1、 已知二維隨機(jī)變量( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 為已知的二元函數(shù),求 Z = g( X ,Y )的概率分布轉(zhuǎn)化為( X ,Y )的事件第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問(wèn)題方法一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的分布律為則Z=g(X,Y)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布律為一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例l.已知（X，Y）的分布律為1/41/821/121/2401/31/6-11-1X Y試分別求的分布律解: 由（X，Y）的分布律可得：1-10-1-1-1Z322101-1Z2311-10-2Z11/41/81/121/

2、241/31/6概率從而得Z1,Z2,Z3的分布律分別為Z1-2-1013P1/61/241/35/241/4Z2-1012P1/61/245/123/8Z3-101P2/31/121/4一般方法：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為z=g(x,y)是二元連續(xù)函數(shù)，則Z=g(X,Y)是一維連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為其概率密度為二、二維連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布幾個(gè)常用函數(shù)的分布1.和的分布(X,Y)的概率密度為f (x,y), Z=X+Y,則xyox +y= z令y= v x ，則用換元法，固定z,x，對(duì)積分所以 由X與Y的對(duì)稱性，得Z=X+Y的概率密度的另一個(gè)形式：若X和Y相互獨(dú)立，則

3、稱此兩式為卷積公式，記為例.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求Z=X+Y的概率密度.解法（一般方法）xyoxyo于是所以解法（公式法）非零所以例3.設(shè)隨機(jī)變量X在(-1,1)上服從均勻分布，隨機(jī)變量Y的概率密度為 且X 和Y相互獨(dú)立，求Z=X+Y的概率密度解：所以例4.設(shè)X 和Y相互獨(dú)立，其概率密度分別為求Z=X+Y的概率密度解法（一般法）由X 和Y相互獨(dú)立，得：xyo1xyo1z于是解法（公式法）所以由本節(jié)例3知： 若X 和Y相互獨(dú)立，且都服從正態(tài)分布N(0,1),則X+YN(0,2)一般， 有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布結(jié)論：2.M=max(X,Y)的分布若X 和Y

4、相互獨(dú)立，則若X 和Y相互獨(dú)立，則3.N=min(X,Y)的分布例5.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為求U=max(X,Y)和V=min(X,Y)的概率密度.解:xyozzxyozz所以xyozzzz所以解:根據(jù)已知條件可知：例6.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間(0,1)上服從均勻分布，隨機(jī)變量Y的概率密度為 且X 和Y相互獨(dú)立，試分別求M=max(X,Y)和N=min(X,Y)的概率密度.說(shuō)明：上述關(guān)于求隨機(jī)變量函數(shù)的分布的方法和結(jié)論可推廣到n個(gè)隨機(jī)變量的情形例7.設(shè)系統(tǒng)裝有8個(gè)相同型號(hào)的元件且這些元件各自損壞與否相互獨(dú)立，這8個(gè)元件的使用壽命（以小時(shí)計(jì)）具有相同的概率密度試求（1）這系統(tǒng)內(nèi)8個(gè)元件在150小時(shí)內(nèi)無(wú)一損壞的概率 （2）這系統(tǒng)內(nèi)8個(gè)元件在150小時(shí)內(nèi)全部損壞的概率解:設(shè)8個(gè)元件的使用壽命分別為 X1, X2, ，X8 ，則 X1, X2, ，X8 相互獨(dú)立，且分布函數(shù)都為（1）事件“這系統(tǒng)內(nèi)8個(gè)元件在150小時(shí)內(nèi)無(wú)一損壞”等價(jià)于（2）事件“這系統(tǒng)內(nèi)8個(gè)元件在150小時(shí)內(nèi)全部損壞”等價(jià)于4.要會(huì)求二維隨機(jī)變量的三個(gè)常用函數(shù)Z=X+Y、 M=max(X,Y)和N=min(X,Y)的分布.第三章 小 結(jié)1. 給出了二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義及性質(zhì)。2. 給出了二維隨機(jī)變量的