1、6.4.3 正、余弦定理的實(shí)際運(yùn)用(精練)【題組一 距離測(cè)量】 1(2021云南 )世界上有很多國(guó)家的著名城市都是沿河而建的，某城市在南北流向的河流兩岸修建了風(fēng)光帶用于改善城市人居環(huán)境.已知小徐步行到岸邊點(diǎn)時(shí)，測(cè)得河對(duì)面的某地標(biāo)建筑物在其北偏東60的方向上，往正北方向步行到達(dá)點(diǎn)后，測(cè)得該地標(biāo)建筑物在其南偏東75方向上.則此時(shí)小徐與該地標(biāo)建筑物的距離( )ABCD【答案】D【解析】在中，所以，所以由正弦定理可得，解得.故選：D.2(2021黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校 )某船從A處向北偏東方向航行千米后到達(dá)B處，然后朝南偏西的方向航行6千米到達(dá)C處，則A處與C處之間的距離為( )A千米B千米C3千米

2、D6千米【答案】B【解析】如圖，在中，由余弦定理得：，所以A處與C處之間的距離為千米.故選：B3(2021廣東佛山市南海區(qū)里水高級(jí)中學(xué)高一月考)如圖，為測(cè)量河對(duì)岸、兩點(diǎn)間的距離，沿河岸選取相距米的、兩點(diǎn)，測(cè)得，則、兩點(diǎn)的距離是( )A米B米C米D米【答案】B【解析】在中，故，由正弦定理，得，在中，故為等腰直角三角形，且，在中，由余弦定理可得(米).故選：B.4(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，為了測(cè)量A、B處島嶼的距離，小海在D處觀測(cè)，A、B分別在D處的北偏西15、北偏東45方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀測(cè)B在C處的正北方向，A在C處的北偏西45方向，則A、B兩島嶼的距離為_海里

3、【答案】20【解析】如圖所示：連接AB，由題意可知CD20，ADC105，BDC45，BCD90，ACD45，CAD30，ADB60，在ACD中，由正弦定理得，解得AD20，在RtBCD中，BDC45，BCD90，BD，CD20在ABD中，ADB60，ADBD，所以ABD為等邊三角形，所以，AB20故答案為：205(2021云南昆明市官渡區(qū)云子中學(xué)長(zhǎng)豐學(xué)校)如圖，一艘船以每小時(shí)20km的速度向東航行，船在處觀測(cè)燈塔在北偏東方向，行駛2h后，船到達(dá)處，觀測(cè)個(gè)燈塔在北偏東方向，此時(shí)船與燈塔的距離為_km.【答案】【解析】由圖知知，由正弦定理有.故答案為：6(2021浙江師范大學(xué)附屬東陽花園外國(guó)語學(xué)

4、校高一月考)某中學(xué)慶祝國(guó)慶儀式上舉行升旗禮，在坡度為的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一垂直于地面的平面上，某同學(xué)在該列的第一排和最后一排車的旗桿頂端的仰角分別是，已知旗桿的高度為28.3米，則第一排與最后一排之間的距離約為_(取，小數(shù)點(diǎn)后保留一位有效數(shù)字)【答案】23.6米【解析】設(shè)第一排的觀測(cè)點(diǎn)為，最后一排的觀測(cè)點(diǎn)為，旗桿的頂端為，依題意，得，則，可得米，在中，由正弦定理得，所以米.故答案為：23.6米.【題組二 高度測(cè)量】1(2021江蘇省江都中學(xué))有“蘇中第一高樓”之稱的揚(yáng)州金奧中心座落于揚(yáng)州文昌東路，是江都的標(biāo)志性建筑小明同學(xué)為了估算大樓的高度，在大樓的正東方向找到一座建筑物，高為，在

5、它們之間的地面上的點(diǎn)(三點(diǎn)共線)處測(cè)得樓頂，樓頂?shù)难鼋欠謩e是和，在樓頂處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，則小明估算金奧中心的高度為( )ABCD【答案】B【解析】在中，AMB=15，則， 在中，, ,由正弦定理可知，即,故選：B2(2021河南信陽)如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山底在西偏北的方向上；行駛后到達(dá)處，測(cè)得此山底在西偏北的方向上，山頂?shù)难鼋菫?，則此山的高度_.【答案】【解析】解：設(shè)此山高為，則，在中，則，則有解得：故答案為：3(2021江西新余四中)如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸電視塔CD的高度，測(cè)量者小張?jiān)诎哆咟c(diǎn)A處測(cè)得塔頂D的仰角為，塔底C與A的連線同河岸成角，小張沿

