1、貴州師范大學數(shù)學與科學系數(shù)學教育（師范類）專業(yè)2001級畢業(yè)論文選題登記表（代開題報告）姓 名指導教師論文題目韋達定理在解題中的應(yīng)用立題依據(jù)、研究內(nèi)容、寫作計劃、主要參考書目立題依據(jù)：1. 韋達定理是研究一元二次方程的主要工具 2. 韋達定理的應(yīng)用貫穿整個中學內(nèi)容 3. 從學生的學習情況來看，由于韋達定理的應(yīng)用比較靈活、多變，要較好的掌握十分困難研究內(nèi)容：1. 什么時候可以應(yīng)用到韋達定理 2. 怎樣運用韋達定理簡化解題寫作計劃：1. 作為一個教學，對數(shù)學家韋達應(yīng)有所了解 2. 韋達定理的探究、推廣 探究：主要針對一元二次方程 推廣：到一元n次方程 3. 韋達定理的應(yīng)用(一元二次方程的應(yīng)用、高次

2、方程的應(yīng)用)主要參考書目：初三數(shù)學教學、高中有關(guān)習題、數(shù)學史.指導老師意見：貴州師范大學本科學生畢業(yè)論文（設(shè)計）題目：韋達定理在解題中的應(yīng)用學院：數(shù)學與計算機科學學院專業(yè)：數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 年級：2001級學生姓名： 指導教師： 論文字數(shù)：3250個 完成日期：2005年 3月 20 日 韋達定理在解題中的應(yīng)用摘要：韋達定理（及其逆定理）是中學數(shù)學中的一個重要定理；它的應(yīng)用貫穿在中學數(shù)學內(nèi)容之中；在解決方程、三角、幾何等問題中有著廣泛的應(yīng)用；本文主要介紹實數(shù)范圍內(nèi)韋達定理在一元二次方程中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：方程、應(yīng)用(Maths and Computer science department、Gui

3、zhou Normal University、Guiyang、Guizhou、China、550001)Abstract: Veda Theory is an important theory of Maths in Middle school; And it is used in many parts of Middle Maths, solving problems of equation、triangle、 geometry and so on. This essay introduces in real the use of Veda Theory in quadratic equat

4、ion.Keyword: equation、application. 韋達定理（及其逆定理）是初中課程中的重要定理，不僅在初中，就是在高中解題時都經(jīng)常會用到它。鑒于它應(yīng)用的靈活性，在解決有關(guān)方程、三角、幾何等問題中都有著廣泛的應(yīng)用。一些問題，可以運用韋達定理直接求解。比如：已知方程，求兩根的和與積；已知一元二次方程的一個根，求另一個根與未知系數(shù)等等。另一些問題，初看起來沒有方程的影子，也不是兩數(shù)之和與兩數(shù)之積問題，沒有直接運用韋達定理的條件。但是，經(jīng)過適當?shù)淖冃位蜣D(zhuǎn)化以后，就顯出了一元二次的影子，或者變成兩數(shù)之和與兩數(shù)之積的問題了，于是可以運用韋達定理（及其逆定理）來求解。下面介紹韋達定理及其

5、應(yīng)用：一韋達定理及其逆定理定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c為常數(shù)，a不為零)的兩個根為x1、x2，則x1+x2=，x1x2=.這個定理是由法國數(shù)學家韋達研究和推廣的，所以叫韋達定理。推導：我們可以通過求根公式求出x1=，x2=(=b2-4ac)，那么x1+x2=，x1x2=.注：在實數(shù)范圍內(nèi)應(yīng)用韋達定理，必須注意0這個前提條件，而應(yīng)用判別式的前提是方程必須是一元二次方程。即二次項系數(shù)。因此，解題時，要根據(jù)題目分析題中有沒有隱含0和兩個條件。但該定理不僅在實數(shù)范圍內(nèi)成立，可以證明，它在復數(shù)范圍內(nèi)仍成立。逆定理：如果x1+x2=，x1x2=，則一元二次方程ax2+bx+c=0

