1、相像三角形證明技巧相像三角形證明技巧相像三角形證明技巧相像三角形解題方法、技巧、步驟、協(xié)助線分析一、相像三角形三角形相像的條件：；.二、兩個(gè)三角形相像的六種圖形：只需能在復(fù)雜圖形中鑒別出上述基本圖形，并能依據(jù)問題需要舔加適合的協(xié)助線，結(jié)構(gòu)出基本圖形，進(jìn)而使問題得以解決.三、三角形相像的證題思路：判斷兩個(gè)三角形相像思路：1）先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等(對平行線型找平行線)，由于這個(gè)條件最簡單；2）再而先找一對內(nèi)角對應(yīng)相等，且看夾角的兩邊能否對應(yīng)成比率；3）若無對應(yīng)角相等，則只考慮三組對應(yīng)邊能否成比率；找另一角兩角對應(yīng)相等，兩三角形相像a)已知一起等找夾邊對應(yīng)成比率兩邊對應(yīng)成比率且夾角相等，兩三角形相像

2、找夾角相等兩邊對應(yīng)成比率且夾角相等，兩三角形相像b)己知兩邊對應(yīng)成比找第三邊也對應(yīng)成比率三邊對應(yīng)成比率，兩三角形相像找一個(gè)直角斜邊、直角邊對應(yīng)成比率，兩個(gè)直角三角形相像c)己知一個(gè)直找另一角兩角對應(yīng)相等，兩三角形相像找兩邊對應(yīng)成比率判判斷理2找頂角對應(yīng)相等判判斷理1d)有等腰關(guān)找底角對應(yīng)相等判判斷理1找底和腰對應(yīng)成比率判判斷理3e)相像形的傳達(dá)性若12，23，則13四、“三點(diǎn)定形法”，即由有關(guān)線段的三個(gè)不一樣樣的端點(diǎn)來確立三角形的方法。詳細(xì)做法是：先看比率式前項(xiàng)和后項(xiàng)所代表的兩條線段的三個(gè)不一樣樣的端點(diǎn)能否分別確立一個(gè)三角形，若能，則只需證明這兩個(gè)三角形相像就能夠了，這叫做“橫定”；若不可以夠

3、，再看每個(gè)比的前后兩項(xiàng)的兩條線段的兩條線段的三個(gè)不一樣樣的端點(diǎn)能否分別確立一個(gè)三角形，則只需證明這兩個(gè)三角形相像就行了，這叫做“豎定”。有些學(xué)生在找尋條件碰到困難時(shí)，常常放棄了基本規(guī)律而去亂碰亂闖，亂添協(xié)助線，這樣反而使問題復(fù)雜化，見效其實(shí)不好，應(yīng)該運(yùn)用基本規(guī)律去解決問題。1、已知:如圖,ABC中,CEAB,BFAC.求證:AEACAFBA（判斷“橫定”仍是“豎定”？）1例2、如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，BAC的均分線分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，ACAE=AFAB嗎？說明原因。分析方法：1）先將積式_2）_（“橫定”仍是“豎定”？）0例3、已知：如圖，ABC中，ACB=90，AB的

4、垂直均分線交AB于D，交BC延伸線于F。2求證：CD=DEDF。分析方法：1）先將積式_2）_（“橫定”仍是“豎定”？）五、過渡法（或叫代換法）1、等量過渡法（等線段代換法）1：如圖3，ABC中，AD均分BAC，AD的垂直均分線FE交BC的延伸線于E求證：DE2BECE分析：2、等比過渡法（等比代換法）2：如圖4，在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延伸線于點(diǎn)F求證：ABDFACAF23、等積過渡法（等積代換法）例3：如圖5，在ABC中，ACB=90，CD是斜邊AB上的高，G是DC延伸線上一點(diǎn)，過B作BEAG，垂足為E，交CD于點(diǎn)F求證：CD2DFDG小結(jié)：證明等積

5、式思路口訣：“遇等積，化比率：橫找豎找定相像；不相像，不用急：等線等比來代替?！蓖惥毩?xí)：1如圖，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且ADE=C求證：（1）ADEACB;(2)ADAB=AEAC.（1題圖）2如圖，ABC中，點(diǎn)DE在邊BC上，且ADE是等邊三角形，BAC=120求證：（1）ADBCEA;2）DE2=BDCE;(3)ABAC=ADBC.3如圖，平行四邊形ABCD中，E為BA延伸線上一點(diǎn)，D=ECA.求證：ADEC=ACEB.35如圖，E是平行四邊形的邊DA延伸線上一點(diǎn)，EC交AB于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F,求證：FC2=FGEF.6如圖，E是正方形ABCD邊BC延伸線上一點(diǎn)，連結(jié)AE交CD

