1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)與探究過程分析-萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)與探究過程分析兼論如何在教學(xué)中展示知識(shí)形成過程北京教育學(xué)院吳劍平引言物理學(xué)的發(fā)端始于人類對(duì)理解星體運(yùn)行的追求。三百多年前，萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)堪稱人類文明與理性探索進(jìn)程中最壯麗的詩篇，其所體現(xiàn)出的科學(xué)智慧的震撼力，至今仍為世人所嘆服。李政道先生在回答是什么使他走上獻(xiàn)身物理學(xué)研究的道路時(shí)曾說過，是物理學(xué)中那些具有普適性的物理法則和概念深深打動(dòng)了他，激發(fā)了他深入探究的興趣。萬有引力定律就是這樣一條具有簡(jiǎn)約性和普適性的自然法則，它第一次把看似毫不相關(guān)的地上與天

2、上運(yùn)動(dòng)統(tǒng)一起來，第一次揭示大自然的對(duì)稱和諧與物理規(guī)律表達(dá)簡(jiǎn)潔而含蓄的內(nèi)在美，并作為牛頓的“從運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象研究自然力”的又一個(gè)科學(xué)思辨范例，而不斷為歷代科學(xué)家所效仿。因此萬有引力定律的教學(xué)絕不能僅限于具體知識(shí)的講解、記憶與實(shí)際的（習(xí)題）應(yīng)用，更應(yīng)強(qiáng)調(diào)人類對(duì)天體運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)以及建立萬有引力定律的探究過程，把教學(xué)重點(diǎn)放在“引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)萬有引力定律發(fā)現(xiàn)過程中的思路和方法”上。然而，除了教材與教參已有的介紹外，我們對(duì)物理學(xué)史上這段輝煌史實(shí)真正了解多少？我們能否把握整個(gè)發(fā)現(xiàn)過程中的探索脈絡(luò)，并將從中領(lǐng)悟到的思想精髓介紹給學(xué)生？由此看來，要教好新教材中的萬有引力定律一章，適當(dāng)擴(kuò)展相應(yīng)的知識(shí)背景，了解有關(guān)牛頓引力理

3、論的現(xiàn)代評(píng)述，就顯得十分必要了。本專題將著重探討以下幾個(gè)問題：（1）如何正確評(píng)價(jià)“地心說”與“日心說”的作用？（2）開普勒是如何導(dǎo)出行星三定律的？（3）牛頓如何從開普勒三定律推導(dǎo)出引力的平方反比定律（圓軌道、橢圓軌道）？（4）牛頓是如何解決引力定律的普適性的？行星視運(yùn)動(dòng)及其天文觀測(cè)常識(shí)討論開普勒三定律與萬有引力定律離不開人類對(duì)行星運(yùn)動(dòng)的天文觀測(cè)，這其中涉及我們不十分熟悉的天文知識(shí)。天球及其坐標(biāo)系研究天體位置和運(yùn)動(dòng)而引進(jìn)的假想圓球。由于天體與觀察者距離遠(yuǎn)大于地球的移動(dòng)距離，可將其視作散布于以觀察者（地球）為中心的一個(gè)圓球面上。實(shí)際應(yīng)上是將天體投影到半徑任?。梢曌鳠o窮大）的天球面上。為定量表示天

4、體投影在天球上位置和運(yùn)動(dòng)，需要建立以地球?yàn)橹行牡膮⒖枷担Ｓ玫淖鴺?biāo)系有：（1）赤道坐標(biāo)系：地球赤道平面延伸后與天球相交的大圓稱作天赤道，地軸（自轉(zhuǎn)軸）延伸線與天球相交兩點(diǎn)稱作北南天極，過天極的大圓稱為赤經(jīng)圈，與天赤道平行小圓稱作赤緯圈。（2）黃道坐標(biāo)系：以地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為黃道面，其與天球相交的大圓稱作黃道，地球軌道面的法線與天球交點(diǎn)稱為北南黃極，該坐標(biāo)系同樣劃分有黃經(jīng)圈與黃緯圈。赤道面與黃道面有23027/的交角，兩者相交的兩點(diǎn)稱作春分點(diǎn)與秋分點(diǎn)。如圖1所示。黃極天極黃道天赤道圖12行星視運(yùn)動(dòng)圖2地球觀測(cè)者所見的行星在天球上位置的移動(dòng)。行星既有相對(duì)于恒星的視運(yùn)動(dòng)，又有相對(duì)于太陽的視

