1、習(xí)題課離散型隨機(jī)變量的均值與方差的綜合應(yīng)用課后篇鞏固提升基礎(chǔ)鞏固1.已知隨機(jī)變量i滿足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0p1p212,則()A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)解析由題意可知i(i=1,2)服從兩點(diǎn)分布,E(1)=p1,E(2)=p2,D(1)=p1(1-p1),D(2)=p2(1-p2),又0p1p212,E(1)E(2),把方差看作函數(shù)y=x(1-x),函數(shù)在0,12上為增函數(shù),由題意可知,D(1)D(2).故選A.答案A2.甲、乙兩臺(tái)自動(dòng)車床生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)的零件,X表示甲

2、車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù),Y表示乙車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù),經(jīng)過一段時(shí)間的考察,X,Y的分布列分別為X0123P0.70.10.10.1Y0123P0.50.30.20據(jù)此判定()A.甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量比乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量好B.乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量比甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量好C.甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量與乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量一樣D.無法判定解析E(X)=00.7+10.1+20.1+30.1=0.6,E(Y)=00.5+10.3+20.2+30=0.7.顯然E(X)E(Y),由數(shù)學(xué)期望的意義知,甲生產(chǎn)的零件質(zhì)量比乙生產(chǎn)的零件質(zhì)量好.答案A3.已知隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=13,k=3,6,9,

3、則D(X)等于()A.6B.9C.3D.4解析E(X)=313+613+913=6.D(X)=(3-6)213+(6-6)213+(9-6)213=6.答案A4.若XB(n,p),且E(X)=6,D(X)=3,則P(X=1)的值為()A.32-2B.2-4C.32-10D.2-8解析由題意知np=6,np(1-p)=3,解得p=12,n=12.P(X=1)=C121121-1211=12212=32-10.答案C5.某小組做游戲,通過肢體語(yǔ)言把成語(yǔ)的意思傳遞給本組其他同學(xué).若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.4,同學(xué)乙猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.5,且規(guī)定猜對(duì)得1分,猜不對(duì)得0分,則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次,

4、得分之和X(單位:分)的均值為()A.0.9B.0.8C.1.2D.1.1解析由題意得X取值為0,1,2,則P(X=0)=0.60.5=0.3,P(X=1)=0.40.5+0.60.5=0.5,P(X=2)=0.40.5=0.2,E(X)=00.3+10.5+20.2=0.9.答案A6.一牧場(chǎng)的10頭牛,因誤食含瘋牛病毒的飼料被感染,已知該病的發(fā)病率為0.02,設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為,則D()=.解析由已知服從二項(xiàng)分布:B(10,0.02),所以D()=100.020.98=0.196.答案0.1967.若隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0p1),用隨機(jī)變量X表示A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù),則

5、方差D(X)的最大值為.解析隨機(jī)變量X的所有可能的取值是0,1,并且P(X=1)=p,P(X=0)=1-p.從而E(X)=0(1-p)+1p=p.D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p-p2=-p-122+14.0p1,所以當(dāng)p=12時(shí),D(X)取最大值,最大值是14.答案148.某陶瓷廠準(zhǔn)備燒制甲、乙、丙三件不同的工藝品,制作過程必須先后經(jīng)過兩次燒制,當(dāng)?shù)谝淮螣坪细窈蠓娇蛇M(jìn)入第二次燒制,兩次燒制過程相互獨(dú)立.根據(jù)該廠現(xiàn)有的技術(shù)水平,經(jīng)過第一次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.5,0.6,0.4.經(jīng)過第二次燒制后,甲、乙、丙三件產(chǎn)品合格的概率依次為0.6,0.5,0

6、.75.(1)求第一次燒制后恰有一件產(chǎn)品合格的概率;(2)經(jīng)過前后兩次燒制后,合格工藝品的個(gè)數(shù)為,求隨機(jī)變量的期望與方差.解分別記甲、乙、丙經(jīng)第一次燒制后合格為事件A1,A2,A3.(1)設(shè)E表示第一次燒制后恰好有一件合格,則P(E)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)=0.50.40.6+0.50.60.6+0.50.40.4=0.38.(2)因?yàn)槊考に嚻方?jīng)過兩次燒制后合格的概率均為p=0.3,所以B(3,0.3).故E()=np=30.3=0.9,D()=np(1-p)=30.30.7=0.63.能力提升1.某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn),一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的