6、于F,過F作FMBE交DE于M.求證：FM=CF.7如圖，ABC中，AB=AC,點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，CEAB,BE分別交AD、AC于點(diǎn)F、G，連結(jié)FC.求證：（1）BF=CF.(2)BF2=FGFE.8如圖，ABC=90,AD=DB,DEAB,求證：DC2=DEDF.9如圖，四邊形ABCD中，ABCD,ABBC,ACBD。AD=BD，過E作EFAB交AD于F.是說明：（1）AF=BE;(2)AF2=AEEC.410ABC中,BAC=90,ADBC,E為AC中點(diǎn)。求證：AB:AC=DF:AF。11已知，CE是RTABC斜邊AB上的高，在EC延伸線上任取一點(diǎn)P,連結(jié)AP,作BGAP,垂足為G，交CE

7、于點(diǎn)D.試證：CE2=EDEP.六、證比率式和等積式的方法：可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系；三點(diǎn)定形用相像，三點(diǎn)共線取平截；平行線，轉(zhuǎn)比率，等線等比來代替；兩頭各自找聯(lián)系，可用射影和園冪例1如圖5在ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DFAB于F，交AC的延伸線于H，交BE于G，求證：(1)FG/FAFB/FH(2)FD是FG與FH的比率中項(xiàng)AFEGB圖5DCH例2如圖6，ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，已知BE：EC3：1，SFBE18，求：(1)BF：FD(2)SFDAADFB圖6EC例3如圖7在ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點(diǎn)，CM的延伸

8、線交AB于N求：AN：AB的值；EANMBDC4如圖8在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BEAC交AC于F，過F作FGAB交AE于G求證：AG2AFFCDEC5GFAB5如圖在ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，且ADAC，DEBC，交AB于點(diǎn)E，EC交AD于點(diǎn)F(1)求證：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的長AEFBDMC例6如圖10過ABC的極點(diǎn)C任作向來線與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E過點(diǎn)D作DMFC交AB于點(diǎn)M(1)若SAEF：S四邊形MDEF2：3，求AE：ED；C(2)求證：AEFB2AFEDDEAFMB圖例7己知如圖11在正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點(diǎn)，

9、Q在線段BC上，當(dāng)BQ為什么值時(shí)，ADP與QCP相像？ADPB圖11QC例8己知如圖12在梯形ABCD中，ADBC，A900，AB7，AD2，BC3試在邊AB上確定點(diǎn)P的地點(diǎn)，使得以P、A、D為極點(diǎn)的三角形與以P、B、C為極點(diǎn)的三角形相像ADP1P2P3BC圖129如圖，已知ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，CFBA，BF交AD于P點(diǎn)，交ACE點(diǎn)。求證：BP2=PEPF。6例10如圖，已知：在ABC中，BAC=900，ADBC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延伸線于F。求證：。八、相像三角形中的協(xié)助線在增添協(xié)助線時(shí)，所增添的協(xié)助線常常能夠結(jié)構(gòu)出一組或多組相像三角形，或獲取成比率的線段或

10、得出等角，等邊，進(jìn)而為證明三角形相像或進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系。主要的協(xié)助線有以下幾種：（一）、作平行線例1.如圖，ABC的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)D和E，且使ADAE，DE延伸線與BC延伸線訂交于BFBDF，求證：CFCEBDACEF2.如圖，ABC中，ABAC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延伸線訂交于點(diǎn)F，證明：ABDF=ACEF。3、如圖45，B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則AF：AE=_.例4、如圖4-7，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于O點(diǎn)，E為AB延伸線上一點(diǎn)，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長7例5、ABC中，在AC上截

11、取AD，在CB延伸線上截取BE，使AD=BE，求證：DF?AC=BC?FE例6：如圖ABC中，AD為中線，CF為任向來線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。（二）、作延伸線例7.如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延伸線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG2=CF?BFAF1AD例8如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，3，連E、F交AC于G求AG：AC的值（三）、作中線10：已知：如圖，ABC中，ABAC，BDAC于D求證：BC22CDAC中考綜合題型1.已知：如圖，在ABC中，ABAC,A36,BD是角均分線，試?yán)萌切?/p>

