1、第3章 圓的基本性質(zhì)3.7 正多邊形 目 錄CONTENTS1 學習目標2 新課導入3 新課講解4 課堂小結(jié)5 當堂小練6 拓展與延伸7 布置作業(yè)正多邊形與圓的關(guān)系的認識正多邊形的有關(guān)計算圓內(nèi)接正多邊形的畫法.（重點、難點）學習目標新課導入 我們已經(jīng)知道，各條邊相等、各個角也相等的多邊形是正多邊形.等邊三角形是正三角形，正方形是正四邊形.正多邊形都是軸對稱圖形，在日常生活和美術(shù)設計中都很常見. 你還知道那些正多邊形？你知道正多邊形和圓的關(guān)系嗎？新課講解 知識點1 正多邊形與圓的關(guān)系的認識1. 正多邊形的定義： 各條邊相等、各個角也相等的多邊形叫做正多邊形要點精析：“各條邊相等、各個角相等”是正

2、多邊形的兩個基本特征，邊數(shù) n3的多邊形必須同時滿足，二者缺一不可，否則多邊形就不是正多邊形例如，菱形的各邊相等，但各角不一定相等；矩形的各角相等，但各邊不一定相等，所以它們都不是正多邊形新課講解2. 任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個 圓是同心圓3. 圓內(nèi)接正n邊形：把圓分成n(n2)等份，依次連結(jié)各 分點所得的多邊形是這個圓的一個內(nèi)接正n邊形，而 這 個圓是正 n 邊形的外接圓拓展：(1)把圓分成n(n2)等份，經(jīng)過各分點作圓的切 線，以相鄰切線的交點為頂點的多邊形是這個圓的外 切正n邊形，而這個圓是這個正n邊形的內(nèi)切圓新課講解4. 與正多邊形有關(guān)的概念：(1)正多邊形的外接圓

3、和內(nèi)切圓有公共的圓心，稱其為 正多邊形的中心(2)正多邊形的外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑(3)正多邊形的內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距(4)正多邊形每一條邊所對的外接圓的圓心角都相等， 叫做正多邊形的中心角新課講解5. 邊心距與弦心距的關(guān)系： 邊心距是圓心到正多邊形一邊的距離，此時的邊心 距也可以看成正多邊形的外接圓中，圓心到多邊形 的邊(即外接圓的弦)的距離，即邊心距也是弦心距； 但弦心距不一定是邊心距新課講解例典例分析下列說法不正確的是()A等邊三角形是正多邊形B各邊相等，各角相等的多邊形是正多邊形C菱形不一定是正多邊形D各角相等的多邊形是正多邊形等邊三角形是正三角形；當菱形的四個角相

4、等時才是正多邊形(正方形)，所以菱形不一定是正多邊形；各邊相等，各角相等的多邊形是正多邊形，故D不對分析：D新課講解例如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于O，ABCDE.求證：五邊形ABCDE是正五邊形根據(jù)同圓中相等的圓周角所對的弧相等，得出 利用等式的性質(zhì)，兩邊同時減去 ，即可得到 ，根據(jù)等弧所對的弦相等，得出BCAE.分析：新課講解ABCDE，圓周角A對 ，圓周角B對 ， . ，即 .BCAE. 同理可證其余各邊都相等五邊形ABCDE是正五邊形證明：新課講解(1)證正多邊形和圓的關(guān)系，在圖形中找到圓的弧、弦等,利用同(等)弧所對的圓周角相等、所對的弦相等解答其證明思路如下：角相等弧相等弦相等 正多

5、邊形(2)證明一個多邊形是正多邊形的方法：利用定義，證出各邊相等，各角相等；利用圓內(nèi)接多邊形,證明各邊所對的弧相等，即把圓n等分，依次連結(jié)各等分點，所得多邊形即為正多邊形. 新課講解 知識點2 正多邊形的有關(guān)計算例已知一個正多邊形有一個內(nèi)角是150，那么它是正幾邊形？由正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)求其邊數(shù)，可以用n邊形的內(nèi)角和公式(n2)180150n，求出n的值；也可以先求每個外角的度數(shù)為30，再求邊數(shù)分析：新課講解方法一：n邊形的內(nèi)角和為(n2)180，此正多邊形內(nèi)角和為150n(n2)180，解得n12.此多邊形為正十二邊形方法二：正多邊形的每個內(nèi)角相等，則每個外角也相等，每個外角為1801

6、5030.又多邊形的外角和是360，3603012，即此多邊形為正十二邊形解：新課講解 知識點3 正多邊形的作圖利用尺規(guī)作一個已知圓的內(nèi)接正六邊形.由于正六邊形的中心角為60,因此它的邊長就是其外接圓的半徑R.所 以，在半徑為R的圓上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圓，進而作出 圓內(nèi)接正六邊形.新課講解例典例分析作一個正三角形，使其半徑為0.9 cm.分析：用量角器畫，先求出其中心角；用尺規(guī)畫，則先考慮等分圓周.新課講解解：作法一：(1)作半徑為0.9 cm的O；(2)用量角器畫AOB BOC 120；(3)連接 AB，BC，CA.則ABC為所求作的正三角 形，如圖所示新課講解作法二：(1)

7、作半徑為0.9 cm的O；(2)作O的任一直徑AB；(3)分別以A，B為圓心，以0.9 cm為半徑作弧，交 O于點C，F(xiàn)和D，E；(4)連接AD，DE，EA. 則ADE為所求作的正三角形，如圖所示新課講解用尺規(guī)作圓的內(nèi)接正方形.已知：如圖，O.求作：正方形ABCD內(nèi)接于O.例典例分析新課講解作法：(1)如圖，作兩條互相垂直的直徑AC，BD.(2)順次連接 AB，BC，CD，DA.由作圖過程可知，四個中心角都是90，所以AB=BC= CD=DA.因為AC，BD都是直徑，所以ABC = BCD= CDA= DAB=90.即四邊形ABCD為O的內(nèi)接正方形.新課講解練一練如圖，AD為O的直徑，作O的內(nèi)接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別如下：甲：(1)以D為圓心，OD長為半徑畫圓弧，交O于B，C兩點；(2)連接AB，BC，AC.ABC即為所求作的三角形乙：(1)作OD的中垂線，交O于B，C兩點；(2)連接AB，AC.ABC即為所求作的三角形 對于甲、乙兩人的作法，可判斷()A甲對，乙不對 B甲不對，乙對C兩人都對 D兩人都不對C課堂小結(jié)正多邊形與圓的關(guān)系：當堂小練1.如圖，O是正五邊形ABCDE的外接圓，這個正五邊形的邊長為a，半徑為R，邊心距為r，則下列關(guān)系式錯誤的是()AR2r2a2 Ba2Rsin 36Ca2rtan 36 DrR