1、九年級數(shù)學(xué)圓與相似的專項培優(yōu)易錯難題練習(xí)題（含答案）r相似1.如圖，在cABCD中，對角線AC、BD相交于點0,點E、F是AD的點，且AE=EF=FD.求EG:BG的值求證：AG=0G（3）設(shè)AG=a,GH=b,H0=c,求a:b:c的值【答案】（1）解：四邊形ABCD是平行四邊形,AO=2AC,AD二BC,ADIIBC,AEG-CBG,EGAGAh.反在二反.AE=EF=FD,.BC=AD=3AE,GC=3AG,GB=3EG,/.EG：BG=1：3(2)解：TGU3AG(已證)，AC=4AG,1.aO=2AC=2AG,.G0=A0-AG=AG(3)解：/AE=EF=FD,.BC=AD=3AE

2、,AF=2AE.ADIIBC,AFHaCBH,AhAF2AE2.疋二反二莎厶Ah22:.y艮卩AH=5AC.AC=4AG,.a=AG=AC,TOC o 1-5 h z213b二AHAG二ACAC=26AC,121c二AOAHAC-5AC二AC,131a：b：c=：26：=5：3：21【解析】【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得A0匸AC,AD=BC,ADIIBC,從而可證得AEG-CBG,得出對應(yīng)邊成比例,由AE=EF=FD可得BU3AE,就可證得GB=3EG,即可求出EG：BG的值。（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得GC=3AG,就可證得AC=4AG,從而可得AO=2AG,即可證得結(jié)論。12（

3、3）根據(jù)平行可證得三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AG=AC,AH=AC,結(jié)合1AOAC,即可得到用含AC的代數(shù)式分別表示出a、b、c,就可得到a：b：c的值。2.如圖，在厶ABC中，ZC=90,ZABC的平分線交AC于點E,過點E作BE的垂線交AB于點F,OO是ABEF的外接圓.過點E作EH丄AB,垂足為H,求證：CD=HF：己知：CD=1,EH=3,求AF的長.【答案】(1)證明：如圖，連接0E.BE平分ZABC,ZCBE=ZOBE,OB=OE,ZOBE=ZOEB,ZOEB=ZCBE,OEIIBC,ZAEO=ZC=90,AC是OO的切線；（2）解：如圖，連結(jié)DE.ZCBE二ZOBE,

4、EC丄BC于C,EH丄AB于H,EC=EH.ZCDE+ZBDE=180,ZHFE+ZBDE=180,ZCDE=ZHFE在厶CDE與厶HFE中，ZCDE二ZHFEZC二ZEHF二9CfEC=EH,CDE雯HFE(AAS),CD=HF.(3)解：Fh(2)得，CD=HF又CD=1HF=1在RtAHFE中，EF=A/滬+=WEF丄BEZBEF=90ZEHF=ZBEF=90ZEFH=ZBFEEHF-BEFEFHFVZf1.亦一亦，即BFyflGBF=1OOE二-BF=52OH=51=4/4cosEOA-在RtAOHE中，5.OE4t,czZEOA=-在RtAEOA中，OA595刀OA255AF-一5二

5、44【解析】【分析】（1）連接0E利用角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)可證得OEIIBC,從而得ZAEO=ZC=90,可得到證明;（2）連結(jié)DE.利用AAS4證CDE雯HFE,從而得到證明；（3）證EHF-BEF,由相似三角形的性質(zhì)可求得BF,從而得到0E,在RtAOHE和EOA中，由cosZEOA可求出0A,從而求岀AF.3.如圖1,以nABCD的較短邊CD為一邊作菱形CDEF,使點F落在邊AD上，連接BE,交AF于點G.圖1圖2（1）猜想BG與EG的數(shù)量關(guān)系并說明理由;（2）延長DE,BA交于點H,其他條件不變,DG如圖2,若ZADC=60,求創(chuàng)的值；如圖3,若ZADC=a（0。*90。）

