1、eqoac(,在)ABCeqoac(,和)ADC中BACDAC2020年中考數學專題復習和訓練：開放性存在性探究問題例析理由.解答：添加BACDAC.BDABDACAC3xx2（答案不唯一）編寫：趙化中學鄭宗平專題透析：初中數學的開放性存在性問題是近年來各地數學中考的熱點；開放性主要包括條件開放、結論開放、條件結論開放以及思維方法探索等；存在性問題與函數特別是二次函數相結合的比較多，主要包括：一.函數圖像中各類三角形的存在性，比如等腰三角形、直角三角形、全等三角形、，相似三角形的存在性等；二.函數圖象中各類特殊四邊形的存在性，比如：平行四邊形、矩形、菱形以及正方形的存在性；開放性、存在性往往以

2、及其它題型穿插在一起.就自貢數學中考來看，從16-19年這4年的壓軸題都涉及存在性問題；下面我精選了一部開放性存在性問題典例進行分析解答，有追蹤練習，最后的鞏固提升練習供選練，例習題共有100余道.典例精析：題目一.開放性問題典例例1.已知關于x的一元二次方程x1x4p2，p為實數.求證：方程有兩個不相等的實數根；.P為何值時，方程有整數解.（直接寫三個p值，不需要說明理由）略解：.將原方程化成一般形式為：x25x4p20.=52414p2=4p29p204p290，即0.所以原方程有兩個不相等的實數根.當x1時，p2x1x40，解得p0；當x0時，p2x1x44，解得p2或p2；當P為0,2

3、,2，方程有整數解.eqoac(,)ABCeqoac(,)ADC（AAS）C點評：本題的可視為“條件開放性的問題”，添加符合題意的條件不止一種情況；本題這里選擇的BACDAC，用“AAS”判定解決問題.例3.二次函數的圖象的大致圖象如圖所示，請寫出一個滿足該圖象可能的二次函數的解析式.解析：圖象為拋物線，可設此二次函數的解析式為yax2bxca0由拋物線的開口方向可知：a0；y由拋物線交于y的正半軸可知：c0；由頂點在第二象限，對稱軸在y軸的左側，利用a,b有“左同右異”的符號規(guī)律可得：b0.Ox二次函數的解析式可能為：y12點評：本題的可視為“結論開放性的問題”，添加符合題意的結論不止一種情

4、況；就本題而言主要根據二次函數圖象及其性質先確定二次函數各項系數的符號，然后就可以寫出符合題意二次函數的解析式，在解析式的系數符號基礎上適當考慮開口程度和交點離開原點的距離就是了.例4.對于兩個二次函數y1,y2，滿足y1y22x223x8；當xm時，二次函數y1的函數值為5，且二次函數y2有最小值3,；請你寫出兩個符合題意的二次函數y2的解析式.（要求：寫出的解析式的對稱軸不能相同）解析：已知當xm時，二次函數y1的函數值為5，且二次函數y2有最小值3；故拋物線y2的頂點坐標為m,3.可設yxm232y2x223x8xm23，整理為：y1x223mxm點評：本題的問考查的一元二次方程根的判別

5、式，直接從判別式“”切入即可證明；本題的問可以視為“條件和結論都開放性的問題”，條件p不唯一，方程的整數解也不唯一；本問可以逆推解答，先把結論滿足條件的整數解代入方程，然后再開平方求出p的值；當然x取整數時要注意滿足x1x40，因為負數沒有平方根.例2.如圖，BD,請你添加一個條件（不得添加輔助線），使得ABCeqoac(,)ADC,并說明2020中考專題復習和訓練：開放性存在性問題例析第1頁（共34頁）yy2x223x8121當xm時，二次函數y1的函數值為5.m2232mmm255.第2頁（共34頁）25.BCBD；故有yx23或y2x33.ACAD.整理：232mm0，解得：m3或m0.

6、22注：當二次項系數a要取不同的系數時（a2,a0），得到的m的值是不一樣的，即對稱軸若在上述中，其中兩個作為條件，另外三個作為其推出的結論，這樣組成一個命題，請用序號和“”連接寫出至少兩個正確的命題：.直線xm不一樣，所以答案不唯一（“無窮個”）.點評：9.如圖，在O中，半徑OAOB,C、D為弧AB的三等分點，AB分別交AC本題的也可視為“結論開放性的問題”，符合題意的答案往往有多種情況；就本題而言當二次項系數a要取不同的系數時（a2,a0），得到的m的值是不一樣的，所以答案不唯一.本OC、OD于點E、F，則下列結論：E.AOC30o;.CEDF;.AEO105o;.ACCDBD.FD題是采

7、用正推和逆推“兩頭湊”的辦法求得m的值，從而準確寫出符合題意二次函數y2的解其中正確的結論是（填序號）.OBABOeqoac(,)DCO.C3.如圖，已知ABC和線段EF，EFBC；若以EF為一邊在平面內求作一點D,連接DE、DF后使DEFABC；40有兩個不相等的實數根，寫出一組滿足條件的析式.追蹤練習：1.五條線段的長度分別為：2,4,5,6,7，用其中三條線段組成三角形，寫出能組成三角形的線段的數據至少3組：.ABO2.如圖，已知ABCD,結合圖請再添加一個條件，使之能判定DABCEFD則符合條件的點D在本平面內有處.（填數字）2A14.如圖，已知12,結合圖請再添加一個條件，使之能判定

