1、高等代數(shù)精讀課程教學(xué)大綱一、課程概況所屬專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)開(kāi)課單位：數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院課程類(lèi)型:專業(yè)選修課程課程代碼:07491360開(kāi)課學(xué)期:7學(xué)分：3學(xué)時(shí)：51核心課程:否擬使用教材：1、北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組. 高等代數(shù)(第四版). 高等教育出版社. 2010.9國(guó)內(nèi)(外)現(xiàn)有教材：1、丘維聲. 高等代數(shù)(第三版)（上、下冊(cè)）. 高等教育出版社. 2015學(xué)習(xí)參考資料: HYPERLINK /writer/%E6%AF%9B%E7%A3%8A_1.html t _blank毛磊，HYPERLINK /writer/%E5%AF%87%E5%86%B0%E7%85%9C_1.html

2、t _blank寇冰煜，HYPERLINK /writer/%E6%BB%95%E5%85%B4%E8%99%8E_1.html t _blank滕興虎. 高等代數(shù)全程學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題精解答.東南大學(xué)出版社. 2013.32、徐仲，陸全. 高等代數(shù)考研教案. 西北工業(yè)大學(xué)出版社. 2006.1二、課程描述本課程是高等師范院校數(shù)學(xué)及應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)和統(tǒng)計(jì)專業(yè)的一門(mén)重要的提高課程。它的任務(wù)是給學(xué)生復(fù)習(xí)線性代數(shù)和多項(xiàng)式理論的基本概念，基本理論，基本方法和技巧的基礎(chǔ)上將高等代數(shù)的主要內(nèi)容按問(wèn)題分類(lèi)，通過(guò)引例歸納各類(lèi)問(wèn)題的解題規(guī)律，方法和技巧。課程開(kāi)設(shè)的目的是幫助有志于考研和進(jìn)一步深造的同學(xué)加深理解和掌握解題

3、技巧，了解考題涉及的范圍。三、課程目標(biāo)1、復(fù)習(xí)與多項(xiàng)式相關(guān)的基本概念，熟悉一元多項(xiàng)式的因式分解理論。 2、熟練掌握行列式的各種計(jì)算技巧. 3、掌握求解線性方程組的有解判定準(zhǔn)則和解的結(jié)構(gòu)定理，會(huì)求解一般的線性方程組。4、理解向量組的線形相關(guān)性與線性方程組有解以及矩陣的秩之間的關(guān)系。5、掌握二次型的基本理論及與矩陣?yán)碚摰膶?duì)應(yīng)關(guān)系，掌握正定二次型的性質(zhì)和應(yīng)用及將實(shí)二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型的方法和技巧，掌握正定矩陣的證明方法。 6、復(fù)習(xí)線性空間的有關(guān)概念, 掌握線性變換的運(yùn)算性質(zhì)及特征值、特征向量和特征多項(xiàng)式的定義和計(jì)算，矩陣相似的概念和判定方法，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算應(yīng)用，矩陣對(duì)角化的條件和判定方法，了解

4、-矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用，熟練掌握初等因子，不變因子和有理標(biāo)準(zhǔn)形的求法。7、復(fù)習(xí)歐幾里得空間的有關(guān)概念，Schmidt正交化方法以及實(shí)對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)，掌握將實(shí)對(duì)稱矩陣化成對(duì)角陣的方法，學(xué)會(huì)將線性方程組問(wèn)題，矩陣問(wèn)題，線性變換問(wèn)題的相互轉(zhuǎn)化，“幾何地”思考理解線性代數(shù)問(wèn)題。四、教學(xué)要求下面所列的教與學(xué)兩個(gè)方面的要求，希望授課教師和同學(xué)們一體遵循。首先羅列對(duì)授課教師的一些要求：1、同學(xué)們對(duì)授課教師有任何要求或疑問(wèn)，都可以通過(guò)學(xué)習(xí)委員或者其他班干部向授課教師反映，也可以直接和授課教師交流。授課教師應(yīng)虛心采納同學(xué)們的正確意見(jiàn)和要求。2、授課教師將嚴(yán)格按照課表規(guī)定的時(shí)間、地點(diǎn)上課，不遲到。3、授課教師將完