5、運(yùn)動(dòng)，是從地球角度描述行星的出沒規(guī)律。行星的視運(yùn)動(dòng)情況可由兩方面加以綜合分析：一方面由于地球每天自西向東的自轉(zhuǎn)，我們所看到的恒星、行星、太陽、月亮有自東向西的周日運(yùn)動(dòng)；另一方面由于地球每年相對(duì)太陽的由東向西的公轉(zhuǎn)，太陽在遙遠(yuǎn)的恒星背景上有位于黃道面上的向東的周年運(yùn)動(dòng)，較近的恒星也呈現(xiàn)小橢圓狀的周年運(yùn)動(dòng)，而九大行星幾乎都在接近同一平面的近圓軌道，朝同一方向作繞太陽的公轉(zhuǎn)，因而從地球上看，相對(duì)于自東向西遙遠(yuǎn)星空背景而言，其視運(yùn)動(dòng)軌跡均離黃道不遠(yuǎn)，且應(yīng)呈現(xiàn)與太陽視運(yùn)動(dòng)方向一致的自西向東(稱作順行)運(yùn)動(dòng)。但實(shí)際觀察到的行星運(yùn)動(dòng)卻是時(shí)而順行，時(shí)而逆行，有時(shí)甚至短時(shí)靜止不動(dòng)(稱作留)的怪現(xiàn)象（如圖2所示）

6、，難怪古希臘文將其稱作“游蕩者”。人類歷史上一個(gè)最偉大科學(xué)探索篇章以及由此引發(fā)的日心說與地心說爭(zhēng)議，乃至引力定律的發(fā)現(xiàn)就是從試圖揭示行星視運(yùn)動(dòng)這一普通天文現(xiàn)象的成因而發(fā)端的。3恒星視差與秒差距視差是前景恒星相對(duì)于遙遠(yuǎn)恒星背景的恒星視位移。恒星視差與其距離的關(guān)系可以給出天文與宇宙學(xué)一個(gè)十分重要的概念秒差距（PC）。具體測(cè)量原理如圖3所示。恒星在黃道面上C點(diǎn)，地球在三個(gè)月內(nèi)公轉(zhuǎn)位置從B到B/，此段時(shí)間恒星的視差角為，設(shè)恒星與太陽的距離為r，地太距離為一個(gè)天文單位（1.4961011m），而3600=1.296106弧秒（1弧秒=1/3600度），則有/1.296106=1天文單位/2r，=2.06

7、105天文單位/r=1PC/r，1PC=2.06105天文單位=3.091016m=3.27光年，圖3而1百萬秒差距=106PC=3.27106光年。二、“地心說”是怎樣解釋行星視運(yùn)動(dòng)的古代人們一方面從站在地球參考系觀測(cè)天體，很自然認(rèn)為地靜而天動(dòng)，地球是宇宙中心；另一方面天體是可望而不可及的另一類世界事物，其運(yùn)動(dòng)也應(yīng)是神圣的，而勻速圓周運(yùn)動(dòng)曾被古希臘人認(rèn)為是最完美和諧的運(yùn)動(dòng)，這也正是形成地心體系的最初的動(dòng)因。托勒密的偉大之處在于他試圖以地心說為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)出能對(duì)行星在天球上十分復(fù)雜的視軌跡作出大致合理的解釋模型，這就是通常所說的本輪與均輪模型，如圖4所示。圖4行星本輪地球均輪那么托勒密是如何解釋

8、行星視運(yùn)動(dòng)極為重要的逆行問題呢？這一模型對(duì)木星退行現(xiàn)象的解釋的示意參見圖5所示。由于不同行星有不同的退行狀況，故僅有一個(gè)本輪是難以將本均輪軌道運(yùn)動(dòng)疊加與實(shí)際情況相彌合，為此托勒密需要根據(jù)不同行星情況，疊套一個(gè)又一個(gè)的本輪，從而這個(gè)體系日趨復(fù)雜。但不管怎么說，既能說明以前的行星軌跡，又能較好地預(yù)言其未來位置。把這樣一個(gè)限于觀測(cè)手段的粗糙而有缺陷的觀念體系簡(jiǎn)單地說成是唯心或反動(dòng)的，是有違于科學(xué)史實(shí)的。我們應(yīng)該告訴學(xué)生：以某種參考系來描述物體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，即使在今天也經(jīng)常使用，而在地心說的建立和運(yùn)用過程中，也仍能反映出歷代學(xué)者那些富有啟迪意義的理性思索，就如同后來不斷出現(xiàn)的，諸如活力論、以太說那樣的觀

