1、PAGE PAGE - 10 -20122年高中中數(shù)學(xué)競(jìng)競(jìng)賽培訓(xùn)訓(xùn)專題66整數(shù)的的整除性性1整數(shù)的的整除性性的有關(guān)關(guān)概念、性質(zhì)（1）整整除的定定義：對(duì)對(duì)于兩個(gè)個(gè)整數(shù)aa、d（dd0），若若存在一一個(gè)整數(shù)數(shù)p，使使得成立立，則稱稱d整除除a，或或a被dd整除，記記作d|a。若d不能能整除aa，則記記作d a，如如2|66，4 6。（2）性性質(zhì)1)若bb|a，則則b|(-a)，且對(duì)對(duì)任意的的非零整整數(shù)m有有bm|am2)若aa|b，bb|a，則則|a|=|bb|;3)若bb|a，cc|b，則則c|aa4)若bb|acc，而（aa，b）=1（aa，b）=1表示示a、bb互質(zhì)，則則b|cc；5）若bb

2、|acc，而bb為質(zhì)數(shù)數(shù)，則bb|a，或或b|cc；6）若cc|a，cc|b，則則c|（mma+nnb），其其中m、n為任任意整數(shù)數(shù)（這一一性質(zhì)還還可以推推廣到更更多項(xiàng)的的和）例1 （119877年北京京初二數(shù)數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽題）xx，y，zz均為整整數(shù)，若若11（7xx+2yy-5zz），求求證：111（33x-77y+112z）。證明44(3xx-7yy+122z)+3(77x+22y-55z)=11(3x-2y+3z)而 111111(3xx-2yy+3zz),且且 111(7x+2y-5z),11144(3xx-7yy+122z)又又(111,4)=1 111(3x-7y+12zz).2.整

3、除除性問題題的證明明方法(1)利用數(shù)數(shù)的整除除性特征征（見第第二講）例2（119800年加拿拿大競(jìng)賽賽題）設(shè)設(shè)72的值。解72=899，且（88，9）=1，所所以只需需討論88、9都都整除的的值。若8，則則8，由由除法可可得。若9，則則9（aa+6+7+99+2），得得a=33。（2）利利用連續(xù)續(xù)整數(shù)之之積的性性質(zhì) 任任意兩個(gè)個(gè)連續(xù)整整數(shù)之積積必定是是一個(gè)奇奇數(shù)與一一個(gè)偶數(shù)數(shù)之一積積，因此此一定可可被2整整除。 任任意三個(gè)個(gè)連續(xù)整整數(shù)之中中至少有有一個(gè)偶偶數(shù)且至至少有一一個(gè)是33的倍數(shù)數(shù)，所以以它們之之積一定定可以被被2整除除，也可可被3整整除，所所以也可可以被223=6整除除。這個(gè)性質(zhì)質(zhì)可以

4、推推廣到任任意個(gè)整整數(shù)連續(xù)續(xù)之積。例3（119566年北京京競(jìng)賽題題）證明明：對(duì)任任何整數(shù)數(shù)n都為為整數(shù)，且且用3除除時(shí)余22。證明為連續(xù)續(xù)二整數(shù)數(shù)的積,必可被被2整除除.對(duì)任何何整數(shù)nn均為整整數(shù),為整數(shù)數(shù),即原原式為整整數(shù).又，2n、22n+11、2nn+2為為三個(gè)連連續(xù)整數(shù)數(shù)，其積積必是33的倍數(shù)數(shù)，而22與3互互質(zhì)，是能被被3整除除的整數(shù)數(shù).故被3除除時(shí)余22.例4 一整整數(shù)a若若不能被被2和33整除，則則a2+233必能被被24整整除.證明 a22+233=（aa2-1）+24，只只需證aa2-1可可以被224整除除即可.2 .a為為奇數(shù).設(shè)a=2k+1(kk為整數(shù)數(shù)),則a2-1=

