1、第十一次課(二元關(guān)系運算與函數(shù))解讀第十一次課(二元關(guān)系運算與函數(shù))解讀如果在關(guān)系R和S中各有一個有序?qū)Γ?且 ，則 是關(guān)系 的元素。而且 包含全部這樣的有序?qū)Α?第三章 - 二元關(guān)系9/9/20222Hongzhi Qiao, XiDian Univ.如果在關(guān)系R和S中各有一個有序?qū)?，?第三章 - 因為 且 ，故 。雖有 ，但不存在y使 ，故沒有y使 。也沒有x使第三章 - 二元關(guān)系9/9/20223Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 因為 且 例1 設(shè)集合A上的關(guān)系R為第三章 - 二元關(guān)系9/9/20224Hongzhi Qiao, XiDian Univ.例1 設(shè)集

2、合A上的關(guān)系R為第三章 - 二元關(guān)系9/4/例2 設(shè)集合N上的關(guān)系R和S為第三章 - 二元關(guān)系9/9/20225Hongzhi Qiao, XiDian Univ.例2 設(shè)集合N上的關(guān)系R和S為第三章 - 二元關(guān)系9 在實際問題中，我們感興趣的往往不是一般的關(guān)系，而是具有某些特殊性質(zhì)的關(guān)系。為了更好的處理這些關(guān)系，有必要深入研究關(guān)系的性質(zhì)。對A上的關(guān)系來說，主要的性質(zhì)有：自反性、非自反性、對稱性、反對稱性、傳遞性。 第三章 - 二元關(guān)系9/9/20226Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 在實際問題中，我們感興趣的往往不是一般的關(guān)系，而 對A上的關(guān)系R，若對任意的 都有 ，則

3、稱R為A上自反的關(guān)系；若對任意的 都有 ，則稱R為A上非自反的關(guān)系 這個定義也可以寫成：在A上是自反的 在A上是非自反的 第三章 - 二元關(guān)系9/9/20227Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 對A上的關(guān)系R，若對任意的 都 如果R是A上自反的， 則關(guān)系矩陣M(R)的主對角線元素都是1（即 都1），關(guān)系圖G(R)的每個頂點都有自圈。 如果R是A上非自反的， 則M(R)的主對角線元素都是0，G(R)的每個頂點都沒有自圈。 第三章 - 二元關(guān)系9/9/20228Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 如果R是A上自反的，第三章 - 二元關(guān)系9/ 例1 在非空集合A

4、上的恒等關(guān)系 和全關(guān)系 都是自反的 。 例2 在非空集合A上的空關(guān)系 是非自反的。在集合N上的小于關(guān)系 是非自反的。 第三章 - 二元關(guān)系9/9/20229Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 例1 在非空集合A上的恒等關(guān)系 和全 例3 在集合 上的關(guān)系 不是自反的，也不是非自反的。 但是在非空集合A上，不存在一個關(guān)系，它是自反的又是非自反的。第三章 - 二元關(guān)系9/9/202210Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 例3 在集合 設(shè) R 為集合 A 上的關(guān)系 ，對任意的 ，若 ，則稱 R 為 A 上對稱的關(guān)系；若 ，則稱R為A上反對稱的關(guān)系。這個定義也可以寫

5、成R在A上是對稱的 R在A上是反對稱的 第三章 - 二元關(guān)系9/9/202211Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 設(shè) R 為集合 A 上的關(guān)系 ，對任意的 反對稱性的另一種等價的定義為R在A上是反對稱的 如果R是A上對稱的，則M(R)是對稱矩陣(對任意的i和j， ) G(R)中任意兩個頂點之間或者沒有有向邊，或者互有有向邊 和 （不會只有 沒有 ）。如果R是A上反對稱的，則M(R)是反對稱矩陣的（對任意的 ，若 則 ），G(R)中任意兩個頂點之間或者沒有有向邊，或者僅有一條有向邊（不會同時有 和 ）。第三章 - 二元關(guān)系9/9/202212Hongzhi Qiao, XiD

6、ian Univ.反對稱性的另一種等價的定義為R在A上是反對稱的 如 例4 在非空集合 A 上的全關(guān)系是對稱的 ，不是反對稱的。 例5 在 上的整除關(guān)系、小于等于關(guān)系、小于關(guān)系都是反對稱的，且不是對稱的。 例6 在非空集合 A 上的恒等關(guān)系和空關(guān)系都是對稱的，也都是反對稱的。 第三章 - 二元關(guān)系9/9/202213Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 例4 在非空集合 A 上的全關(guān)系是對稱的 ，不例7 在集合 上的關(guān)系 不是對稱的，也不是反對稱的。 例6和例7說明，對稱性和反對稱性既可以同時滿足，也可以都不滿足。第三章 - 二元關(guān)系9/9/202214Hongzhi Qiao

7、, XiDian Univ.例7 在集合 上的關(guān)系 設(shè) R 為集合 A 上的關(guān)系，對任意的 ，若 ，則稱R為A上傳遞的關(guān)系；這個定義也可以寫成R在A上是傳遞的 第三章 - 二元關(guān)系9/9/202215Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 設(shè) R 為集合 A 上的關(guān)系，對任意的 例8 在集合 A 上 的 全關(guān)系 、恒等關(guān)系 、空關(guān)系都是傳遞的。 在 上的整除關(guān)系、小于等于關(guān)系、小于關(guān)系都是傳遞的。 例9 在集合 上的關(guān)系 不是傳遞的關(guān)系，因為 ， ，但是 。第三章 - 二元關(guān)系9/9/202216Hongzhi Qiao, XiDian Univ.例8 在集合 A 上 的 全關(guān)系