5、全脫稿講課，講課過(guò)程中不看講稿（少量例題除外）。4、授課教師在授課過(guò)程中，力求思路清晰、詳略得當(dāng)、邏輯性強(qiáng)、重難點(diǎn)突出。5、授課教師在授課過(guò)程中力戒照本宣科，幫助同學(xué)們理清思路。6、授課教師要重視對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)。其次我們來(lái)談?wù)剬?duì)同學(xué)們的一些要求：上課時(shí)請(qǐng)同學(xué)們保持絕對(duì)的安靜，不允許講任何和課程內(nèi)容無(wú)關(guān)的話，這是一個(gè)基本的道德，即是對(duì)其他同學(xué)的尊重，也是對(duì)老師的尊敬。盡量不遲到（如果遲到，請(qǐng)走教室前門(mén)并喊報(bào)告，不得偷偷溜后門(mén)進(jìn)課堂）、不早退。課堂上請(qǐng)將手機(jī)關(guān)機(jī)或調(diào)成振動(dòng)并不得玩手機(jī)。4、本課程需要學(xué)生自主完成一定量的題目才能較好地達(dá)到課程教學(xué)目的，一般每次課后由授課教師統(tǒng)一布置一些思考題，

6、總量達(dá)到10余次，由于這些思考題有一定的難度，鼓勵(lì)學(xué)生互相討論完成。5、此課程的目標(biāo)是幫助同學(xué)們考研。但當(dāng)同學(xué)們遇見(jiàn)考研難題時(shí)，請(qǐng)不要集中一次給授課教師，而是要分散交給授課教師來(lái)替你們解答。五、考核方式及要求為實(shí)現(xiàn)課程教學(xué)目標(biāo)，本門(mén)課程考核方式及要求為：出勤率占總成績(jī)的20%，點(diǎn)到不少于3次，其中缺席1次，扣掉出勤成績(jī)的三分之一，缺席2次，扣掉出勤成績(jī)的三分之二，缺席3次或3次以上，出勤成績(jī)按0分算；一般每次課后都有練習(xí)布置，練習(xí)一周交一次，所有的同學(xué)都要交練習(xí)，按批改結(jié)果占總成績(jī)的成績(jī)20%折算后計(jì)入總成績(jī)；期末考試為閉卷考試，占總成績(jī)的60%。六、課程內(nèi)容第一講：多項(xiàng)式理論（授課時(shí)間：第七

7、學(xué)期第一周至第三周）教學(xué)目標(biāo)： 1、復(fù)習(xí)與多項(xiàng)式相關(guān)的基本概念； 2、掌握最大公因式的計(jì)算與證明； 3、掌握互素多項(xiàng)式，不可約多項(xiàng)式，重因式的判定與證明；4、掌握多項(xiàng)式函數(shù)和多項(xiàng)式的根之間的關(guān)系；5、掌握重要數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解。教學(xué)重點(diǎn)：從多項(xiàng)式的帶余除法和整除入手，幫助同學(xué)們掌握熟悉一元多項(xiàng)式的。因式分解理論。教學(xué)難點(diǎn)：Lagrange插值公式，Eisenstein公式和牛頓公式的定義、證明和應(yīng)用。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)9學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于9學(xué)時(shí)。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）一元多項(xiàng)式的因式分解理論； （2）多項(xiàng)式函數(shù)和多項(xiàng)式的根之間的關(guān)系; (3) 重要數(shù)域上多項(xiàng)式的因式分解

8、。學(xué)習(xí)方法：小組討論、實(shí)際運(yùn)算。課后作業(yè)：完成教材上的相關(guān)練習(xí)題（隨堂布置）并在相應(yīng)課前提交。第二講：行列式、線性方程組、矩陣及線性相關(guān)性（授課時(shí)間：第七學(xué)期第四周至第七周）教學(xué)目標(biāo)： 1、熟練掌握行列式的各種計(jì)算技巧及clamer法則的應(yīng)用；2、掌握含參數(shù)的線性方程組和抽象線性方程組的求解，求2個(gè)線性方程組的公共解，線性方程組有解的判定與證明；3、掌握向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的證明，深刻理解向量組的線形相關(guān)性與線性方程組有解以及矩陣的秩之間的關(guān)系以及它們的相互轉(zhuǎn)換，掌握向量由向量組線性表示的判定和證明，會(huì)利用初等變換去求向量組的秩和極大線性無(wú)關(guān)組；4、掌握求抽象矩陣的行列式，求方陣的冪，求