6、，直接寫出屬的值.（用含a的三角函數(shù)表示）【答案】（1）解：BG二EG,理由如下：四邊形飲力是平行四邊形，.Ab|CL,AB=CL.四邊形d日是菱形，CLEF,CD=EF.Ab|EF、AB=.ZABG=ZFEG.又ZAGB=ZFGE,.AABGAFEG（JJ5）.BG=EG（2）解：方法1：過點6作處|Bh,交必于點婦Kf.ZEMG=ZEHA.ZGEM=ZBEh,.AG班-4她.GM_GE:.BH應(yīng).由（1）結(jié)論知於&二EG.1EG二一BE:.2GMGE_1.亦一亦一2四邊形為菱形，.ZADC=ZEDF=60.四邊形飲2是平行四邊形，/.Ab|CL.ZCDF二ZHAD=60.GM|Ah,.ZM

7、GD=ZHAD=60.ZGMD=180_ZMGD-ZMDG=60,即ZGMD=ZMGD=ZMGD=60.乙臨是等邊三角形。/.DC=MG.DG_MG_1.亦一亦一2方法2：延長以，BC交于點釀四邊形Q疋屮為菱形，.ZEDF=ZCDF=60.四邊形為平形四邊形，ZABC=ZADC=60,AL|BC.:.ZEDF=60.=180-ZHBH-ZM二180-60=60即ZHBM=ZH=60.4加力為等邊三角形.HB二Mb.：AL|BC,ZEGD=ZEBktZEDG=厶.AEDG-AEMb,DG_EG由（1結(jié)論知於&=EG1EG二一BE:.2DGGE_1.方一亦一2HB=MB.DGDG_1.亦亦一彳如圖

8、3,連接EC交DF于6圖3四邊形CFED是菱形，EC丄AD,FD=2F0,設(shè)FG=a,AB=b,則FG=a,EF=ED=CD=b,OhRtAEFO中，cosa=E卜,OF=bcosa,DG=a+2bcosa,過H作HM丄AD于M,ZADC=ZHAD=ZADH二a,AH二HD,11:.AM=AD=(2a+2bcosa)=a+bcosa,AkRtAAHM中，cosa二/力，a+bcosa.AH=cosa,a+2bcQSaDGa+bcosab+/.Bh=cos=cosa【解析】【分析】（1）利用菱形和平行四邊形的性質(zhì)可得出ABIICDIIEF,AB=CD=EF，再利用平行線的性質(zhì)可證得ZABGMFE

9、G,然后利用AAS可證得ABG妥FEG,由全等三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論。nc（2）過點G作GMIIBH，交DH于點M,易證GME-BHE。得出對應(yīng)邊成比例，求出MG與BH的比值，再利用菱形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)證明DG=MG,即可解答；連接EC交DF于O,利用菱形的性質(zhì)可得出EC丄AD,FD=2F0,設(shè)FG=a,AB=b,可表示出FG,EF=ED=CD=b,RtAEFO中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出OF、DG,過H作HM丄AD于M,易證AH二HD,AM=a+bcosa,再在RtAAHM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AH的長，繼而可得出DG與BH的比值，可解答。4.如圖,在四邊形ABCD中,Z

10、B=ZC=90,ABCD,AD二AB+CD.（1）利用尺規(guī)作ZADC的平分線DE,交BC于點E,連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，證明：AEDE：若CD=2,AB=4,點M,N分別是AE,AB上的動點，求BM+MN的最小值。【答案】（1）（2）證明：在AD取一點F使DF二DC,連接EF,DE平分ZADC,ZFDE=ZCDE,在厶卩。和厶CDE中，DF二DC,ZFDE=ZCDE,DE=DEFED雯CDE(SAS),ZDFE=ZDCE=90,ZAFE=180-ZDFE=90ZDEF=ZDEC,TAD二AB+CD,DF=DC,AF二AB,在RtAAFERtAABE(HL)ZA

11、EB=ZAEF,111ZAED二ZAEF+ZDEFZCEF+EzBEF=2(ZCEF+ZBEF)=90。AEDE解：過點D作DP丄AB于點P,由可知,B,F關(guān)于AE對稱，BM=FM,BM+MN=FM+MN,當(dāng)F,M,N三點共線且FN丄AB時，有最小值,DP丄AB,AD=AB+CD=6,ZDPB=ZABC=Z090,四邊形DPBC是矩形，BP=DC=2,AP=AB-BP=2,在RtAAPD中，DP=筋用-A/=42,FN丄AB,由可知AF=AB=4,FNIIDP,4_FN即EM,解得FN=3,BM+MN的最小值為3【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分的做法即可畫出圖.（2）在AD上取一點F使DF=D