6、(a、b、c為常數(shù)，a不為零)的兩個根是x1、x2。證明：ax2+bx+c=0（a0） x1，x2為ax2+bx+c=0（a0）的兩個根。韋達定理還可以推廣到一元高次方程的情況，即如果一元n次方程在復數(shù)集中的根是，那么二應(yīng)用1關(guān)于一元二次方程的簡單應(yīng)用（1）檢驗方程的根即不解方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗兩個數(shù)是不是某個一元二次方程的兩根；例1：假設(shè)x1、x2是方程x2-(a+d)x+ad-bc=0的根，證明x13，x23是方程y2-(a3+d3+3adc+3bcd)y+(ad-bc)3=0的根。證明：由已知條件得x1+x2=a+d，x1x2=ad-bc；x13+x23=(x1+

7、x2)3-3x1x2(x1+x2)= a3+d3+3adc+3bcd, x13x23=(x1x2)3=(ad-bc)3。由韋達定理逆定理可知，x13，x23是方程y2-(a3+d3+3adc+3bcd)y+(ad-bc)3=0的根。（2）由已知方程的一個根，求另一個根及未知系數(shù)；（3）不解方程，可以利用一元二次根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1、x2的代數(shù)式的值。比如：|x1-x2|、 等等。（4）已知兩根，求作一元二次方程；（5）已知兩數(shù)的和與積，求這兩個數(shù)；（6）已知方程兩個根滿足某種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值；（7）證明方程系數(shù)之間的特殊關(guān)系；（8）解決其它問題。如討論根的范圍、判定三角形的形狀

8、等；（9）根的符號的討論。、利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系還可以進一步討論根的符號。設(shè)一元二次方程的兩根為x1、x2，1）若0、且x1x20,則兩根同號；若0、且x1x20，x1+x20則兩根同為正數(shù)若0、且x1x20，x1+x20則兩根同為負數(shù)2）若0、且x1x20,則兩根異號；若0、且x1x20，x1+x20時，則兩根異號且正根的絕對值較大若0、且x1x20，x1+x20時，則兩根異號且負根的絕對值較大2解方程組 例2：解方程組 (1)解：把方程組改寫成a2+b2 =1-c2 (2)由(1)2-(2)得據(jù)韋達定理的逆定理知a，b為一元二次方程的兩實根，, 解決此類方程組問題，關(guān)鍵是對此類方

9、程組進行適當變形，使之轉(zhuǎn)化為兩數(shù)之和與兩數(shù)之積的形式，便可利用韋達定理的逆定理來求解。3解三角問題例3：若,求證： (1)證明：由題設(shè)條件知 (2)由(1)(2)得將視為方程的兩根，而判別式，兩根相等。故 在解題中怎樣判斷方程的兩根是非常關(guān)鍵的，因為它們不是單個的x1、x2的形式，而各是一個表達式，這時，就要將各自的表達式看成一個整體來求解。4解幾何問題(1). 關(guān)于圓錐曲線的問題 利用韋達定理解有關(guān)圓錐曲線，特別是在求有關(guān)弦長與弦的中點時非常簡便；它利用了設(shè)而不求的方法進行求解，大大地簡化了計算步驟，同時解題的思路比較清晰。如：直線與曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）相交，求弦長、弦的中點？1）弦

10、長公式設(shè)直線與曲線相交于P1(x1，y1)、P2(x2，y2)兩點，直線P1P2的斜率為k，則= 同理可得故弦長公式或其中，可由韋達定理求得。2）弦的中點公式直線與曲線相交時的弦的中點或弦中點的軌跡方程可以用韋達定理解決，如設(shè)直線m：y=kx+b與曲線相交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，線段AB中點為M(x0，y0)，則：?？聪旅娴睦樱容^一下解題的過程例4：求過直線2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點，且面積最小的圓的方程？解法1：過2x+y+4=0和圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點的圓系方程為.整理得.要使圓的面積最小，即要半徑r最小，故有r= =當=