7、概率分別是0.4,0.5,0.6,且此人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響,設(shè)X表示客人離開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值,則E(X)等于()A.1.48B.0.76C.0.24D.1解析X的分布列為X13P0.760.24,E(X)=10.76+30.24=1.48.答案A2.某商家進(jìn)行促銷活動(dòng),促銷方案是顧客每消費(fèi)1 000元,便可以獲得獎(jiǎng)券1張,每張獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)的概率為15,若中獎(jiǎng),則商家返還中獎(jiǎng)的顧客現(xiàn)金1 000元.小王購(gòu)買一套價(jià)格為2 400元的西服,只能得到2張獎(jiǎng)券,于是小王補(bǔ)償50元給一同事購(gòu)買一件價(jià)格為600元的便服,這樣小王就得到了3張獎(jiǎng)券.設(shè)小王這次消費(fèi)的實(shí)際支出為

8、(單位:元),則E()等于()A.1 850元B.1 720元C.1 560元D.1 480元解析根據(jù)題意知,的可能取值為2 450,1 450,450,-550,且P(=2 450)=453=64125,P(=1 450)=C31151452=48125,P(=450)=C32152451=12125,P(=-550)=C33153=1125,則E()=2 45064125+1 45048125+45012125+(-550)1125=1 850(元),故選A.答案A3.若隨機(jī)變量的分布列為P(=m)=13,P(=n)=a,若E()=2,則D()的最小值等于()A.0B.2C.4D.無法計(jì)算

9、解析由于在分布列中,概率和為1,則a+13=1,a=23.E()=2,m3+2n3=2.m=6-2n.D()=13(m-2)2+23(n-2)2=2(n-2)2.當(dāng)n=2時(shí),D()取最小值0.答案A4.某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1,2,3,4,5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí),每人投10次,投中的次數(shù)如下表:學(xué)生1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)甲班67787乙班67679則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)班級(jí)為.解析甲:平均數(shù)為6+7+7+8+75=7,方差為(6-7)2+3(7-7)2+(8-7)25=25.乙:平均數(shù)為6+7+6+7+95=7,方差為2(6-7)2+2(7-7)2+(9-7)25=65.所以方

10、差較小的為甲班.答案甲班5.已知離散型隨機(jī)變量的可能值為x1=-1,x2=0,x3=1,且E()=0.1,D()=0.89,則對(duì)應(yīng)x1,x2,x3的概率P1,P2,P3分別為、.解析的分布列為:-101PP1P2P3E()=-P1+P3=0.1,D()=(-1-0.1)2P1+(0-0.1)2P2+(1-0.1)2P3=0.89.即1.21P1+0.01P2+0.81P3=0.89,即121P1+P2+81P3=89.又P1+P2+P3=1,-P1+P3=0.1,P1+P2+P3=1,121P1+P2+81P3=89,解得P1=0.4,P2=0.1,P3=0.5.答案0.40.10.56.一個(gè)

11、籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c(a,b,c(0,1),已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1(不計(jì)其他得分情況),則ab的最大值為.解析由已知可得3a+2b+0c=1,即3a+2b=1,ab=163a2b163a+2b22=16122=124.當(dāng)且僅當(dāng)3a=2b=12時(shí)取等號(hào),即ab的最大值為124.答案1247.某人在如圖所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)(指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn))處都種了一株相同品種的作物.根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn),一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示:X1234Y5148454

12、2這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率;(2)從所種作物中隨機(jī)選取一株,求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望.解(1)所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3,邊界上的作物株數(shù)為12.從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有C31C121=36(種),選取的兩株作物恰好“相近”的不同結(jié)果有3+3+2=8(種).故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物,它們恰好“相近”的概率為836=29.(2)先求從所種作物中隨機(jī)選取一株作物的年收獲量Y的分布

13、列.因?yàn)镻(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(shù)(k=1,2,3,4),則n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由P(X=k)=nkN得P(X=1)=215,P(X=2)=415,P(X=3)=615=25,P(X=4)=315=15.故所求的分布列為Y51484542P2154152515則所求的數(shù)學(xué)期望為E(Y)=51215+48415+4525+4215=46.8.一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量