12、C,連接EF；角平分線定義得ZFDE=ZCDE；根據(jù)全等三角形判定SAS得FED雯CDE,再由全等三角形性質(zhì)和補角定義得ZDFE=ZDCE=ZAFE=90,ZDEF=ZDEC：再由直角三角形全等的判定HL得RtAAFE雯RtAABE,由全等三角形性質(zhì)得ZAEB=ZAEF,再由補角定義可得AE丄DE.過點D作DP丄AB于點P；由可知，B,F關(guān)于AE對稱，根據(jù)對稱性質(zhì)知BM=FM,當(dāng)F,M,N三點共線且FN丄AB時，有最小值，即BM+MN=FM+MN=FN；在RtAAPD中，根據(jù)勾股定理得DP,擄-AP=4逛;由相似三角形判定得AFN-ADP,再由相似三AF_用角形性質(zhì)得五-萬,從而求得FN,即B

13、M+MN的最小值.5在ZkABC中，ZACB=90,AB=25,BC=15.團(tuán)2Ei（1）如圖1，折疊AABC使點A落在AC邊上的點D處，折痕交AC、AB分別于Q、H,若Saabc=9Sadhq,求HQ的長.（2）如圖2,折疊AABC使點A落在BC邊上的點M處，折痕交AC、AB分別于E、F.若FMIIAC,求證：四邊形AEMF是菱形；（3）在的條件下，線段CQ上是否存在點P,使得ACMP和AHCIP相似？若存在，求出PQ的長；若不存在，請說明理由【答案】（1）解：如圖1中,HQIIBC,AQ_Qh:.ACBC,4/.AQ=Sx,Tabc=9Sdhqt114MMMMMMx20 xl5=9x2xx

14、x3X,x=5或-5（舍棄），HQ=5,故答案為5(2)解：如圖2中,CMB圖2由翻折不變性可知：AE=EM,AF=FM,ZAFE=AMFE,FMWAC,ZAEF=ZMFE,:.AAEF=AAFE9AE=AF,AE=AF=MF=ME,四邊形AEMF是菱形圖3設(shè)AE=EM=FM=AF=4m,則BM=3m,FB=5m,4m+5m=25,25二m=9,106AE=EM=9,10686EC=209=9、26QG=5,AQ=3,4GQC=3,設(shè)PQ=x,QH_PQ當(dāng)CM尸C時，HQP-MCP,20 x4046解得：x=7,當(dāng)PCMC=時，HQPPCM,16解得：x=10或了，16經(jīng)檢驗：x=10或了是分

15、式方程的解，且正確,4G16綜上所，滿足條件長QP的值為丁或10或三.【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出AC,設(shè)HQ=x,根據(jù)SAabc=9Sadhq,構(gòu)建方程即可解決問題：(2)想辦法證明四邊相等即可解決問題；(3)設(shè)AE=EM=FM=AF=4m,則BM=3m,FB=5m,構(gòu)建方程求出m的值，分兩種情形分別求解即可解決問題.6.在直角坐標(biāo)系中，過原點0及點A(8,0),C(0,6)作矩形OABC、連結(jié)OB,點D為OB的中點，點E是線段AB上的動點，連結(jié)DE,作DF丄DE,交OA于點F,連結(jié)EF.已知點E從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度在線段AB上移動，設(shè)移動時間為t如圖1，當(dāng)t=3時

16、，求DF的長.如圖2,當(dāng)點E在線段AB上移動的過程中，ZDEF的人小是否發(fā)生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出tanzDEF的值.連結(jié)AD,當(dāng)AD將ADEF分成的兩部分的面積之比為1：2時，求相應(yīng)的t的值.【答案】(1)解：當(dāng)皆3時，點E為AB的中點，A(8,0),C(0,6),OA=8,OC=6,.點D為OB的中點，1DEIIOA,DE=OA=4,四邊形OABC是矩形，OA丄AB,DE丄AB,ZOAB=ZDEA=90,又DF丄DE,ZEDF=90,四邊形DFAE是矩形，DF=AE=3(2)解：ZDEF的人小不變；理由如2作DM丄OA于M,DN丄AB于N,如圖2所示:四邊形OABC是

