1、 “平行線分線段成比例（一）”教學(xué)案例 成都市龍泉驛區(qū)第七中學(xué) 劉友才問題背景 變式教學(xué)在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的使用是常見的，其課堂實施形式較多體現(xiàn)在基本概念的變式、數(shù)學(xué)命題的變式、圖形的變式、解題的變式（如： 一題多解、一法多用、一題多變）等，顧泠沅先生提出的過程性變式與杜賓斯基（EdDubinsky）的 APOS 學(xué)習(xí)理論不謀而合，他們都認識到作為學(xué)習(xí)結(jié)果的“圖式構(gòu)建”離不開“操作和過程”這兩個重要環(huán)節(jié)，而過程性變式應(yīng)該是執(zhí)行“操作和過程”這兩個環(huán)節(jié)的有效的教學(xué)形式。內(nèi)容簡介 九年義務(wù)教育北京師大版8年級下相似圖形一章是初中幾何非常重要的一章，它既是“全等圖形”的深化和提高，又是進一步學(xué)習(xí)“圓”的

2、相關(guān)知識的必須的基礎(chǔ)，本章有許多探索性、實踐性、操作性的內(nèi)容。在本章中研究過程性變式具有較強的代表性和現(xiàn)實性。“平行線分線段成比例”是學(xué)生學(xué)習(xí)相似圖形特別是“相似三角形”的重要前提，“平行線分線段成比例”定理源于一個基本定理，圖形也是基于一個圖形的變式，因此，我試圖通過變式教學(xué)的引入，通過對一個基本圖形的研究解決一系列變式圖形的問題，突破這些教與學(xué)障礙，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。 三、過程性變式在“平行線分線段成比例”教學(xué)過程 （一）基本圖形的確立和猜想的獲得 特殊圖形的觀察與測量 1. 在練習(xí)本上畫出兩條平行線 l1、l3，以及第三條直線 a 與這兩條平行線相交于點 A 和 C， 過 AC 的

3、中點 B 作 l1的平行線 l2，則 ，請再任作一條直線 b 與這三條平行線分別相交于 D、E、F。（如圖一）學(xué)生在測量的基礎(chǔ)上求出 的值為：1，097，101 .等，大都很接近1。初步得到： （圖一）（圖二）（圖三） 2、改變 B 點的位置，使得，重復(fù)上述操作過程。（如圖二） 學(xué)生在測量的基礎(chǔ)上求出的值為：049，052，052，05 等，大都很接近 。也得到： 基本圖形的確立和猜想的獲得 3、若點 B 是線段 AC 上的任意點，還成立嗎？（如圖三） 學(xué)生通過測量和計算，猜想在 l1，l2和 l3平行的條件下，仍有，而與 B 點的位置無關(guān)。 4、教師幾何畫板演示：移動直線 l2或者直線 b（

4、如下圖） 同學(xué)們通過觀察發(fā)現(xiàn)這些線短的長度一直在變，但是與 始終是相等的，得到如下猜想：當(dāng) l12l3時， 成立。 （二）體現(xiàn)化歸思想的證明 體現(xiàn)化歸思想的證明（師生共同完成） 對應(yīng)線段的理解 師：除了這四條線段成比例，你還有其他成比例的線段嗎？ 師：同學(xué)可以看到直線 a 和 b 被三條平行線截得的線段就這四條嗎？還有其它嗎？還有什么？ 生：還有 AC 和 DF。 師：那你猜想一下還能是否有其他成比例的線段。 生： ， 生：師：將比例式中的分子分母互換位置，結(jié)論還成立嗎？ 生：成立。 板書： ， ， ， ， 師：你能給出證明嗎？用剛剛的方法，可以把轉(zhuǎn)化成哪兩個面積之比？ 生：三角形 ABE 和

5、三角形 ACE 的面積比。 師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了，我還可以把這兩個比倒過來寫，結(jié)論那么多，你們看一看這里 AB 始終對應(yīng)著誰？ 生：DE。 師：BC 呢？ 生：EF。 師：AC 呢？ 生：DF。 師：不管怎么比，怎么寫，它始終保持著線段之間的對應(yīng)，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的平行線 分線段成比例定理。那么你能用文字語言來概括描述一下嗎？ 師：結(jié)論是什么？我把這么多比全都寫下來嗎？ 生：是對應(yīng)線段成比例 師：非常好，這就是我們今天要學(xué)的平行線分線段成比例定理： 兩條直線被三條平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例。 鞏固練習(xí)：已知l12l3與 a、b 分別相交與 A，B，C 及 D、E、F，AB2，BC3，DF

