1、全國中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系的綜合中考真題分類匯總一、直角三角形的邊角關(guān)系1圖1是一種折疊式晾衣架晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，兩支腳OC=OD=10分米，展開角/COD=60,晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且H0=F0=4分米.當(dāng)/AOC=90時，點(diǎn)A離地面的距離AM為分米；當(dāng)OB從水平狀態(tài)旋轉(zhuǎn)到OB，（在CO延長線上）時，點(diǎn)E繞點(diǎn)F隨之旋轉(zhuǎn)至OB上的點(diǎn)E處，則BE-BE為分米.AH比圖2找平地面【答案】55爲(wèi)4【解析】【分析】如圖，作0P丄CD于P，0Q丄AM于Q，F(xiàn)K丄0B于K，F(xiàn)J丄0C于J.解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM,再

2、分別求出BE，BE即可.【詳解】解：如圖，作OP丄CD于P，OQ丄AM于Q，F(xiàn)K丄OB于K，F(xiàn)J丄OC于J.TAM丄CD，ZQMP=ZMPO=ZOQM=90,四邊形OQMP是矩形，QM=OP,OC=OD=10,ZCOD=60,.COD是等邊三角形，OP丄CD,1ZCOP=ZCOD=30,2QM=OP=OCcos30=5J3（分米），ZAOC=ZQOP=90,ZAOQ=ZCOP=30,1AQ=-OA=5（分米），厶AM=AQ+MQ=5+5啟.OBIICD,ZBOD=ZODC=60在RtAOFK中，KO=OFcos60=2（分米），F(xiàn)K=OFsin60=2J3（分米），在RtAOFK中，KO=OF

3、cos60=2（分米），F(xiàn)K=OFsin60=2J3（分米），在RtAPKE中，EK=fEF2_FK2=26（分米），BE=10-2-2；6=（8-2冷6）（分米），在RtAOFJ中，OJ=OFcos60=2（分米），F(xiàn)J=2（分米）,在RtAFJE中，EJ=u二護(hù)EC_、呂川匚AB丄CD,門門_如圖,連接BP,APB是等腰直角三角形.ZPAB=45,AEF是等腰直角三角形.EF=AE=4.DF=6.5護(hù)PAAC丁紅吁趺10f汀由(1)PAC-PDF得，即PD的長為.(3)如圖，連接BP,BD,AD,VAC=2BC,根據(jù)圓的對稱性，得AD=2DB,AD=2即VAB丄CD,BP丄AE,ZABP=

4、ZAFD.APVZFDy,.灑貯一麗yVAGP-DGB,AGAPDG=DBDGADVAGD-PGB,4GDGAPADAfiAPAD*=_jt=:D:宀；：，即三C?AGHGX,.x-y21與之間的函數(shù)關(guān)系式為.A考點(diǎn)：1.單動點(diǎn)問題；2.圓周角定理；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；6.垂徑定理；7.銳角三角函數(shù)定義；8.由實(shí)際問題列函數(shù)關(guān)系式.5.我市在創(chuàng)建全國文明城市的過程中，某社區(qū)在甲樓的A處與E處之間懸掛了一副宣傳條幅，在乙樓頂部C點(diǎn)測得條幅頂端A點(diǎn)的仰角為45，條幅底端E點(diǎn)的俯角為30，若甲、乙兩樓之間的水平距離BD為12米，求條幅AE的長度.

5、(結(jié)果保留根號)/甲乙、ADB【答案】AE的長為(12+43)【解析】【分析】在RtVACF中求AF的長，在RtVCEF中求EF的長，即可求解.【詳解】過點(diǎn)C作CF丄AB于點(diǎn)F由題知：四邊形CDBF為矩形:.CF=DB=12在RtVACF中，ZACF=45。AFtanZACF=1CFAF=12在RtVCEF中，ZECF=30。EFtanZECF=CF.EF_73-丁EF二4朽AE二AF+EF二12+4.3求得AE的長為G+4J3)【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,中等難度,作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.6.如圖，已知，在eO中，弦AB與弦CD相交于點(diǎn)E，且AC二BD.(1)求證：AB=