12、相像的關(guān)系說明AD2DCAC82.如圖，矩形ABCD中，AD3厘米，ABa厘米（a3）動點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA，BC運(yùn)動，速度是1M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q當(dāng)點(diǎn)厘米秒過N抵達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒1）若2）若a4厘米，t1秒，則PM_厘米；a5厘米，求時(shí)間t，使PNBPAD，并求出它們的相像比；DQCDQCPNPNAMBAMB3如圖，已知ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動，此中點(diǎn)P運(yùn)動的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q抵達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（

13、s），解答以下問題：1）當(dāng)t2時(shí)，判斷BPQ的形狀，并說明原因；2）設(shè)BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；4.如圖（10）所示：等邊ABC中，線段AD為其內(nèi)角角均分線，過D點(diǎn)的直線BCAC于C交AB的111延伸線于B1.請你研究：ACCDAC1C1DABDB，能否都建立？AB1DB1請你連續(xù)研究：若ABC為隨意三角形，線段AD為其內(nèi)角角均分線，請問ACCDAB必然建立嗎？DB并證明你的判斷.9如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點(diǎn)D與點(diǎn)A對于y軸對稱，AB:BC=4:3，點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D

14、重合），且CEF=ACB.1）求AC的長和點(diǎn)D的坐標(biāo)；2）說明AEF與DCE相像；如圖，在RtABC中，B90，AB1，BC1，以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的弧交2CA于點(diǎn)D；以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點(diǎn)E（1）求AE的長度；（2）分別以點(diǎn)A、E為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F（F與C在AB雙側(cè)），連結(jié)AF、EF，設(shè)EF交弧DE所在的圓于點(diǎn)G，連結(jié)AG，試猜想EAG的大小，并說明原因FG如圖（1），ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，BACDEF90，固定ABC，將EFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中斷.不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的狀況

15、，設(shè)DE、DF（或它們的延伸線）分別交BC（或它的延伸線）于AEG、H點(diǎn)，如圖（2）.（1）問：向來與AGC相像的三角形有及；D（2）設(shè)CGx，BHy，求y對于x的函數(shù)關(guān)系式（只需求依據(jù)2的狀況說明原因）；（1）如圖1，在ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于點(diǎn)P求證：DPPEBQQC10（2）如圖，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四個(gè)極點(diǎn)在ABC的邊上，連結(jié)AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn)如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；10如圖，在ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)且知足ADAB，ADEC1）求證：AED=ADC，DEC=B；

16、2）求證：AB2AE?ACAEBCD12如圖，在ABC中，C=90，AC=8，BC=6P是AB邊上的一個(gè)動點(diǎn)(異于A、B兩點(diǎn))，過點(diǎn)P分別作AC、BC邊的垂線，垂足為M、N設(shè)AP=x(1)在ABC中，AB=；(2)當(dāng)x=時(shí)，矩形PMCN的周長是14；能否存在x的值，使得PAM的面積、PBN的面積與矩形PMCN的面積同時(shí)相等?請說出你的判斷，并加以說明14如圖1，在RtABC中，BAC90，ADBC于點(diǎn)D，點(diǎn)O是AC邊上一點(diǎn)，連結(jié)BO交AD于F，OEBO交BC邊于點(diǎn)EBBD（1）求證：ABFCOE；DFE（3）當(dāng)O為AC邊中點(diǎn)，ACn時(shí)，請直接寫出OF的值FEABOEACACOO圖1圖216如圖

17、，M為線段AB的中點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，DMEAB，AMB且DM交AC于F，ME交BC于G（1）寫出圖中三對相像三角形，并證明此中的一對；FGC11D第16題圖E（2）連結(jié)FG，假如45，AB42，AF3，求FG的長19正方形ABCD邊長為4，M、N分別是BC、CD上的兩個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)M點(diǎn)在BC上運(yùn)動時(shí)，保持AM和MN垂直，1）證明：RtABMRtMCN；（2）設(shè)BMx，梯形ABCN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動到什么地點(diǎn)時(shí)RtABMRtAMN，求x的值20如圖，ABC中，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，AD、CE訂交于G求證：GEGD1ACEAD3EGBCD（第21題）

