1、選修42矩陣與變換A最新考綱1了解二階矩陣的概念，了解線性變換與二階矩陣之間的關系2了解旋轉變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換這五種變換的概念與矩陣表示3理解變換的復合與矩陣的乘法；理解二階矩陣的乘法和簡單性質4理解逆矩陣的意義，會求出簡單二階逆矩陣5理解矩陣的特征值與特征向量，會求二階矩陣的特征值與特征向量.(1)行矩陣a11a12與列矩陣的乘法規(guī)則：知識梳理1矩陣的乘法規(guī)則b11b21abab(2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則：a11a12.cab1111111221b21a11a12x0a21a22y0a11a12x0a11x0a12y0a21a22y0a21x0a22y0設A是

2、一個二階矩陣，、是平面上的任意兩個向量，、1、2是任意三個實數(shù)，則A()A；A()AA；A(12)1A2A.(3)兩個二階矩陣相乘的結果仍然是一個矩陣，其乘法法則如下：a11a12b11b12a21a22b21b22a11b11a12b21a11b12a12b22a21b11a22b21a21b12a22b22性質：一般情況下，ABBA，即矩陣的乘法不滿足交換律；矩陣的乘法滿足結合律，即(AB)CA(BC)；矩陣的乘法不滿足消去律2矩陣的逆矩陣(1)逆矩陣的有關概念：對于二階矩陣A，B，若有ABBAE，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣若二階矩陣A存在逆矩陣B，則逆矩陣是唯一的，通常記A的逆矩陣

3、為A1，A1B.ab(2)逆矩陣的求法：一般地，對于二階可逆矩陣A(detAadbc0)，它cd的逆矩陣為dbadbcadbcA1adbcadbc(3)逆矩陣與二元一次方程組：如果關于變量x，y的二元一次方程組axbym，abxab的系數(shù)矩陣A可逆，那么該方程組有唯一解cxdyncdycdm1，nca.其中Adbadbcadbc1adbcadbc3二階矩陣的特征值和特征向量(1)特征值與特征向量的概念設A是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)，存在一個非零向量，使得A，那么稱為A的一個特征值，而稱為A的一個屬于特征值的一個特征向量(2)特征多項式與特征方程abxx設是二階矩陣A的一個特征值，它的一個特征

4、向量為，則Acdyyx，yxaxbyx，即滿足二元一次方程組ycxdyy，axby0abx0故(*)cxdy0cdy0則(*)式有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式ababab0.記f()為矩陣A的特征多項式；方程cdcdcdabab0，即f()0稱為矩陣A的特征方程cdcd(3)特征值與特征向量的計算ab如果是二階矩陣A的特征值，則是特征方程f()2(ad)cdadbc0的一個根解這個關于的二元一次方程，得1、2，將1、2分別代入方程組(*)，分別求出它們的一個非零解記1，2.則A111、A222，因此1、2是矩陣A的特征值，1，2y12為矩陣A的分別屬于特征值1、2的一個特征向量xx1

5、，xx2，x1x2yy1，yy2，y1y2abx1cdxy2診斷自測1051._.01710505177解析0175答案715075.121221122若A11221，B221，則AB_.121112解析AB11122212221111111121111222111122222222222200.000答案013設A000001，B，則AB的逆矩陣為_11001101001解析A1，B11001.0110(AB)1B1A101100答案1101變換作用下的結果為_14函數(shù)yx2在矩陣M004xx解析11yy440y10 xxx，y4y，代入yx2，得y1x2，即y1x2.解析A的特征多項式f(

6、)62441答案y4x2155若A，則A的特征值為_6215(1)(2)302328(7)(4)，A的特征值為17，24.答案7和4考點一矩陣與變換2a【例1】(2014蘇州市自主學習調查)已知a，b是實數(shù)，如果矩陣M所b1對應的變換將直線xy1變換成x2y1，求a，b的值yy解設點(x，)是直線xy1上任意一點，在矩陣M的作用下變成點(x，)，2axx則，b1yyx2xay，所以ybxy.因為點(x，y)，在直線x2y1上，所以22b1，(22b)x(a2)y1，即a21，a3，所以1b2.規(guī)律方法理解變換的意義，掌握矩陣的乘法運算法則是求解的關鍵，利用待定系數(shù)法，構建方程是解決此類題的關鍵

7、BB【訓練1】已知變換S把平面上的點A(3,0)，(2,1)分別變換為點A(0,3)，(1，1)，試求變換S對應的矩陣T.a解設Tbc3xa，則T：d0ybc33a0a0，解得d03b3b1；2xaT：1ybc22ac1，d12bd1c1，01解得綜上可知T.d3，13考點二二階逆矩陣與二元一次方程組23y【例2】已知矩陣M所對應的線性變換把點A(x，)變成點A(13,5)，11試求M的逆矩陣及點A的坐標23解依題意得由M，得|M|1，111故M113.223x13x得11yy113352，故32511325從而由151313x2，A(2，3)為所求y3，規(guī)律方法求逆矩陣時，可用定義法解方程處

8、理，也可以用公式法直接代入求解在求逆矩陣時要重視(AB)1B1A1性質的應用，2【訓練2】已知矩陣A132(1)求矩陣A的逆矩陣；2x3y10，(2)利用逆矩陣知識解方程組x2y30.，解(1)法一a設逆矩陣為A1cbd，得2b3d0，ab22cd01，2則由13a2cb1d0012a3c1，.a2，解得b3，c21d，2A1132，a法二由公式知若Acb2d1322x3y10，(2)已知方程組x2y30，2x3y1，可轉化為x2y3，X，B，且由(1)，2即AXB，其中A13x12y3得A1.2312因此，由AXB，同時左乘A1，有.2A1AXA1B1317235x7，即原方程組的解為y5.