6、CD；(2)如圖，若直徑FG經(jīng)過點(diǎn)E，求證：EO平分ZAED；(3)如圖，在(2)的條件下，點(diǎn)P在CG上，連接FP交AB于點(diǎn)M，連接MG,若AB丄CD，MG平分MB，MG=2，AFMG的面積為2,求eO的半徑的長.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）eO的半徑的長為J10.【解析】【分析】（1）利用相等的弧所對的弦相等進(jìn)行證明；（2）連接AO、DO,過點(diǎn)O作OJ丄AB于點(diǎn)J,OQ丄CD于點(diǎn)Q，證明AAOJ二ADOQ得出OJ=OQ，根據(jù)角平分線的判定定理可得結(jié)論；（3）如圖，延長GM交eO于點(diǎn)h，連接HF，求出FH=2，在HG上取點(diǎn)L,使HL=FH，延長FL交eO于點(diǎn)K，連接KG，求出FL

7、二2邁，設(shè)HM=n，則有LK=KG二工2n，F(xiàn)K=FL+LK=2邁+上2n，再證明22KGHFZKFG=ZEMG=ZHMF，從而得到tanZKFG=tanZHMF，=，再代入FKHMLK和FK的值可得n=4，再求得FG的長，最后得到圓的半徑為.【詳解】解：（1）證明：Ac=Bd,Ac+Cb=Bd+Cb，二AB=CD，AB=CD.22又:AO=DO，AAOJ=ADOQ，OJ=OQ，又:OJ丄AB，OQ丄CD，EO平分ZAED.(3)解：tCD丄AB，ZAED=90。，1由(2)知，ZAEF=-ZAED=45。，厶如圖，延長gm交eO于點(diǎn)H，連接HF,1FG為直徑，.ZH=90。,S二-XMG-F

8、H二2,AMFG2MG=2FH=2,在HG上取點(diǎn)L，使HL=FH，延長FL交eO于點(diǎn)K，連接KG,ZHFL=ZHLF=45。，ZKLG=ZHLF=45。，F(xiàn)G為直徑，ZK=90。，ZKGL=90ZKLG=45。=ZKLG，LK=KG，在RtAFHL中，F(xiàn)L2=FH2+HL，F(xiàn)L=2*2，設(shè)HM=n，HL=MG=2，GL=LM+MG=HL+LM=HM=n，在RtALGK中，LG2=LK2+KG2，LK=KG二至n，2FK=FL+LK=22+三n，2ZGMP=ZGMB，ZPMG=ZHMF，ZHMF=ZGMB，-ZAEF=ZAED=45。，2ZMGF+ZEMG=ZMEF=45。，ZMGF+ZKFG=

9、ZHLF=45。ZKFG=ZEMG=ZHMF，tanZKFG=tanZHMF，n=4，KG=HFHG=HM+MG=6，在RtAHFG中，F(xiàn)G2=FH2+HG2，F(xiàn)G=2.-0，F(xiàn)O=、-0.即eO的半徑的長為、.-0.【點(diǎn)睛】考查了圓的綜合題，本題是垂徑定理、圓周角定理以及三角函數(shù)等的綜合應(yīng)用，適當(dāng)?shù)奶砑虞o助線是解題的關(guān)鍵7.如圖，AB是圓O的直徑，O為圓心，AD、BD是半圓的弦，且/PDA=ZPBD.延長PD交圓的切線BE于點(diǎn)E判斷直線PD是否為OO的切線，并說明理由；(2)如果上BED=60,PD=：3，求PA的長；答案】(1)證明見解析；(2)1圖2；(3)證明見解析.將線段PD以直線A

10、D為對稱軸作對稱線段DF，點(diǎn)F正好在圓O上，如圖2,求證：四邊形DFBE為菱形.如圖1，連接OD，TAB是圓O的直徑,【解析】【分析】連接OD,由AB是圓O的直徑可得/ADB=90，進(jìn)而求得/ADO+ZPDA=90，即可得出直線PD為O0的切線；根據(jù)BE是OO的切線，則ZEBA=90，即可求得ZP=30，再由PD為OO的切線，得ZPDO=90，根據(jù)三角函數(shù)的定義求得OD,由勾股定理得OP,即可得出PA；根據(jù)題意可證得ZADF=ZPDA=ZPBD=ZABF，由AB是圓O的直徑，得ZADB=90,設(shè)ZPBD=x,則可表示出ZDAF=ZPAD=90+x,ZDBF=2x，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出x的值