8、BECABCeqoac(,)ADC.A10.在矩形ABCD中，AB5,BC12,點A在B中，如果D與B相交，且點B在D內，那么D的半徑長可以等于.（只需寫出一個符合要求的數）11.已知二元一次方程x2y7，寫出兩個該方程的正整數解：.12.寫出一個有一個根為1的一元二次方程：.13.已知關于x一元二次方程ax2bx1a,b的值:a=,b=.14.已知關于x一元二次方程x25xc0有兩個不相等的實數根,且兩根之積為正數；若c是整數。則c=.15.已知不等式組122xx15.如圖，Deqoac(,為)ABC的邊AC上的一點，過點D畫一條直線與DABC的另一邊交于點E.使ABCeqoac(,)ADE

9、,這樣的直線BC2x1x1，寫出兩個滿足該不等式組的整數解；.可以畫條.（填數字）AED16.在平面直角坐標系中，已知一次函數的圖象過一、二、四象限，寫出一個滿足該條件的一次6.如圖，已知ABCD,點E為邊AD上的任意一點，過點EG函數的解析式：.y數的解析式：.Ox8.如圖，在O中：A.AB是O的直徑；O2xm1x3，作對角線AC的平行線，交BC的延長線于F,交DC于點G;BCF請寫出相似三角形兩對：.AD7.如圖，已知ABCD的對角線AC,BD交于點O;請結合圖Oeqoac(,形在)ABCD基礎上添加一個條件，使之能定四邊形ABCD是BC菱形.CEB.AB弦CD;D.AB平分弦CD（弦CD

10、不是直徑）；2020中考專題復習和訓練：開放性存在性問題例析第3頁（共34頁）17.二次函數的圖象的大致圖象如圖所示，請寫出滿足該圖像一個可能的二次函18.一二次函數的圖象過坐標原點。且在其對稱軸的左側圖象的y隨x的增大而增大；請寫出一個滿足條件的二次函數的解析式：.19.寫出一個你喜歡的實數m的值，使得事件“對于二次函數y12當x3時，y隨x的增大而減小.”成為隨機事件.第4頁（共34頁）22.先化簡代數式13m22m1m24，再從2m2中選一個恰當的整數作為m的20.已知點A2,1通過旋轉可以得到點B1,2；請敘述一下旋轉方式：.21.有下列三個多項式：A2m23mnn2;Bm2mn;C3

11、m23mn.請你從中選兩個多項式進行加減運算并對結果進行因式分解.m2值代入求值.23.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是0,3，點B在x軸上，將AOB繞點A逆時針旋轉90得到AEF，點O,B的對應點分別是點E,F.若點B的坐標是4,0，請在圖中畫出AEF，并寫出點E,F的坐標；.當點F在x軸上方，試寫出符合條件的B的坐標.yA25.在ABC中，ABAC,BAC90o，CD、BE分別為ABC的中線，AFCD，AGBE,分別交CD、BE的延長線于點F、G，試問：.AF與AG相等嗎？為什么？.當BAC90o時，其余條件不變，猜想AFAG(用“”,“=”或“”,“=”或“”填空)；.通過本題，你

12、可以得到結論：等腰三角形的頂點到兩腰中線所在直線的距離.請以BAC90o時來證明此結論（見圖）.AFGDEBC26.如圖OAB為直角三角形，OAB90o,O60o,OB10,一動點P沿射線OA運動（不與O重合），連接BP，設APx，OPB的面積為y.當P運動到使PBOB時，求此時AP的值；.設中P點的位置為P點，當P點在點O與點P之間運動時（不與O,P重合）請你判斷BOxOPB的形狀（按角分類）變化的情況，并說明理由；.寫出當OPB為銳角三角形時，y與x的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍.P(P)24.已知ABC紙片.如圖甲，將ABC紙片折疊，使C落在三角形的內部，求證：ADCBEC2C;

13、.如圖乙，將ABC紙片折疊，使C落在三角形的外部，中的結論還成立嗎？若不成立，寫出ADC、BEC、C之間的數量關系，并證明.AO60BAAC27.問題探究：CDDCCBEBE圖甲圖乙2020中考專題復習和訓練：開放性存在性問題例析第5頁（共34頁）【提出問題】.如圖1，在等邊三角形ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連接AM,以AM為邊作等邊三角形AMN,連接CN.求證：ABCACN【類比探究】.如圖2，在等邊三角形ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其他條件不變，中的結論ABCACN還成立嗎？【拓展延伸】.如圖3，在等腰三角形ABC中，BABC,點M是BC上

14、的任意一點（不含端點B、C），以AM為邊作等腰三角形AMN，使頂角AMNABC,連接CN.試探究ABC第6頁（共34頁）與ACN的數量關系，并說明理由.AANNAN30.分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個半圓、三個正方形、正三角形，其面積分別用S1,S2,S3表示。.請你確定S1,S2,S3之間的關系并加以證明；.若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個一般三角形，其面積分別用S1,S2,S3表示，為使S1,S2,S3之間仍具有與(1)相同的關系，所作三角形應滿足什么條件？證明你的結BMCBCMBM圖1圖2圖3C論；.類比(1)、(2)的結論，請你總結出一個更具一般意義的結論.S2CS