5、(2k+1)22-1=4k22+4kk=4kk(k+1).k、kk+1為為二個(gè)連連續(xù)整數(shù)數(shù)，故kk（k+1）必必能被22整除，8|44k（kk+1），即即8|（aa2-1）.又（aa-1），aa，（aa+1）為為三個(gè)連連續(xù)整數(shù)數(shù)，其積積必被33整除，即即3|aa（a-1）（aa+1）=a（aa2-1），3 a，3|（aa2-1）.3與88互質(zhì), 224|(a2-1),即aa2+233能被224整除除.(3)利利用整數(shù)數(shù)的奇偶偶性下面我們們應(yīng)用第第三講介介紹的整整數(shù)奇偶偶性的有有關(guān)知識(shí)識(shí)來解幾幾個(gè)整數(shù)數(shù)問題.例5求證證:不存存在這樣樣的整數(shù)數(shù)a、bb、c、d使：abcdd-a= aabcdd-b

6、= abcdd-c= aabcdd-d= 證明 由，aa（bccd-11）=.右端是是奇數(shù)，左端aa為奇數(shù)數(shù)，bccd-11為奇數(shù)數(shù).同理,由由、知知b、cc、d必必為奇數(shù)數(shù)，那么么bcdd為奇數(shù)數(shù)，bccd-11必為偶偶數(shù)，則則a（bbcd-1）必必為偶數(shù)數(shù)，與式右端端為奇數(shù)數(shù)矛盾.所以命命題得證證.例6 (119855年合肥肥初中數(shù)數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽題)設(shè)設(shè)有n個(gè)個(gè)實(shí)數(shù)xx1,x2,，xxn，其中中每一個(gè)個(gè)不是+1就是是-1，且試證nn是4的的倍數(shù).證明 設(shè) (ii=1,2,，n-1)，則yi不不是+11就是-1，但但y1+y2+yn=0，故故其中+1與-1的個(gè)個(gè)數(shù)相同同，設(shè)為為k，于于是n=2k

7、.又y11y2y3yn=1，即即（-11）k=1，故故k為偶偶數(shù)，n是44的倍數(shù)數(shù).其他方法法：整數(shù)a整整除整數(shù)數(shù)b，即即b含有有因子aa.這樣樣,要證證明a整整除b,采用各各種公式式和變形形手段從從b中分分解出因因子a就就成了一一條極自自然的思思路.例7(美國(guó)國(guó)第4屆屆數(shù)學(xué)邀邀請(qǐng)賽題題)使nn3+1000能被被n+110整除除的正整整數(shù)n的的最大值值是多少少?解n3+1000=(nn+100)(nn2-100n+1100)-9000.若n+1100能能被n+10整整除,則則9000也能被被n+110整除除.而且且,當(dāng)nn+100的值為為最大時(shí)時(shí),相應(yīng)應(yīng)地n的的值為最最大.因因?yàn)?000的最最

8、大因子子是9000.所所以,nn+100=9000,nn=8990.例8 (上上海19989年年高二數(shù)數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽)設(shè)aa、b、c為滿滿足不等等式1abbc的的整數(shù)，且且（abb-1）（bbc-11）（cca-11）能被被abcc整除，求求所有可可能數(shù)組組（a，bb，c）.解 （abb-1）（bbc-11）（cca-11）=aa2b2c2-abbc（aa+b+c）+ab+ac+bc-1，abcc|（aab-11）（bbc-11）（cca-11）.存在正正整數(shù)kk,使ab+aac+bbc-11=kaabc, k=k=1.若a33，此時(shí)時(shí)1=-矛盾.已知a1. 只有aa=2.當(dāng)a=2時(shí)，代代入中中得

9、2bb+2cc-1=bc，即 1=0b44，知bb=3，從從而易得得c=55. 說明：在在此例中中通過對(duì)對(duì)因數(shù)kk的范圍圍討論，從從而逐步步確定aa、b、c是一一項(xiàng)重要要解題技技巧.例9（19987年年全國(guó)初初中聯(lián)賽賽題）已已知存在在整數(shù)nn，能使使數(shù)被119877整除.求證數(shù)數(shù)，都能被119877整除. 證明（1003n+），且且能被119877整除，p能被被19887整除除.同樣，qq=（）且故、1002（nn+1）、被除，余數(shù)分別為1000，100，10，于是q表示式中括號(hào)內(nèi)的數(shù)被除，余數(shù)為1987，它可被1987整除，所以括號(hào)內(nèi)的數(shù)能被1987整除，即q能被1987整除.練習(xí)1選擇題題