17、矩形，0A丄AB,四邊形DMAN是矩形，ZMDN=90%DMIIAB,DNIIOA,BD_B、DO_加.反一亦亦必.點D為OB的中點，MsN分別是OA、AB的中點，11/.DM=AB=3,DN=2OA=4,ZEDF=90,ZFDM=ZEDN,又ZDMF=ZDNE=90,DMF-DNE,DF_DM_3.亦一亦一NZEDF=90,DFj=tanZDEF二必4(3)解：作DM丄OA于M,DN丄AB于N,若AD將厶DEF的面積分成1：2的兩部分，設(shè)AD交EF于點G,則點G為EF的三等分點；當(dāng)點E到達(dá)中點之前時,如圖3所示,NE=3-t,由厶DMF-DNE得：MF=4(3-t),j25AF=4+MF=-

18、僉+彳，.點G為EF的三等分點，3t+712:.G(123),設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b,8k+b二把A(&0),D(4,3)代入得：k+b二解得：b二6、J直線AD的解析式為尸Sx+6,3t+71275把G(12f3)代入得：t=71.當(dāng)點E越過中點之后，如圖4所示，NE=t3,由厶DMF-DNE得：MF=4(t3),j25:.AF=4-MF=-t+彳，點G為EF的三等分點，3t+23tTOC o 1-5 h zG（6幕），j75代入直線AD的解析式y(tǒng)：x+6得：t=n.7575綜上所述，當(dāng)AD將ADEF分成的兩部分的面積之比為1：2時，t的值為刁或萬【解析】【分析】(1)由t=3可得

19、此時E為AB的中點，進(jìn)而可得DE為AABO的中位線，從而可得DEIIOA,DE的長，再由矩形的性質(zhì)和判斷可得四邊形DFAE是矩形，進(jìn)而求出DF的長；作DM丄OA于M,DN丄AB于N,可證得四邊形DMAN是矩形，則DMIIAB,DNIIOA,再由平行線分線段成比例和已知可求出DM和DN的長，由兩角相等可證DMF-ADNE,可得DF：DE=DM：DN,由三角函數(shù)可求出tanZDEF的值；作DM丄OA于M,DN丄AB于N,若AD將DEF的面積分成1：2的兩部分，設(shè)AD交EF于點G,則點G為EF的三等分點；分點E到達(dá)中點之前、點E越過中點之后兩種情況來求都先求出直線AD的解析式，由厶DMF-DNE求出

20、用t的代數(shù)式表示的點G的坐標(biāo)，代入直線AD的解析式可求出t的值.7.在朋C中，0為必邊上一點，過點0作DE/BC交弘于點廠以少為折線，將觀翻折，設(shè)所得的血與梯形0她重疊部分的面積為”團(tuán)(乙)(1)如圖(甲)若ZC二90AD_1AB=16,BC=6y亦一2,則y的值為(2)如圖(乙)，若朋=AC=16,BC二12,Z為必中點，則y的值為(3)若ZB二30。、AB=10,BC=12,設(shè)AD=x.求F與*的函數(shù)解析式.F是否有最人值，若有，求出F的最犬值；若沒有，請說明理由._6【答案】(1)了一s(2)12(3)解：如圖a,作必必風(fēng)于點，在Rt4泗中，ZB=30,AB=169BC二12,：AH二5

21、,SABC_寸CAH-36當(dāng)/落在血上時，Z為必的中點:即y二方故分以下兩種情況討論:當(dāng)0才W方時，如圖b,4DE/BC4ADE“JABCSADESABCAD2=WX2ToeSaase=Saade=X30即y=y當(dāng)x二5時，當(dāng)5x時，如圖c,圖c設(shè)必,刃分別交于力，A,由折疊可知，ADEsjADE,DA=DA=xtZ1=Z2、DEBC,Z2=Z3、：.ZB=Z3DM=DB=10一x、.二x(10-x)二2x_3f-“，由同理得5E（s4DAEAMANsjDAESziman2x-106=-5(x9202To(x+1632(2x-10)2S4&N=萬*/y=SADAE-SAfA=-翠+12x_3G

22、9-G1026*_3時滿足5x1G,:.二亠(010一30(5x10)9Z+12x1026當(dāng)(73時，.卩值最大，最大值為.【解析】【解答】解：（丿）ZC=90,AB=16SAABCDEBCAADEsjABCSADESAABC188N.九宓乜SAABC)AB=AC=16BC邊上的高為&-X212X8二48,0為曲的中點,DEBC,J.4ADEsjABC,AD1SADEAD1c二（J-AB2、：.S俶AB49:.SADE=12,：.y=12.【分析】（1）AADE與梯形DBCE重疊部分的面枳y就是A0E的面積。用勾股定理求得另一直角邊AC=8,由折疊的性質(zhì)可得AADEADE,因為DEIIBC,由