18、15已知ABC=90，AB=2，BC=3，ADBC，P為線段BD上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q在射線AB上，且知足PQADPCAB（如圖8所示）（1）當(dāng)AD=2，且點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)（如圖9所示），求線段PC的長；（2）在圖83，且點(diǎn)Q在線段AB上時(shí)，設(shè)點(diǎn)B、Q之間的距離為x，中，聯(lián)系A(chǔ)P當(dāng)AD2SAPQy，此中SAPQ表示APQ的面積，表示PBC的面積，求y對于x的函數(shù)分析式，并PBCSSPBC寫出自變量的取值范圍；12ADADADPPPQBCB（Q）CBC圖8圖9Q圖10如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(8，0)，直線BC經(jīng)過點(diǎn)B(8，6)，C(0，6)，將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針

19、方向旋轉(zhuǎn)度獲取四邊形OABC，此時(shí)直線OA、直線BC分別與直線BC訂交于點(diǎn)P、Q（1）四邊形OABC的形狀是當(dāng)90時(shí)，BP的值是；BQ（2）如圖2，當(dāng)四邊形OABC的極點(diǎn)B落在y軸正半軸時(shí)，求BP的值；BQ如圖3，當(dāng)四邊形OABC的極點(diǎn)B落在直線BC上時(shí)，求OPB的面積yyyBCQBC（Q）BCPPAOxAOxAxO（圖2）（圖3）（備用圖）（第10題）18.如圖，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動，設(shè)AP=x，現(xiàn)將紙片折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)P重合，得折痕EF（點(diǎn)E、F為折痕與矩形邊的交點(diǎn)），再將紙片復(fù)原。（1）當(dāng)x=0時(shí)，折痕EF的長為#.；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，折痕EF的長

20、為#.；（2）請寫出使四邊形EPFD為菱形的x的取值范圍，并求出當(dāng)x=2時(shí)菱形的邊長；1314相像三角形解題方法、技巧、步驟、協(xié)助線分析一、相像三角形三角形相像的條件：；.二、兩個(gè)三角形相像的六種圖形：只需能在復(fù)雜圖形中鑒別出上述基本圖形，并能依據(jù)問題需要舔加適合的協(xié)助線，結(jié)構(gòu)出基本圖形，進(jìn)而使問題得以解決.三、三角形相像的證題思路：判斷兩個(gè)三角形相像思路：1）先找兩對內(nèi)角對應(yīng)相等(對平行線型找平行線)，由于這個(gè)條件最簡單；2）再而先找一對內(nèi)角對應(yīng)相等，且看夾角的兩邊能否對應(yīng)成比率；3）若無對應(yīng)角相等，則只考慮三組對應(yīng)邊能否成比率；找另一角兩角對應(yīng)相等，兩三角形相像a)已知一起等兩邊對應(yīng)成比率

21、且夾角相等，兩三角形相像找夾邊對應(yīng)成比率找夾角相等兩邊對應(yīng)成比率且夾角相等，兩三角形相像b)己知兩邊對應(yīng)成比找第三邊也對應(yīng)成比率三邊對應(yīng)成比率，兩三角形相像找一個(gè)直角斜邊、直角邊對應(yīng)成比率，兩個(gè)直角三角形相像找另一角兩角對應(yīng)相等，兩三角形相像c)己知一個(gè)直判判斷理2找兩邊對應(yīng)成比率15找頂角對應(yīng)相等判判斷理1d)有等腰關(guān)找底角對應(yīng)相等判判斷理1e)相像形的傳達(dá)性找底和腰對應(yīng)成比率判判斷理3若，則312231四、“三點(diǎn)定形法”，即由有關(guān)線段的三個(gè)不一樣樣的端點(diǎn)來確立三角形的方法。詳細(xì)做法是：先看比率式前項(xiàng)和后項(xiàng)所代表的兩條線段的三個(gè)不一樣樣的端點(diǎn)能否分別確立一個(gè)三角形，若能，則只需證明這兩個(gè)三角

