3,an112an122恒為常數(shù) . 31,（2）明顯a n0,a n12 a n2 a nfx2 x2x31在x0,1上單調遞減,fx21, 31,1,即當0a 11時,a n11 與a n故當 0a n1時,0a n1fa n0a n1,13a n122an13a2a n1a na n132a n1a n1an2a na212ann1212 a n12an1na n1a n120,a n2a 與 na n1a n1異號,且a 3a 10,a 2n2a 2n0,a 2n1a 2n10,a 2n1單調遞減,a 2n單調遞增,25 , 名校名師舉薦 ,（3）a n11a n 22

40、 a n33a n3a n31,a n11與an1 2異號,a 2n1122222 a n322 a n2N*. a 110,a 2n110,a2n10,a2n1a2n1,n2222a 2n11a 2n3a 2a 2n1a 2 2n2 a 2na 2n3a 2n113a 2n222222 a 2 n2n3333a 2 2n21332222252a 2n111a 2n11. 2222421n232a 11a 31a 2n1111 12 411n111142222242134a 1a 3a2n13n4. : | 中,611. 【浙江省溫州市2022 屆高三 9 月高考適應測試（一模） 】已知數(shù)列（）（1）求證：；（2）求證：是