23、相似三角形的判定可得ADEABC,根據(jù)相似三角形的面枳的比等于相似比的平方可得厶ADE的面積1=弘ABC的面積，則DE的面積即可求解；（2）根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方可求解：（3）作AH丄BC于點H,在RtAABH中，解直角三角形ABH可求得AH的長，ABC的面積可求解，當(dāng)A，落在BC上時，D為AB的中點，即x=5故分以卞兩種情況討論：當(dāng)0 x5時，根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊所構(gòu)成的三角形與原三角形相似可得ADE-ABC,由相似三角形的面積的比等于相似比的平方可求解：當(dāng)5x10時，設(shè)D從EA份別交BC于M,N,由折疊可知,A0E-AADE,MAN-DAE由相似三角形的性

24、質(zhì)即可求解。&如圖，己知拋物線y=亠bx6HO）過點A心-3丿和B（心0）,過點A作直線AC/X軸，交y軸與點C。（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上取一點P,過點P作直線AC的垂線，垂足為D,連接0A,使得以A,D,P為頂點的三角形與AAOC相似，求出對應(yīng)點P的坐標(biāo)；_1SAAOC-AAOC（3）拋物線上是否存在點Q,使得3?若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由?！敬鸢浮浚?）解：點A、B在拋物線上，3&豐屁=-3b=2127a+3b=0,解得:1墜拋物線解析式為：y=x2-2x.（2）當(dāng)P在直線AD上方時,PD*設(shè)P坐標(biāo)為（X,則有AD=x-V5,33x+3OC_CA1當(dāng)厶OC

25、AADP時，肋DF,3整理得：3x2-9,Jx+18=2,Jx-6,即3x2-llJx+24=0,1ly3解得：X=6,即X二虧或x（舍去），43y3此時pW3）:OCCA當(dāng)厶OCAPDA時，刃M,整理得：一9x+63=6x-639即*5x+12=G5333解得：2,即x=4乃或花（舍去），此時P（4恵6）；當(dāng)點P（0,0）時,也滿足OCA-PDA；TOC o 1-5 h z4!316當(dāng)P在直線AD下方時，同理可得，P的坐標(biāo)為（33）,8344!316綜上，P的坐標(biāo)為（3S）或（4邁6）或（33）或（0,0）（3）解：TA（X/3,-3）,AC二逅003,0A=2逅SaaOC=20C-AC=2

26、0A-h=21又SAAOC=5AOQ邊OA上的高=3h=z9過M作HM丄x軸，（如過O作OM丄OA,截取OM二29過點M作MNIIOA交y軸于點N,AC二血OA=2屁zAOC=30,又MNIIOA,.ZMNO=ZAOC=30%OM丄MN,ON=2OM=9,ZNOM=60,即N(0,9),ZMOB=30%15M.OH=U澎-府=盲,.M(4,4),設(shè)直線MN解析式為：y二kx+b.b=9,店二-V3b=9直線MN解析式為:y=x+9,x、乃x18=0,（x3乃）（x+2乃）=0,xi=3/,x2/,區(qū)二3空二一23:.v=0或y=15,Q點坐標(biāo)（3&,0）或（-2&,15）,_1SAOC-aA0

27、G拋物線上是否存在點Q，使得3%.【解析】【分析】（1）將A、B兩點坐標(biāo)代入拋物線解析式得到一個二元一次方程方程組，解之即可得拋物線解析式.（2）設(shè)P坐標(biāo)為（x,2,表示出AD與PD,由相似分兩種情況得比例求出x的值，即可確定出P坐標(biāo)。（3）根據(jù)點A坐標(biāo)得AC=&,OC=3,由勾股定理得022根據(jù)三角形面枳公式可得319AAOC邊OA上的高h(yuǎn)=2,又S況二SS/僦得AOQ邊OA上的高為S過0作5OM丄OA,截取O過點M作MNIIOA交y軸于點N,過M作HM丄x軸，（如圖），根據(jù)直角三角形中，30度所對的直角邊等于斜邊的一半，從而求出N（0,9）,在939RtAMOH中，根據(jù)直角三角形性質(zhì)和勾股