22、形相像就能夠了，這叫做“橫定”；若不可以夠，再看每個(gè)比的前后兩項(xiàng)的兩條線段的兩條線段的三個(gè)不一樣樣的端點(diǎn)能否分別確立一個(gè)三角形，則只需證明這兩個(gè)三角形相像就行了，這叫做“豎定”。有些學(xué)生在找尋條件碰到困難時(shí)，常常放棄了基本規(guī)律而去亂碰亂闖，亂添協(xié)助線，這樣反而使問題復(fù)雜化，見效其實(shí)不好，應(yīng)該運(yùn)用基本規(guī)律去解決問題。1、已知:如圖,ABC中,CEAB,BFAC.求證:AEACAFBA（判斷“橫定”仍是“豎定”？）2、如圖，CD是RtABC的斜邊AB上的高，BAC的均分線分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，ACAE=AFAB嗎？說明原因。分析方法：1）先將積式_2）_（“橫定”仍是“豎定”？）0例3、已知

23、：如圖，ABC中，ACB=90，AB的垂直均分線交AB于D，交BC延伸線于F。2求證：CD=DEDF。分析方法：1）先將積式_2）_（“橫定”仍是“豎定”？）五、過渡法（或叫代換法）16有些習(xí)題不論怎樣也結(jié)構(gòu)不出相像三角形，這就要考慮靈巧地運(yùn)用“過渡”，其主要種類有三種，下邊分狀況說明3、等量過渡法（等線段代換法）碰到三點(diǎn)定形法沒法解決欲證的問題時(shí)，即假如線段比率式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不可以夠構(gòu)成三角形，或四條線段固然構(gòu)成兩個(gè)三角形，但這兩個(gè)三角形其實(shí)不相像，那就需要依據(jù)已知條件找到與比率式中某條線段相等的一條線段來代替這條線段，假如沒有，可考慮增添簡單的協(xié)助線。此后再應(yīng)用三

24、點(diǎn)定形法確立相像三角形。只需代換適合，問題常常能夠獲取解決。自然，還要注意最后將代換的線段再代換回來。1：如圖3，ABC中，AD均分BAC，AD的垂直均分線FE交BC的延伸線于E求證：DE2BECE分析：4、等比過渡法（等比代換法）當(dāng)用三點(diǎn)定形法不可以夠確立三角形，同時(shí)也無等線段代換時(shí)，能夠考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比率式搭橋，也就是經(jīng)過對已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個(gè)比相等的比，并進(jìn)行代換，此后再用三點(diǎn)定形法來確立三角形。2：如圖4，在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的中點(diǎn)，ED交AB的延伸線于點(diǎn)F求證：ABDFACAF3、等積過渡法（等積代換法

25、）思慮問題的基本門路是：用三點(diǎn)定形法確立兩個(gè)三角形，此后經(jīng)過三角形相像推出線段成比率；若三點(diǎn)定形法不可以夠確立兩個(gè)相像三角形，則考慮用等量（線段）代換，或用等比代換，此后再用三點(diǎn)定形法確立相像三角形，若以上三種方法行不通時(shí)，則考慮用等積代換法。例3：如圖5，在ABC中，ACB=90，CD是斜邊AB上的高，G是DC延伸線上一點(diǎn)，過B作BEAG，垂足為E，交CD于點(diǎn)F求證：CD2DFDG17小結(jié)：證明等積式思路口訣：“遇等積，化比率：橫找豎找定相像；不相像，不用急：等線等比來代替?！蓖惥毩?xí)：1如圖，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且ADE=C求證：（1）ADEACB;(2)ADAB=AEAC.（1

26、題圖）（2題圖）2如圖，ABC中，點(diǎn)DE在邊BC上，且ADE是等邊三角形，BAC=120求證：（1）ADBCEA;2）DE2=BDCE;(3)ABAC=ADBC.3如圖，平行四邊形ABCD中，E為BA延伸線上一點(diǎn)，D=ECA.求證：ADEC=ACEB.（本題為騙局題，應(yīng)注意條件中獨(dú)一的角相等，考慮平行四邊形對邊相等，用等線代替思想解決）4如圖，AD為ABC中BAC的均分線，EF是AD的垂直均分線。求證：FD2=FCFB。（本題四點(diǎn)共線，應(yīng)踴躍找尋條件，等線代替，轉(zhuǎn)變?yōu)樽C三角形相像。）5如圖，E是平行四邊形的邊DA延伸線上一點(diǎn)，EC交AB于點(diǎn)G,交BD于點(diǎn)F,求證：FC2=FGEF.（本題再次出

