1、第六章 相關(guān)量數(shù)課時安排：6課時教學課型：理論課，課堂同步練習教學目的要求：理解相關(guān)分析的意義與條件；熟練掌握積差相關(guān)法的差不多思想與分析方法；熟練掌握等級相關(guān)、點二列相關(guān)、二列相關(guān)及相關(guān)的使用前提與分析方法；能應用各種相關(guān)解決實際問題。教學重點與教學難點：重點積差相關(guān)的意義與應用；難點各種相關(guān)方法的選擇應用教學方法、手段、媒介：教科書、板書、多媒體教學過程與教學內(nèi)容第一節(jié)相關(guān)與相關(guān)系數(shù)1第二節(jié) 積差相關(guān)3第三節(jié) 等級相關(guān)6第四節(jié) 質(zhì)與量的相關(guān)10第五節(jié) 品質(zhì)相關(guān)相關(guān)13作業(yè)題13第一節(jié) 相關(guān)與相關(guān)系數(shù)一、事物的關(guān)系與相關(guān)量數(shù)事物關(guān)系分為三種：一是講明的是事物之間互相依存、互為因果的關(guān)系。二是

2、函數(shù)關(guān)系。三是伴隨關(guān)系，它既不同于因果關(guān)系和函數(shù)關(guān)系，又不排斥因果關(guān)系和函數(shù)關(guān)系，是事物之間的一種更為復雜關(guān)系，相關(guān)關(guān)系即屬這種關(guān)系。三者的關(guān)系如圖6-1所示。 因果關(guān)系 函數(shù)關(guān)系 伴隨關(guān)系 圖6-1 事物之間的關(guān)系二、相關(guān)的種類（一）方向上正相關(guān)、負相關(guān)和零相關(guān)正相關(guān)指一列變量由大而小或由小而大變化時，另一列變量亦由大而小或由小而大的變化，即兩列變量是同方向變化的，屬“同增共減”的關(guān)系。負相關(guān)指一列變量由大而小或由小而大的變化，另一列變量卻反由小而大或由大而小的變化，即兩列變量的變化方向是相反的，屬“此增彼減”的關(guān)系。零相關(guān)又稱無相關(guān)，是一列變量由大而小或由小而大變化時，另一列變量則或大或小

3、的變化，即兩列變量的變化看不出一定的趨勢，甚至毫無關(guān)系。（二）形狀直線相關(guān)和曲線相關(guān)直線相關(guān)指兩列變量中的一列變量在增加時，另一列變量隨之而增加；或一列變量在增加，另一列變量卻相應地減少，形成一種直線關(guān)系。兩列變量的變化在坐標軸上繪制散點圖時形成的是長軸或橢圓形圖形。 曲線相關(guān)指兩列相伴隨變化的變量，未能形成直線關(guān)系。兩列變量的變化莫測在坐標軸上繪制散點圖時形成的是成彎月狀或曲線形圖形。 （三）變量個數(shù)簡相關(guān)和復相關(guān)簡單相關(guān)是指只有兩個變量的相關(guān)，又稱簡相關(guān)。復雜相關(guān)則是指有三個或三個以上變量的相關(guān)，也稱復相關(guān)。 （四）相關(guān)程度完全相關(guān)、強相關(guān)、弱相關(guān)和無相關(guān)完全相關(guān)指兩列變量的關(guān)系是一一對應

4、、完全確定的關(guān)系。在坐標軸上描繪兩列變量時會形成一條直線。強相關(guān)又稱高度相關(guān)，即當一列變量變化時，與之相應的另一列變量增大（或減少）的可能性特不大。在坐標圖上則表現(xiàn)為散點圖較為集中在某條直線的周圍。弱相關(guān)又稱低度相關(guān)，即當一列變量變化時，與之相對應的另一列變量增大（或減少）的可能性較小。在坐標圖表現(xiàn)出散點比較分散地分布在某條直線的周圍。無相關(guān)則是當一列變量變動時，相對應的另一列變量可能有變動，也可能無變動，而且毫無規(guī)律。三、相關(guān)分析的方法（一）圖示法圖示法要緊是利用散點圖來描述變量之間的相互關(guān)系。散點圖是將成對變量的變動值描繪在坐標圖上形成的一種圖形。從散點圖上，我們既能夠了解相關(guān)的方向（是正