9、念，雖最終被揚(yáng)棄，卻仍然是最可寶貴的科學(xué)智慧的結(jié)晶。圖5三、“日心說”是如何解釋行星的視運(yùn)動(dòng)的哥白尼建立日心說源于對(duì)托勒密本均輪龐雜體系的強(qiáng)烈不滿，他實(shí)際上只是改變地心說兩個(gè)假設(shè)前提中的一個(gè)，或者說只是稍稍改變了描述的參考系（即“換一個(gè)角度來思考”），結(jié)果情況大變。這種轉(zhuǎn)換觀念而大獲成功的事例在以后的物理學(xué)中屢見不爽，值得強(qiáng)調(diào)。在哥白尼體系中，太陽是宇宙的中心，六大行星以勻速圓周軌道繞日旋轉(zhuǎn)，越靠近太陽的行星旋轉(zhuǎn)速度越大。由于在日心坐標(biāo)系中地球也在運(yùn)動(dòng)，此時(shí)地球觀察者所看到的行星視運(yùn)動(dòng)似乎要復(fù)雜一些，但稍作分析發(fā)現(xiàn)，它竟能得出比地心說更簡(jiǎn)潔清晰的結(jié)論。下面以地外行星如木星為例，討論日心說是如何

10、解釋行星的退行現(xiàn)象的：如圖6所示，由于木星比地球運(yùn)動(dòng)慢，當(dāng)?shù)厍蛭挥贓1E7各點(diǎn)時(shí)，木星對(duì)應(yīng)位置分別為J1J7，如果某一時(shí)刻地球觀察者沿兩者位置連線望去，將看到木星位置被投影到遙遠(yuǎn)星空背景上的不同點(diǎn)17上，于是當(dāng)?shù)厍蚶@太陽一周，我們將看到木星好象在星空背景上走一個(gè)螺旋線，其中12、67是與木星實(shí)際公轉(zhuǎn)同方向的順向，而35則是逆行，并且在23與56之間會(huì)有短暫停頓的狀態(tài)，這就是“留”。E6J63E5J54太陽E4J41E2J25E3E1J1J3圖6四、開普勒是如何導(dǎo)出行星三定律的與哥白尼的日心說相比，開普勒歸納總結(jié)出行星三定律更具革命性，具體表現(xiàn)在：1根據(jù)精確的天文觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算行星運(yùn)動(dòng)軌跡，而不是

11、在先驗(yàn)?zāi)Ｐ突A(chǔ)上擬合修補(bǔ)。典型的作法是利用第谷豐富的火星觀測(cè)資料，以各種幾何圖線去反復(fù)擬合，終于發(fā)現(xiàn)火星軌道是一個(gè)橢圓，而太陽位于其中一個(gè)焦點(diǎn)上（開普勒第一定律），破除了天體必須是完美的圓周運(yùn)動(dòng)的觀念。2從天文資料發(fā)現(xiàn)火星近日點(diǎn)速度快，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度慢，打破行星運(yùn)動(dòng)必為勻速的傳統(tǒng)束縛。為解釋這一非勻速的現(xiàn)象，他利用了當(dāng)時(shí)的一個(gè)假定：行星速率與離太陽的距離成反比，即在任一相等的時(shí)間內(nèi)行星走過的弧長(zhǎng)S應(yīng)該和這一距離r成反比，因而有S1/S2=r2/r1，S1r1=S2r2，即1/2(S1r1)=1/2(S2r2)，或者曲線三角形面積1=2，這就是行星第二定律。不言而喻，當(dāng)時(shí)開普勒的推算談不上嚴(yán)格，且更

12、具有猜測(cè)性，但是一個(gè)開創(chuàng)性的科學(xué)成果并非必然要有嚴(yán)密的邏輯的推理過去，有時(shí)可能只是一種跳躍性的領(lǐng)悟，而最關(guān)鍵之處則在于它是否獲得最終的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。開普勒死后的幾十年間，人們不僅在天文觀測(cè)上，而且也在理論推證上對(duì)行星運(yùn)動(dòng)第二定律加以確認(rèn)，這其中最具有思想啟迪意義的是牛頓運(yùn)用幾何方法的證明。下面簡(jiǎn)要介紹牛頓的證明過程：如圖7所示。設(shè)太陽位于A點(diǎn)，行星從B點(diǎn)開始在相等的時(shí)間間隔t1、t2、t3、t4分別到達(dá)折線上的B、C、D、F，若在t1間隔行星勻速由BC，如不受力將沿BCMFLEKIDCAB圖7至I，且CI=BC，但在C點(diǎn)受到指向A的力，故它沿CD運(yùn)動(dòng)。從I作平行CA的直線ID，D是t2末時(shí)位點(diǎn)。由