15、2CS2ABABS1，28.已知ABC為正三角形，點M是射線BC上任意一點，點N是射線CA上任意一點，且BMCN,直線BN與AM相交于Q點就下面給出的三種情況（如圖、）先用量角器分別測量BQM的大小，然后猜測BQM等于多少度？并利用圖證明你的結論NAAQAQNNQBMCBMCBCMCS3S3S3ABS1S131.如圖，AC是正方形ABCD的對角線，AE平分BAC交BC于點E,作EFAC于圖圖圖F；寫出圖中與線段BE相等的線段，并選擇一個加以證明.ADF給出以下三個條件：.ABAC;.DEAC;.DE與O相切.29.已知ABC，分別以AB,BC,CA為邊向形外作等邊三角形ABD、等邊三角形BCE

16、、等邊三角形.如圖1，當ABC是等邊三角形時，請你寫出滿足圖中條件，四個成立的結論；.如圖2，當ABCC中只有ACB60o時，請你證明SABC與SABD的和等于SBCE與SACF的和.DDAFAFBEC32.如圖，在ABC中，O是AB上一點，以點O為圓心，OB為半徑的圓交BC于點D,連結OD,A.請你從以上三個條件選取兩個作為條件，另外一個作為結論，寫出所有真命題；BCBC.選擇中的一個真命題加以證明.OEEE圖1圖2BDC2020中考專題復習和訓練：開放性存在性問題例析第7頁（共34頁）第8頁（共34頁）DcEbA.根據頂點坐標點為2,0，且經過點4,1，將拋物線11yxx11x244Ox1

17、，12y214Py=-1l點A的坐標為1,，點B的坐標為4,1;作出點B關于直線l對稱點B,連接AB交4,3；設直線AB的解析式為ykxbk0，把A1,和B4,3代入烈成方程33.如圖，AB是O的直徑，CB,CE分別切O于點B,D，CE與BA的延長線交于點E，連結OC,OD.求證：OBCODC.已知DEa.AEb,BCc,請你思考后，選用以上適當的數，設計出計算O半徑r的一種方案：C.你選用的已知數是；.寫出求解過程（結果用字母表示）aB34.如圖，以等腰ABC的一腰AB為直徑的O交BC于D，過D作DEAC于E.試證：DE是O的切線.問：.若點O在AB上向B移動，以O為圓心，以OB為半徑的圓仍

18、交BC于D,DEAC的條件不變，那么上述結論是否還成立？請說明理由.3.如果ABAC5cm，sinA，那么圓心O在AB上什么位置時，O與AC相切？5AOEBDC35.如圖1,AB是O的直徑，AC是弦，直線EF和O相切于點C,ADEF于D.求證：DACBAC;.若把直線EF向上平行移動，如圖2，EF交O于G,C兩點，若題中的其他條件不變，這時與DAC相等的角是哪一個？為什么?BBOOAA題目二.存在性問題典例注：存在性問題主要是與函數特別是二次函數相結合，類型很多。比如：函數中三角形的存在性問題就涉及直角三角形、等腰三角形、全等三角形、相似三角形等，函數中的特殊四邊形的存在性問題涉及平行四邊形、

19、矩形、菱形、正方形等，還有函數中面積最值、長度最值等等存在性問題；存在性問題大多要先假設存在，在假設的前提下進行推理論證，以獲得問題的解決；由于篇幅有限，我在這里只略舉其中幾類例子進行解析，希望對同學們解答此類題有所幫助.例1.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點為2,0，且經過點4,1；如圖，直線1yx與拋物線交于A,B兩點，直線l為y1.4.求拋物線的解析式；.在l上是否存在一點P,使PAPB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在請說明理由.y略解：BA設為頂點式后求得拋物線的解析式為：Oxlyx22，即yx2x1.y=-144y.聯立直線AB和拋物線解析式得到：1BA解得：y

20、xx1y411B4直線l于點P,此時PAPB的值最小.根據軸對稱的性質，結合B的坐標為4,1;和直線l:y1，可以求得B的坐標為14CDF組，可求得直線AB的解析式為y13當y1時，13EEGCDF圖1圖2412x3.4282812x31，解得;x13;P13,1.2020中考專題復習和訓練：開放性存在性問題例析第9頁（共34頁）第10頁（共34頁）AC2BC2AB2,即AC2BC25225AACBC2ACBC25BCm526m25.點評：本題的問可視為“與距離最值相關存在性問題”，就本題而言主要是根據軸對稱的性質，并結合“兩點之間，線段最短”通過一次函數為橋梁使問題得以解決；還有一類距離最值

21、問題需要建立二次函數，并通過二次函數的最值解決存在性問題.利用數學建模建立二次函數來解決距離最值的存在性問題，本專題不再舉例，另外有“最值”專題復習資料供同學們閱讀.例2.如圖，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃。設花圃的寬AB為x米，面積為S平方米，.求S與x的函數關系式.如果要圍成面積為45平方米的花圃，AB的長是多少米？.能圍成面積比45平方米更大的花圃嗎？如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不略解：.ACB90o2AC,BC的長是的方程x2m5x6m0的兩個實數根.ACBCm5,ACBC62整理為：m22m0，解得：m2或

22、m0（不合題意，舍去）能，請說明理由.略解：.根據題意花圃的寬AB為x米，其寬為243x米，a當m2時，x27x120，解得：x13,x24BCACBC4,AC33x8x3不合題意，舍去.x5.由問可知：S3x224x3x448.AC,即DC.若DC與BC是對應邊時，則有DC.若DC與AC是對應邊時，則有DCAC4解得：DCBC,即34.（見圖）則根據矩形的面積公式可得：ADS243xx3x224xB.由條件可知;3x224x45C整理的：x28x150，解得：x15,x23.0243x1014AB的長是5米.2a30.假設在段BC的延長線上是存在點D，使得以D,A,C為頂點的三角形與ABC相