6、河岸向前走了200米到達(dá)M處，測(cè)得塔底C與M的連線同河岸成角，則電視塔CD的高度為_米【答案】【解析】由題設(shè)，在中，由正弦定理有：，又，米.故答案為：4(2021湖南湘西 )如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)C和D，現(xiàn)測(cè)得，則塔高_(dá)【答案】10【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以在中可得，因?yàn)樗栽谥锌傻?，在中，由余弦定理可得，解?負(fù)根舍去)故答案為：10.5(2021河南鄭州 )2021年10月1日，是中華人民共和國(guó)成立72周年，某校為了迎接“十一”國(guó)慶，特編排了“迎國(guó)慶唱紅歌”活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)讓合唱團(tuán)依斜坡站立，斜坡的前方是升旗臺(tái).如圖，若斜坡的坡角為，斜坡上某一位置A

7、與旗桿在同一個(gè)垂直于地面的平面內(nèi)，如果在A處和坡腳處測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為和，且米，則旗桿的高度為_米.【答案】【解析】設(shè)，在中，；在中，由正弦定理得，即，所以.故旗桿的高度為米.故答案為：18.6(2021河南 )滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作滕王閣序中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而名傳千古，流放后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點(diǎn)，處測(cè)得閣頂端點(diǎn)的仰角分別為，.且米，則滕王閣高度_米.【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以?在中，即.，在中，即，因?yàn)?，所以兩式相加可得：，解得：，則，故答案為：.7(2021四川巴中 )年月日，以“綠色秦巴，開放互贏”為主題的第三屆秦巴山

8、區(qū)綠色農(nóng)林產(chǎn)業(yè)投資貿(mào)易洽談會(huì)在四川省巴中市開幕，會(huì)場(chǎng)設(shè)在剛剛竣工的川東北最大的綜合體育場(chǎng)巴中市體育中心，即民間所說的“興文鳥巢”，能被邀請(qǐng)到現(xiàn)場(chǎng)觀禮是無比的榮耀如圖，在坡度為的觀禮臺(tái)上，某一列座位與旗桿在同一個(gè)垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測(cè)得旗桿頂端的仰角分別為和，且第一排和最后一排的距離為米，則旗桿的高度為_米【答案】【解析】設(shè)，在中，；在中，由正弦定理得，即，所以故旗桿的高度為米故答案為：.8(2021河北省臨西縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一月考)如圖所示，在山頂鐵塔上處測(cè)得地面上一點(diǎn)的俯角，在塔底處測(cè)得點(diǎn)的俯角，已知鐵塔部分高36米，則山高_(dá)米【答案】【解析】設(shè)米，則，在中，；在中，即，

9、得.故答案為：9(2021江蘇省蘇州第十中學(xué)校高一月考)如圖，為測(cè)量山高，選擇和另一座山的山頂為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn)，從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角點(diǎn)的仰角，以及；從點(diǎn)測(cè)得已知山高，則山高_(dá).【答案】300【解析】在中，在中，運(yùn)用正弦定理，可得，在中，故答案為：300【題組三 角度測(cè)量】1(2021山西永濟(jì)市涑北中學(xué)校高一月考)一艘游船從海島A出發(fā)，沿南偏東20的方向航行8海里后到達(dá)海島B，然后再?gòu)暮uB出發(fā)，沿北偏東40的方向航行了16海里到達(dá)海島C.若游船從海島A出發(fā)沿直線到達(dá)海島C，則航行的方向和路程(單位：海里)分別為( )A北偏東50，B北偏東70，12C北偏東70，D北偏東50，12【答案】C【解析】據(jù)題

10、意知，在中，海里，海里，海里，又，航行的方向和路程分別為北偏東70，海里.故選：C.2(2021福建三明 )日常生活中，我們?？吹礁魇礁鳂拥暮?jiǎn)易遮陽棚(板).現(xiàn)有直徑為的圓面，在其圓周上選定一個(gè)點(diǎn)固定在水平地面上，然后將圓面撐起，做成簡(jiǎn)易遮陽棚(板).某一時(shí)刻的太陽光線與水平地面成角，若要得到最大的遮陰面，則遮陽棚(板)與遮陰面所成角大小為( )ABCD【答案】B【解析】依題意分析可知，陰影面是橢圓，橢圓的短軸長(zhǎng)，如圖：圓的直徑在地面的投影為，則為橢圓的長(zhǎng)軸，為圓面與陰影面所成二面角的平面角，根據(jù)橢圓的面積公式可得，所以要使橢圓的面積最大，只要最大即可.在中，由正弦定理可得，所以，當(dāng)時(shí)，最大，