13、于ACD與ACI同底（AC）等高，面積相等，又ABC與ACI也同底等高，所以t1掠過面積ABC與t2掠過面積ACD相等。同理可證其它相等時(shí)間間隔掠過面積均與ABC相等。若t足夠小，折線面積變?yōu)榍€面積。這正是行星第二定律。I3開普勒的最重要貢獻(xiàn)在他給出了具有定量意義的行星運(yùn)動(dòng)第三定律。這一定律揭示了各行星運(yùn)動(dòng)所遵循的一種更普遍的規(guī)律。這種簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)表達(dá)最終成為萬有引力定律發(fā)現(xiàn)的前奏。為獲得這一定律，開普勒歷經(jīng)十年之久，他深知這一發(fā)現(xiàn)來之不易，以至于他自豪地寫到：“我也許要整整等上一個(gè)世紀(jì)才會(huì)有讀者，對(duì)此我毫不在意?！遍_普勒是以歸納行星觀測(cè)數(shù)據(jù)，通過作圖獲得該定律的，新教材教學(xué)參考書上有一道參考

14、題：如何由牛頓的萬有引力定律和向心力公式證明作圓周運(yùn)動(dòng)的地球衛(wèi)星軌道參數(shù)滿足開普勒第三定律，可增強(qiáng)對(duì)這一定律的認(rèn)識(shí)，建議留給學(xué)生去做。五、牛頓如何導(dǎo)出萬有引力定律的科學(xué)的研究總是遵循這樣一種傳統(tǒng)：在獲得對(duì)某一自然規(guī)律正確的乃至定量化的描述之后，就必須回答為什么會(huì)有這種規(guī)律。這既是一種滿足人類探究天性的、十分自然的理性訴求，也是科學(xué)理論得以建立和發(fā)展，從個(gè)別認(rèn)識(shí)走向完整邏輯體系的必經(jīng)途徑?！皬陌l(fā)現(xiàn)行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律轉(zhuǎn)而研究其動(dòng)力學(xué)成因”無疑是建立近代科學(xué)思想體系最初的幾塊奠基石之一，值得深入探討其中所蘊(yùn)含的科學(xué)方法。為此，新教材增加較大篇輻介紹當(dāng)時(shí)人們圍繞行星運(yùn)動(dòng)成因提出的種種假設(shè)，例如伽利略的物體運(yùn)

15、動(dòng)趨向合并論，開普勒的太陽磁力論，笛卡爾的以太作用模型以及胡克的只規(guī)定作用效果，卻不知其內(nèi)涵的“引力說”（就如同我們把同性相吸的電磁力也稱作引力一樣）。千萬別小看這些現(xiàn)在看來十分幼稚的假定，它們是激發(fā)當(dāng)時(shí)科學(xué)家創(chuàng)造性思維的源泉。一個(gè)正確的理論的產(chǎn)生，并不必然要求其假設(shè)前提一定正確，因?yàn)橐粋€(gè)革命性觀念是無法從原有的理論框架中邏輯性地導(dǎo)出，最初的假定作為一種猜測(cè)可以被拋棄，但由此導(dǎo)出的結(jié)果卻因?qū)嶒?yàn)確認(rèn)而長(zhǎng)存于世，并重新被賦予新的科學(xué)內(nèi)涵。事實(shí)上，牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律并非一帆風(fēng)順，他也和其它人那樣經(jīng)歷了從朦朧認(rèn)識(shí)到逐漸清晰的過程，其間的思辨方法也極富啟迪意義。下面我們分幾個(gè)具體專題剖析牛頓當(dāng)時(shí)的探索

