1、A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1某觀察站C與兩燈塔A，B的距離分別為300米和500米，測(cè)得燈塔A在觀察站C的北偏東30方向上，燈塔B在觀察站C的正西方向上，則兩燈塔A，B間的距離為()A500米B600米C700米 D800米解析：選C.由題意，在ABC中，AC300米，BC500米，ACB120.利用余弦定理可得AB2300250022300500cos 120，所以AB700米，故選C.2若某人在點(diǎn)A測(cè)得金字塔頂端仰角為30，此人往金字塔方向走了80米到達(dá)點(diǎn)B，測(cè)得金字塔頂端的仰角為45，則金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A110米 B112米C220米 D224米解析：選A.如圖，設(shè)CD為金字塔，

2、AB80米設(shè)CDh，則由已知得(80h)eq f(r(3),3)h，h40(eq r(3)1)109(米)從選項(xiàng)來(lái)看110最接近，故選A.3設(shè)甲、乙兩幢樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩幢樓的高分別是()A20eq r(3) m，eq f(40r(3),3) m B10eq r(3) m，20eq r(3) mC10(eq r(3)eq r(2) m，20eq r(3) m Deq f(15r(3),2) m，eq f(20r(3),3) m解析：選A.由題意，知h甲20tan 6020eq r(3)(m)，h乙20tan 6020tan 3

3、0eq f(40r(3),3)(m)4一船向正北方向航行，看見(jiàn)正西方向有相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，船繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60方向，另一燈塔在船的南偏西75方向，則這艘船的速度是()A5eq r(2) 海里/時(shí) B5海里/時(shí)C10eq r(2) 海里/時(shí) D10海里/時(shí)解析：選D.如圖，依題意有BAC60，BAD75，所以CADCDA15，從而CDCA10海里，在直角三角形ABC中，由正弦定理可得AB5海里，所以這艘船的速度是10海里/時(shí)故選D.5某船開(kāi)始看見(jiàn)燈塔在南偏東30方向，后來(lái)船沿南偏東60的方向航行15 km后，看見(jiàn)燈塔在正西方向，則這時(shí)船與燈塔的

4、距離是()A5 km B10 kmC5eq r(3) km D5eq r(2) km解析：選C.作出示意圖(如圖)，點(diǎn)A為該船開(kāi)始的位置，點(diǎn)B為燈塔的位置，點(diǎn)C為該船后來(lái)的位置，所以在ABC中，有BAC603030，B120，AC15，由正弦定理，得eq f(15,sin 120)eq f(BC,sin 30)，即BCeq f(15f(1,2),f(r(3),2)5eq r(3)，即這時(shí)船與燈塔的距離是5eq r(3) km.6.如圖所示為一角槽，已知ABAD，ABBE，并測(cè)量得AC3 mm，BC2eq r(2) mm，ABeq r(29) mm，則ACB_解析：在ABC中，由余弦定理得cos

5、ACBeq f(32（2r(2)）2（r(29)）2,232r(2)eq f(r(2),2).因?yàn)锳CB(0，)，所以ACBeq f(3,4).答案：eq f(3,4)7湖中有一小島，沿湖有一條南北方向的公路，在這條公路上的一輛汽車上測(cè)得小島在南偏西15方向，汽車向南行駛1 km后，又測(cè)得小島在南偏西75方向，則小島到公路的距離是_km.解析：如圖，CAB15，CBA18075105，ACB1801051560，AB1 km.由正弦定理得eq f(BC,sinCAB)eq f(AB,sinACB)，BCeq f(sin 15,sin 60)eq f(r(6)r(2),2r(3)(km)設(shè)C到直

6、線AB的距離為d，則dBCsin 75eq f(r(6)r(2),2r(3)eq f(r(6)r(2),4)eq f(r(3),6)(km)答案：eq f(r(3),6)8.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C和D，測(cè)得CD200 m，在C點(diǎn)和D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角分別是45和30，且CBD30，則塔高AB_ m.解析：在RtABC中，ACB45，設(shè)ABh，則BCh，在RtABD中，ADB30，所以BDeq r(3)h，在BCD中，CBD30，CD200 m，由余弦定理可得40 000h23h22heq r(3)heq f(r(3),2)

7、，所以h200，所以塔高AB200 m.答案：2009.如圖，觀測(cè)站C在目標(biāo)A的南偏西20方向，經(jīng)過(guò)A處有一條南偏東40走向的公路，在C處觀測(cè)到與C相距31 km 的B處有一人正沿此公路向A處行走，走20 km到達(dá)D處，此時(shí)測(cè)得C，D相距21 km，求D，A之間的距離解：由已知，得CD21 km，BC31 km，BD20 km.在BCD中，由余弦定理，得cosBDCeq f(CD2BD2BC2,2CDBD)eq f(1,7).設(shè)ADC，則cos eq f(1,7)，sin eq f(4r(3),7).在ACD中，由正弦定理eq f(AD,sin ACD)eq f(CD,sin CAD)，得eq