5、相關(guān)、負相關(guān)，依舊零相關(guān)）、相關(guān)的形態(tài)（是直線相關(guān)依舊曲線相關(guān)），也能夠了解相關(guān)的大致程度（是強相關(guān)依舊弱相關(guān)）。 （二）計算法計算法是通過計算變量之間的相關(guān)系數(shù)來描述其相關(guān)情形的。相關(guān)系數(shù)是表示相關(guān)方向和大小的一種數(shù)值，用符號表示，其取值范圍為，其中符號表示相關(guān)的方向，絕對值表示相關(guān)的程度。相關(guān)系數(shù)為1時表示完全正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為時表示完全負相關(guān)，相關(guān)系數(shù)為0時表示零相關(guān)。相關(guān)系數(shù)越接近1，其相關(guān)程度越高，反之，越接近0，相關(guān)程度越低。相關(guān)系數(shù)究竟達到何種程度才算相關(guān)高或低屬于統(tǒng)計檢驗的問題。只是也有一些統(tǒng)計學家對相關(guān)程度作了規(guī)定，如認為表示低度相關(guān)，表示中度相關(guān)，表示高度相關(guān)。四、相關(guān)系數(shù)

6、的解釋首先，要從邏輯上推斷事物之間是否真正存在關(guān)系。因為相關(guān)系數(shù)是由樣本數(shù)據(jù)計算而來的，即使所考察的兩列變量確無任何關(guān)系，我們也能夠通過概率得到強的正相關(guān)或是強的負相關(guān)。 其次，要注意隨著樣本容量的增大，達到相關(guān)顯著的相關(guān)系數(shù)值會變得越來越小。關(guān)于相關(guān)系數(shù)，我們不僅要問是否顯著，還要問有多大，而決定其大小的是測定系數(shù)。測定系數(shù)是相關(guān)系數(shù)的平方（即），用以講明二列變量的變異中一方能由另一方解釋部分的多少。一般來講，相關(guān)系數(shù)在0.3以下為低相關(guān)，這時的只有理論意義而無實際意義；相關(guān)系數(shù)在0.40.6之間為中等相關(guān)，這時的既有有理論意義也有實際意義；相關(guān)系數(shù)在0.7以上為高相關(guān)，這時的理論意義與實際

7、意義都專門大。第三，要在一定的時空間范圍內(nèi)解釋相關(guān)系數(shù)。此外，應注意不同類型的數(shù)據(jù)其相關(guān)的計算方法不同。 第二節(jié) 積差相關(guān)一、積差相關(guān)的意義（一）積差相關(guān)的定義積差相關(guān)是直線相關(guān)中最差不多的方法，又叫均方相關(guān)ak 積矩相關(guān)，其公式由英國統(tǒng)計學家皮爾遜（Pearson）提出，故又稱或皮爾遜相關(guān)系數(shù)，用符號表示。它是利用離差乘積的關(guān)系來講明事物的關(guān)系，是將原始記分轉(zhuǎn)換為離差乘積（即積差），再轉(zhuǎn)換為標準積差后所求得的標準積差的平均數(shù)。我們以例6-1講明積差相關(guān)的意義及公式來源。例6-1：有5名學生的身高（公分）與體重（公斤）的測量結(jié)果如表6-1第2欄所示。試問身高與體重有無關(guān)系？表6-1 5名學生身

8、高和體重的測查結(jié)果第1欄第2欄第3欄第4欄第5欄第6欄學生編號實測記分離差記分積差標準記分標準積差身高體重Y11707203001.50.00216569-500-0.4100.00315066-20-3601.63-1.52.44418070101100.820.50.4151856815-1-151.22-0.5-0.6185034500552.24 第1步，計算兩列變量各自的平均數(shù)和標準差 ，；，第2步，求成對變量的離差和，將實測記分轉(zhuǎn)換為離差記分。第3步，將成對變量的離差相乘，稱為積差即。積差的平均數(shù)稱協(xié)方差（covariance），記為，即第4步，將離差記分轉(zhuǎn)換為標準記分。第5步，將

9、兩列變量的標準記分再相乘稱標準積差，標準積差的平均數(shù)確實是積差相關(guān)系數(shù)的差不多公式，即可見，積差相關(guān)系數(shù)實際上確實是成對變量標準積差的算術(shù)平均數(shù)。例6-1的積差相關(guān)系數(shù)為 （二）積差相關(guān)系數(shù)的使用條件積差相關(guān)的使用一般需滿足三個充分必要條件。一是兩列變量必須是成對的，而且樣本容量不宜少于30；二是兩列變量必須是比率變量或等距變量；三是兩列變量的總體分布均為正態(tài)分布或近似正態(tài)分布。二、積差相關(guān)系數(shù)的計算方法（一）定義式（二）計算式 用計算式計算例6-1的積差相關(guān)系數(shù)的過程如下。 分不求兩列變量值的和，即和。 分不對兩變量的變量值進行平方（即，）并求和（即，）。 求成對變量值的乘積（即）及其乘積和