23、似AC3BC43解得：DC4；（見圖）ACDC39經檢驗：9當DC4時，BAD是等腰三角形；當DC時，BAD是直角三角形，BAD90o.49AADC4或DC均符合題意；44當x4。S的值最大，最大值為48平方米.故能圍成面積比45平方米更大的花圃，最大面積為48平方米.9故存在符合題意得點D,DC4或DC.BCDBCD點評：本題的問可視為“與面積最值相關存在性問題”，就本題而言根據題意并結合矩形的面積公式建立二次函數解決問題.利用數學建模建立二次函數來解決面積最值的存在性問題，通常還與平面直角坐標系的直線和拋物線結合在一起，以坐標進行聯結轉換，再以幾何圖形面積來建立二次函數解決問題.本專題不再

24、舉例，另外有“最值”專題復習資料供同學們閱讀.例3.已知，如圖，RtABC中，ACB90o,AB5,兩直角邊AC,BC的長是關于x的方程x2m5x6m0的兩個實數根.求m的值及AC,BC的長（BCAC）；.在線段BC的延長線上是否存在點D，使得以D,A,C為頂點的三角形與ABC相似？若存在，求出CD的長；若不存在，請說明理由.2020中考專題復習和訓練：開放性存在性問題例析第11頁（共34頁）點評：本題的問可視為“與相似三角形相關的存在性問題”，就本題而言根據題意先假設存在，然后推理解答，最后驗證.這類題還經常把問題放在函數中來探討，常與函數圖象上的點的坐標與相似三角形的比例線段相連接，以建立

25、方程來解決問題.例4.如圖，拋物線yax2bxca0與直線yx1相交于點A1,0,B4,m兩點，且拋物線經過點C5,0.求拋物線的解析式；.點P是拋物線上的一個動點（不與點A,點B重合），過點P作直線PDx軸于點D,交直線AB于點E.當PE2ED,求點P的坐標；.是否存在點P使BEC為等腰三角形，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請第12頁（共34頁）說明理由.略解：y.先把B4,m代入yx1求得m5；PBC245250226由EBEC,BEBC,CBCE可得：EB2EC2,BE2BC2,CB2CE2以此建立方把A1,0，B4,5，C5,0代入yax2bxca0B列成方程組解得：a1,b

26、4,c5;E程解決問題.點評：4x5，Ex,x1，Dx,0.故yx24x5.A.設Px,x2ODCx本題的問可視為“與等腰三角形相關的存在性問題”，就本題而言根據題意先假設存在，然后分類討論，推理解答，本來“一線（中垂線）兩圓”可以定出5個點，最后驗證有一點和已知兩點共線，故只有4種.這類題通常把問題放在函數中來探討，常與函數圖象上的點的坐標并結合兩點間的距離公式表示出三角形的邊，分類建立方程來解決問題.,P2413,4138,P3413,4138,P40,5.3119.P,9a3b30b22kb3解得第一種情況：若點P在拋物線AB之間：PEx24x5x1x23x4，而EDx1PE2EDx23

27、x42x1整理：x2x20解得：x12,x21.E2,3或E1,0，而E1,0與點A重合，故舍去.此時P2,9.第二種情況：若點P在拋物線A左側PEx1x24x5x23x4，而EDx1PE2EDx23x42x1整理：x2x20解同上.第三種情況：若點P在拋物線B右側PEx1x24x5x23x4，而EDx1PE2EDx23x42x1整理：x25x60解得：x16,x21.E6,7或E1,0，而E1,0與點A重合，故舍去.此時P6,7.416注：先假設存在的基礎上，分為：EBEC,BEBC,CBCE三種情況進行討論.結合點B4,5，Ex,x1，C5,0利用兩點間的距離公式可得：BE2x42x152

28、2x216x32EC2x52x1022x28x262020中考專題復習和訓練：開放性存在性問題例析第13頁（共34頁）例5.（自貢中考）如圖，拋物線yax2bx3過A1,0、B3,0，直線AD交拋物線于點D,點D的橫坐標為2，點Pm,n是線段AD上的動點.求直線AD及拋物線的解析式；.過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q,求線段PQ的長度l與m的關系式，m為何值時，PQ最長？.在平面內是否存在整點（橫、縱坐標都為整數）R,使得P、Q、D、R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由.略解：.拋物線yax2bx3過A1,0、B3,0ab30a1解得:所以yx22

29、x3點D的橫坐標為2當x2時，y222234433D2,3設直線AD的解析式為ykxbA1,0、D2,3kb0k1所以yx1b1.點Pm,n，過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q.點P和點Q的橫坐標相等.當xm時代入yx1得：ym1；則點Pm,m1.當xm時代入yx22x3得：ym22m3.則點Qm,m22m3.PQm1m22m3即lm1m22m3第14頁（共34頁）a10當m15,ba3；是否存在整數別以PQ為邊和對角線討論）的R整點坐標情況有：R2,1、R2,5、R2,1m1m22m3時，lm1m22m3；整理lm2m21212時，l有最大值；即此時線段PQ最長.在平面內存在整點（橫、縱

