1、第九章 概率模型9.1 傳送系統(tǒng)的效率9.2 報(bào)童的訣竅9.3 隨機(jī)存貯策略9.4 軋鋼中的浪費(fèi)9.5 隨機(jī)人口模型確定性因素和隨機(jī)性因素隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素影響可以簡(jiǎn)單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機(jī)因素影響必須考慮概率模型統(tǒng)計(jì)回歸模型馬氏鏈模型隨機(jī)模型確定性模型隨機(jī)性模型傳送帶掛鉤產(chǎn)品工作臺(tái)工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過(guò)他上方的空鉤上運(yùn)走，若工作臺(tái)數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品越多。背景在生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標(biāo)，研究提高傳送帶效率的途徑9.1 傳送系統(tǒng)的效率問(wèn)題分析 進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)，應(yīng)假定工人們的生產(chǎn)周期相同，即每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過(guò)他

2、的工作臺(tái)，使他可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走，要么沒(méi)有空鉤經(jīng)過(guò)，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。 可以用一個(gè)周期內(nèi)傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例，作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標(biāo)。 工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻不會(huì)一致，可以認(rèn)為是隨機(jī)的，并且在一個(gè)周期內(nèi)任一時(shí)刻的可能性相同。模型假設(shè)1）n個(gè)工作臺(tái)均勻排列，n個(gè)工人生產(chǎn)相互獨(dú)立，生產(chǎn)周期是常數(shù)；2）生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時(shí)刻在一個(gè)周期內(nèi)是等可能的；3）一周期內(nèi)m個(gè)均勻排列的掛鉤通過(guò)每一工作臺(tái)的上方，到達(dá)第一個(gè)工作臺(tái)的掛鉤都是空的；4）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時(shí)都能且只能觸到一只掛鉤，若這只掛鉤是空的，則可將產(chǎn)品

3、掛上運(yùn)走；若該鉤非空，則這件產(chǎn)品被放下，退出運(yùn)送系統(tǒng)。模型建立 定義傳送帶效率為一周期內(nèi)運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)（記作s,待定）與生產(chǎn)總數(shù) n（已知）之比，記作 D=s /n 若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率p，則 s=mp為確定s，從工人考慮還是從掛鉤考慮，哪個(gè)方便？ 設(shè)每只掛鉤為空的概率為q，則 p=1-q如何求概率 設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則 q=rn 設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則 r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m1-(1-1/m)n/n一周期內(nèi)有m個(gè)掛鉤通過(guò)每一工作臺(tái)的上方模型解釋若(一周期運(yùn)行的)掛鉤數(shù)m遠(yuǎn)大于工作臺(tái)數(shù)n, 則 傳送帶效率(一周期內(nèi)運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)

4、與生產(chǎn)總數(shù)之比）定義E=1-D (一周期內(nèi)未運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）提高效率的途徑： 增加m 習(xí)題1當(dāng)n遠(yuǎn)大于1時(shí), E n/2m E與n成正比，與m成反比若n=10, m=40, D87.5% 9.2 報(bào)童的訣竅問(wèn)題報(bào)童售報(bào)： a (零售價(jià)) b(購(gòu)進(jìn)價(jià)) c(退回價(jià))售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c 每天購(gòu)進(jìn)多少份可使收入最大？分析購(gòu)進(jìn)太多賣(mài)不完退回賠錢(qián)購(gòu)進(jìn)太少不夠銷(xiāo)售賺錢(qián)少應(yīng)根據(jù)需求確定購(gòu)進(jìn)量每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長(zhǎng)期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的存在一個(gè)合適的購(gòu)進(jìn)量等于每天收入的期望建模 設(shè)每天購(gòu)進(jìn) n 份，日平均收入為 G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律每天需求量為

5、 r 的概率 f(r), r=0,1,2準(zhǔn)備求 n 使 G(n) 最大 已知售出一份賺 a-b；退回一份賠 b-c求解將r視為連續(xù)變量結(jié)果解釋nP1P2取n使 a-b 售出一份賺的錢(qián) b-c 退回一份賠的錢(qián)0rp9.3 隨機(jī)存貯策略問(wèn)題以周為時(shí)間單位；一周的商品銷(xiāo)售量為隨機(jī)；周末根據(jù)庫(kù)存決定是否訂貨，供下周銷(xiāo)售。（s, S) 存貯策略制訂下界s, 上界S，當(dāng)周末庫(kù)存小于s 時(shí)訂貨，使下周初的庫(kù)存達(dá)到S; 否則，不訂貨?？紤]訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨費(fèi)、購(gòu)進(jìn)費(fèi)，制訂（s, S) 存貯策略,使(平均意義下)總費(fèi)用最小模型假設(shè) 每次訂貨費(fèi)c0, 每件商品購(gòu)進(jìn)價(jià)c1,每件商品一周貯存費(fèi)c2,每件商品缺貨損失