11、，半徑r最小，這時圓的方程是. 2x+y+4=0解法2：由 消y得5x2+26x+33=0,x2+y2+2x-4y+1=0 根據(jù)韋達定理，AB的中點P的坐標為=.圓的方程是OQMCPxy圖1例5已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P、Q兩點（如下圖1），O為坐標原點，若OPOQ，求實數(shù)m的值。 x2+y2+x-6y+m=0的圓心是，過點C作x+2y-3=0的垂線為2x-y+4=0. x+2y-3=0由 解得P、Q中點坐標M（-1，2） 2x-y+4=0OPOQ，在RtOPQ，斜邊PQ上的中線.C的半徑。亦為，則有，m=3 x+2y-3=0解法2. 由 消y得5x2+1

12、0 x-27+4m=0, x2+y2+x-6y+m=0根據(jù)韋達定理，,設(shè)P（x1，x1）、Q(x2，y2), . OPOQ，, 即，也即x1x2+y1y2=0, 得，解得m=3. 利用韋達定理解決有關(guān)直線與曲線相交的問題時，將直線方程與曲線方程所構(gòu)成的方程組中消去一元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程的形式，根據(jù)題意便可利用韋達定理求解有關(guān)x1、x2或y1、y2的代數(shù)表達式。圖2例6從圓O外一點P引圓的切線PA、PB和割線PCD，若AB、CD交于T點（如圖2）。證明：. 證明：設(shè)OP=a，以P為極點，OP延長線為極軸建立坐標系，則圓的方程為： ，展開整理得： （1）設(shè),則是方程（1）的兩實根。 （2）設(shè)AB

13、交OP于G，在直角AOP中，AGOP. |PA|2=a2-R2,且, 又在直角TGP中，故(2). 解平面幾何問題 例7：設(shè)P是正ABC外接圓的BC弧上一點（如圖3），求證：PA=PB+PC；圖3AB2=PA2-PBPC 證明：易知，在ABP中，. (1) 在APC中，利用AC=AB， (2) PB+PC=PA由(1)(2) 可知PB、PC是方和x2-PAx+(PA2-AB2)=0的兩根。由韋達定理得PA=PB+PC；例8從點O出發(fā)引三條射線OX、OY、OZ，且，一直線與三條射線相交于A、B、C（如圖4），求證：圖4 證明：設(shè)在AOB中，由正弦定理得： （1），由余弦定理得，即 （2） 把（1

14、）代入（2）得 （3） 同理，由BOC并利用得 （4） 由（3）（4）可知是方程的兩個根，于是由韋達定理，得，即例7、例8兩題對求證的結(jié)果進行了分析，使條件中的某些關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元二次方程，巧妙地運用韋達定理來求解。例9 已知方程的三個根分別是ABC 三個內(nèi)角的正弦，求。 解：方程各項系數(shù)和 1是方程的一個根。由綜合除法得 不妨設(shè)sinA=1，。 sinC=sinB由題意得：sinB、sinC是方程兩根。 (sinB+cosB)2=1+2sinBcosB, 方程兩根為： 檢驗1是方程的根，這一步大膽試探，為后面運用韋達定理創(chuàng)造了條件，是本題輕易解決的關(guān)鍵。5解其它問題例10已知實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0,abc=1. 求證：a、b、c中必有一數(shù)大于。 證明：由已知a、b、c中必有一數(shù)為正，兩數(shù)為負。令a為正，則,根據(jù)韋達定理，b、c為方程的兩根，b、c為方程的實根，因此：,. 故a、b、c中必有一數(shù)大于.直上拋物體，分別在t1秒末和t2秒末兩次通過空中某一點，試求該點離地面的高 度和拋出時的初速度。解法1：設(shè)該點離地面的高度是h，初速度是v0，當物體第一次經(jīng)過該點時應(yīng)有： （1）當物體經(jīng)最高點后返回通過該點時應(yīng)有： （2）由（1）（2）式聯(lián)立得：將此移項整理得：應(yīng)用平方差公式上式展開得：，將v0代入（1）得：解法2：豎直上拋運動物體滿足方程：，將該式改成t的一元