6、75， 求 DE 和 EF。 （三）從基本圖形的變異到教學(xué)意義的構(gòu)建 學(xué)生操作-變式圖形的獲得 教師設(shè)問：保持 l1、l2、l3互相平行，而直線 a、b 始終與它們相交，你們自己畫畫看有沒有什么新的圖形產(chǎn)生？圖畫得越多越好?。◤娬{(diào)前提，教師巡視） 學(xué)生活動：操作畫圖 展示學(xué)生畫圖結(jié)果： 教學(xué)協(xié)助-教學(xué)意義的構(gòu)建 教師設(shè)問：在這些圖形中剛剛的結(jié)論還成立嗎？ 生：應(yīng)該是成立的吧？ 師：請你比較一下你們所畫的圖形與平行線分線段成比例定理的圖形的異同。 學(xué)生交流與討論后發(fā)現(xiàn)只不過是兩條直線的交點的位置不同而已。 教師進一步梳理總結(jié)： 小結(jié)與鞏固-變式的深化 平行線分線段成比例定理 相對應(yīng)的基本圖形 練

7、習(xí)：1、如圖已知點 E 是平行四邊形 ABCD 的邊 AB 的延長線上一點，DE 交 BC 于點 F，EF3，BF2 。求 DF、BC 的長。 2、ABC中，DEBC，DFAB，已知AE=5,BE=3.若BC=16，求FC的長 四、課后簡評與反饋 學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)的困難是他們很難在復(fù)雜的背景中找到有用的對象。他們對定理的理 解只停留在靠平移得到的幾種特殊圖形上，而并沒有意識到圖形的本質(zhì)結(jié)構(gòu)。 針對上述情況，在設(shè)計中當(dāng)基本定理得出后，由學(xué)生放手畫出各種變式 圖形，對于圖形的變化不再強調(diào)“平移”，而通過比較所畫圖形與基本圖形的異同揭示這些圖形的本質(zhì)聯(lián)系：這些圖形雖然不同，而究其實質(zhì)還是三條平行線截兩條

8、直線的問題。把本節(jié)相關(guān)的其他三個定理或推論作為基本定理的特例整體把握，不特意作為定理的形式出現(xiàn)。 通過教學(xué)可以看出，學(xué)生對定理的條件、 結(jié)論區(qū)分得比較清楚，并且多數(shù)學(xué)生都能畫出各種變式圖形并發(fā)現(xiàn)它們與基本圖形之間的一些聯(lián)系，學(xué)生能較好的完成了課堂練習(xí)。 五、結(jié)果與反思 過程性變式通過反映知識的演變過程來揭示它們之間的本質(zhì)聯(lián)系，利用適當(dāng)?shù)倪^程性變式，可以幫助學(xué)生體驗新知識是如何從已有的知識逐漸演變和發(fā)展而來的。但變式教學(xué)要從深層次上挖掘其教學(xué)意義，不能變成數(shù)學(xué)問題或幾何圖形的看似絢爛的“萬花筒”， 成為“為變而變”的機械操作。對于本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，如果教師只是通過多媒體的操作，演示那些變式圖形的

9、來歷，學(xué)生也許清楚了圖形之間的關(guān)系，但不易發(fā)現(xiàn)藏匿于圖形之下的知識本身的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，或者不易看出這些以命題的形式給出的知識之間的關(guān)系。 事實上，可以從以下幾個維度來觀察變異圖形的獲得：（1）被截直線的位置關(guān)系：相交或平行；（2）三條平行線的位置關(guān)系：等距或非等距；（3）被截直線的交點與三平行線之間的位置關(guān)系：交點在三條平行線的上（下）方；交點在第一或第三條平行線上；交點在任兩條平行線之間。變式圖形由學(xué)生自己根據(jù)要求畫出，學(xué)生動手操作、體驗變式圖形的獲得過程，從而真正懂得了這些變式圖形之間不僅僅只是形式上的變化，而在本質(zhì)上是一致的，因此，從平行線分線段成比例得到的相關(guān)推論是很自然的，甚至是不需證明的，只要給學(xué)生