16、心路，以補(bǔ)教材內(nèi)容的不足。引力平方反比律的發(fā)現(xiàn)（圓軌道與橢圓軌道）牛頓最初只是考慮要使行星以圓或橢圓軌道繞太陽旋轉(zhuǎn)而不作勻速直線運(yùn)動(dòng)，太陽所提供的吸引力是什么性質(zhì)的力，并未涉及這種力與什么因素有關(guān)。為簡(jiǎn)化問題首先討論行星繞太陽的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由于牛頓已用幾何方法導(dǎo)出向心力公式，再結(jié)合開普勒第三定律，很容易得出F1/R2。具體推導(dǎo)過程新教材已有介紹，這里不再重復(fù)。需要指出的是：上述結(jié)論仍有兩個(gè)不足，一是要推廣到行星實(shí)際運(yùn)行的橢圓軌道，二是未能證明為什么可以把兩個(gè)天體看作全部質(zhì)量集中于中心的質(zhì)點(diǎn)來看待?，F(xiàn)介紹第一個(gè)問題的基本處理思路，后一問題則要用到引力場(chǎng)理論的知識(shí)，這里從略?；跈E圓軌道的平方反

17、比律更嚴(yán)格推導(dǎo)見于一般理論力學(xué)教程有關(guān)“質(zhì)點(diǎn)在有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)”一節(jié)，這里介紹一種相對(duì)簡(jiǎn)單的作法，這只是對(duì)當(dāng)時(shí)牛頓幾何證法的近似模擬，。如圖8所示，考慮某種特例，即質(zhì)點(diǎn)在一個(gè)焦點(diǎn)為F的橢圓兩個(gè)頂點(diǎn)A、C的運(yùn)動(dòng)。設(shè)在一個(gè)微小的時(shí)間間隔內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)分別從A、C到E、D，再分別從E和D作過A和C切線的垂線EM、ND。因?yàn)闀r(shí)間間隔足夠小，可視弧長(zhǎng)為直線，且有AMAE，CDCN，EM0、ND0。因而根據(jù)開普勒第二定律，有即（1）考慮類地行星的橢圓軌道偏心率很小，與圓軌道相差不大，則在AEC中，根據(jù)幾何知識(shí)可知（AEAM，AMAC）：同理，在CDA中，有：CD22aDN。（2）。將（2）式代入（1）式，于是有

18、：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)在兩頂點(diǎn)A、B不受力時(shí)，將沿切線AM、CN運(yùn)動(dòng)，但由于F點(diǎn)的引力作用，質(zhì)點(diǎn)實(shí)際上分別向焦點(diǎn)下落了距離EM與DN，這兩個(gè)距離顯然是與所受的引力fA和fC成正比的，故有，即行星作橢圓運(yùn)動(dòng)的引力與行星到位于焦點(diǎn)的太陽距離平方成反比。DENAMD/BF圖8E/依據(jù)相類似的方法，可以證明行星在橢圓上任意一點(diǎn)受到的引力均具有平方反比律的特性，這里從略，有興趣者可閱讀牛頓的自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理一書。(二)地月驗(yàn)證-走向引力普適性的第一步如果說導(dǎo)致行星運(yùn)動(dòng)的引力平方反比律特性的發(fā)現(xiàn)并非牛頓一人做出的，那么把行星運(yùn)動(dòng)涉及的引力概念擴(kuò)展到地球，將其與地球表面上的重力相聯(lián)系，并賦予質(zhì)量和一般力的明確內(nèi)涵，則只

19、能是牛頓所獨(dú)創(chuàng)的，這其中蘊(yùn)含著極為深刻的科學(xué)領(lǐng)悟。新教材作為補(bǔ)白的地月驗(yàn)證就是展示牛頓天才思想的生動(dòng)案例。當(dāng)時(shí)，牛頓是這樣來展開他的想法的。首先無論是蘋果落地，還是最高建筑物頂或最高山顛上，都未發(fā)現(xiàn)重力有明顯減弱，那么這個(gè)重力也會(huì)對(duì)月球有影響，并為月球繞地運(yùn)動(dòng)提供必要的向心力；接著牛頓利用一個(gè)理想實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步論證了作用于月球上的力與地球表面的重力是同一性質(zhì)的力：“如果有一個(gè)小月亮很靠近地球，以至觸及到地球上最高的山頂。這時(shí)如果小月亮突然失去了運(yùn)動(dòng)，它就會(huì)像山頂上的物體一樣以相同的速度下落。如果它所受的向心力并不是重力，那么它將在這兩種力的共同作用下以更大的速度下落，這是與我們的經(jīng)驗(yàn)不符的。因此使