10、（即）。 代入公式，計算結(jié)果表6-2 積差相關(guān)計算表第1欄第2欄第3欄第4欄第5欄第6欄學生身高體重1170722890051841224021656927225476111385315066225004356990041807032400490012600518568342254624125808503451452502382558705三、積差相關(guān)顯著性的推斷積差相關(guān)的顯著性可查“皮爾遜積差相關(guān)系數(shù)顯著性臨界值表”。當自由度（）為時，若，相關(guān)顯著，若相關(guān)極顯著，若，相關(guān)不顯著。本例n=5， ，r=0.45，查“皮爾遜積差相關(guān)系數(shù)顯著性臨界值表”可得=0.878，因此相關(guān)不顯著。第三節(jié) 等級

11、相關(guān)一、等級相關(guān)的意義等級相關(guān)是依照等級資料來研究變量之間相互關(guān)系的方法，其資料一是研究中所收集的數(shù)據(jù)本身確實是等級評定的資料，二是研究中所收集的數(shù)據(jù)原本為等距或比率變量的資料，因不滿足積差相關(guān)的使用條件需要將基而轉(zhuǎn)化為等級性資料進行分析的情形。等級相關(guān)使用條件較積差相關(guān)更為寬松和靈活，能夠用于多列等級或順序變量，也能夠用于成對變量值少于30的情形，還能夠用于兩列變量總體分布為非正態(tài)時。二、等級相關(guān)的計算方法等級相關(guān)法因變量個數(shù)的多少而有用于分析兩列變量相互關(guān)系的斯皮爾曼等級相關(guān)和用于分析多列變量相互關(guān)系的肯德爾和諧系數(shù)。（一）斯皮爾曼等級相關(guān)斯皮爾曼等級相關(guān)（Spearmans rank c

12、orrelation）是依照兩列變量的成對等級差數(shù)計算相關(guān)系數(shù)，又叫“等級差數(shù)法”，用符號或表示1無重復量的等級相關(guān)例6-2：10名輔導職員作年限與輔導能力評定等級結(jié)果如表6-3所示。試問工作年限與輔導能力之間是否有關(guān)？表6-3 工作年限與輔導能力評定等級資料表12345678910年限581024126397能力73598261041742108169350-13-101011-40191010111630 變量形式的轉(zhuǎn)換。因只有年限變量為等距變量，故只需將其轉(zhuǎn)換成順序變量即可。 求成對等級變量的差。 求等級差的平方（）及平方和（）。 代入公式，計算結(jié)果。2有相同等級的等級相關(guān)系數(shù)例6-3：

13、10名學生的數(shù)學和物理測驗的成績?nèi)绫?-4所示，試求數(shù)學和物理成績的相關(guān)系數(shù)。 數(shù)據(jù)中不僅數(shù)學成績有較多的重復數(shù)據(jù)，而且物理成績也有較多重復數(shù)據(jù)。其中，或， 表6-4 學生數(shù)學和物理成績表12345678910數(shù)學80707080657075607055695物理707570756075806565606951.55.55.51.585.5395.5105.535.539.5317.57.59.5-42.50-1.5-1.52.521.5-20.5166.2502.252.256.2542.2540.2543.5 分析過程： 變量形式分析與轉(zhuǎn)換。 求成對等級變量的差，等級差的平方（）及其平方和

14、（）。 確定重復等級數(shù)目，求等級的離差平方和。數(shù)學成績的平方和物理成績的平方和 代入公式，計算結(jié)果。 3等級相關(guān)顯著性的判不方法單側(cè)檢驗：查“斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)臨界值表”，若，相關(guān)顯著；若，相關(guān)極顯著；若，則相關(guān)不顯著。雙側(cè)檢驗：計算值，即其中，自由度。（二）肯德爾和諧系數(shù)肯德爾和諧系數(shù)由統(tǒng)計學家肯德爾（Kendel）提出的肯德爾交錯系數(shù)、相容性系數(shù)和一致性系數(shù)等三種等級相關(guān)系數(shù)的總稱?？系聽栆恢滦韵禂?shù)是用于描述多列等級變量相關(guān)程度或一致性程度的相關(guān)方法，其中又有肯德爾系數(shù)和肯德爾系數(shù)，它分不用于不同的資料形式?？系孪禂?shù)用于一般等級評定的資料，一是K個評分人評價N個被評價人或N件作品，以分析