8、 f(AD,sin（60）)eq f(21,sin 60)，所以ADeq f(42,r(3)sin(60)eq f(42,r(3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)cos f(1,2)sin )15 (km)，即所求的距離為15 km.10空中有一氣球D，在它正西方向的地面上有一點(diǎn)A，在此處測(cè)得氣球的仰角為45，同時(shí)在氣球的南偏東60方向的地面上有一點(diǎn)B，測(cè)得氣球的仰角為30，兩觀察點(diǎn)A，B相距266 m，計(jì)算氣球的高度解：如圖，設(shè)CDx，在RtACD中，DAC45，所以ACCDx.在RtBCD中，CBD30，所以CBeq f(CD,tan 30)eq r(3)x.在

9、ABC中，ACB9060150，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，所以2662x2(eq r(3)x)22xeq r(3)xeq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，所以x38eq r(7)(m)所以氣球的高度為38eq r(7) m.B能力提升11一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱，為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45，沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B，在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m解析：選A.如圖，設(shè)水柱的高度是h m，水柱底

10、端為C，則在ABC中，A60，ACh，AB100，BCeq r(3) h，根據(jù)余弦定理得，(eq r(3)h)2h210022h100cos 60，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，解得h50或h100(舍去)，故水柱的高度是50 m.12.如圖，某山上原有一條筆直的山路BC，現(xiàn)在又新架設(shè)了一條索道AC，小李在山腳B處看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ABC120，從B處攀登400米后到達(dá)D處，再看索道AC，發(fā)現(xiàn)張角ADC150，從D處再攀登800米到達(dá)C處，則索道AC的長(zhǎng)為_(kāi)米解析：在ABD中，BD400，ABD120，因?yàn)锳DB180ADC30，所以DAB30，所以ABBD400，A

11、Deq r(AB2BD22ABBDcos 120)400eq r(3).在ADC中，DC800，ADC150，AC2AD2DC22ADDCcosADC(400eq r(3)280022400eq r(3)800cos 150400213，所以AC400eq r(13)，故索道AC的長(zhǎng)為400eq r(13)米答案：400eq r(13)13.如圖，某海輪以60海里/小時(shí)的速度航行，在A點(diǎn)測(cè)得海面上油井P在南偏東60方向，向北航行40分鐘后到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得油井P在南偏東30方向，海輪改為北偏東60的航向再行駛80分鐘到達(dá)C點(diǎn)，則P，C間的距離為_(kāi)海里解析：因?yàn)锳B40，BAP120，ABP30，所

12、以APB30，所以AP40，所以BP2AB2AP22APABcos 12040240224040eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)4023，所以BP40eq r(3).又PBC90，BC80，所以PC2BP2BC2(40eq r(3)280211 200，所以PC40eq r(7) 海里答案：40eq r(7)14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(3，1)，直線OB的傾斜角為45，且|OB|eq r(2).(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)及線段AB的長(zhǎng)度；(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，取1厘米為單位長(zhǎng)度現(xiàn)有一質(zhì)點(diǎn)P以1厘米/秒的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿傾斜角為60的射線BC運(yùn)動(dòng)，另

13、一質(zhì)點(diǎn)Q同時(shí)以eq r(2)厘米/秒的速度從點(diǎn)A出發(fā)作直線運(yùn)動(dòng)，如果要使得質(zhì)點(diǎn)Q與P會(huì)合于點(diǎn)C，那么需要經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？解：(1)設(shè)點(diǎn)B(x0，y0)，依題意x0eq r(2)cos 451，y0eq r(2)sin 451，從而B(niǎo)(1，1)，又A(3，1)，所以ABx軸，則|AB|1(3)|4.(2)設(shè)質(zhì)點(diǎn)Q與P經(jīng)過(guò)t秒會(huì)合于點(diǎn)C，則ACeq r(2)t，BCt.由ABx軸及BC的傾斜角為60，得ABC120.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos 120，所以2t216t28teq f(1,2)，化簡(jiǎn)得t24t160，解得t22eq r(5)(舍去)或t22eq r(5)

14、.即若要使得質(zhì)點(diǎn)Q與P會(huì)合于點(diǎn)C，則需要經(jīng)過(guò)(22eq r(5)秒C拓展探究15如圖，在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P(觀察站高度忽略不計(jì))，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北偏東30方向，俯角為30的B處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北偏西60方向，俯角為60的C處(1)求船的航行速度是每小時(shí)多少千米？(2)又經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問(wèn)此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？解：(1)在RtPAB中，APB60，AP1，所以ABAPtan 60eq r(3).在RtPAC中，APC30，所以ACAPtan 30eq f(r(3),3).在ACB中，CAB306090，所以BCeq r(AC2AB2)eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)sup12(2)（r(3)）2)eq f(r(30),3).則船的航行速度為eq f(r(30),3)eq f(1,6)2eq r(30)(千米/時(shí))(2)在ACD中，DAC906030，sinDCAsin(180ACB)sinACBeq f(AB,BC)eq f(r(3),f(r(30),3)eq f(3r(10),10)，sinCDAsin(ACB30)sinACBcos 30cosACBsin 30eq f(3r(10),10)e