20、月亮保持在它軌道上的力就是我們通常稱為重力的那個(gè)力?！弊詈?，牛頓想到，地月作為兩個(gè)天體，其間的引力服從平方反比律，如果重力就是這種引力，那么提供給月亮的向心力強(qiáng)度與地面上物體受到重力相比，應(yīng)接平方反比律衰減。于是牛頓作了如下的定量證明：如圖9所示。設(shè)想月球處于軌道任意點(diǎn)A，若不受力，它將沿切線AB進(jìn)行。然而它實(shí)際走弧線AP=S，如果O是地心，則月球在這段時(shí)間下落了距離y，則而地面物體自由下落的距離為y/=1/2gt2，利用月球繞地周期T=27。3日=2。36106s，g=9。8m/s2，月地距離r=3。84105=60R地，R地=6400km，代入上式有y/y/=1/3600。設(shè)地面重力與地月

21、吸引力分別為f/、f，且f/y/，fy，地面物體距地心距離r/R地，故f/f/=y/y/=1/3600=R地2/（60R地）2=（r/）2/r2。ByNsPrO圖9這表明地面上的重力與地月間的天體引力，乃至行星太陽間的引力一樣都服從平方反比律，它們實(shí)際上是同一性質(zhì)的力。天體間引力的普適性被揭示出來，而地面物體所受重力的大小是與物體質(zhì)量成正比的，這就啟發(fā)牛頓對(duì)引力的本質(zhì)賦予更深刻的、與物體表觀運(yùn)動(dòng)無關(guān)的內(nèi)涵，最終導(dǎo)出萬有引力定律的簡(jiǎn)潔表達(dá)式：有關(guān)引力定律的導(dǎo)出，新教材給出比原有課本更嚴(yán)格清哳的闡述，這里就不再贅言。（三）天文學(xué)應(yīng)用成就引力定律普適性的全面確認(rèn)萬有引力定律產(chǎn)生于對(duì)太陽系內(nèi)行星運(yùn)動(dòng)的

22、研究，但它對(duì)物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的適用性卻要廣泛得多。，可以這樣說，宇宙中凡有引力參與的一切復(fù)雜的現(xiàn)象，無不要?dú)w結(jié)到這樣一條十分簡(jiǎn)潔的定律之中，這不能不使人驚嘆宇宙萬物超乎尋常的和諧以及人類理性思考所具有的統(tǒng)攝力。既是在今天，廣義相對(duì)論作為牛頓引力理論的新版本也仍在宇宙學(xué)中發(fā)揮重要作用，萬有引力概念的普適性甚至超越了整個(gè)可觀測(cè)的宇宙！為使大家對(duì)萬有引力定律有更深刻的認(rèn)識(shí)，除了教材所介紹的三個(gè)應(yīng)用（計(jì)算天體質(zhì)量、發(fā)現(xiàn)未知天體、第一宇宙速度）外，現(xiàn)再舉幾例：1.逃逸引力束縛的宇宙速度計(jì)算問題(1)運(yùn)用平拋公式推導(dǎo)第一宇宙速度課本在人造衛(wèi)星一節(jié)介紹了牛頓當(dāng)初設(shè)想作拋體運(yùn)動(dòng)的物體可以成為地球衛(wèi)星或逃離地球吸引的原

23、理圖，但在導(dǎo)出第一宇宙速度時(shí)卻因其過于麻煩而未采用。為使學(xué)生了解前人杰出的思想成果，現(xiàn)介紹牛時(shí)當(dāng)時(shí)使用的方法。如圖10所示，設(shè)地球是一理想球體，半徑為R，現(xiàn)將一物體從A上方某一點(diǎn)A/以速度v1水平發(fā)射，該點(diǎn)距球心為r，則rR；若t時(shí)間內(nèi)物體水平飛行距離A/D/=AD=L，自由下落距離D/Dy（yr，此時(shí)由于地球是球體，地球表面在D點(diǎn)也相對(duì)于過AD的水平面下降了DB=y，從而保證了物體離地高度不會(huì)改變。在下一個(gè)t時(shí)段也有相應(yīng)情況，依此類推下去，物體無終點(diǎn)自由下落就可以在一個(gè)恒定高度上成為地球衛(wèi)星。由平拋的運(yùn)動(dòng)方程有因?yàn)锳BEACB，故將其代入平拋公式，有A/A/DCE2RD/圖10B（2）第二與