27、現(xiàn)四點(diǎn)共線，等線代替沒法進(jìn)行，能夠考慮等比代替。）186如圖，E是正方形ABCD邊BC延伸線上一點(diǎn)，連結(jié)AE交CD于F,過F作FMBE交DE于M.求證：FM=CF.(注：等線代替和等比代替的思想不限制于證明等積式，也可應(yīng)用于線段相等的證明。本題用等比代替能夠解決。)7如圖，ABC中，AB=AC,點(diǎn)D為BC邊中點(diǎn)，CEAB,BE分別交AD、AC于點(diǎn)F、G，連結(jié)FC.求證：（1）BF=CF.(2)BF2=FGFE.（練習(xí)題圖）（8如圖，ABC=90,AD=DB,DEAB,求證：DC2=DEDF.199如圖，ABCD為直角梯形，ABCD,ABBC,ACBD。AD=BD，過E作EFAB交AD于F.是說

28、明：（1）AF=BE;(2)AF2=AEEC.10ABC中,BAC=90,ADBC,E為AC中點(diǎn)。求證：AB:AC=DF:AF。11已知，CE是RTABC斜邊AB上的高，在EC延伸線上任取一點(diǎn)P,連結(jié)AP,作BGAP,垂足為G，交CE于點(diǎn)D.試證：CE2=EDEP.(注：本題要用到等積代替，將CE2用射影定理代替，再化成比率式。)20六、證比率式和等積式的方法：對線段比率式或等積式的證明：常用“三點(diǎn)定形法”、等線段代替法、中間比過渡法、面積法等若比率式或等積式所波及的線段在同向來線上時(shí)，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”(必需時(shí)需添協(xié)助線)，使其分別構(gòu)成兩個(gè)相像三角形來證明可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找

29、關(guān)系；三點(diǎn)定形用相像，三點(diǎn)共線取平截；平行線，轉(zhuǎn)比率，等線等比來代替；兩頭各自找聯(lián)系，可用射影和園冪例1如圖5在ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DFAB于F，交AC的延伸線于H，交BE于G，求證：(1)FG/FAFB/FH(2)FD是FG與FH的比率中項(xiàng)AFEGB圖5DCH1說明：證明線段成比率或等積式，平常是借證三角形相像找相像三角形用三點(diǎn)定形法(在比率式中，或橫著找三點(diǎn)，或豎著找三點(diǎn))，若不可以夠找到相像三角形，應(yīng)試慮將比率式變形，找等積式代換，或直接找等比代換例2如圖6，ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，已知BE：EC3：1，S18，求：(1)BF：FD(2)

30、SFDAFBEADFB圖6EC2說明：線段BF、FD三點(diǎn)共線應(yīng)用平截比定理由平行四邊形得出兩線段平行且相等，再由“平截比定理”獲取對應(yīng)線段成比率、三角形相像；由比率合比性質(zhì)轉(zhuǎn)變?yōu)樗缶€段的比；由面積比等于相像比的平方，求出三角形的面積例3如圖7在ABC中，AD是BC邊上的中線，M是AD的中點(diǎn)，CM的延伸線交AB于N求：AN：AB的值；EANMBDC3說明：求比率式的值，可直接利用己知的比率關(guān)系或是借助己知條件中的平行線，找等比過渡當(dāng)21已知條件中的比率關(guān)系不夠用時(shí)，還應(yīng)添作平行線，再找中間比過渡4如圖8在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BEAC交AC于F，過F作FGAB交AE于G求證：AG2A

31、FFCDECGFAB4說明：證明線段的等積式，可先轉(zhuǎn)變?yōu)楸嚷适?，再用等線段代替法，此后利用“三點(diǎn)定形法”確立要證明的兩個(gè)三角形相像、5如圖在ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，且ADAC，DEBC，交AB于點(diǎn)E，EC交AD于點(diǎn)F(1)求證：ABCFCD；(2)若SFCD5，BC10，求DE的長AEFBDMC5說明：要證明兩個(gè)三角形相像可由平行線推出或相像三角形的判判斷理得兩個(gè)三角形相像再由相像三角形的面積比等于相像比的平方及比率的基天性質(zhì)獲取線段的長例6如圖10過ABC的極點(diǎn)C任作向來線與邊AB及中線AD分別交于點(diǎn)F和E過點(diǎn)D作DMFC交AB于點(diǎn)M(1)若SAEF：S四邊形MDEF2：3，求AE：ED