15、和評價K個評分人的評價是否一致，二是同一個人先后K次評價N個被評人或N件作品，以分析其前后評價是否一致。1無重復等級的系數(shù)系數(shù)的取值范圍在01之間。當為1時，評分者意見完全一致，SS越小，評價的一致性程度越低；相反，SS越大，評價的一致性程度越高高。例6-4：隨機抽取5名兒童，采納排序法研究其對七種顏色的喜好程度，結(jié)果表6-5。試問兒童對七種顏色的喜好程度是否一致？表6-5 實際的評價結(jié)果 表6-6 假想的評價結(jié)果評 價 者評 價 者1234512345紅1332312144紅2222210100橙5454523529橙5555525625黃21112749黃11111525綠32231111

16、21綠3333315225青66767321024青6666630900蘭4545422484蘭4444420400紫77676331089紫7777735122514034401403500 假設(shè)5名兒童對顏色的喜好完全相同，見表6-6，其分析過程如下。 求等級的和，立即每一顏色的等級相加，結(jié)果見表6-6。 求等級和的平方，即直接將等級和平方，結(jié)果見表6-6。 求等級的離差平方和（簡稱平方和）。實得的平方和： 完全一致的平方和： 對色彩的喜好并不完全相同時，如表6-5。分析過程如下。 求等級的和，結(jié)果見表6-5。 求等級和的平方，結(jié)果見表6-5。 代入公式，計算結(jié)果2有相同等級的W系數(shù)式中，

17、 例6-5：在一次繪畫競賽中，3位評委對8名參賽者作品的等級評定結(jié)果如表6-7所示，試問三位評委的對繪畫的評定意見是否一致？表6-7 3位評委對8幅作品的評定結(jié)果評價者參 賽 作 品 編 號12345678A13538736B1.53.53.51.5785.55.5C214478464.57.512.58.5222312.517.510820.2556.25156.2572.25484529156.25306.251780.5 分析過程： 求等級和（）及等級平方和（）。 求重復等級的校正值 ， 代入公式，計算結(jié)果 3系數(shù)的顯著性檢驗1）查表法：當n為37個時，查肯德爾W系數(shù)臨界值表，然后用分子

18、的SS進行直接比較： SSSS0。05， 一致性顯著；SSSS0。01，一致性極顯著；SSSS0。05，一致性不顯著。因為SS=2316 SS0.01=737.00，因此一致性相當高，10人對顏色喜好有極高的一致性。2）計算法當n大于7時，需計算值，再查顯著性臨界值表進行比較推斷。當自由度，若0.05，一致性顯著；若0.01，一致性極顯著，若0.05，一致性不顯著。如例6-5，n=8，因此當時，。因為，因此一致性極顯著，講明三位評委的意見特不一致。第四節(jié) 質(zhì)與量的相關(guān)一、點二列相關(guān)（一）定義研究一列等距或比率變量與一列“二分”名稱變量之間相關(guān)的統(tǒng)計方法稱做點二列相關(guān)系數(shù),用符號表示。所謂“二分

19、”名稱變量，是將變量按事物固有的性質(zhì)分為兩極情況。如性不分為男和女。點二列相關(guān)在測量中用于題目區(qū)分度分析。（二）計算 例6-7：隨機抽取了某班14名學生的數(shù)推理測驗的成績。其中，男生成績?yōu)?7，10，20，43，61，18，35，33；女生成績?yōu)?3，44，60，10，50，30。試問數(shù)推理成績與學生性不有無關(guān)系？ 求“二分”名稱變量各自的比例， 分不求類類值的平均數(shù) ， 求全部觀測值X的標準差 代入公式，計算結(jié)果 值得注意的是計算點二列相關(guān)系數(shù)出現(xiàn)負值時，并不一定是負相關(guān)，其負值與兩個平均數(shù)的位置有關(guān)。點二列相關(guān)是積差相關(guān)的專門應用?？捎梅e差相關(guān)法計算。需要對“二分”名稱變量賦值，如上例，男

20、生賦值為0，女生賦值為1，則有，其積差相關(guān)系數(shù)為 表6-8 點二列相關(guān)資料轉(zhuǎn)換為和積差相關(guān)資料計算表1234567891011121314成績6710204361183533234460105030504性不000000001111116（三）顯著性檢驗查“積差相關(guān)顯著性臨界值表”。本例時，=0.532，=0.661。因為0.008 =0.532，因此數(shù)推理成績與性不無相關(guān)，即成績優(yōu)勢與性不無關(guān)。二、二列相關(guān)（一）定義二列相關(guān)系數(shù)是研究一列正態(tài)的比率或等距變量和一列人為“二分”名稱變量之間相互關(guān)系的統(tǒng)計方法，用符號或表示。在測量中用于測驗效度和試題區(qū)分度的分析。（二）計算例6-8：某校心理班5