30、坐標都為整數）R,使得P、Q、D、R為頂點的四邊形是平行四邊形.整點R坐標分別為：2,1、2,5、0,3、2,1.因為Pm,n是線段AD上的動點，計算出A1,0、D2,3，從而確定點P橫縱坐標的變化范圍進行整點坐標的分類討論（根據解析式和點D的坐標，點P、Q也應為整點）.11.當P1,2時，Q11,4；以P、D、Q1作為定點，能使點R與它們構成平行四邊（分別以PQ為邊和對角線討論）的R整點坐標情況有：R12,1、R22,5、R30,3（見分析示意圖）.22.當P0,1時，Q10,3；以P、D、Q2作為定點，能使點R與它們構成平行四邊（分456（見分析示意圖）.注：當P點與A、D重合時，點Q點也

31、同時會相應的與A、D重合時，該四邊形不存在.分別是ABC的A,B,C的對邊，C90o,且cosB3m，使上述一元二次方程兩個實數根的平方和等于RtABC的斜邊c的平方？若存在，求出滿足條件的m的值；若不存在，請說明理由.2.若拋物線yx212mx64m與x軸交于兩點Ax1,0,Bx2,0（x1,x2,x10），2它的對稱軸交于x軸于點Nx3,0；若A,B兩點距離不大于6.求m的取值范圍；.當AB5,求拋物線的解析式；.試判斷，是否存在m的值，使過點A和點N能作圓與y軸切于點0,1或過點B和點N能作圓與y軸切于點0,1;若存在,找出滿足條件的m的值。若不存在，試說明理由.綜上所述，滿足條件的整點

32、R的坐標有2,1、2,5、0,3、2,1.yyyOxBOAxR1R4P2CR2R5點評：原圖4，求經過P、C、A三點的拋物線的函數解析的坐標；如果不存在,請說明理由.yBAxBAOR6P1PDR3DQ2DQQ1圖圖本題的問可視為“與特殊四邊形相關的存在性問題”，也是要先假設存在，抓住以P、Q、D、R為頂點的四邊形頂點有3個動點，也是本問的難點所在，結合解析式和其中一個頂點是定點且為整點，把動點中的P、Q也視為“定點”，在此基礎上討論就比較容易破題了.也是要以點的坐標并結合兩點間的距離公式來計算出四邊形的對邊或對角線，然后抓住兩組對邊相等，兩對角線互相平分來判斷.追蹤練習：1.若關于x的一元二次

33、方程x23m1xm29m200有兩個實數根，又已知a,b,c2020中考專題復習和訓練：開放性存在性問題例析第15頁（共34頁）3.已知A8,0、B0,6、C0,2三點，連接AB,點P是線段AB上一動點，直線l經過點C和點P，交x軸于點E.當PBPC時，求點P的坐標；.設直線l與x軸所夾的銳角為，且tan5式；.在中的拋物線的對稱軸上是否存在一點Q,使PQQCC最短？如果存在，請求出點QBPOEAxC4.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15,OA比OC大2,點E為BC的中點，以OE為直徑的O交x軸于點D,過D作DFEA.交AE于點F.求OA、OC的長及點O的坐標；.求證：DF為O

34、的切線；第16頁（共34頁）yy“.小明在解答本題時，發(fā)現AOE是等腰三角形，由此他斷定：直線BC上一定存在除點E外的點Peqoac(,使)AOP也是等腰三角形，且點P一定在O外”；你同意他的看法嗎？請說明理由.yCEBOFODAx5.如圖，點Am,6,Bn,1在反比例函數的圖象上，ADx軸于點D,BCx軸于點7.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線yx2bxc過A,B,C三點，點A的坐標是3,0點C的坐標是0,3，動點P在拋物線上.b=，c=，點B的坐標為；（直接寫結果）.是否存在點P,使得ACP是以邊AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，說明理由.過點動

35、點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D,過點D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF;當線段EF的長度最短時，求出點P的坐標.備用圖OAD,DC5.求m,n的值并寫出反比例函數的解析式；備用圖.連接AB,在線段DC是否存在一點E,使ABE的面積等于5，若存在，求出點E的坐標；備用圖B備用圖xBOAx8.已知拋物線yax13a0的圖象與y軸交于點A0,2，頂點為B.若不存在，請說明理由.yABODCx6.若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們?yōu)椤坝押脪佄锞€”.兩條拋物線C1：y3x26x1與C2：y2x2mxn的頂點相同是“友好拋物線”.求拋物線C2的解析式；.點A是拋物找C2在第四象限內圖象上的一動

36、點，過點A作APx軸,P為垂足，求APOP的最大值；.設拋物線C2的頂點為點C，點B的坐標為1,4，問在C2的對稱軸上是否存在點Q，CC備用圖2.試確定a的值，并寫出點B的坐標；.若一次函數的圖象經過A,B兩點，試寫出一次函數的解析式；.試在x軸上求一點P,使PAB的周長取最小值；.若將拋物線平移mm0個單位，所得新拋物線的頂點記作C，與原拋物線的交點記作D，問：點O,C,D能否在同一條直線上？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由.yy33OOx使線段QB繞點Q順時針旋轉90得到線段QB，且點B恰好落在拋物線C2上？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由yyx備用圖2020中考專題復習

37、和訓練：開放性存在性問題例析第17頁（共34頁）2211x21O12321O123112A2A3B3B備用圖第18頁（共34頁）x4的距離，若存在，求出定點F的坐標；若不存在，請說明理由.9.如圖，拋物線與x軸交于A1,0,B3,0兩點，與y軸交于點C0,3點，點D為拋物線的頂點，過B,C作直線BC.求拋物線和直線BC的解析式；.若點P為直線BC上一動點.是否存在點P，使得PAD為等腰三角形；若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.yD.若點M是位于直線AB上方拋物線上的一動點，以MA、MB為相鄰兩邊作平行四邊形MANB,當平行四邊形MANB的面積最大時，求此時四邊形MANB的面積S及點