11、，可得出ABDE是等邊三角形.進(jìn)而證出四邊形DFBE為菱形.【詳解】(1)直線PD為O0的切線，理由如下：ZADB=90,ZADO+ZBDO=90,又：DO=BO,ZBDO=ZPBD,IZPDA=ZPBD,.ZBDO=ZPDA,ZADO+ZPDA=90,即卩PD丄OD,T點(diǎn)D在OO上，.直線PD為OO的切線；TBE是OO的切線，.ZEBA=90,TZBED=60,.ZP=30,TPD為OO的切線，.ZPDO=90,在RtAPDO中，ZP=30,PD=3,.tan300二，解得OD=1,PD.PO=PD2+OD2=2,PA=PO-AO=2-1=1；如圖2,依題意得：ZADF=ZPDA,ZPAD=

12、ZDAF,TZPDA=ZPBDZADF=ZABF,.ZADF=ZPDA=ZPBD=ZABF,TAB是圓O的直徑,.ZADB=90,設(shè)ZPBD=x，則ZDAF=ZPAD=90+x,ZDBF=2x,T四邊形AFBD內(nèi)接于OO,.ZDAF+ZDBF=180,即90+x+2x=180，解得x=30,.ZADF=ZPDA=ZPBD=ZABF=30,TBE、ED是OO的切線，.DE=BE,ZEBA=90,.ZDBE=60,.BDE是等邊三角形,.BD=DE=BE,又TZFDB=ZADB-ZADF=90-30=60ZDBF=2x=60,.BDF是等邊三角形,.BD=DF=BF,.DE=BE=DF=BF,.四

13、邊形DFBE為菱形.點(diǎn)睛】本題是一道綜合性的題目，考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理和菱形的性質(zhì)，是中檔題，難度較大8如圖1,在RtAABC中，ZACB=90,AC=3,BC=4,動點(diǎn)P在線段BC上，點(diǎn)Q在線段AB上，且PQ=BQ，延長QP交射線AC于點(diǎn)D.求證：QA=QD；設(shè)ZBAP=a，當(dāng)2tana是正整數(shù)時，求PC的長；作點(diǎn)Q關(guān)于AC的對稱點(diǎn)Q,連結(jié)QQZ，AQ,DQ，,延長BC交線段DQ，于點(diǎn)E,連結(jié)AE，QQ分別與AP,AE交于點(diǎn)M,N(如圖2所示).若存在常數(shù)k,滿足kMN=PEQQ,求k的值.OoacBEPPDSt02【答案】(1)證明見解析(2)PC的長為7或2(3)8解析】分

14、析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)得出ZB=ZBPQ=ZCPD,由直角三角形的性質(zhì)得出ZBAC=ZD,即可得出結(jié)論；1即可求出PC長;(2)過點(diǎn)P作PH丄AB于H,設(shè)PH=3x,BH=4x,BP=5x，由題意知tana=1或帀，當(dāng)tana=1時，HA=PH=3x，與勾股定理得出3x+4x=5,解得x=1當(dāng)tana=時,HA=2PH-6x,1得出6x+4x=5,解得x=尸，即可求出PC長;(3)設(shè)QQ與AD交于點(diǎn)0,由軸對稱的性質(zhì)得出AQ=AQ=DQ=DQ,得出四邊形21AQDQ是菱形，由菱形的性質(zhì)得出QQAD,AO=込AD,證出四邊形BEQQ是平行四邊形，得出QQ=BE,設(shè)CD=3m，貝PC=4m,