28、定理得M（4,7）；用待定系數(shù)法求出直線MN解析式，再講直線MN和拋物線解析式聯(lián)立即可得Q點坐標(biāo).二.圓的綜合9.如圖，已知AB是30的直徑，點C為圓上一點，點D在OC的延長線上，連接DA,交BC的延長線于點E,使得ZDAC=ZB.（1）求證：DA是O0切線;（2）求證：CEDACD：求AE的長.【答案】(1)證明見解析：(2)V2【解析】分析：(1)由圓周角定理和已知條件求出&D丄AB即可證明D4是00切線；由ZDAC二ZDCE,ZD=ZD可知DEC-DCA；由題意可知人0=1,00=3,DC=2,由勾股定理可知40=2,故此可得到DC2=DEAD,故此可求得DE的長，于是可求得AE的長.詳

29、解：(1)AB為O0的直徑ZACB=90,ZCAB+ZB二90。ZDACMB,ZCAB+ZD/AC=90%/.ADAB.0A是O0半徑,:.DA為OO的切線;(2)OB=OC,ZOCB二ZBZDCE二ZOCB.ZDCE=ZB.ZDAC=ZB,ZDAC二乙DCE.ZD=ZD,CED-ACD；(3)在RtAAOD中，OA=1,1S，nD=3*OA*D=sinD=3CD=DC=2AD=JodJoa，=2近又CED-ACD.:.CD,DE二CDDEADAE=AD-DE=2近邁=近.點睛：本題主要考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理的應(yīng)用、相似三角形的性質(zhì)和判定，證得DEC-DCA是解題的關(guān)鍵.10

30、.如圖所示，以RtAABC的直角邊AB為直徑作圓O,與斜邊交于點D,E為BC邊上的中點,連接DE.求證：DE是O0的切線：連接OE,AE,當(dāng)ZCAB為何值時，四邊形AOED是平行四邊形？并在此條件下求sinZCAE的值.【答案】見解析；(2)迺.10【解析】分析：(1)要證DE是O0的切線，必須證ED丄0D,即ZEDB+ZODB=90(2)要證AOED是平行四邊形，則DEIIAB,D為AC中點，又BD丄AC,所以ABC為等腰直角三角形，所以ZCABM5。，再由正弦的概念求解即可.詳解：(1)證明：連接0、D與B、D兩點，BDC是RtA,且E為BC中點,ZEDB=ZEBD.(2分)又OD=OB且

31、ZEBD+ZDBO=90,ZEDB+ZODB二90。DE是OO的切線.(2)解：ZEDO=ZB二90。，若要四邊形AOED是平行四邊形，則DEIIAB,D為AC中點,又BD丄AC,ABC為等腰直角三角形.ZCAB=45.過E作EH丄AC于H,設(shè)BC=2k,則EH=#k,AE=JJk,10點睛：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑）,再證垂直即可11.閱讀：圓是最完美的圖形，它具有一些特殊的性質(zhì)：同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半.先構(gòu)造輔助圓，再利用圓的性質(zhì)將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，往往能化隱為顯、化難為易。解決

32、問題：如圖，點A與點B的坐標(biāo)分別是（1,0）,（5,0）,點P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個動點.（1）使ZAPB=30的點P有個；（2）若點P在y軸正半軸上，且ZAPB=30,求滿足條件的點P的坐標(biāo)；（3）設(shè)sinzAPB=m,若點P在y軸上移動時,滿足條件的點P有4個，求m的取值范圍.22【答案】無數(shù)；（2）（0,2JJJ7）或（0,2V3+7）：（3）0m/7Pi(0,2JJ+J7),P2(0,2jJ2（3）當(dāng)過點A、B的OE與y軸相切于點P時，ZAPB最人.理由：可證：ZAPBMAEH,當(dāng)AAPB最人時，ZAEH最大.FhsinZAEH=-得：當(dāng)AEAE最小即PE最小時，乙AEH最人.所以當(dāng)圓