32、；C(2)求證：AEFB2AFEDDEAFMB圖6說明：由平行線推出兩個(gè)三角形相像，再由相像三角形的面積比等于相像比的平方及比率的基天性質(zhì)獲取兩線段的比注意平截比定理的應(yīng)用例7己知如圖11在正方形ABCD的邊長為1，P是CD邊的中點(diǎn)，Q在線段BC上，當(dāng)BQ為什么22值時(shí)，ADP與QCP相像？ABDP圖11QC7說明：兩個(gè)三角形相像，必然注意其極點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系此后再確立極點(diǎn)P所在的地點(diǎn)本題是開放性題型，有多個(gè)地點(diǎn)，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解例8己知如圖12在梯形ABCD中，ADBC，A900，AB7，AD2，BC3試在邊AB上確定點(diǎn)P的地點(diǎn)，使得以P、A、D為極點(diǎn)的三角形與以P、B、C為極點(diǎn)的三角形相像

33、ADP1P2P3BC圖128說明：兩個(gè)三角形相像，必然注意其極點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系此后再確立極點(diǎn)P所在的地點(diǎn)本題有多個(gè)地點(diǎn)，應(yīng)注意計(jì)算，嚴(yán)防漏解11如圖，已知ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，CFBA，BF交AD于P點(diǎn)，交ACE點(diǎn)。求證：BP2=PEPF。11分析：由于BP、PE、PF三條線段共線，找不到兩個(gè)三角形，所以必然考慮等線段代換等其余方法，因23AB=AC，D是BC垂直均分線的性質(zhì)知中點(diǎn)，由等腰三角形的性質(zhì)知AD是BC的垂直均分線，假如我們連結(jié)PC，由線段PB=PC，只需證明PECPCF，問題就能解決了。例12如圖，已知：在ABC中，BAC=900，ADBC，E是AC的中點(diǎn)，ED交

34、AB的延伸線于F。求證：。12分析：比率式左側(cè)AB，AC在ABC中，右側(cè)DF、AF在ADF中，這兩個(gè)三角形不相像，所以本題需經(jīng)過中間比進(jìn)行代換。經(jīng)過證明兩套三角形分別相像證得結(jié)論。七、確立證明的切入點(diǎn)。幾何證明題的證明方法主要有三個(gè)方面。第一，從“已知”下手，經(jīng)過推理論證，得出“求證”；第二，從“求證”下手，經(jīng)過分析，不停追求“憑證”的支撐，向來追憶回到“已知”；第三，從“已知”及“求證”雙方面下手，經(jīng)過分析找到中間“橋梁”，使之成為清楚的思想過程。八、相像三角形中的協(xié)助線在增添協(xié)助線時(shí)，所增添的協(xié)助線常常能夠結(jié)構(gòu)出一組或多組相像三角形，或獲取成比率的線段或得出等角，等邊，進(jìn)而為證明三角形相像

35、或進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算找到等量關(guān)系。主要的協(xié)助線有以下幾種：（一）、作平行線例1.如圖，ABC的AB邊和AC邊上各取一點(diǎn)D和E，且使ADAE，DE延伸線與BC延伸線訂交于BFBDF，求證：CFCEBDACEF例2.如圖，ABC中，ABAC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延伸線訂交于點(diǎn)F，證明：ABDF=ACEF。243、如圖45，B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，則AF：AE=_.例4、如圖4-7，已知平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于O點(diǎn)，E為AB延伸線上一點(diǎn)，OE交BC于F，若AB=a，BC=b，BE=c，求BF的長例5、ABC中，在AC上截取AD，在CB延伸線上截取BE，

36、使AD=BE，求證：DF?AC=BC?FE例6：如圖ABC中，AD為中線，CF為任向來線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。25（二）、作延伸線例7.如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點(diǎn)，AE的延伸線交BC于F，F(xiàn)GAB于G，求證：FG2=CF?BFAF1AD例8如圖4-1，已知平行四邊ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，3，連E、F交AC于G求AG：AC的值（三）、作中線例10：已知：如圖，ABC中，ABAC，BDAC于D26求證：BC22CDAC中考綜合題型1.已知：如圖，在ABC中，ABAC,A36,BD是角均分線，試?yán)萌切蜗嘞竦年P(guān)系說明AD2D