15、AD=3+3m,即卩QQ-BE=4m+4,PE=8m,MOPC由三角函數(shù)得出=tanzPAC=，即可得出結(jié)果.AOAC【詳解】證明：PQ=BQ,.ZB=ZBPQ=ZCPD,TZACB=ZPCD=90,ZA+ZBAC=90,ZD+ZCPD=90,.ZBAC=ZD,QA=QD；(2)解：過點(diǎn)P作PH丄AB于H,如圖1所示:設(shè)PH=3x,BH=4x,BP=5x,4由題意得：tanZBAC=3，ZBAPVZBAC,1.2tana是正整數(shù)時，tana=1或2當(dāng)tana=1時，HA=PH=3x,.3x+4x=；3242=5,.x=57PC4-5x71當(dāng)tana=時，HA=2PH-6x,.6x+4x=5,即

16、PC=4-5x=；綜上所述，pc的長為7或2；(3)解：設(shè)QQ與AD交于點(diǎn)0,如圖2所示:由軸對稱的性質(zhì)得：AQ/=AQ=DQ=DQ/,.四邊形AQDQ是菱形，1QQ丄AD,A0AD,TBC丄AC,QQIIBE,BQIEQ,四邊形BEQQ是平行四邊形,QQ=BE,設(shè)CD=3m，貝9PC=4m,AD=3+3m,即QQ-BE=4m+4,PE=8m,MOPC-=tanZPAC=,4m丁MO373m=2即MN=2MO=4m(1+m)，i_PEgQQ8m(4+4m)-k=8MN4m(l+m)本題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、三角函數(shù)、勾股定理、菱形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及分類討論

17、等知識；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角函數(shù)是解題關(guān)鍵l29.已知拋物線y=-：x2-x+2與x軸交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn)，交y軸于C點(diǎn)，拋物線的對稱63軸與x軸交于H點(diǎn)，分別以O(shè)C、OA為邊作矩形AECO.求直線AC的解析式；如圖，P為直線AC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，在對稱軸上有一動點(diǎn)M,當(dāng)四邊形AOCP面積最大時，求|PM-OM|的值.如圖，將AOC沿直線AC翻折得ACD,再將ACD沿著直線AC平移得ACD.使得點(diǎn)A、C在直線AC上，是否存在這樣的點(diǎn)D,使得AED為直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.團(tuán)1砂勒1一5【答案】y=3x+2；點(diǎn)M坐標(biāo)為(

18、-2,3)時，四邊形AOCP的面積最大，此時|PM-OM|有最大值連；(3)存在，D坐標(biāo)為:6(0,4)或(-6,2)或(5，罟).【解析】【分析】令x=0,則y=2，令y=0,則x=2或-6,求出點(diǎn)A、B、C坐標(biāo)，即可求解；連接OP交對稱軸于點(diǎn)M,此時，|PM-OM|有最大值，即可求解；存在；分AD丄AE；AD丄ED；ED丄AE三種情況利用勾股定理列方程求解即可【詳解】令x=0,則y=2,令y=0,則x=2或-6,二A(-6,0)、B(2,0)、C(0,82),函數(shù)對稱軸為：x=-2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,3)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2),則過點(diǎn)C1的直線表達(dá)式為：y=kx+2,將點(diǎn)A坐標(biāo)代入上式，解

19、得：k=3，貝V：直線AC的表達(dá)式1(2)如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線交AC于點(diǎn)H.為：y=3x+2；四邊形AOCP面積=AOC的面積+ACP的面積，四邊形AOCP面積最大時，只需要厶ACP121的面積最大即可，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,一二m2一m+2)，則點(diǎn)G坐標(biāo)為(m,萬m+2),633111211SACP2PGOA2(6m2m+23m-2)62m2-3m,當(dāng)m=-3時，上式555取得最大值，則點(diǎn)P坐標(biāo)為（-3,2）連接0P交對稱軸于點(diǎn)M,此時，IPM-0M|有55最大值，直線OP的表達(dá)式為：y=丁x,當(dāng)x=-2時，y二，即：點(diǎn)M坐標(biāo)為（-2,633），|PM-0M|的最大值為:；(-3+2)2+(