6、費(fèi)c3 (c1c3) 每周銷(xiāo)售量 r 隨機(jī)、連續(xù)，概率密度 p(r) 周末庫(kù)存量x, 訂貨量 u, 周初庫(kù)存量 x+u 每周貯存量按 x+u-r 計(jì) 建模與求解（s, S) 存貯策略確定(s, S), 使目標(biāo)函數(shù)每周總費(fèi)用的平均值最小平均費(fèi)用 訂貨費(fèi)c0, 購(gòu)進(jìn)價(jià)c1, 貯存費(fèi)c2, 缺貨費(fèi)c3, 銷(xiāo)售量 r s 訂貨點(diǎn)， S 訂貨值建模與求解1）設(shè) xs, 求 u 使 J(u) 最小，確定S建模與求解SP1P20rp2）對(duì)庫(kù)存 x，確定訂貨點(diǎn)s若訂貨u, u+x=S, 總費(fèi)用為 若不訂貨, u=0, 總費(fèi)用為 訂貨點(diǎn) s 是的最小正根建模與求解不訂貨最小正根的圖解法J(u)在u+x=S處達(dá)到

7、最小 x I(x) 0 S I(S) s I(S)+c0I(x)在x=S處達(dá)到最小值I(S)I(x)圖形建模與求解J(u)與I(x)相似I(S)的最小正根 s9.4 軋鋼中的浪費(fèi)軋制鋼材兩道工序 粗軋(熱軋) 形成鋼材的雛形 精軋(冷軋) 得到鋼材規(guī)定的長(zhǎng)度粗軋鋼材長(zhǎng)度正態(tài)分布均值可以調(diào)整方差由設(shè)備精度確定粗軋鋼材長(zhǎng)度大于規(guī)定切掉多余 部分粗軋鋼材長(zhǎng)度小于規(guī)定整根報(bào)廢隨機(jī)因素影響精軋問(wèn)題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小背景分析設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長(zhǎng)度為 l， 粗軋后鋼材長(zhǎng)度的均方差為 記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為 m，則粗軋得到的鋼材長(zhǎng)度為正態(tài)隨機(jī)變量，記作 xN(m, 2)切掉多余部分的

8、概率整根報(bào)廢的概率存在最佳的m使總的浪費(fèi)最小lP0p(概率密度)mxPmPP建模選擇合適的目標(biāo)函數(shù)切掉多余部分的浪費(fèi)整根報(bào)廢的浪費(fèi)總浪費(fèi) =+粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度粗軋N根成品材 PN根成品材長(zhǎng)度l PN總長(zhǎng)度mN共浪費(fèi)長(zhǎng)度 mN-lPN選擇合適的目標(biāo)函數(shù)粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度得到一根成品材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度更合適的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化模型：求m 使J(m) 最?。ㄒ阎猯 , ）建模粗軋N根得成品材 PN根求解求 z 使J(z) 最?。ㄒ阎?） 求解例設(shè)l=2(米), =20(厘米)，求 m 使浪費(fèi)最小。=l/=10z*=-1.78*= -z*=11.78m*= *=2.36(米)求解1.2530.87

9、60.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z9.5 隨機(jī)人口模型背景 一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件一個(gè)國(guó)家或地區(qū)平均生育率平均死亡率確定性模型一個(gè)家族或村落出生概率死亡概率隨機(jī)性模型對(duì)象X(t) 時(shí)刻 t 的人口, 隨機(jī)變量.Pn(t) 概率P(X(t)=n), n=0,1,2,研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方差若X(t)=n, 對(duì)t到t+t的出生和死亡概率作以下假設(shè)1)出生一

10、人的概率與t成正比，記bnt ;出生二人及二人以上的概率為o(t).2)死亡一人的概率與t成正比，記dnt ;死亡二人及二人以上的概率為o(t).3)出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。 bn與n成正比，記bn=n , 出生概率；dn與n成正比，記dn=n，死亡概率。進(jìn)一步假設(shè)模型假設(shè)建模為得到Pn(t) P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察Pn(t+t) =P(X(t +t)=n).事件X(t +t)=n的分解X(t)=n-1, t內(nèi)出生一人X(t)=n+1, t內(nèi)死亡一人X(t)=n, t內(nèi)沒(méi)有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人， )概率Pn(t+t) Pn-1(t), bn-1t Pn+1(t), dn+1t Pn(t), 1-bnt -dn t o(t)一組遞推微分方程求解的困難和不必要(t=0時(shí)已知人口為n0)轉(zhuǎn)而考察X(t)的期望和方差bn=n，dn=n微分方程建模X(t)的期望求解基本方程n-1=kn+1=k求解比較：確定性指數(shù)增長(zhǎng)模型X(t)的方差E(t)-(t)- = r D(t)E(t)+(t)Et0n0, D(t)X(t)大致在 E(t)2(t) 范圍內(nèi)（ (t) 均方差）r 增長(zhǎng)概率r 平均