1、第三講投資組合選擇，Merton問題3.1 均值-方差模型回顧.3.2期望效用理論.3.3 期望效用最大化模型.3.4 Merton問題13.1 均值-方差模型回顧市場假設(shè)市場上共有n個風險資產(chǎn)，第i個資產(chǎn)的當前價格 ，未來價格為 ，則其總回報率為總回報率向量 r=(r1,r2,rn) 的期望和協(xié)方差矩陣為資產(chǎn)未來價格向量 的期望和協(xié)方差為其中23.1 均值-方差模型回顧Markowitz均值-方差模型Markowitz均值方差模型為其中 為預先指定的投資組合的期望收益率。 表示以投資額比例計的投資組合。33.1 均值-方差模型回顧Markowitz均值-方差模型（繼續(xù)）也可以表示為其中 為預

2、先指定的投資組合的期望期末財富水平，W為投資者的初始財富水平。 表示以持有股票數(shù)計的投資組合。43.1 均值-方差模型回顧拉格朗日乘子法拉格朗日函數(shù)最優(yōu)化條件：其中53.1 均值-方差模型回顧63.1 均值-方差模型回顧均值-方差模型（另一表示）其中稱為均值與方差間的權(quán)重系數(shù)，是投資者的風險態(tài)度的表現(xiàn)。若+，我們將得到最小方差集合(minimum variance set)；若R滿足稱U為優(yōu)先序的數(shù)值表示。若優(yōu)先序滿足以上兩條性質(zhì)和兩條公理，則存在（仿射變化）唯一的數(shù)值表示，u(.)稱為效用函數(shù)。123.2 期望效用理論Von Neumann-Morgenstern表示（繼續(xù)）仿射變化唯一是指

3、u的任何仿射變化仍為數(shù)值表示。 稱為u的等價效用函數(shù)。單調(diào)性（monotone）數(shù)值表示滿足單調(diào)性當且僅當u為嚴格單調(diào)增函數(shù)。133.2 期望效用理論St. Petersburg Paradox（Nicholas Bernoulli 1713）這是一個擲硬幣的游戲，參加者先付門票，然后開始擲硬幣，直至第一個正面出現(xiàn)時為止?？偟臄S幣次數(shù)n決定參加者的報酬，計算報酬r的公式為次數(shù) 概率 報酬 概率報酬 1 1/2 2 1 2 1/4 4 1 . . . . n (1/2)n 2n 1143.2 期望效用理論St. Petersburg Paradox（繼續(xù)）期望報酬為+。但是沒有人會愿意支付+來購

4、買門票，甚至不愿支付較大的金額購買門票。稱為圣彼得堡悖論。Daniel Bernoulli提出使用邊際效用遞減（即效用函數(shù)的一階導數(shù)u為單調(diào)減函數(shù)，效用函數(shù)為凹函數(shù)）來解決此悖論。他指出，參加者賦予所有報酬的每一元不同的價值，隨著報酬的增加，每新獲得的1元價值是遞減的。若u(w)=log(w)，則153.2 期望效用理論163.2 期望效用理論風險厭惡（risk aversion）假設(shè)投資者面對一個確定性投資選擇x和一個不確定投資選擇y，若兩個選擇有著相同的期望值(x=Ey)，那么風險厭惡的投資者會選擇確定性投資x。注意到風險厭惡的投資者的效用函數(shù)u為凹函數(shù)。風險厭惡系數(shù)（risk avers

5、ion coefficient）Arrow-Pratt absolution risk aversion coefficient173.2 期望效用理論常見風險厭惡效用函數(shù)Exponential（Constant Absolute Risk Aversion utility function）LogarithmicPowerQuadratic183.2 期望效用理論常見風險厭惡效用函數(shù)（繼續(xù)）HARA（Hyperbolic absolute risk aversion）utility function 193.2 期望效用理論Certainty equivalent 隨機變量x的Certain