38、M的坐標；.在拋物線C的對稱軸上是否存在定點F,使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y17yyCMBy174MBy174ABOxAOxAOx10.如圖，在平面直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊長為2m，點A,C分別在y軸的負半軸和x軸的正半軸上，拋物線yax2bxc經過點A和點B,且12a5c0.求拋物線的解析式；.如果點P由點A沿AB邊以2cm/秒的速度向點B移動，同時點Q由點B沿BC邊以備用圖鞏固提升練習：1.在多項式4a2的括號內填上一個單項式，使多項式能用“平方差公式”因式分解.，試寫出S與t之間的函數關系式，并寫出t的取1cm/秒的速度向點C移動,那么：.移動開始后第t秒

39、時，設SPQ2cm2x212.在分式的分母（括號內）填上一個與分子有公因式的的二次三項式.形？若存在，請求出點R的坐標；若不存在，請說明理由.2xbxc0有兩個不相等的實數根，寫出一組滿足條件的b,c值范圍；.當S取最小值時，在拋物線上是否存在點R,使得以P,B,Q,R為頂點的四邊形是平行四邊yy3.已知二元一次方程2xy11，寫出兩個該方程的正整數解：.4.寫出一個兩根互為倒數的一元二次方程：.5.已知關于x一元二次方程12OCxOCx的值:b=,c=.6.已知直線m：ykxk0的圖象在第一象限內在直線y2x的右下面，請寫出一個滿足此條件直線m的解析式：.8.若一個一次函數的圖象直線ykxb

40、k0與x軸夾角的銳角為，且tan210.對于拋物線yx2x2，下列結論：RRAPBAPB備用圖11.（自貢中考）如圖，已知直線AB與拋物線C：yax22xc相交于A1,0和點B2,3兩點.求拋物線C的函數表達式；2020中考專題復習和訓練：開放性存在性問題例析第19頁（共34頁）7.寫出一個圖象經過二、三、四象限一次函數的解析式：.3，寫出一個滿足此條件的一次函數的解析式.9.已知下列函數：.yx2；.yx2；.yx122；其中圖象通過平移可以得到函數yx22x3的圖象有（填序號）.152.拋物線的開口向下；.對稱軸為直線x1；.頂點坐標為1,3；.當x1時，y隨x的增大而減小.其中，正確有（

41、填序號）.第20頁（共34頁）.點E為CDB的內心.直線的解析式.11.已知一拋物線與y交于正半軸，且在對稱軸的右側，y隨x的增大而減少；請寫出一個滿足此條件的拋物線的解析式.yC.ADOC;.FCFE;FDE12.一拋物線的大致圖象如圖所示，寫一個滿足此圖象特征的拋物Ox線解析式.其中，正確有（填序號）.22.如圖，AB為O的直徑，C、D分別為半徑OA、OB的的中AOB.AFFEEB;13.一個三角形有兩邊分別為3和7，第三邊為奇數；則此三角形的周長為.y點，CFAB,DEAB；下列結論：.CFDE;FE14.如圖，點A的坐標為1,1，點P為坐標軸上的動點；當OPA為等腰三角形時，則點P的坐

42、標為.OAx.AE2CF;ACODB.四邊形CDEF為正方形.其中，正確有（填序號）.15.已知直線y2x上有一點A1,m，點P為坐標軸上的動點；當OPA為直角三角形，則點P的坐標為.16.在平面直角坐標系中，已知直線y2x，寫出將直線y2x繞著坐標原點鉆轉90所得到的直線的解析式.ANDM17.如圖，正方形ABCD的邊長是2，BECE,MN1,線段MN的兩端在CD、AD上滑動.當DM=eqoac(,時，)ABE與以D、M、N為頂點的三角形相似.BEC23.半徑為13cm圓內的兩條平行弦分別為10cm和24cm長，則兩條平行弦之間距離是；24.ABC是O的內接三角形，ABAC,BC16cm,點

43、O到BC的距離為6cm,則ABC的面積是；25.若O為ABC的外心，Cno，用no表示AOB為.26.OA,OB是O的半徑，且互相垂直，延長OB到C，使BCOB,CD是O的切線，D為切點，則OAD的度數為.27.在a22abb2的“”內任意添上“+”或“-”符號后,寫出一個其中代數式能夠構成完全平方分解因式的；若將前面式子變式后“a22abb2”改為“a22abb2”后，在“”A18.如圖，已知四邊形ABCD,連接對角線AC,AEBD于點E,FD內任意添上“+”或“-”符號后，寫出所有代數式能夠構成完全平方來分解因式的.a22aCFBD于點F,AECF;請你添加一個條件，能證明知四邊E形ABC

44、D是平行四邊形.添加的條件是.BCA19.如圖，在ABC中，EFeqoac(,為)ABC的中位線，D為BC邊上EF一點（不與B、C重合），AD與EF交于點O，連結DE、DF，O的要使四邊形AEDF為平行四邊形，則需要添加條件BDC（只需添加一個條件）28.已知3a1，請先化簡a24值代入求值.a24a4a22a，再從3a1中選擇一個合適的整數a20.如圖，將等邊ABC繞點C順時針旋轉120得到EDC,連接AD、BD，則下列結論：.ACAD;AD.BDAC;.四邊形ACED是菱形.29.某校九年級兩個班各為一遭受自然災害的災區(qū)捐款1800元.已知二班比一班人均捐款多4元，二班的人數比一班的人數少