33、與y軸相切時，ZAPB最人.TZAPB為銳角，/.sinZAPBAPBi曾人而增人，.連接E4,作EH丄x軸，垂足為H,如圖2.OE與y軸相切于點P，二PE丄0P.EH丄AB,0P丄0H,ZEPO二ZPOH二ZEHO二90,四邊形OPEH是矩形.0P二EH,點睛：本題考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)、三角形外角性質(zhì)等知識，綜合性強.同時也考查了創(chuàng)造性思維，有一定的難度構(gòu)造輔助圓是解決本題關(guān)鍵12.如圖，AB是圓0的直徑，射線AM丄AB,點D在AM,連接0D交圓0于點E,過點D作DC=DA交圓0于點C（A、C不重合）,連接OC、BC、CE.（1

34、）求證：CD是O0的切線;（2）若圓0的直徑等于2,填空:當(dāng)AD二時,當(dāng)AD二時,四邊形OADC是正方形;（2）1；松【解析】四邊形OECB是菱形.試題分析：（1）依據(jù)SSS證明OAD竺OCD,從而得到ZOCD=ZOAD=90；（2）依據(jù)正方形的四條邊都相等可知AD=OA：依據(jù)菱形的性質(zhì)得到0E=CE,則AEOC為等邊三角形，則ZCEO=60依據(jù)平行線的性質(zhì)可知ZDOA=60%利用特殊銳角三角函數(shù)可求得AD的長.試題解析：解:VAM丄AB,ZOAD=90.OA=OC,OD=OD,AD二DC,OAD竺OCD,ZOCD=ZOAD=90.OC丄CD,CD是/33【解析】【分析】（1）連接OD,只要證

35、明ODAC即可解決問題：（2）連接OE,OE交AD于K.只要證明&OE是等邊三角形即口J解決問題.【詳解】(1)連接OD.OA=OD,ZOAD=AODA.乙OAD二ZDAC,/.ZODA=ADAC9ODWACZODB=ZC=90,OD丄BC,IBC是OO的切線.(2)連接OE,OE交AD于KAE=DE，OE丄ZOAK=ZEAK,AK=AK.ZAKO=ZAKE=90。,.AKOAKE,二AO=AEOE9:.AOE60龍2是等邊二角形，.ZAOE=60,Sri=Soae-Saaoe=360【點睛】本題考查了切線的判定、扇形的面積、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等

36、知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型.14.如圖，已知：AB是。0的直徑，點C在30上，CD是O0的切線，AD丄CD于點D,E是AB延長線上一點，CE交O0于點F,連接OC、AC.（1）求證：AC平分ZDAO.若ZDAO=105,ZE=30求ZOCE的度數(shù)；若OO的半徑為2近,求線段EF的長.【答案】（1）證明見解析：（2）ZOCE=45：EF=2j?-2.【解析】【試題分析】（1）根據(jù)直線與。0相切的性質(zhì)，得0C丄CD.又因為AD丄CD,根據(jù)同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線也平行，得：AD/OC.ZDAC=ZOCA.又因為OC=OA,根據(jù)等邊

37、對等角，得ZOAC=ZOCA.等量代換得：zDAC=ZOAC.根據(jù)角平分線的定義得：AC平分ZDAO.（2）因為AD/OC,ZDAOJ05。，根據(jù)兩直線平行，同位角相等得，ZEOC=ZDAO=105,在AOCE中，ZE=30,利用內(nèi)角和定理，得：ZOCE=45.作0G丄CE于點G,根據(jù)垂徑定理可得FG=CG,因為032近,ZOCE=45。等腰直角三角形的斜邊是腰長的倍，得CG=OG=2.FG=2.在RtAOGE中，ZE=30,得GE=2/T,則EF=GE-FG=2/3-2【試題解析】直線與oo相切，.OC丄CD.又TAD丄CD,AD/OCZDAC=ZOCA.又OC=OA,ZOAC=ZOCA.ZDAC=ZOAC.AC平分ZDAO.解：ADOC,ZDAO=105,ZEOC=ZDAO=105ZE=30,ZOCE=45作OG丄CE于點G,可得FG=CGJOC=2/2，ZOCE=45CG=OG=2.FG=2在RtAOGE中，ZE=30,GE=2/3【方法點睛】本題目是一道圓的綜合題目，涉及到圓的切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及判定，三角形內(nèi)角和，垂徑定理，難度為中等.15.如圖，是半圓O0的直徑，點C是半圓O0上的點，連接AC,BC,點E是AC的中點，點F是射線OF上一點.如圖1,連接加，F(xiàn)C,若ZAFC=2ZBAC,求證：4丄AB；如圖2,過點C作CD丄于點