11、此時(shí),所以遮陽棚(板)與遮陰面所成角大小為.故選：B.3(2021云南陸良縣中樞鎮(zhèn)第二中學(xué) )一艘客船上午在處，測(cè)得燈塔在它的北偏東，之后它以每小時(shí)海里的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午到達(dá)處，此時(shí)測(cè)得船與燈塔相距海里，則燈塔在處的( )A北偏東B北偏東或東偏南C東偏南D以上方位都不對(duì)【答案】B【解析】如下圖所示： 客船半小時(shí)的行程為(海里)，因?yàn)?海里)，由正弦定理可得，所以，或.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，燈塔在處的北偏東；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，燈塔在處的東偏南.綜上所述，燈塔在處北偏東或東偏南.故選：B.4(2021江西上高二中)如圖，某人在一條水平公路旁的山頂P處測(cè)得小車在A處的俯角為30，該小車在公路上由東向

12、西勻速行駛7.5分鐘后，到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得俯角為45.已知此山的高，小車的速度是，則( )ABCD【答案】A【解析】由題意可得，則，.因?yàn)?，所以由余弦定理可知?故選：A.5(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖所示，在坡度一定的山坡處測(cè)得山頂上一建筑物的頂端對(duì)于山坡的斜度為，向山頂前進(jìn)m到達(dá)處，又測(cè)得對(duì)于山坡的斜度為，若m，山坡對(duì)于地平面的坡角為，則( )ABCD【答案】C【解析】在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：，因?yàn)椋?，故選：C6(2021全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖，在離地面的熱氣球上，觀察到山頂處的仰角為，在山腳處觀察到山頂處的仰角為60，若到熱氣球的距離，山的高度，則( )A30B

13、25C20D15【答案】D【解析】在中，在中，由正弦定理知，解得，或120.當(dāng)時(shí)，則，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：D7(2021重慶一中高一期末)為捍衛(wèi)國(guó)家南海主權(quán)，我海軍在南海海域進(jìn)行例行巡邏.某天，一艘巡邏艦從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行40海里后到達(dá)海島，然后再?gòu)暮u出發(fā)，沿北偏東的方向航行了海里到達(dá)海島.若巡邏艦從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，則航行的方向和路程(單位：海里)分別為( )A北偏東，B北偏東，C北偏東，D北偏東，【答案】C【解析】據(jù)題意知，在中，海里，海里，所以，所以海里，又，所以，又因?yàn)闉殇J角，所以，所以航行的方向和路程分別為北偏東，海里.故選：C.8(2021福建福州高一期中)某中

14、學(xué)為推進(jìn)智能校園建設(shè)，擬在新校區(qū)每個(gè)教室安裝“超短距”投影儀，如圖：投影儀安裝在距離墻面處，其發(fā)射的光線可以近似的看作由一個(gè)點(diǎn)S發(fā)出，光線投影在墻面上的屏幕上，已知高度為，光線上界的俯角為，則投影儀的垂直視角的余弦值( )ABCD【答案】D【解析】在中，因?yàn)?，所以，在中，因?yàn)?，所以，在中，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻茫汗蔬x：D.9(2021全國(guó))如圖，某人在垂直于水平地面的墻面前的點(diǎn)處進(jìn)行射擊訓(xùn)練，已知點(diǎn)到墻面的距離為，某目標(biāo)點(diǎn)沿墻面的射擊線移動(dòng)，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，需計(jì)算由點(diǎn)觀察點(diǎn)的仰角的大小(仰角為直線與平面所成角)若，則的最大值( )ABCD【答案】D【解析】作，垂足為，設(shè)，則，由余弦定

15、理，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，故選：D10(2021福建省寧化第一中學(xué)高一月考)(多選)某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東75，距離為；在處看燈塔在貨輪的北偏西30，距離貨輪由處向正北航行到處時(shí)，再看燈塔在南偏東60，則下列說法正確的是( )A處與處之間的距離是；B燈塔與處之間的距離是；C燈塔在處的西偏南60；D在燈塔的北偏西30【答案】AC【解析】由題意可知，所以，,在中，由正弦定理得，所以，故A正確；在中，由余弦定理得，即，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以燈塔在處的西偏南，故C正確；由，在燈塔的北偏西處，故D錯(cuò)誤.故選：AC【題組四 幾何中的正余弦定理】1(2021云南羅平縣第二中學(xué)高一期末)如圖