6、ty equivalent C滿足當u(.)為凹函數(shù)時，C Ex。u(x1)u(x2)u(C)203.2 期望效用理論例子 3.2 假設(shè)某人的效用函數(shù)為二次效用函數(shù)，此人面對一個投資機會，以50%概率獲得200元，50%概率獲得300元。213.2 期望效用理論如何得到投資者的效用函數(shù)？ 1）首先指定投資者效用函數(shù)的形狀，如指數(shù)型，對數(shù)型等，然后對其中的參數(shù)進行估計。2）直接估計：選擇兩個固定點A和B，并假設(shè)u(A)=A，u(B)=B；構(gòu)造一個以概率p獲得A，概率1p獲得B的彩票(lottery) x；向投資者詢問其愿意用來交換此彩票的財富水平C。通過改變p，我們得到C與Ex的函數(shù)關(guān)系；進一步

7、得到效用函數(shù)。223.2 期望效用理論233.3 期望效用最大化模型期望效用最大化模型（EUT模型）期望效用最大化模型為其最優(yōu)投資組合*必滿足243.3 期望效用最大化模型拉格朗日乘子法拉格朗日函數(shù)最優(yōu)化條件：其中253.3 期望效用最大化模型當一個資產(chǎn)為無風險資產(chǎn)時假設(shè)第一個資產(chǎn)為無風險資產(chǎn)，其回報率為 有其他n1個風險資產(chǎn)的回報率滿足263.3 期望效用最大化模型例子3.3某投資者考慮參與投資拍攝一部電影。如果電影票房反映良好（概率為0.3），其將獲得3倍的回報；如果票房反映平平（概率為0.4），其將收回初始投資；如果票房失?。ǜ怕蕿?.3），其將損失全部初始投資。與此同時，投資者可以選擇

8、投資某無風險資產(chǎn)，獲得1.2的總回報率。如果投資者的效用函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，u(x)=ln(x)，他是否會選擇參與投資電影？如果參與，他會投資多少？（假設(shè)投資者的初始財富為W）273.3 期望效用最大化模型例子3.3（繼續(xù)）解答：以1表示投資在電影上的金額，2表示投資在無風險資產(chǎn)上的金額。投資者面臨的投資組合問題為求解方程組，283.3 期望效用最大化模型Allais ParadoxLotteries: 你的選擇是什么？選擇結(jié)果是否違背期望效用理論？293.4 Merton問題連續(xù)時間市場假設(shè)市場上共有n個風險資產(chǎn)，第i個資產(chǎn)的價格滿足Merton問題其中c(t)為投資者在t時刻的消費，u(c(t

9、),t)和H(W(T)分別表示消費和期末財富帶來的效用。303.4 Merton問題我們有后面兩項為投資組合的現(xiàn)金流入，故若令 則313.4 Merton問題HJB方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation）3233第四講股票指數(shù)跟蹤4.1 股票指數(shù)簡介.4.2簡單的股票指數(shù)跟蹤模型.4.3 考慮交易費用的指數(shù)跟蹤模型.344.1股票指數(shù)簡介股票指數(shù)反映整個股票市場上各種股票市場價格的總體水平及其變動情況的指標。它是選取有代表性的一組股票，把他們的價格進行加權(quán)平均，通過一定的計算得到。經(jīng)常作為評價投資組合（例如：各種基金）投資表現(xiàn)的基準指標。（benchmark）

10、354.1股票指數(shù)簡介股票指數(shù)（繼續(xù)）編制股票指數(shù)，通常以某年某月為基礎(chǔ)，以這個基期的股票價格作為100，用以后各時期的股票價格和基期價格比較，計算出升降的百分比，就是該時期的股票指數(shù)。 全球指數(shù)： MSCI World，S&P Global 100 全國指數(shù)：S&P 500, Nikkei 225, RTSI, SENSEX, FTSE 100, 上證指數(shù)行業(yè)指數(shù)： Morgan Stanley Biotech Index, 上證行業(yè)指數(shù)364.1股票指數(shù)簡介計算股票指數(shù)一、抽樣，即在眾多股票中抽取少數(shù)具有代表性的成份股；二、加權(quán)，按單價或總值加權(quán)平均，或不加權(quán)平均；三、計算，計算算術(shù)平均數(shù)