45、10%.請你根據上述信息，就這兩個班級“人數”或“人均捐款”提出一種用分式方程解決的問題，并寫出解題過程.其中，正確有（填序號）.BCE21.如圖，已知AB為O的直徑，CD,CB為O的切線，D,B為切點，OC交O于點E,AE的延長線交BC于點F,連接AD,BD，給出以下結論：2020中考專題復習和訓練：開放性存在性問題例析第21頁（共34頁）第22頁（共34頁）圖圖C剩下的正方形面積是原正方形面積的5.當BAC為多少度時，四邊形FADE為矩形？EAHDAFD30.在平面直角坐標系中，點A的坐標為0,3，點B在x軸上，將AOB繞點A逆時針旋轉90得到AEF,點O,B的對應點分別是點E,F.若點B

46、的坐標是4,0，請在圖中畫出AEF，并寫出點E,F的坐標；.當點F落在x軸的上方時，試寫出一個符合條件的點B的坐標.yABOx31.如圖，在RtABC中，C90o,AB5cm,AC3cm；動點P從點B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動；設運動時間為t秒.求BC邊的長；.當ABP為直角三角形時，求t的值；.當ABP為等腰三角形時，求t的值.AAABPCBCBC備用圖1備用圖232.以ABC的三邊在BC的同側做等邊EBC、等邊FBA、等邊DAC.判斷四邊形FADE的形狀？F.當BAC為多少度時，四邊形FADE不存在？A.當ABC滿足什么條件時，四邊形FADE為菱形？33.用剪刀將形如圖所示的矩形

47、紙片ABCD沿著直線CM剪成兩部分，其中M為AD中點用這兩部分紙片可以拼成一些新圖形，例如圖中的RtBCE就是圖裁剪的MCD逆時針旋轉拼成的一個圖形.用這兩部分紙片除了可以拼成圖中的RtBCE外，還可以拼成一些四邊形請你試一試，把拼好的四邊形分別畫在兩個虛框內.如圖，若利用這兩部分紙片拼成的RtBCE是等腰直角三角形，設原矩形紙片中的邊AB和BC的長分別為a厘米、b厘米，且a、b恰好是關于x的方程x2(m1)xm10的兩個實數根，試求出原矩形紙片的面積EAMDAMBCB34.如圖，若要把邊長為1的正方形ABCD的四個角（陰影部分）剪掉，得到一四邊形EFGH,試問能否使剪出的四邊形EFGH為正方

48、形，如果能，怎樣剪，才能使剩下的圖形為正方形，且AE9，請說明理由.（寫出證明和計算過程.）DHFBGC35.在一張長12cm，寬5cm的矩形紙片內，要折出一個菱形；李同學按照取兩組對邊中點的方法這出菱形EFGH（見方案1），張同學沿矩形對角線折出CAEDAC,ACFACB的方法得到菱形AECF（見方案二），請你通過計算，比較李同學和張同學折法中，那種菱形的面積大？EGBC2020中考專題復習和訓練：開放性存在性問題例析第23頁（共34頁）DBFCBEC方案一方案二第24頁（共34頁）36.在ABC中，ACB是銳角，點D為射線BC上一動點，連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉90得到AE.連接

49、EC.問題發(fā)現：.如果ABAC,BAC90o,當點D在線段BC上時（不與點B重合）；如圖1，請你判斷線AA(D)AEFEFPPDBQ段CE,BD之間的位置關系和數量關系（直接寫出結論）；拓展探究：.如果ABAC,BAC90o,當點D在線段BC的延長線上時，如圖2.請判斷中的結論是否仍然成立；如成立，請證明你的結論；問題解決：BBQCC(E)DFFC圖1圖2圖3.如圖3，如果ABAC,BAC90o,當點D在線段BC上運動；試探究：當銳角ACB等于度時，線段CE和BD之間的位置關系仍然成立（點C,E重合除外）；此時作DFAD交線段CE于點F，AC32，線段CF的最大值是.EE38.已知E,F分別是

50、正方形ABCD的邊BC,CD上的點，AF,DE相交于點G.當E,F分別為邊BC,CD上的中點時，有：.AFDE;.AFDE成立.試探究下列問題：.如圖1,若點E不是邊BC的中點，F不是邊CD的中點,且CEDF,上述結論、是否仍然成立？（請直接回答“成立”或“不成立”，不需要證明.）.如圖2.若點E,F分別在CB的延長線和DC的延長線上。且CEDE,此時，上述結論、AAEA是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由.如圖3，在的基礎上，連接AF和EF,若點M,N,P,Q分別為AE,EF,FD,AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一種，并證明你的結論.AD

51、ADADFBDCBCDBDC圖1圖2圖3QGGMFGPBECEBCEBEA2時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系？并說明理由.EAn時，EP與EQ滿足的數量關系是什么？37.如圖，一副直角三角板滿足ABBC,ACDE,ABCDEF90o,EDF30o.操作1將三角板DEF的直角頂點E放置于三角板ABC上的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點E旋轉，并使邊DE與邊AB交于點P,邊EF與邊BC于點Q;在旋轉過程中，如圖2，CEEA1時，EP與EQ滿足怎樣的數量關系？并給出證明.操作2在旋轉過程中，如圖3，CE總結操作根據你以上的探究結果，試寫出當CE其中m的取值范圍是什么？2020中考專題復習和訓練：開放

