1、a勻強磁場中勻速圓周運動問題的數(shù)理方法黃汶（常州市橫山橋高級中學，江蘇常州213119）解決帶電粒子在勻強磁場中的勻速圓周運動問題的關(guān)鍵是：找出做圓周運動軌 跡的圓心并作出運動軌跡，依據(jù)圖中的幾何關(guān)系尋求解決問題的途徑。筆者認為， 從數(shù)學原理的角度，應讓學生整體領(lǐng)會平面幾何中與帶電粒子在勻強磁場中做勻速 圓周運動問題有關(guān)的尺規(guī)作圖知識；從物理方法的角度，應讓學生建構(gòu)作圖知識在 具體物理情境中的實際物理意義，通過作圖建構(gòu)有意義并有效的物理圖景，并能運 用數(shù)學平面幾何和解析幾何知識解決物理問題。一、探究與圓周運動有關(guān)的平面幾何的尺規(guī)作圖為了實現(xiàn)后面的有意義學習和有效建構(gòu)，我們設(shè)計并呈現(xiàn)了一個學生可

2、以自主 探究和班級交流的方式解決的過渡性問題，一方面，給學生鋪設(shè)好拾級而上的臺階; 另一方面，讓學生整體領(lǐng)會平面幾何中與帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動問 題有關(guān)的尺規(guī)作圖知識，有助于全面把握作圖方法和要領(lǐng)。如圖1所示，已知圓心為O,半徑為尸的實線圓；據(jù)平面幾何的定理及其作圖知 識，先作出已知圓的切線、弦等；然后以已知圓的切線、弦等為輔助線作出通過已圖2弦等，如圖2所示，如圖1知圓的圓心O的直線或圓；再逆向思考已知一個圓的切線、 何作圖尋找該圓的圓心并作出圓。經(jīng)過交流，基本上可以形成圖1中的四種意見和方法，先作出圓心所在直線或 圓。其一，過切點作與圓的切線垂直的直線1其二，作圓的弦的垂直平分

3、線L/； 其三，作圓的兩條切線夾角a的平分線L/；其四，作以圓周上一點O/為圓心，以尸 為半徑的圓O/。然后根據(jù)兩線相交可以確定圓心并作出圓。二、揭示數(shù)學知識和方法所隱含的物理意義物理與數(shù)學，一個相對抽象，另一個相對具體，要把抽象的數(shù)學知識結(jié)合具體 的物理情境，并揭示數(shù)學知識和方法所隱含的物理意義，這樣， 數(shù)學才會成為學生解決物理問題的工具。為此，我們又設(shè)計和 呈現(xiàn)了四個具體、單純的物理作圖問題，讓學生找出做圓周運 動的圓心，并總結(jié)出四個作圖要領(lǐng)。其一，過切點作與圓的切線垂直的直線。如圖3所示，從A 點分別以大小不等但方向相同的速度v和v垂直于磁場射入 （射出）的帶電粒子做勻速圓周運動軌跡的圓

4、心分別是 O1和 O2, O1和O2均在過A點垂直于、的直線AO1上。要領(lǐng)一帶電粒子從同一已知點以不同的速率向平面上同一已知方向射入（射 出），若勻強磁場垂直該平面，則這些粒子做勻速圓周運動的軌跡圓心必在過該點與 速度方向垂直的直線上，這些圓軌跡相切。其二，作圓的弦的垂直平分線。如圖4所示，垂直于 磁場從A （或B）點射入，并從B （或A）射出的帶電粒 子做勻速圓周運動軌跡的圓心可能是O1 （或O2），O1和 O2均在AB連線的垂直平分線O1O2上。要領(lǐng)二 帶電粒子從有界平面上一已知點射入、并從 另一已知點射出，若勻強磁場只垂直分布于該有界平面 內(nèi)，則這些粒子做勻速圓周運動的圓心必在射入點和射

5、出 點連線的中垂線上。其三，作圓的兩條切線夾角a的平分線。如圖5所示， 垂直于磁場沿v方向射入，并沿v方向射出的帶電粒子做 勻速圓周運動軌跡的圓心可能是O1 （或O2），O1和O2均 在角a的平分線上，角a是七偏離、方向的偏向角P 的鄰角。21要領(lǐng)三在平面上，帶電粒子從未知點向一已知方向射 入、并從另一未知點向另一已知方向射出，若勻強磁場垂 直分布于該有界平面內(nèi)，則這些粒子做勻速圓周運動的圓 心必在射出方向?qū)ι淙敕较虻钠蚪堑泥徑堑钠椒志€上。其四，作以圓周上一點為圓心，以,為半徑的圓。如圖6所示，直于磁場從O點射入（射出）的帶電粒子做勻速圓周運動 軌跡的圓心分別是O1和O2, O1和O2均在圓