9、抽象矩陣的逆矩陣，求解矩陣方程，一些涉及伴隨矩陣的計(jì)算和證明，矩陣秩的證明等。教學(xué)重點(diǎn)：線性方程組有解的判定與證明、伴隨矩陣的計(jì)算和證明、求向量組的秩和極大線性無(wú)關(guān)組。教學(xué)難點(diǎn)：向量組的線性相關(guān)性的判定，矩陣秩的計(jì)算和證明，求抽象矩陣的逆矩陣。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)12學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于12學(xué)時(shí)。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）行列式的各種計(jì)算技巧； （2）線性方程組的求解; (3) 向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)； （4）矩陣的計(jì)算和矩陣的秩。學(xué)習(xí)方法：小組討論、實(shí)際運(yùn)算。課后作業(yè)：完成教材上的相關(guān)練習(xí)題（隨堂布置）并在相應(yīng)課前提交。第三講：二次型（授課時(shí)間：第七學(xué)期第八周至第十周）教學(xué)目

10、標(biāo)： 1、掌握求(證明)矩陣的特征值和特征向量，方陣可對(duì)角化的判定，計(jì)算及應(yīng)用；2、掌握由特征值和特征向量反求矩陣中的參數(shù)，由特征值和特征向量反求矩陣；3、掌握相似矩陣和正交矩陣的判定和證明；4、掌握正定矩陣的判定與證明，由正定矩陣證明其他結(jié)論；5、掌握由正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)正交化，二次型的幾何應(yīng)用等。教學(xué)重點(diǎn)：矩陣的特征值和特征向量，方陣的對(duì)角化，正定矩陣。教學(xué)難點(diǎn)： 二次型的幾何應(yīng)用，由正定矩陣證明其他結(jié)論。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)9學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于9學(xué)時(shí)。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）矩陣的特征值和特征向量； （2）方陣可對(duì)角化; (3) 正定矩陣的判定與證

11、明； （4）實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)正交化。學(xué)習(xí)方法：小組討論、實(shí)際運(yùn)算。課后作業(yè)：完成教材上的相關(guān)練習(xí)題（隨堂布置）并在相應(yīng)課前提交。第四講：線性空間與線性變換（授課時(shí)間：第七學(xué)期第十一周至第十三周）教學(xué)目標(biāo)： 1、復(fù)習(xí)線性空間與線性變換的一些基本概念；2、會(huì)求線性(子)空間的基與維數(shù)，子空間的交與和的基與維數(shù)，掌握子空間直和的判定與證明。3、會(huì)求線性變換的矩陣，掌握線性變換的運(yùn)算與矩陣的運(yùn)算之間的關(guān)系；4、掌握求線性變換的值域與核，線性變換的不變子空間的證明；5、熟練掌握行列式因子，初等因子，不變因子的求法和他們之間的關(guān)系以及有理標(biāo)準(zhǔn)形的求法；6、會(huì)求矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和有理標(biāo)準(zhǔn)形，掌握它們的實(shí)際應(yīng)

12、用；7、掌握最小多項(xiàng)式的求法及有關(guān)證明，最小多項(xiàng)式的應(yīng)用，Hamilton-cayley定理的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)：線性變換與矩陣之間的關(guān)系，矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，最小多項(xiàng)式，線性變換的值域與核。教學(xué)難點(diǎn)：最小多項(xiàng)式的求法，矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形的求法， Hamilton-cayley定理的應(yīng)用。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)9學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于9學(xué)時(shí)。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）(子)空間的基與維數(shù)； （2）矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和有理標(biāo)準(zhǔn)形; (3) 行列式因子，初等因子，不變因子； （4）線性變換的值域與核。學(xué)習(xí)方法：小組討論、實(shí)際運(yùn)算。課后作業(yè)：完成教材上的相關(guān)練習(xí)題（隨堂布置）并在相應(yīng)課前提交。第五講：歐氏空間（授課時(shí)間：第七學(xué)期第十四周至第十六周）教學(xué)目標(biāo)： 1、復(fù)習(xí)歐氏空間的一些基本概念；2、掌握標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法。3、掌握正交補(bǔ)空間的計(jì)算和證明；4、掌握正交性變換與對(duì)稱變換的判定與證明；5、會(huì)化簡(jiǎn)對(duì)稱變換的矩陣；教學(xué)重點(diǎn)：正交基和Schmidt正交化方法以及實(shí)對(duì)稱矩陣的基本性質(zhì)，掌握將實(shí)對(duì)稱矩陣化成對(duì)角陣的方法。教學(xué)難點(diǎn)：Schmidt正交化方法。學(xué) 時(shí)：課堂教學(xué)9學(xué)時(shí)，課外自主學(xué)習(xí)時(shí)間不少于9學(xué)時(shí)。教學(xué)方法：講授法。主要內(nèi)容：（1）歐氏空間； （2）矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形和有理標(biāo)準(zhǔn)形; (3) 標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法。學(xué)習(xí)方法：小組討論、實(shí)際運(yùn)算。課后作業(yè)：完成教材上的相關(guān)