1、8.7雙曲線【知識梳理】 1.雙曲線定義一般地,如果F1,F2是平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn),a是一個(gè),且2a|F1F2|時(shí),動點(diǎn)的軌跡不存在;當(dāng)2a=0時(shí),動點(diǎn)的軌跡是線段F1F2的中垂線.(2)若將雙曲線定義中的“差的絕對值等于常數(shù)”中的“絕對值”去掉,則點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支,具體是左支還是右支視情況而定.2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 坐標(biāo)軸 原點(diǎn) (-a,0) (a,0) (0,-a) (0,a) a2+b2 2a 2b 3.等軸雙曲線(1)定義:實(shí)軸長與虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線.(2)性質(zhì):a=b;e= ;漸近線互相垂直;等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng).常用

2、結(jié)論常用結(jié)論常用結(jié)論6.若P是雙曲線右支上一點(diǎn),F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),則|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.7.雙曲線的同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸所在直線的弦),其長為 ;異支的弦中最短的為實(shí)軸,其長為2a.【考點(diǎn)自診】 1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯(cuò)誤的畫“”.(1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4),F2(0,-4)距離之差的絕對值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線.()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案 A 答案 C 答案 2 考點(diǎn)1雙曲線的定義【例1】 (1)已知定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0),N

3、是圓O:x2+y2=1上任意一點(diǎn),點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線D.圓(2)已知F1,F2為雙曲線C:x2-y2=2的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在C上,|PF1|=2|PF2|,則cosF1PF2=()答案 (1)B(2)C(3)9解析 (1)如圖,連接ON,由題意可得|ON|=1,且N為MF1的中點(diǎn),又O為F1F2的中點(diǎn),|MF2|=2.點(diǎn)F1關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為M,線段F1M的中垂線與直線F2M相交于點(diǎn)P,由垂直平分線的性質(zhì)可得|PM|=|PF1|,|PF2|-|PF1|=|PF2|-|PM|=|MF2|=2|F

4、1F2|,由雙曲線的定義可得,點(diǎn)P的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的雙曲線.解題心得雙曲線定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面:一是判定平面內(nèi)動點(diǎn)軌跡是否為雙曲線,進(jìn)而求出曲線方程;二是在“焦點(diǎn)三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,結(jié)合|PF1|-|PF2|=2a,運(yùn)用平方的方法,建立與|PF1|PF2|的聯(lián)系.解析 (1)由題意知 ,故a=4,則c=5.由|MF2|=6a+c=9,知點(diǎn)M在雙曲線C的右支上.由雙曲線的定義知|MF1|-|MF2|=2a=8,所以|MF1|=14.(2)因?yàn)閨AF2|=3,|BF2|=5,|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|-|A

5、B|=3+5-4=4=4a,所以a=1,所以|BF1|=3.又|AF2|2+|AB|2=|BF2|2,所以F2AB=90,考點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程答案 (1)A(2)B(3)D 解題心得1.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的答題模板2.利用待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法 考點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)(多考向探究)考向1求雙曲線的漸近線方程 答案 B 解題心得求雙曲線的漸近線方程的方法答案 A 解題心得求雙曲線的漸近線方程的方法 考向2求雙曲線的離心率 答案 B 解題心得求雙曲線離心率的值或取值范圍的方法(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)求解.解題心得求雙曲線離心率的值或取值范圍的方法(2)列出含有a,b,c的齊次方程(或不等式),借助b2=c2-a2消去b,然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(或不等式)求解.答案 A 考向3與雙曲線有關(guān)的取值范圍問題 答案 A 解題心得與雙曲線有關(guān)的取值范圍問題的解題思路(1)若條件中存在不等關(guān)系,則借助此關(guān)系直接轉(zhuǎn)化為不等式求解.(2)若條件中沒有明顯的不等關(guān)系,則要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系來解決.答案 (0,2) 考點(diǎn)4雙曲線與圓的綜合問題答案 A 答案 A 因