6、心為O,半徑 為r =心的圓上。qB要領(lǐng)四已知比荷為q的帶電粒子，在同一已知點以相m 同的速率v向平面上各個方向射入（射出），若已知磁感強 度為b的勻強磁場垂直該平面，則這些粒子做勻速圓周運 動的圓心必在以該點為圓心、半徑為r = mv的圓上。qB三、典型例題解析、點評知識、方法和要領(lǐng)，都需要在解決具體問題中檢驗其有效性，并可深化知識的有 意義建構(gòu)。固定擋板4；。s2電子快門f L 固定薄板AL例1（2007年廣東高考卷第20題）圖7是某裝置的垂直截面圖，虛線A1A2是 垂直截面與磁場區(qū)邊界面的交線，勻強磁場分布在a1a2的右側(cè)區(qū)域，磁感應強度 B=0.4T，方向垂直紙面向外，A1A2與垂直截

7、面上的水平線夾角為45。A1A2在左側(cè)， 固定的薄板和等大的擋板均水平放置，它 們與垂直截面交線分別為S1、S2，相距 L=0.2m。在薄板上P處開一小孔，P與A1A2 線上點D的水平距離為L。在小孔處裝一 個電子快門。起初快門開啟，一旦有帶正 電微粒通過小孔，快門立即關(guān)閉，此后每 隔T=3.0 x10-3s開啟一次并瞬間關(guān)閉。從S1S2之間的某一位置水平發(fā)射一速度為的帶正電微粒，它經(jīng)過磁場區(qū)域后入射到 P處小孔。通過小孔的微粒與檔板發(fā)生碰撞而反彈，反彈速度大小是碰前的0.5倍。（1）經(jīng)過一次反彈直接從小孔射出的微粒，其初速度應為多少？（2）求上述微粒從最初水平射入磁場到第二次離開磁場的時間。

8、（忽略微粒所受重力影響，碰撞過程無電荷轉(zhuǎn)移。已知微粒的荷質(zhì)比q = 1.0 x 10 3c/kg。只考慮紙面 上帶電微粒的運動）m圖8A解析如圖8所示，作第一次進入磁場的路線交A1A2于點C，作第一次出磁場（第 二次進入磁場）的路線交A1A2于點E，兩路線相交于點F；過點C作與入射速度方 向垂直的垂線，過點E作與射出的速度方向垂直的垂線（或線段CE的中垂線，或 ZCFE的平分線），兩線相交于點01 ；所以，以O(shè) 為圓心，0C為半徑可作出粒子第一次在磁場內(nèi)做 勻速圓周運動的軌跡。作過點E與第二次入射速度 方向垂直的垂線，以E為圓心，以O(shè)f長度的一半 為半徑作圓，交垂線于點02；所以，以02為圓心

9、， 02E為半徑可作出粒子第二次在磁場內(nèi)做勻速圓周 運動的軌跡，第二次從磁場邊界Q點射出磁場。設(shè) 帶正電微粒在s1s2之間任意點C以水平速度進入 磁場，微粒受到的洛侖茲力為f，在磁場中做圓周運 動的半徑為,，有：mv 2f=qv0B，f = 0， r聯(lián)立解得：r = mVr，qB欲使微粒能進入小孔，r的取值范圍為：l r 2 L，代入數(shù)據(jù)得：80m/sv0160m/s，欲使進入小孔的微粒與擋板一次相碰返回后能通過小孔，還必須滿足條件:-+- = nT 其中 n=1,2,3,v 0.5 v 00可知，只有n=2滿足條件，即有：v0=100m/s。（2）設(shè)微粒在磁場中做圓周運動的周期為T0，從水平

10、進入磁場到第二次離開磁場的 總時間為t，設(shè)小t4分別為帶電微粒第一次、第二次在磁場中運動的時間，第一次 離開磁場運動到擋板的時間為12，碰撞后再返回磁場的時間為t3,運動軌跡如圖8所 示，根據(jù)圖中幾何關(guān)系，則有：3-T，4 02Lt = ， t30.5v 401-T，40t = t + 12 + 13 + 14 = 2.8 x 10 -2 s。點評 該題是根據(jù)磁場區(qū)域和帶電粒子運動的部分情況，求解帶電粒子運動其它 情況。學生解決問題的困難在于建立粒子在串聯(lián)電、磁場區(qū)域運動的時間和空間關(guān)系。雖然已知粒子做圓周運動的射入、射出的方向或點，但需要依據(jù)要領(lǐng)1、要領(lǐng)2、 要領(lǐng)3或要領(lǐng)4組合尋求軌跡圓心，