9、考點三求矩陣的特征值與特征向量對應的線性變換把點P(1,1)變成點P(3,3)，1【例3】已知aR，矩陣Aa21求矩陣A的特征值以及每個特征值的一個特征向量，11a131解由題意a2133f()(1)24(1)(3)，1得a13，即a2，矩陣A的特征多項式為122令f()0，所以矩陣A的特征值為11，23.對于特征值11，xy0，x1，解相應的線性方程組得一個非零解2x2y0y1.因此，是矩陣A的屬于特征值1的一個特征向量；1對于特征值23，解相應的線性方程組規(guī)律方法已知A112x2y0，2x2y0 x1，得一個非零解y1.1因此，是矩陣A的屬于特征值23的一個特征向量1ab，求特征值和特征向

10、量，其步驟為：cda(1)令f()cb(a)(d)bc0，求出特征值；daxby0，(2)列方程組cxdy0；(3)賦值法求特征向量，一般取x1或者y1，寫出相應的向量，求M的特征值及屬于各3【訓練3】(2014揚州質檢)已知矩陣M1特征值的一個特征向量1333解由矩陣M的特征多項式f()11當12時，由M2，(3)210，解得12，24，即為矩陣M的特征值x設矩陣M的特征向量為，yxxyyxy0，可得xy0.可令x1，得y1，1是M的屬于12的特征向量當24時，由M4，2是M的屬于24的特征向量11xxyyxy0，可得xy0，取x1，得y1，11abab1，則cdcd11用坐標轉移的思想求曲

11、線在變換作用下的新方程【典例】二階矩陣M對應的變換T將點(1，1)與(2，1)分別變換成點(1，1)與(0，2)(1)求矩陣M；(2)設直線l在變換T作用下得到了直線m：xy4，求l的方程審題視點(1)變換前后的坐標均已知，因此可以設出矩陣，用待定系數(shù)法求解(2)知道直線l在變換T作用下的直線m，求原直線，可用坐標轉移法1解(1)設M，0ab2，cd12c3，所以Mab1，2ab0，所以且cd1，2cd2，12.34解得a1，b2，d4，(2)因為x12xx2yy34y3x4y且m：xy4，所以(x2y)(3x4y)4，即xy20，直線l的方程是xy20.反思感悟(1)本題考查了求變換矩陣和在

12、變換矩陣作用下的曲線方程問題，題目難度屬中檔題(2)本題突出體現(xiàn)了待定系數(shù)法的思想方法和坐標轉移的思想方法.(3)本題的易錯點是計算錯誤和第(2)問中坐標轉移的方向錯誤【自主體驗】(2014南京金陵中學月考)求曲線2x22xy10在矩陣MN對應的變換作，N1.1用下得到的曲線方程，其中M00210121.1221解MN001010設P(x，y)是曲線2x22xy10上任意一點，點P在矩陣MN對應的變換下變?yōu)辄cP(x，y)，0 xx，2x2yx1則y22yy于是xx，yx2，代入2x22xy10，得xy1.所以曲線2x22xy10在MN對應的變換作用下得到的曲線方程為xy1.解析可寫成y5x6y

13、，一、填空題xx3x4y1已知變換T：，則該變換矩陣為_yy5x6yx3x4y，34xx.56yy34答案5632計算572等于_8137258152823271解析.1答案253矩陣00的逆矩陣為_105015，50.的逆矩陣為5解析01010011答案501則，.(6)(3)180.解析f()363a4若矩陣A把直線l：2xy70變換成另一直線l：9xy91b130，則a_，b_.解析取l上兩點(0,7)和(3.5,0)，3a07a3a3.510.5b13791b1303.5b由已知(7a,91)，(10.5,3.5b)在l上，代入得a0，b1.答案01635矩陣M的特征值為_63630或

14、3.答案0或316已知矩陣M3210，則M(24)_.24320，M(24)128348426212214解析24.14答案26的作用下變換為曲線C，則C的方17曲線C1：x22y21在矩陣M02221程為_解析設P(x，y)為曲線C2上任意一點，P(x，y)為曲線x22y21上與P對應的點，xx2y，yy12xx則，即01yyxx2y，yy.1a2，解析設A，由，得c3.b1，3，得所以cd3.d0.因為P是曲線C1上的點，所以C2的方程為(x2y)2y21.答案(x2y)2y2121418已知矩陣A，B，則滿足AXB的二階矩陣X為4331_解析由題意，得A1AXB，XA1B.9答案2511

15、9已知矩陣A將點(1,0)變換為(2,3)，且屬于特征值3的一個特征向量是，則1矩陣A為_abab12cdcd03ab113ab3，由cd11321所以A.302答案310二、解答題10(2012江蘇卷)已知矩陣A的逆矩陣A1錯誤!，求矩陣A的特征值解因為AA1E，所以A(A1)1.因為A1錯誤!，所以A(A1)1錯誤!，f()234.21于是矩陣A的特征多項式為23令f()0，解得A的特征值11，24.，A的一個特征值2，其對應的特征向量是1.111已知矩陣A1a2b12560，得12，23，當12時，1，當23時，得2.由m1n2，得解得m3，n1.A5A5(312)3(A51)A523(511)25232535.7(1)求矩陣A；(2)若向量，計算A5的值412解(1)A.1412(2)矩陣A的特征多項式為f()1421112mn7，mn4，2143511339a12(2012福建卷)設曲線2x22xyy21在矩陣Ab0(a0)對應的變換作1用下得到的曲線為x