21、0名學生在期末的心理測量考試后，教師對某一簡答題上的得分按一定標準劃分為答對與答錯兩種情況，結(jié)果有58%的學生答對了該題，而測驗總分的平均數(shù)為53分，標準差為18分，答對學生的平均分為61。試問該題與測驗總分有無關(guān)聯(lián)？已知：，由值查正態(tài)分布表得值為0.39，則該題與總分的二列相關(guān)系數(shù)為（三）顯著性檢驗 若，相關(guān)顯著； ，相關(guān)極顯著； ，相關(guān)不顯著。例6-8的檢驗值為因為Z，因此相關(guān)極顯著，講明該題與總分存在明顯的關(guān)系。表6-10 點二列相關(guān)與二列相關(guān)的比較表比較內(nèi)容點二列相關(guān)二列相關(guān)變量形式共同點一列正態(tài)的等距或比率變量不同點“二分”名稱變量人為的“二分”名稱變量計算公式第五節(jié) 品質(zhì)相關(guān)相關(guān)一

22、、意義相關(guān)是專門研究二列“二分”名稱變量之間相關(guān)的統(tǒng)計方法。二、計算例6-9：研究者隨機抽取100名學生進行情緒穩(wěn)定性測驗，結(jié)果如表6-11所示。試問性不與情緒穩(wěn)定性有無關(guān)聯(lián)？表6-11 100名學生情緒穩(wěn)定性測查結(jié)果性不情 緒 穩(wěn) 定 性穩(wěn) 定不 穩(wěn) 定女生34（）16（）50（）男生30（）20（）50（）64（）36（）100（） 將表中數(shù)據(jù)代入公式，得 （三）檢驗 時，若，相關(guān)顯著； ，相關(guān)極顯著；相關(guān)不顯著。本例， ，相關(guān)不顯著。 作業(yè)題1某小學一年級一班有學生40人，期末考試后，班主任老師想了解學生語文學習與算術(shù)學習的關(guān)系，試問用什么相關(guān)方法進行分析？2用不同形狀、顏色和大小的幾何

23、圖形讓39歲的兒童分類，考察不同年齡兒童選擇分類標準的特點?，F(xiàn)有5歲組兒童35人，按色分類的23，按形分類的12人；6歲組兒童36，按色分類的14，按形分類的32人。問選擇分類標準是否與年齡大小有關(guān)？312名學生經(jīng)濟學（）和人類學（）的期末考試分數(shù)如下表，試用積差相關(guān)法和等級相關(guān)法計算。1234567891011125168729755739574209174807470889367739973339180864下表成績與性不有無關(guān)聯(lián)？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10性不 男 女 女 男 女 男 男 男 女 女成績 83 91 95 84 89 87 86 85 88 925在某項測

24、驗中，隨機抽取10名學生的測驗總分及其在某一主觀題（滿分值15分，分界規(guī)則為：17分不合格，815分合格）的得分如下表。試分析試題與總分的相關(guān)。12345678910總分79707578778488696680題目分7688912117596四位教師對6篇論文的評價結(jié)果。試分析其評價的一致性。評分者論 文 編 號123456A142.5562.5B231564C1.531.545.55.5D242562綜合練習一110位大一學生平均每周所花的學習時刻與他們的期末考試成績?nèi)缦卤怼Ｔ噯枺簩W習時刻與考試成績之間是否有相關(guān)？ 比較兩組數(shù)據(jù)誰的差異程度大一些？比較學生2與學生9的期末考試測驗成績。123

25、45678910學習時刻40431810253327173047考試成績587356475854453268692某班數(shù)學的平均成績?yōu)?0，標準差10分；化學的平均分85分，標準差為8分；物理的平均分為79，標準差15分。某生在三科成績分不為95，80，80。試問該生在哪一學科上突出一些？該班三科成績的差異程度如何？有無學習分化現(xiàn)象？該生的學期分數(shù)是多少？三科的總平均和總標準差是多少？3某校高一年級四個班的數(shù)學成績初步統(tǒng)計結(jié)果為：一班50人，平均分88，標準差為10；二班55人，平均分90，標準差12；三班48人，平均分85，標準差9；四班53人，平均分92，標準差6。試問 年級平均數(shù)與標準差是多少？ 哪個班的差異程度一些？4某班作業(yè)的平均分為90，標準差為5；期中考試的平均分為82，標準差為