11、作出粒子運動軌跡，找到粒子在串聯(lián)電、磁場 區(qū)域運動的時間和空間關(guān)系，從而獲得粒子運動其它情況。又解得軌跡，例2（據(jù)2004甘肅等省、自治區(qū)高考理綜第24題改 編）一勻強磁場，磁場方向垂直于xy平面。在xy平面上， 一個質(zhì)量為m、電荷量為g的帶電粒子，由原點O開始運 動，初速為v，方向沿x正方向。后來，粒子經(jīng)過y軸上 的P，此時速度方向與y軸的夾角為30，P到O的距離 為如圖9所示。不計重力的影響。求：（1）磁感強度3的大??；（2）xy平面上圓形磁場區(qū)域的最小半徑R。解析（1）如圖10所示，對粒子，軌跡圓心是偏向角 鄰角的平分線與過射入磁場邊界點O垂直于射入速度垂線 的交點O/，根據(jù)圖中幾何關(guān)系

12、，可得軌跡半徑r =o/o=L l，3mvr = 一，qB3 mvB =。qL圖10（2）以O(shè)/為圓心，r為半徑，作出粒子在磁場中運動 與射出速度延長線相切于P/，根據(jù)圖中幾何關(guān)系， 可得xy平面上圓形磁場區(qū)域的最小半徑R =】OP/K L，26圓心為0?的中點O/，可作出xy平面上圓形磁場區(qū)域。點評 該題是根據(jù)帶電粒子運動的部分情況，求解帶電粒子運動其它情況、磁場 區(qū)域和磁感強度。學生的誤解主要是把P當作粒子射出磁場區(qū)域的邊界點，雖然已 知粒子做圓周運動的射入（出）磁場區(qū)域的邊界點或方向，但需要依據(jù)要領(lǐng)1和要 領(lǐng)3組合尋求軌跡圓心和軌跡半徑，作出粒子運動軌跡，找到粒子射出磁場區(qū)域的 邊界點，

13、從而獲得磁感強度和圓形磁場區(qū)域及其最小半徑。例3在xoy平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為m、電量為e）， 率沿不同方向射入第一象限，如圖11所示?，F(xiàn)加一個垂 _Vp直于xoy平面向內(nèi)、磁感強度為B的勻強磁場，要求這些 電子穿過磁場后都能平行于x軸向x正方向運動，求符合 該條件磁場的最小面積。解析 對電子，做勻速圓周運動的軌跡半徑為mv0 ； eB從坐標O不斷以相同速圖11所以，從坐標0沿不同方向射入第一象限的電子做勻速圓周運動的軌跡圓心在以0 為圓心，半徑為r的圓在第四象限部分，如圖12所示。沿x和y兩個特殊方向射入 的電子做勻速圓周運動的軌跡圓心分別為0和0，穿過磁場后平行于x軸向x正方 向運動的軌

14、跡分別是以0為圓心r為半徑的第一象限的四分之一圓周和坐標0； 一般的，沿與X軸正方向夾角為a方向射入的電子做勻速圓周運動的軌跡圓心是過O 點垂直于該速度的垂線與圓心軌跡的交點O/，射出點是過O/垂直于x軸的垂線與以 O/為圓心為半徑的圓交點A，設(shè)A（x，y），根據(jù)圖中幾何關(guān)系，可得x= r sin a，圖12y= r 一 r cos a，消除參數(shù)，可得平行于X軸向X正方向運動的穿過磁場后的射出點的軌跡方程x2+（y- r）2= r 2，即以（0，r）為圓心r為半徑的第一象限的四分之一圓 周；則符合條件磁場的最小面積是以O(shè)為圓心r為半徑 的第一象限的四分之一圓周和以（0，y）為圓心r為半 徑的第一象限的四分之一圓周所圍面積，可得S = 2(上兀 一 L) r 2 = (- 1) 0422 e 2 B 2點評 該題是根據(jù)帶電粒子運動的部分情況和磁場磁感強度，求解帶電粒子運 動其它情況和磁場區(qū)域。學生解決問題的困難在于如何確定不同射入方向的電子 的射出磁場區(qū)域的邊界點。雖然已知電子做圓周運動的軌跡半徑，但需要依據(jù)要 領(lǐng)4尋求軌跡圓心的軌跡。我們從特殊到一般地作出粒子運動軌跡，找到滿足題給 條件的電子射出磁場區(qū)域的邊界點，從而獲得磁場區(qū)域的最小面積。綜觀上述三個例子，層層推進，通過作圖建構(gòu)有意義并有效的物理圖景，并在 運用數(shù)學平面幾何和解析幾何知識