16、，在四邊形ABCD中，ABCD，AB2，(1)求；(2)求的長(zhǎng)【答案】(1)；(2).【解析】(1)由ABCD可得，則，即，而，即有，在中，所以；(2)由(1)知，在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，解得或(舍去)，所以的長(zhǎng)為.2(2021江蘇無錫市第一中學(xué)高一期中)現(xiàn)有長(zhǎng)度分別為1，2，3，4的線段各1條，將它們?nèi)坑蒙?，首尾依次相連地放在桌面上，可組成周長(zhǎng)為10的三角形或四邊形.(1)求出所有可能的三角形的面積；(2)如圖，已知平面凸四邊形中，.求滿足的數(shù)量關(guān)系；求四邊形面積的最大值，并指出面積最大時(shí)的值.【答案】(1)，；(2)；，.【解析】(1)根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，由題

17、意可知，所有符合情況的可能三角形為、當(dāng)三角形三邊為時(shí)，由余弦定理知等腰三角形頂角，當(dāng)三角形三邊為時(shí)，由余弦定理知等腰三角形頂角，(2)連接，由余弦定理知，又，故當(dāng)且僅當(dāng)，取得最大值，此時(shí)，3(2021福建福州三中高一期中)在平面四邊形中，.(1)若，求；(2)若，求.【答案】(1)；(2).【解析】(1)在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，又，所以；在中，由正弦定理可得，則；(2)在中，由正弦定理可得，則；在中，由正弦定理可得，則，因?yàn)椋裕獾?，由余弦定理可得?4(2021浙江高三月考)在中，角、所對(duì)的邊分別為、，已知(1)求角的大??；(2)已知，設(shè)為邊上一點(diǎn)，且為角的平分線，求

18、的面積【答案】(1)；(2).【解析】(1)由正弦定理得因?yàn)?，則，所以，所以因?yàn)?，所以?2)在中，由余弦定理得，即，解得，由角平分線性質(zhì)可得，所以過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，則，所以5(2021江西省靖安中學(xué)高二月考)如圖，四邊形ABCD中，已知A=120，ABC = 90，AD=3，BD=7.(1)AB的長(zhǎng); (2)CD的長(zhǎng).【答案】(1)5；(2)7.【解析】(1)在中，結(jié)合余弦定理知，即，因?yàn)椋虼耍?2)在中，結(jié)合余弦定理知，因?yàn)锳BC = 90，所以，因?yàn)闉殇J角，結(jié)合同角的平方關(guān)系可得，在中，結(jié)合余弦定理知，因?yàn)椋?【題組五 三角函數(shù)與解三角形】1(2021北京臨川學(xué)校)已知，(1)求的最

19、小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知銳角的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求邊上的高的最大值【答案】(1)最小正周期為；單調(diào)遞減區(qū)間為；(2)【解析】(1)的最小正周期為：；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為：；(2)因?yàn)?，所以，設(shè)邊上的高為，所以有，由余弦定理可知：，(當(dāng)用僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào))，所以，因此邊上的高的最大值.2(2021全國(guó))已知函數(shù)，且函數(shù)的最大值為.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)已知的內(nèi)角、的對(duì)邊分別是、，若，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因?yàn)椋?，解得，故，?dāng)時(shí)，則，故.因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋?2)，可得，則，可得，由余弦定理可得，即，當(dāng)且

20、僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，即面積的最大值為.3(2021河北衡水中學(xué))已知函數(shù).(1)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對(duì)，恒有成立，且_，求面積的最大值.在的外接圓直徑為4，是直線截圓所得的弦長(zhǎng)，這三個(gè)條件中，任選兩個(gè)補(bǔ)充到上面問題中，并完成求解，其中，分別為的內(nèi)角A，所對(duì)的邊.【答案】(1)，；(2)答案見解析.【解析】解：(1)，令，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.(2)因?yàn)?，所以，由得，所以，所以，所以，同理，即為銳角三角形.中圓心到直線的距離，故.中由得，又A為銳角，所以.選擇，得，；選擇，得；選擇，即，.由余弦定理得，所以，所以最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的面積為，最大值為.4(2021江蘇鹽城中學(xué)高一月考)已知函數(shù)的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.(1)求的值.(2)已知a，b，c分別為中角A，B，C的對(duì)邊，且滿足，求面積S的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因?yàn)椋?，由題意可知：，所以，所以；(2)由(1)知，因?yàn)?，所以，且，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，又，?dāng)，即時(shí)有最大值，所以.5(2021江蘇省外國(guó)語學(xué)校高一期中)函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象(1)求函數(shù)的解析式；(2)在中，