24、第三宇宙速度推導(dǎo)第二與第三宇宙速度分別為物體脫離地球和太陽引力的速度，考慮其運(yùn)行軌道為橢圓以及學(xué)生未學(xué)過能量一章，課本沒有給出表達(dá)公式。但為使引力定律和后面內(nèi)容的綜合，教師仍有必要知道這兩個(gè)速度的推算。計(jì)算v2最方便的方法是引入引力勢(shì)能，即相對(duì)于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，地面上物體具有引力勢(shì)能GM0m/R0，M0、R0分別為地球質(zhì)量和半徑（參見引力場(chǎng)專題）。根據(jù)機(jī)械能守恒定律，我們有：計(jì)算擺脫太陽引力的v3，可分兩個(gè)階段來考慮第一階段：盡管航天器已脫離地球引力，處于離地球相對(duì)較遠(yuǎn)的位置，但與地太距離相比，仍可近似看作處于地球公轉(zhuǎn)軌道上。以太陽為參考系，其位置為r=1。51011m，根據(jù)機(jī)械能守恒，我們有第二階

25、段：v是相對(duì)于太陽的絕對(duì)逃逸速度，實(shí)際發(fā)射要折算成相對(duì)地球的速度vr。設(shè)地球的公轉(zhuǎn)速度為V0，其大小可由下式確定：再由速度的疊加原理，v=vr+V0因此vr=v-V0=1。24104m/s?，F(xiàn)設(shè)地面上發(fā)射飛行器相對(duì)于地球的初始速度為v3，則在地球參考系中，地面發(fā)射點(diǎn)與能夠逃逸地球引力，同時(shí)又具有擺脫太陽吸引速度vr那一點(diǎn)的機(jī)械能相等，即而GM0m/R0=1/2mv22，v2為第二宇宙速度，故（3）行星大氣分子的逃逸速度。方法如求v2，逃逸速度太小的星球無大氣。（4）黑洞大小的的經(jīng)典計(jì)算。課本閱讀材料給出說明黑洞特性的經(jīng)典分析，對(duì)拓展學(xué)生思路很有益處。但需要說明的是，這種說法并不確切，由于光子有

26、動(dòng)質(zhì)量，它根本不能離開黑洞表面而被發(fā)射。下面再舉一例：如果地球成為黑洞，它的經(jīng)典半徑有多大？由計(jì)算第二宇宙速度公式當(dāng)v2=C，有R0=2GM0/C2=26。6710-115。9761024/（3108）2=8。8610-3m1cm。潮汐現(xiàn)象的起因問題解釋潮汐現(xiàn)象是牛頓萬有引力定律最成功的應(yīng)用，其基本思想甚至推廣到廣義相對(duì)論、黑洞物理學(xué)和宇宙學(xué)研究領(lǐng)域。然而由于歷史原因，在大學(xué)物理教育甚少涉及，使許多中學(xué)教師對(duì)這一熟悉的自然現(xiàn)象只具有粗淺的常識(shí)性了解，為此有必要作一較為深入的探討。首先從潮汐現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)疑難談起：（1）古語道：“晝漲稱潮，夜?jié)q稱汐”，表明一天有兩潮漲潮落，為什么會(huì)有這種周期現(xiàn)象？（

27、2）天文觀測(cè)表明，任何時(shí)刻的海平面總有兩處隆起，一處離月球最近，另一處離月球最遠(yuǎn)，如果潮汐由月球引力所致，又應(yīng)如何解釋遠(yuǎn)端海水的突起？（2）按萬有引力計(jì)算公式，對(duì)地球而言太陽的引力效應(yīng)遠(yuǎn)大于月球，為什么在討論潮汐時(shí)太陽的影響?？珊雎裕浚?）除海水外，地球還有其它形式的潮汐現(xiàn)象嗎？引潮力對(duì)其它天體有何影響？在下面的討論中，為使問題簡(jiǎn)化，取地心為除引力外不受其它力的理想慣性參考系，假定海水均勻分布于地球表面，且不考慮地球自轉(zhuǎn)、海水的環(huán)流以及海水與陸地的摩擦力。引潮力的定性分析：以月球?yàn)槔?，在地月引力系統(tǒng)中，地、月均繞它們的共同質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)心位于地月連線d距地心073R處，由于地心繞公共質(zhì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，