14、的頻率分布直方圖,如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立.(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個(gè)且另1天的日銷售量低于50個(gè)的概率;(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個(gè)的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列,期望及方差.解(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個(gè)”,A2表示事件“日銷售量低于50個(gè)”,B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天日銷售量不低于100個(gè)且另一天銷售量低于50個(gè)”.因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152=0.10

15、8.(2)X可能取的值為0,1,2,3,相應(yīng)的概率為P(X=0)=C30(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=C310.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=C320.62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=C330.63=0.216.所以X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄B(3,0.6),所以E(X)=30.6=1.8,D(X)=30.6(1-0.6)=0.72.9.某人居住在城鎮(zhèn)的A處,準(zhǔn)備開車到單位B處上班,若該地各路段發(fā)生堵車事件都是相互獨(dú)立的,且在同一路段發(fā)生堵車事件最多只有一次,發(fā)生堵車事件的概率如圖例如ACD算兩個(gè)路段:設(shè)路

16、段AC發(fā)生堵車事件的概率為110,路段CD發(fā)生堵車事件的概率為115.(1)請(qǐng)你為其選擇一條由A到B的路線,使得途中發(fā)生堵車事件的概率最小;(2)若記路線ACFB中遇到堵車的次數(shù)為隨機(jī)變量,求的均值E().解(1)記路段AC發(fā)生堵車的事件為AC(其他路段也類似),因?yàn)楦髀范伟l(fā)生堵車的事件是相互獨(dú)立的,且在同一路段發(fā)生堵車的事件最多只有一次,所以路線ACDB中遇到堵車的概率為1-P(ACCDDB)=1-P(AC)P(CD)P(DB)=1-1-1101-1151-16=1-910141556=310.同理,路線ACFB中遇到堵車的概率為1-P(ACCFFB)=239800310.路線AEFCDB中

17、遇到堵車的概率為1-P(AEEFFCCDDB)=2 2394 500310.顯然要使由A到B的路線中發(fā)生堵車事件的概率最小,只可能在以上四條路線中選擇,因此選擇路線ACFB,可使途中發(fā)生堵車的概率最小.(2)路線ACFB中遇到堵車的次數(shù)的可能取值為0,1,2,3,P(=0)=P(ACCFFB)=561800,P(=1)=P(ACCFFB)+P(ACCFFB)+P(ACCFFB)=11017201112+9103201112+9101720112=6372 400,P(=2)=P(ACCFFB)+P(ACCFFB)+P(ACCFFB)=1103201112+910320112+110172011

18、2=772 400,P(=3)=P(ACCFFB)=110320112=1800,所以E()=0561800+16372 400+2772 400+31800=13,即路線ACFB中遇到堵車的次數(shù)的均值為13.10.(選做題)低碳生活,從“衣食住行”開始.在國(guó)內(nèi)一些網(wǎng)站中出現(xiàn)了“碳足跡”的應(yīng)用,人們可以由此計(jì)算出自己每天的碳排放量,如家居用電的二氧化碳排放量(單位:千克)=耗電度數(shù)0.785,家用天然氣的二氧化碳排放量(單位:千克)=天然氣使用立方數(shù)0.19等.某校開展“節(jié)能減排,保護(hù)環(huán)境,從我做起!”的活動(dòng),該校高一六班同學(xué)利用假期在東城、西城兩個(gè)小區(qū)進(jìn)行了關(guān)于“生活習(xí)慣是否符合低碳排放標(biāo)準(zhǔn)”的調(diào)查.生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳家庭”,否則稱為“非低碳家庭”.經(jīng)統(tǒng)計(jì),這兩類家庭占各自小區(qū)總戶數(shù)的比例P的數(shù)據(jù)如下:東城小區(qū)低碳家庭非低碳家庭比例P1212西城小區(qū)低碳家庭非低碳家庭比例P4515(1)如果在東城、西城兩個(gè)小區(qū)內(nèi)各隨機(jī)選擇2個(gè)家庭,求這4個(gè)家庭中恰好有兩個(gè)家庭是“低碳家庭”的概率;(2)該班同學(xué)在東城經(jīng)過大力宣傳節(jié)能減排的重要意義,每周“非低碳家庭”中有20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中,宣傳兩周后隨機(jī)地從東城小區(qū)中任選5個(gè)家庭,記X表示5個(gè)家庭中“低碳家庭”的個(gè)數(shù),求E(X)和D(X