52、性存在性問題例析第25頁（共34頁）CFNF圖1圖2圖339.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，G是AD延長線時的一點，且DGAD,動點M從A點出發(fā)，以1個單位的速度沿著ACG的路線向G點勻速運動（M不與A,G重合）；設運動時間為x秒，連接BM并延長AG于點G.是否存在點M，使ABM為等腰三角形？若存在，分析點M的位置；若不存在，請說明理由；.當點N在AD邊上時，若BNHN交CDG的平分線于點H;求證;BNHN;.過點M分別作AB、AD的垂線，垂足分別E,F,矩形AEMF與ACG重疊部分的面積為第26頁（共34頁）S，求S的最大值.BC（提示：本問可先利用x12x2212和勾股定理轉換成一個

53、含a,c的等式，然后用解方程的思想先探出a,c之間的關系）EHMAFNDG40.已知：MAN30o,O為邊AN上的一點，以O為圓心，2為半徑作O，交AN于D、E兩點，設ADx.如圖，當x取何值時，O與AM相切？.如圖，當x取何值時，O與AM相交于B、C兩點，且BOC90o.已知n為大于1的自然數，設二次函數的頂點為C,連接AC,BC,點A1,A2,，An1；把AC分成n等分，過各分點作x軸的平行線，分別交BC于點B1,B2,，Bn1；求線段A1B1,A2B2,，An1Bn1的和.（可用含n的式子表示）（根據題意可畫出草圖）343.如圖，已知拋物線yax2x4的對稱軸是直線x3，且與x軸相交于點

54、A,B兩點（B2點在A點的右側），與y軸交于C點.MCM.求拋物線的解析式和A,B兩點的坐標；.若點P是拋物線上B,C兩點之間的一個格點（不與B,C重合），則是否存在一點P，使ABDOENADOENPBC的面積最大，若存在，求出PBC的最大面積；若不存在，試說明理由.若M是拋物線上的任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N;當MN3，求M點的橫坐標.yPCO3Dx41.如圖，在半徑為2的扇形AOB中，AOB90o，點C是AB上的一個動點（不與A、B重合），ODBC、OEAC，垂足分別為D、E.當BC1時，求線段OD的長；.在DOE中是否存在保持不變的邊（角）？如果存在，請指出并求出其長

55、度（角度）如果AB44.如圖，拋物線yax1x3a0與x軸相交于點A,B兩點，拋物線上另一點C在x不存在，請說明理由.BD軸的下方，且使OCAOBC.求線段OC的長度；.設直線BC與y軸交于點M,點C是BM的中點，求直線BM和拋物線的解析式；C.在問條件下，直線BC的下方拋物線上是否存在一點P,使得四邊形ABPC的面積最大？EOA42.已知：關于x的二次函數ycax222bxca，其中a,b,c為一三角形的三邊。且若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.yy.如果Ax,0,Bx,0是上述圖象和x軸的兩個交點，且滿足x2x212，求a:b:c；OAOAMCPMC90o.求證：二次函數的圖

56、象與x軸必有兩個不同的交點；12122020中考專題復習和訓練：開放性存在性問題例析第27頁（共34頁）第28頁（共34頁）BxBxCP備用圖45.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線yax22xc，與x軸交于A1,0,B3,0兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點.求拋物線的解析式和直線AC的解析式；.請在y軸上找一點M,使BDM的周長最小，求出點M的坐標；.試探究：在拋物線上是否存在一點P,使以點A,P,C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標？若不存在，請說明理由.yyCC47.拋物線yax2bx3交x軸于點A1,0和點B3,0.求該拋物線的函數解析

57、式；.如圖，改拋物線與y軸交于C,頂點為F,點D2,3在該拋物線上.求四邊形ACFD的面積；（.點P是線段AB上的動點，點P不與A,B重合），過點P作PQx軸，交該拋物線于點Q,連接AQ,DQ;當AQD是直角三角形時，求出所有滿足條件的點Q的坐標（選做）.yyFCDQABxABxOOAOBxAOPBx備用圖46.已知拋物線yx2bxc與y軸交于A0,3，與x正半軸相交于點B,對稱軸是直線x1.求此拋物線的解析式以及點B的坐標；.動點M從點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向運動，同時動點N從點O出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿y軸正方向運動；當N點到達A點時，M,N同時停止運動；過動點

58、M作x軸的垂線交線段AB于點Q，交拋物線于點P,設運動時間為t秒.當t為何值時，四邊形OMPN為矩形；.當t0時，BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由.yyPPAA圖圖48.如圖，已知拋物線yax2bxc(a0)的對稱軸為x1，且拋物線經過A1,0,C0,3兩點，與x軸交于點B.若直線ymxn經過B、C兩點，求直線BC所在直線的解析式；.拋物線的對稱軸x1上找一點M,使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出此點M的坐標；.在拋物線的對稱軸x1上的是否存在點Neqoac(,，使)BNC為直角三角形，若存在，請求出符合條件的點P的坐標？若不存在，請說明理由.在拋物線的對稱軸x1上的是否存在點Peqoac(,，使)BPC為等腰三角形，若存在，請求出符合條件的點P的坐標？若不存在，請說明理由.x=-1yx=-1yNQNQxBOABOAxMBxOMOBxx=1x