28、地球上各點(diǎn)處于平動(dòng)狀態(tài)，所以在不同地方均受到大小相等、方向相同的慣性離心力f作用。另一方面月球?qū)Φ厍蚋魈庍€有引力作用，各點(diǎn)位置不同，受到月球引力F的大小和方向不同，其中最近點(diǎn)A引力最大，最遠(yuǎn)點(diǎn)C引力最小。因此，在任何時(shí)刻，地球除地心外的各點(diǎn)均受到兩個(gè)非等大反向力的作用，兩者的合力效果會(huì)使各處的海水產(chǎn)生不盡相同的移動(dòng)，這就是所謂月球的引潮力。如圖11所示。BFDf月FAfFfC圖11引潮力的定量計(jì)算：仍如圖11所示，考慮四個(gè)特殊的點(diǎn)A、B、C、D，在A處，質(zhì)量為m的物體受到引力F大于慣性離心力f，這兩個(gè)力的合力，即引潮力為同理在C處有fF，在B和D點(diǎn)，萬有引力和慣性離心力的合力可以證明都是指向地

29、心，其效果造成海水向下運(yùn)動(dòng)，結(jié)果地球表面海水形狀為一橢圓。若考慮地球自轉(zhuǎn)，則除兩極外的任一點(diǎn)都分別經(jīng)歷上述四點(diǎn)位置的情況，因此一天會(huì)有兩次潮漲潮落。太陽與月球引潮力的比較：設(shè)地球到太陽的距離為D，則已知M月=7351022kg，M日=201030kg，d=384108m，D=151011m，代入后有F月/F日=22，這表明地球潮汐現(xiàn)象起因主要來自月球的引力。太陽潮雖不易單獨(dú)觀察到，但仍能影響潮汐的大小，當(dāng)農(nóng)歷初一或十五時(shí)，地、月、日幾乎在同一直線，兩者疊加會(huì)出現(xiàn)大潮：而農(nóng)歷初七、八或二十二、三時(shí)，月球與太陽引潮力相互垂直，消弱了潮汐效果，形成小潮，實(shí)際會(huì)因海水流動(dòng)與其它地理?xiàng)l件推遲一段時(shí)間。海

30、洋潮汐能量估算：已知地球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I=2/5(mR2)，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能由于潮汐作用使海水與海底摩擦加劇，地球自轉(zhuǎn)減慢，自轉(zhuǎn)周期增加。設(shè)自轉(zhuǎn)周期增加T后，其轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為，故因自轉(zhuǎn)減慢而損失的動(dòng)能Ek=Ek-Ek/因TT，故海洋潮汐能功率為據(jù)觀測(cè)，每百年地球一天增加10-3s，即平均每天增加T=10-3/10036586400s將有關(guān)數(shù)值代入后，有N=Ek/T=21012w。固體潮：發(fā)生在地球固態(tài)地殼的潮汐稱作固體潮，其原理與海洋潮類似固體潮能引起地殼應(yīng)力的變化，并可能誘發(fā)地震。固體潮對(duì)天體運(yùn)動(dòng)與存在形態(tài)影響較大，現(xiàn)舉兩例：（1）為什么月球總有一面固定朝向地球：由于地球質(zhì)量是月球的81倍，月球半徑是地球的0。273倍，代入引潮力公式可算出地月引潮力之比為22倍。又因?yàn)樵虑蜣D(zhuǎn)動(dòng)慣量較小，因此潮汐摩擦造成的自轉(zhuǎn)速度減慢更為明顯，當(dāng)月球自轉(zhuǎn)慢到月周日相當(dāng)?shù)厍虻囊粋€(gè)月，就會(huì)出現(xiàn)月球一面永遠(yuǎn)朝向地球的情況。此時(shí)月球表面凸起也被固定下來，一處在面向地球的正中央，另一處則正好相反，因而也不再有摩擦效應(yīng)來改變?cè)虑虻淖赞D(zhuǎn)周期了。此外，在地月系統(tǒng)中由于角動(dòng)量守恒，即M2r1=C，當(dāng)?shù)厍蜃赞D(zhuǎn)變慢時(shí)，必將導(dǎo)致地月距離的增大，故月球終將離我們而去。（2）是否會(huì)發(fā)生地月相撞大災(zāi)難:小行星撞擊災(zāi)難問題一直為世人所關(guān)注。月亮離地球最近，它能否撞擊地球？答案是否定的，原因有二：一是如前面所說，潮汐使地球自轉(zhuǎn)變慢，地月距離