11、、幾何平均數(shù)，或兼顧價格與總值。某些指數(shù)會根據(jù)成分股加權(quán)方式和股利處理方式的不同而有不同的版本。 S&P 500：price return; total return; net total return.374.1股票指數(shù)簡介股票指數(shù)加權(quán)方法價格加權(quán)： Dow Jones Industrial Average, NYSE ARCA Tech 100 Index股票總市值加權(quán)：Hang Seng Index股票發(fā)行量加權(quán)：TAIEX浮動調(diào)整加權(quán)。384.1股票指數(shù)簡介主動投資（active investing）投資者選擇特定的投資策略，以使得投資組合的表現(xiàn)超過某些基準指數(shù)。被動投資（passiv

12、e investing）投資者按照預先制定的投資策略進行投資，不考慮任何涉及股票回報率的預測。構(gòu)造投資組合復制股票指數(shù)。個人投資者可以選擇投資股指基金（index fund）394.1股票指數(shù)簡介股指基金（index fund）復制某個金融市場股票指數(shù)的變動。最簡單的辦法：按照股指計算中的比例持有股指的全部股票。（Too many stocks）指數(shù)與基金的差別稱為跟蹤誤差（tracking error）404.1股票指數(shù)簡介股指基金（繼續(xù)）優(yōu)點：低成本；(0.15%0.97%)簡單化；低換手率；投資透明。缺點：跟蹤誤差；不能擊敗被跟蹤指數(shù)；指數(shù)構(gòu)成改變會導致基金回報降低。414.2 簡單的股

13、票指數(shù)跟蹤模型基本變量 YT1：股票指數(shù)回報率向量； XTn：股票回報率矩陣；n：股票數(shù)量；T：回報率的觀測數(shù)量；n1：投資組合向量；XY：投資組合回報率與股票指數(shù)回報率的差別向量。線性約束條件：A b 其中Akn, bn1為相應(yīng)維數(shù)的矩陣和向量。424.2 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型跟蹤誤差Quadratic TE：Mean absolute deviations（MAD）：MinMax：434.2 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型跟蹤誤差（繼續(xù)）Mean absolute downside deviations（MADD）：downside MinMax（DMinMax）：444.2 簡單的股票指數(shù)跟蹤

14、模型線性規(guī)劃表示MinMax Problem：Mean absolute deviations problem：454.2 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型線性規(guī)劃表示（繼續(xù)）MADD Problem：464.2 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型474.2 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型484.2 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型494.2 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型504.2 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型514.2 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型控制投資股票數(shù)量很多時候投資者會控制投資組合中股票的數(shù)量。其中函數(shù)(i)為此問題為離散優(yōu)化問題。524.2 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型模型的逼近算法考慮如下的模型一：其中函數(shù)h(i)為534.2 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型模型的逼近算法（繼續(xù)）考慮如下的模型二：其中函數(shù) f(i;k)為544.2 簡單的股票指數(shù)跟蹤模型554.3 考慮交易費用的指數(shù)跟蹤模型564.3 考慮交易費用的指數(shù)跟蹤模型交易費用其中 EC為explicit cost, SP為spread cost, MC為market impact cost, OC為opportunity cost.574.3 考慮交易費用的指數(shù)跟蹤模型交易費用（繼續(xù)）市場沖擊成本可以表示為執(zhí)行時間滿足 或者其中asset price risk指將股票賣出時股價不確定性帶來的風險，time-to-clear risk指將股票存貨全部出售所需的時間的不確定性