10、（1）（119877年上海海初中數(shù)數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽題）若若數(shù)n=20304050607080901000111011201300，則不不是n的的因數(shù)的的最小質(zhì)質(zhì)數(shù)是（ ）.（A）119 （B）117 （C）113 （D）非非上述答答案（2）在在整數(shù)00、1、2、8、99中質(zhì)數(shù)數(shù)有x個(gè)個(gè)，偶數(shù)數(shù)有y個(gè)個(gè)，完全全平方數(shù)數(shù)有z個(gè)個(gè)，則xx+y+z等于于（ ）.（A）114 （B）113 （C）112 （D）111 （E）110（3）可可除盡3311+5518的最最小整數(shù)數(shù)是（ ）.（A）22 （BB）3 （CC）5 （DD）3111+5518（EE）以上上都不是是2 填空題題（1）（119733年加拿拿大

11、數(shù)學(xué)學(xué)競(jìng)賽題題）把11000000表表示為兩兩個(gè)整數(shù)數(shù)的乘積積，使其其中沒有有一個(gè)是是10的的整倍數(shù)數(shù)的表達(dá)達(dá)式為_.(2) 一個(gè)自自然數(shù)與與3的和和是5的的倍數(shù),與3的的差是66的倍數(shù)數(shù),這樣樣的自然然數(shù)中最最小的是是_.(3) (19989年年全國(guó)初初中聯(lián)賽賽題)在在十進(jìn)制制中,各各位數(shù)碼碼是0或或1,并并且能被被2255整除的的最小自自然數(shù)是是_.3.求使使為整數(shù)數(shù)的最小小自然數(shù)數(shù)a的值值.4.(119711年加拿拿大數(shù)學(xué)學(xué)競(jìng)賽題題)證明明:對(duì)一一切整數(shù)數(shù)n,nn2+2nn+122不是1121的的倍數(shù).5.(119844年韶關(guān)關(guān)初二數(shù)數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽題)設(shè)設(shè)是一個(gè)個(gè)四位正正整數(shù),已知三三位正整

12、整數(shù)與2246的的和是一一位正整整數(shù)d的的1111倍,又又是188的倍數(shù)數(shù).求出出這個(gè)四四位數(shù),并寫出出推理運(yùn)運(yùn)算過程程.6.(119544年蘇聯(lián)聯(lián)數(shù)學(xué)競(jìng)競(jìng)賽題)能否有有正整數(shù)數(shù)m、nn滿足方方程m22+19954=n2.7.證明明：（11）1333|（111n+2+112n+1），其其中n為為非負(fù)整整數(shù).(2)若若將(11)中的的11改改為任意意一個(gè)正正整數(shù)aa,則(1)中中的122,1333將作作何改動(dòng)動(dòng)?證明明改動(dòng)后后的結(jié)論論.8.(119866年全國(guó)國(guó)初中數(shù)數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽題)設(shè)設(shè)a、bb、c是是三個(gè)互互不相等等的正整整數(shù).求求證:在在a3b-aab3,b3c-bbc3,c3a-cca3三個(gè)數(shù)數(shù)中,至至少有一一個(gè)能被被10整整除.9.(119866年上海海初中數(shù)數(shù)學(xué)競(jìng)賽賽題)1100個(gè)個(gè)正整數(shù)數(shù)之和為為10111011,則它它們的最最大公約約數(shù)的最最大可能能值是多多少?證證明你的的結(jié)論.練習(xí)答答案（）（）由220000a為一一整數(shù)平平方可推推出a=5反證證法若若是的倍倍數(shù)，設(shè)設(shè)（）（）是素?cái)?shù)且除盡（），除除盡除盡（）或，不可能由是是的倍倍，可能能是，；又是的倍倍數(shù)，只能是是而，是（）（）第第一項(xiàng)可可被整除除又，（）改為為改為為，改為為（）改改動(dòng)后命命題為（）（），可仿上證明（）；同同理有（）；（）若若a