37、CAC1說明（1）有兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相像，這是判斷兩個(gè)三角形相像最常用的方法，而且依據(jù)相等的角的地點(diǎn)，能夠確立哪些邊是對應(yīng)邊（2）要說明線段的乘積式abcd，或平方式a2bc，一般都是證明比率式，ad，或ba，cbac再依據(jù)比率的基天性質(zhì)推出乘積式或平方式2.如圖，矩形ABCD中，AD3厘米，ABa厘米（a3）動點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿BA，BC運(yùn)動，速度是1M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q當(dāng)點(diǎn)厘米秒過N抵達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒1）若2）若a4厘米，t1秒，則PM_厘米；a5厘米，求時(shí)間t，使PNBPAD，并求出它們的相像比；（3）若在

38、運(yùn)動過程中，存在某時(shí)辰使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求t(用表示)DQCDQCPNPNAMBAMB3如圖，已知ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、27BC勻速運(yùn)動，此中點(diǎn)P運(yùn)動的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q抵達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t（s），解答以下問題：1）當(dāng)t2時(shí)，判斷BPQ的形狀，并說明原因；2）設(shè)BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；4.如圖（10）所示：等邊ABC中，線段AD為其內(nèi)角角均分線，過D點(diǎn)的直線B1C1AC于C1交AB的延伸線于B1.ACCDAC1C1D請你研究：DB

39、，能否都建立？ABAB1DB1請你連續(xù)研究：若ABC為隨意三角形，線段AD為其內(nèi)角角均分線，請問ACCDAB必然建立嗎？DB并證明你的判斷.如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，四邊形ABCO為矩形，AB=16，點(diǎn)D與點(diǎn)A對于y軸對稱，AB:BC=4:3，點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合），且CEF=ACB.（1）求AC的長和點(diǎn)D的坐標(biāo)；28（2）說明AEF與DCE相像；如圖，在RtABC中，B90，AB1，BC1，以點(diǎn)2以點(diǎn)A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點(diǎn)E1）求AE的長度；2）分別以點(diǎn)A、E為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)設(shè)EF交弧DE所

40、在的圓于點(diǎn)G，連結(jié)AG，試猜想EAGC為圓心，CB為半徑的弧交CA于點(diǎn)D；F（F與C在AB雙側(cè)），連結(jié)AF、EF，的大小，并說明原因29FGAEBDC（第題）（2011廣東汕頭，21，9分）如圖（1），ABC與EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，BACDEF90，固定ABC，將EFD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DF邊與AB邊重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)中斷.不考慮旋轉(zhuǎn)開始和結(jié)束時(shí)重合的狀況，設(shè)DE、DF（或它們的延伸線）分別交BC（或它的延伸線）于G、H點(diǎn)，如圖（2）.（1）問：向來與AGC相像的三角形有及；（2）設(shè)CGx，BHy，求y對于x的函數(shù)關(guān)系式（只需求依據(jù)2的狀況說明原因）；30如圖8，

41、ABC,是一張銳角三角形的硬紙片，AD是邊BC上的高，BC=40cm,AD=30cm,從這張硬紙片上剪下一個(gè)長HG是寬HE的2倍的矩形EFGH，使它的一邊EF在BC上，極點(diǎn)G、H分別在AC，AB上，AD與HG的交點(diǎn)為M.(1)求證：AMHG;ADBC(2)求這個(gè)矩形EFGH的周長.（1）如圖1，在ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于點(diǎn)P求證：DPPEBQQC（2）如圖，在ABC中，BAC=90，正方形DEFG的四個(gè)極點(diǎn)在ABC的邊上，連結(jié)AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn)如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；3110如圖，在ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E

42、是AC邊上一點(diǎn)且知足ADAB，ADEC1）求證：AED=ADC，DEC=B；2）求證：AB2AE?ACAEBCD11學(xué)習(xí)圖形的相像后，我們能夠借助研究兩個(gè)直角三角形全等的條件所獲取經(jīng)驗(yàn)，連續(xù)研究兩個(gè)直角三角形相像的條件。（1）“對與兩個(gè)直角三角形，知足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，兩個(gè)直角三角形全等”。近似地，你能夠等到：“知足，或，兩個(gè)直角三角形相像”。（2）“知足斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”，近似地你能夠獲取“知足的兩個(gè)直角三角形相像”。請聯(lián)合以下所給圖形，寫出已知，并達(dá)成說理過程。已知：如圖，。試說明RtABCRtABC.3212如圖，在ABC中，C=90，AC=8，BC=6P是AB邊上的一個(gè)動點(diǎn)(異于A、B兩