1、卡爾曼濾波是一種最優(yōu)估計技術(shù)。工程中，為了了解工程對象（濾波中稱為系統(tǒng)）的各個物理量（濾波中稱為狀態(tài)）的確切數(shù)值，或為了達到對工程對象進行控制的目的，必須利用測量手段對系統(tǒng)的各個狀態(tài)進行測量。但是，測量值可能僅是系統(tǒng)的部分狀態(tài)或是部分狀態(tài)的線性組合，且量測值中有隨機誤差（常稱為量測噪聲）。最優(yōu)估計就是針對上述問題的一種解決方法。最優(yōu)估計能將僅與部分狀態(tài)有關(guān)的測量進行處理，得出從某種統(tǒng)計意義上講誤差最小的更多狀態(tài)的估值。誤差最小的標準常稱為估計準則，根據(jù)不同的的估計準則和估計計算方法，有各種不同的最優(yōu)估計，卡爾曼濾波是一種遞推線性最小方差估計。下圖為卡爾曼濾波器的模型，描述了各個變量之間的聯(lián)系和

2、在不同的時間步中所作的轉(zhuǎn)化。圖2-2卡爾曼濾波器的模型在圖2-2中，圓圈代表向量，方塊代表矩陣，星號代表高斯噪聲，其協(xié)方差矩陣在右下方標出1。為了方便讀者理解，引用一個例子解釋卡爾曼濾波：假設(shè)我們要研究的對象是一個房間的溫度。根據(jù)你的經(jīng)驗判斷，這個房間的溫度是恒定的，也就是下一分鐘的溫度等于現(xiàn)在這一分鐘的溫度（假設(shè)我們用一分鐘來做時間單位）。假設(shè)你對你的經(jīng)驗不是100%的相信，可能會有上下偏差幾度。我們把這些偏差看成是高斯白噪聲（WhiteGaussianNoise）,也就是這些偏差跟前后時間是沒有關(guān)系的而且符合高斯分配（GaussianDistribution）。另外，我們在房間里放一個溫度

3、計，但是這個溫度計也不準確的，測量值會比實際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。好了，現(xiàn)在對于某一分鐘我們有兩個有關(guān)于該房間的溫度值：你根據(jù)經(jīng)驗的預(yù)測值（系統(tǒng)的預(yù)測值）和溫度計的值（測量值）。下面我們要用這兩個值結(jié)合他們各自的噪聲來估算出房間的實際溫度值。假如我們要估算k時刻的是實際溫度值。首先你要根據(jù)k-1時刻的溫度值，來預(yù)測k時刻的溫度。因為你相信溫度是恒定的，所以你會得到k時刻的溫度預(yù)測值是跟k-1時刻一樣的，假設(shè)是23度，同時該值的高斯噪聲的偏差是5度（5是這樣得到的：如果k-1時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差是3,你對自己預(yù)測的不確定度是4度，他們平方相加再開方，就是5）。然后，你

4、從溫度計那里得到了k時刻的溫度值，假設(shè)是25度，同時該值的偏差是4度。由于我們用于估算k時刻的實際溫度有兩個溫度值，分別是23度和25度。究竟實際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計呢？究竟相信誰多一點，我們可以用他們的covariance來判斷。因為Kg2=52/（52+42）,所以Kg=0.78,我們可以估算出k時刻的實際溫度值是:23+0.78*（25-23）=24.56度?？梢钥闯?，因為溫度計的covariance比較小（比較相信溫度計），所以估算出的最優(yōu)溫度值偏向溫度計的值。現(xiàn)在我們已經(jīng)得到k時刻的最優(yōu)溫度值了，下一步就是要進入k+1時刻，進行新的最優(yōu)估算。到現(xiàn)在為止，好像還沒看到什

5、么自回歸的東西出現(xiàn)。在進入k+1時刻之前，我們還要算出k時刻那個最優(yōu)值（24.56度）的偏差。算法如下：（1-Kg）*52廠0.5=2.35。這里的5就是上面的k時刻你預(yù)測的那個23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進入k+1時刻以后k時刻估算出的最優(yōu)溫度值的偏差（對應(yīng)于上面的3）。就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸，從而估算出最優(yōu)的溫度值。他運行的很快，而且它只保留了上一時刻的covariance。上面的Kg，就是卡爾曼增益（KalmanGain）2。2.1.2.2濾波器特性和優(yōu)點卡爾曼濾波由于其在求解時不需要貯存大量的觀測數(shù)據(jù)，并且當?shù)玫叫碌挠^測數(shù)據(jù)時，可隨時算得新的

6、參數(shù)濾波值，便于實時地處理觀測成果，因此，卡爾曼濾波被越來越多地應(yīng)用于動態(tài)數(shù)據(jù)處理中，尤其是GPS動態(tài)數(shù)據(jù)處理、慣性導(dǎo)航等領(lǐng)域。卡爾曼濾波器是以最小均方誤差為原則的最佳線性濾波器，根據(jù)前一個估計值和最近一個觀察數(shù)據(jù)來估計信號的當前值，需要已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程和量測方程，它的解是以估計值的形式給出的。卡爾曼濾波采用實用的遞推算法,成功地將狀態(tài)變量法引入到濾波理論中來,不要求保存過去的測量數(shù)據(jù),新數(shù)據(jù)測量后,根據(jù)新的數(shù)據(jù)和前一時刻的估值,借助系統(tǒng)本身的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程,按著一套遞推公式,即可算出新的估值。在卡爾曼濾波出現(xiàn)以前，已經(jīng)建立了采用最小二乘法處理觀測數(shù)據(jù)和采用維納濾波方法處理平穩(wěn)隨機過程的濾波理

7、論。但這些濾波方法或因功能不夠，或因條件要求苛刻，而不便于實用?？柭鼮V波是在克服以往濾波方法的局限性的基礎(chǔ)上提出來的，是濾波方法的重大演進。20世紀40年代，維納假定線性濾波器的輸入為有用信號和噪聲之和，兩者均為廣義平穩(wěn)過程且知它們的二階統(tǒng)計特性，他根據(jù)最小均方誤差準則（濾波器的輸出信號與需要信號之差的均方值最?。蟮昧俗罴丫€性濾波器的參數(shù)，這種濾波器被稱為維納濾波器。它和卡爾曼濾波器都屬于自適應(yīng)濾波器?？柭鼮V波比維納濾波有以下優(yōu)點：在卡爾曼濾波中采用物理意義較為直觀的時間域語言，而在維納濾波中則采用物理意義較為間接的頻率域語言?？柭鼮V波僅需要有限時間內(nèi)的觀測數(shù)據(jù)，而維納濾波則需要用過去的半無限時間內(nèi)的全部觀測數(shù)據(jù)。卡爾曼濾波可使用比較簡單的遞推算法，而維納濾波則需要求解一個積分方程?？柭鼮V波可以推廣到非平穩(wěn)隨機過程的情況，而維納濾波只適用于平穩(wěn)隨機過程?？柭鼮V波所需數(shù)據(jù)存儲量較小，便于用計算機進行實時處理，而維納濾波的計算復(fù)雜，步驟冗長，不便于實時處理。在相同條件下，卡爾曼濾波能得出與維納濾波相同的結(jié)果。在實用上，卡爾曼濾波比維納濾波功能強，用途廣?？柭鼮V波已在航天技術(shù)、通信工程、工業(yè)控制等領(lǐng)域中得到比較廣泛的應(yīng)用。卡爾曼濾波的局限性表現(xiàn)在只能用于線性的信號過程，即狀態(tài)方程和觀測方程都是線性的隨機