8、 、恒等關(guān)系 、空關(guān)系都是第三章 - 二元關(guān)系9/9/202217Hongzhi Qiao, XiDian Univ.第三章 - 二元關(guān)系9/4/202219Hongzhi 第四章 - 函數(shù) 數(shù)學(xué)的進(jìn)步及其活力總是依賴于抽象對具體的幫助以及具體對抽象的哺育。- M. Kac函數(shù)是一個基本的數(shù)學(xué)概念。通常的實函數(shù)是在實數(shù)集合上討論的。這里推廣了實函數(shù)概念，討論在任意集合上的函數(shù)。9/9/202218Hongzhi Qiao, XiDian Univ.第四章 - 函數(shù) 數(shù)學(xué)的進(jìn)步及其活 函數(shù)定義函數(shù)建立了從一個集合到另一個集合的一種變換關(guān)系，計算機(jī)執(zhí)行任何類型的程序就是這樣一種變換。 例如編譯程序

9、可以把一個源程序變換成一個機(jī)器語言的指令集合-目標(biāo)程序。第四章 - 函數(shù) 9/9/202219Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 函數(shù)定義函數(shù)建立了從一個集合到另一個集合的一對集合A 到集合B 的關(guān)系 ，若滿足下列條件：(1) 對任意的 ，存在唯一的 ， 使 成立；(2) 則稱 為從A到B的函數(shù)，或稱 把A映射到B （有的書稱 為全函數(shù)、映射、變換）。第四章 - 函數(shù) 9/9/202220Hongzhi Qiao, XiDian Univ.對集合A 到集合B 的關(guān)系 ，若滿足下列條件：( 一個從A到B的函數(shù) ，可以寫成 ： 。這時若 ，則可記作 ： 或 。 函數(shù)的兩個條件可以

10、寫成(1) (2) 第四章 - 函數(shù) 9/9/202221Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 一個從A到B的函數(shù) ，可以寫成 函數(shù)的第一個條件是單值性, 定義域中任一x與B中唯一的y有關(guān)系. 因此可以用 f (x) 表示這唯一的 y. 第二個條件是A為定義域, A中任一x都與B中某個y有關(guān)系. 注意不能把單值性倒過來. 對A到B的函數(shù)f, 當(dāng)x1fy且x2fy成立時, 不一定x1=x2. 因此, 函數(shù)的逆關(guān)系不一定是函數(shù).第四章 - 函數(shù) 9/9/202222Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 函數(shù)的第一個條件是單值性, 定義域中任一x與B中唯一 如果一個關(guān)

11、系是函數(shù), 則它的關(guān)系矩陣中每行恰好有一個1, 其余為0, 它的關(guān)系圖中每個A中的頂點恰好發(fā)出一條有向邊. 另外， 是函數(shù)，稱其為空函數(shù)。第四章 - 函數(shù) 9/9/202223Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 如果一個關(guān)系是函數(shù), 則它的關(guān)系矩陣中每行恰好有一個 若函數(shù) f 和函數(shù) g 相等，那么它們的定義域和值域分別相等，即do m (f) = d o m (g)，r a n (f) = r a n (g)，而且對任意的x do m (f) = do m (g)，都有f (x)=g (x)。第四章 - 函數(shù) 9/9/202224Hongzhi Qiao, XiDian U

12、niv. 若函數(shù) f 和函數(shù) g 相等，那么它們的定義域和值域例1: 對實數(shù)集 R , R 上的關(guān)系 f 為 f = | y = x3 f 是從 R 到 R 的函數(shù), 記作 f: RR , 并記作f:|x3 或 f (x) = x3.第四章 - 函數(shù) 9/9/202225Hongzhi Qiao, XiDian Univ.例1: 對實數(shù)集 R , R 上的關(guān)系 f 為 例2: 集合 A = 1, 2, 3 上 的 兩個關(guān)系g=, 和 h=,都不是從A到A的函數(shù).因為 g 沒有單值性, 即 g 且 有 g , 而對關(guān)系 h , do m (h) = 1,2 A. 但是, h 是從1,2到A的函數(shù)

13、. 第四章 - 函數(shù) 9/9/202226Hongzhi Qiao, XiDian Univ. 例2: 集合 A = 1, 2, 3 上 判別下列關(guān)系中哪個能構(gòu)成函數(shù)：（1） 因為x1不能取定義域中所有的值，且x1對應(yīng)很多x2，故這個關(guān)系不能構(gòu)成函數(shù)。（2） 因為一個y1對應(yīng)兩個y2，也不是函數(shù)。（3） 能夠成為函數(shù)。第四章 - 函數(shù) 9/9/202227Hongzhi Qiao, XiDian Univ.判別下列關(guān)系中哪個能構(gòu)成函數(shù)：（1） （從A到B的所有函數(shù)的集合AB） 對集合A和B，從A到B的所有函數(shù)的集合記為AB（有的書記為BA）。于是 第四章 - 函數(shù) 9/9/202228Hongzhi Qiao, XiDian Univ.（從A到B的所有函數(shù)的集合AB） 對集合A和B，從A到B的所例3: 對A=1,2,3, B= a , b. 從A到B的函數(shù)有八個: f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,f8=,于是 AB=f1,f2,f3,f8第四章 - 函數(shù) 9/9/202229Hongzhi Qiao, XiDian Univ.例3: 對A=1,2,3, B= a , b. 從A 若A和B是有限集合，|A|=m, |B|=n, 則|AB|= n m . 從 到