1、一、填空題（每小題2分）1、復(fù)數(shù) &2 2i的指數(shù)形式是2、函數(shù)w = 1將Sz上的曲線x 1 2 y2 1變成Sw（w u iv）上 z的曲線是3.若 1 ez 0 ,則 z =4、5、2 i2積分 z 2 dz =6、2一 ，1積分2 i Isin z , dzz7、幕級(jí)數(shù)n 0. n _n i z的收斂半徑R二8、z 0是函數(shù)1ez 1奇點(diǎn)z9、Res z 1 z 110、將點(diǎn)，i,0分別變成0,i,的分式線性變換w 二、單選題（每小題2分）1、設(shè)為任意實(shí)數(shù)，則2、A無意義C是復(fù)數(shù)其實(shí)部等于 卜列命題正確的是（A i 2iD是復(fù)數(shù)其模等于13、,11C僅存在一個(gè)數(shù)z,使彳31z卜列命題正

2、確的是（）B零的輻角是零1 -D - z iziA函數(shù)f zz在z平面上處處連續(xù)B如果f a存在，那么f z在a解析C每一個(gè)幕級(jí)數(shù)在它的收斂圓周上處處收斂D如果v是u的共腕調(diào)和函數(shù)，則u也是v的共腕調(diào)和函數(shù)4、根式3n的值之一是（）A 13A i22Bi2一 L D i 22225、下列函數(shù)在z 0的去心鄰域內(nèi)可展成洛朗級(jí)數(shù)的是（）i1sin z1ctg_B cosC e zD Lnzz TOC o 1-5 h z 6、下列積分之值不等于0的是()A dzdz- dzdzA-oBTC - D |z|1z 3|z| 1z 1ziz 2z 4|z 18sz227、函數(shù)f z arctanz在z 0

3、處的泰勒展式為（）2n2n 1A 1 n ( z1)B 1 n ( z1)n o 2n 1n 0 2n2n 12nC 1n 蒲() D 1n|-(z1) n 0 2n 1n 0 2n8、幕級(jí)數(shù) （1）n1z2n在z 1內(nèi)的和函數(shù)是（ n 011 z21 z2z2 111 z29、設(shè) a i, C: z i =1,則 cosz-dz(C a iA 0 B iC 2 ieeD icosi10、將單位圓z 1共形映射成單位圓外部 w1的分式線性變換是（“i z a , 八Awe （ a 1） 1 az八i z aC w e （ a 1）z a三、判斷題（每小題2分）1、（）對(duì)任何復(fù)數(shù)z,z2B w

4、ei z -a (a 1)1 azri z aD w e = (a 1)z az2成立2、（）若a是f z和g z的一個(gè)奇點(diǎn)，則a也是f z g z的奇點(diǎn)3、（）方程z7 z3 12 0的根全在圓環(huán)1 z 2內(nèi)54、（ ）z= 是函數(shù)f z-2的三階極點(diǎn)1 z5、（）解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的 四、計(jì)算題（每小題6分）1、已知 f z x2 axy by2 i(cx2dxyy2)在 Sz上解析，求 a,b,c,d 的值2、計(jì)算積分lzl5z2z(zdz一 ，,z 1 ，人一，一，一“，、，.一一3、將函數(shù)f z 在z 1的鄰域內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù)，并指出收斂范圍z 14、計(jì)算實(shí)積分2dx (x2 1)(

5、x2 4).、1，一 、一一，、，、5、求f（z） 在指定圓環(huán)2 z i內(nèi)的洛朗展式1 z6、求將上半平面Im z 0共形映射成單位圓w1的分式線性變換w L z ,使符合條件L i 0, L i 0五、證明題（每小題7分）1、設(shè)（1）函數(shù)f （z）在區(qū)域D內(nèi)解析（2）在某一點(diǎn) z D 有 f（z。）0, （n 1,2,）證明：f（z）在D內(nèi)必為常數(shù)2、證明方程ez 5zn 1 0在單位圓z 1內(nèi)有n個(gè)根一填空題（每小題2分，視答題情況可酌情給1分，共20分）一 i13 (2k+1) i ,(k=0,1, 2),1 4e -,6 0 ,7上，8 可去， 9 e , 1013.22z 二單選題（

6、每小題2分，共20分）1 D 2 D 3 A 4 A 5 B 6 B 7 C三判斷題（每小題2分，共10分）12345,2 u 22k9 A 10 A(k=0, 1, 266四計(jì)算題(每小題6分，共36分)1解：u2-U 2xaxy by , v2 cx12dxy yuxvy 2x ay dx2yuyVxax 2by2 cxdy5分解得：a d 2,b2解：被積函數(shù)在圓周的2內(nèi)部只有一階極點(diǎn)z=0及二階極點(diǎn)z=1Res f (z)z 05z 2(z 1)2Res f (z)z 15z 2zl5z 2I i 2 z(z 1)2Az 13 解：f z dz= 2i(-2+2)=01 L-z 11

7、2 4分(|z 12)4解：被積函數(shù)為偶函數(shù)在上半一階極點(diǎn)i,2i 1x2dI=-22dx2(x21)( x24)z平面有兩個(gè)1.=-2 i Resf (z) Resf (z)3分z 2i2z2z(z(zi)(z24) 1)(z 2i)5 解：f(z)1(z i)(z i)_11=(z i)2 1 2Lz i1(Z i)2n(1)n0(2i)n(z i)n6解:w=L(i)=kzi z i2i(z i)2w L (i)0 k i五證明題(每小題7分，共14分)1 證明:設(shè) k : z z R(k D)f (z)在z0解析f (7c )由泰勒止理 f (z)-(z zo)(z kn o n!D)