20、23)2嚴(yán)+（3）DE,當(dāng)ED和EM為等腰三角形EDM的兩腰，OE丄DM,又：AD=AC,.ADC為等邊三角形,.ZCAD=60,.ZDAO=30,.ZDON=60DN=2AD=：3,ON=DN=1,3在RtAADN中，在RtAODN中，.當(dāng)ON等于1時，三點(diǎn)D、E、M組成的三角形是等腰三角形；當(dāng)MD=ME,DE為底邊，如圖3,作DH丄AE,TAD=2J3,ZDAE=30,DH=.3,ZDEA=60,DE=2,.ODE為等邊三角形，.OE=DE=2，OH=1，TZM=ZDAE=30，而MD=ME，.ZMDE=75，ZADM=90-75=15,.ZDNO=45，.NDH為等腰直角三角形，.NH=

21、DH=*3,.ON=、.：3-1；綜上所述，當(dāng)ON等于1或3-1時，三點(diǎn)D、E、M組成的三角形是等腰三角形；(3)當(dāng)OO變動時DP-DQ的值不變，DP-DQ=2f3.理由如下:連AP、AQ,如圖2,ZC=ZCAD=60,而DP丄AB,ACIIDP,ZPDB=ZC=60,又:ZPAQ=ZPDB,.ZPAQ=60,.ZCAQ=ZPAD,ACAD,ZAQCZP,AQC竺APD,.DP=CQ,.DP-DQ=CQ-DQ=CD=2總.點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和圓周角定理：平分弧的直徑垂直弧所對的弦；在同圓和等圓中,相等的弧所對的圓周角相等也考查了等腰三角形的性質(zhì)以及含30的直角三角形三邊的關(guān)系11.如圖，

22、在一次軍事演習(xí)中，藍(lán)方在一條東西走向的公路上的A處朝正南方向撤退，紅方在公路上的B處沿南偏西60方向前進(jìn)實(shí)施攔截，紅方行駛1000米到達(dá)C處后，因前方無法通行，紅方?jīng)Q定調(diào)整方向，再朝南偏西45方向前進(jìn)了相同的距離，剛好在D處成功攔截藍(lán)方，求攔截點(diǎn)D處到公路的距離(結(jié)果不取近似值).【答案】攔截點(diǎn)D處到公路的距離是(500+500)米.【解析】試題分析：過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E；過C作AB的垂線,過D作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)F,則ZE=ZF=90,攔截點(diǎn)D處到公路的距離11DA=BE+CF.解RtABCE,求出BE=BC=x1000=500米；解RtACDF,求出CF

23、=CD=500J?米，則DA=BE+CF=(500+500J!)米.試題解析：如圖，過B作AB的垂線，過C作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)E；過C作AB的垂線，過D作AB的平行線，兩線交于點(diǎn)F,則/E=ZF=90，攔截點(diǎn)D處到公路的距離DA=BE+CF.在RtABCE中，：乙E=90,ZCBE=60,ZBCE=30，BE=BC=x1000=500米；22在RtACDF中，TZF=90，ZDCF=45,CD=BC=1000米，.cCD=50M米,DA=BE+CF=(500+500)米,故攔截點(diǎn)D處到公路的距離是(500+500)米考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題.12.如圖，RtAABC,CA丄B

24、C,AC=4,在AB邊上取一點(diǎn)D,使AD=BC，作AD的垂直平分線，交AC邊于點(diǎn)F,交以AB為直徑的OO于G,H,設(shè)BC=x.求證：四邊形AGDH為菱形；若EF=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(3)連結(jié)OF，CG.若AOF為等腰三角形，求OO的面積；若BC=3,則30CG+9=(直接寫出答案).【答案】(1)證明見解析；(2)y=x2(x0)；(3)wn或8n或(2、：17+2)83n；4】21.【解析】【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)以及垂徑定理證明AG=DG=DH=AH即可；AEEF只要證明厶AEF-ACB，可得二解決問題；ACBC分三種情形分別求解即可解決問題；GFCG只要證明CFG-HFA，可得=，求出相應(yīng)的線段即可解決問題;AFAH【詳解】(1)證明：TGH垂直平分線段AD,HA=HD,GA=GD,TAB是直徑，AB丄GH,.EG=EH,.D