8、由題設(shè)f(n)(zo)0f(z) f(z0) , (z k D)由唯一性定理f (z) f(z0) (z D)2 證明：令 f (z) 5zn ,(z) ez 1f z及 z在z 1解析z 1 上，f z 5zn 5z ez 1 ez 1 ez 1 e 1 5故在z 1上f z z ,由儒歇定理在z 1內(nèi)N(f zz, z 1) N(f z , z 1) n, , 1分3分6分2分3分4分6分 2分4分, , 7分2分4分, , 7分一、填空題（每小題2分）21、-cos5isin5 3的指數(shù)形式是cos3 isin32、ii=3、若 0r1,則積分 ln 1 z dz zl r4、若v是u的

9、共腕調(diào)和函數(shù)，那么v的共腕調(diào)和函數(shù)是 5、設(shè)z 0為函數(shù)f（z）=z3 sin z3的m階零點(diǎn)，則 m =6、設(shè)z a為函數(shù)f z的n階極點(diǎn)，那么Res f z = z a f zn7、幕級(jí)數(shù) 乙的收斂半徑R= n 0 n!u 1 一，.8、z 0是函數(shù)z sin的 奇點(diǎn)z9、方程z7z3 12 0的根全在圓環(huán) 內(nèi)10、將點(diǎn)，i,0分別變成0,i,的分式線性變換w 二、單選題（每小題2分）1、若函數(shù)f z在區(qū)域D內(nèi)解析，則函數(shù)f z在區(qū)域D內(nèi)（）B存在任意階導(dǎo)數(shù)D存在有限個(gè)點(diǎn)不可導(dǎo)）A在有限個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)C在無窮多個(gè)點(diǎn)可導(dǎo)2、使z2 |z2成立的復(fù)數(shù)是（A不存在 B唯一的C純虛數(shù) D實(shí)數(shù)3、cosz

10、Izl 2 (1 z)2dzA i sin1 B i sin1C -2 isin1 D 2 isin14、根式Vi的值之一是（）sin z 用5、z 是的（）A可去奇點(diǎn)B 一階極點(diǎn) C 一階零點(diǎn)D本質(zhì)奇點(diǎn)6、函數(shù)f z0為中心的圓環(huán)內(nèi)的洛朗展式有m個(gè)，則m=（）A 1B 27、下列函數(shù)是解析函數(shù)的為（.22c.A x y 2xyiC 3D 4)B x2 xyi2233C 2(x 1)y i(y x 2x) D x iy8、在下列函數(shù)中，Resf z 0的是()ez 1z 0sin z 1z z11ez 1 z八. sin z coszC f z z9、設(shè) a i, C: z i =1,則 cc

11、osldz(C ,a iC 2 ieD icosi10、將單位圓z 1共形映射成單位圓外部 w1的分式線性變換是A w ei z -a (a 1)1 azB w ei z -a (a 1)1 azC w eiD weiz a一(a 1) z az a一(a 1) z a三、判斷題（每小題2分）1、（）幕級(jí)數(shù) zn在z1內(nèi)一致收斂 n 02、（ ）z=是函數(shù)1 COsz的可去奇點(diǎn) z3、（）在柯西積分公式中，如果a D,即a在D之外，其它條件f 7不變，則積分dz 0, z Di C z actg14、（）函數(shù)f z e z在z 0的去心鄰域內(nèi)可展成洛朗級(jí)數(shù)5、（）解析函數(shù)的零點(diǎn)是孤立的四、計(jì)算

12、題（每小題6分）1、計(jì)算積分x y ix2 dz, C: i 1 + i 的直線段2、求函數(shù)fz2在所有孤立奇點(diǎn)（包括 ）處的留數(shù)z 13、將函數(shù)f,在z i的去心鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，并指出收斂域 z i4、計(jì)算積分dz2y 2y 1，5、計(jì)算實(shí)積分da cos(a 1)6、求將單位圓1共形映射成單位圓w 1的分式線性變換w L z滿分14得分使符合條件 五、證明題（每小題7分）1、設(shè)函數(shù)f z在區(qū)域D內(nèi)解析，證明：函數(shù)也在D內(nèi)解析12n11f(n 1,22n2n、一一 , 一一 12、證明：在z 0解析，且滿足的f 2n 1函數(shù)f z不存在2i一填空題（每小題2分，視答題情況可酌情給1分，共20分）2k(k=0,土)，3 0,8本質(zhì)，910單選題1 B（每小題2分，共20分）2 D 3 C 4 D 5 A10 A判斷題（每小題2分,四計(jì)算題（每小題6分, 1解：C的參數(shù)方程為：共10分)4共36分)z=i+t, 0 tdz=dtix2 dz =it22解:zf z 一階極點(diǎn)3解：fResfz 1Re1sfResfzz二階極點(diǎn)4解：在C內(nèi)f6分12i11 i2i1nA(0z i k于是所求變換z2- z122z 12z 2T分3分5分6分2分4分6分五證明題（每小題7分