1、學號：課程設計題 目Matlab課程設計利用MATLAB結合雙線性變換法設計一個數(shù)字切比雪夫帶通IIR濾波器學 院信息工程學院專 業(yè)通信工程班 級通信0906姓 名 指導教師 尹 勇2011 年 年 11月月30日日課程設計任務書學生姓名： 王紅琛 專業(yè)班級： 通信0906 指導教師： 尹 勇 工作單位： 信息工程學院 題 目: 利用MATLAB仿真軟件系統(tǒng)結合雙線性變換法設計一個數(shù)字切比雪夫帶通IIR濾波器。初始條件：1 MATLAB編程的基礎知識2信號與系統(tǒng)濾波器的相關知識3數(shù)字信號處理的相關知識要求完成的主要任務:1方案的理論設計2方案的安裝、調試3設計報告的撰寫參考書目:5時間安排：第

2、1周，安排任務（鑒主15樓實驗室）第1-17周，仿真設計（鑒主13樓計算機實驗室）第18周，完成（答辯，提交報告，演示）指導教師簽名： 2010 年 1月 日系主任（或責任教師）簽名： 2010 年 1月 日目錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc20860 摘 要 PAGEREF _Toc20860 II HYPERLINK l _Toc711 Abstract PAGEREF _Toc711 III HYPERLINK l _Toc25017 1 數(shù)字濾波器 PAGEREF _Toc25017 1 HYPERLINK l _Toc21465 1.1 數(shù)字濾波器

3、介紹 PAGEREF _Toc21465 1 HYPERLINK l _Toc23108 1.2 IIR數(shù)字濾波器 PAGEREF _Toc23108 1 HYPERLINK l _Toc21392 1.2.1 IIR數(shù)字濾波器的特點 PAGEREF _Toc21392 2 HYPERLINK l _Toc6456 1.2.2 IIR數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器的區(qū)別 PAGEREF _Toc6456 2 HYPERLINK l _Toc28171 2切比雪夫濾波器 PAGEREF _Toc28171 4 HYPERLINK l _Toc3804 PAGEREF _Toc3804 4 HYPE

4、RLINK l _Toc23675 2.2切比雪夫濾波器的種類 PAGEREF _Toc23675 4 HYPERLINK l _Toc31134 PAGEREF _Toc31134 5 HYPERLINK l _Toc3489 3雙線性變換法 PAGEREF _Toc3489 8 HYPERLINK l _Toc22270 4 IIR數(shù)字濾波器設計原理與方法 PAGEREF _Toc22270 12 HYPERLINK l _Toc21414 4.1 IIR數(shù)字濾波器設計原理 PAGEREF _Toc21414 12 HYPERLINK l _Toc22688 4.2 IIR 數(shù)字濾波器設計

5、的基本方法 PAGEREF _Toc22688 14 HYPERLINK l _Toc2383 5 IIR帶通濾波器的MATLAB 設計 PAGEREF _Toc2383 16 HYPERLINK l _Toc26397 5.1 IIR帶通濾波器的設計步驟 PAGEREF _Toc26397 17 HYPERLINK l _Toc12815 5.2 IIR帶通濾波器設計的MATLAB程序 PAGEREF _Toc12815 18 HYPERLINK l _Toc18520 6 IIR帶通濾波器的仿真結果及波形 PAGEREF _Toc18520 23 HYPERLINK l _Toc29586

6、 7 IIR帶通濾波器的仿真結果分析 PAGEREF _Toc29586 25 HYPERLINK l _Toc27988 8 收獲體會 PAGEREF _Toc27988 27 HYPERLINK l _Toc31921 參考文獻 PAGEREF _Toc31921 28 HYPERLINK l _Toc19423 附錄 ： 原程序 PAGEREF _Toc19423 29摘 要隨著信息時代和數(shù)字世界的到來，數(shù)字信號處理已成為當今一門極其重要的學科和技術領域。目前數(shù)字信號處理在通信、語音、圖像、自動控制、雷達、軍事、航空航天、醫(yī)療和家用電器等眾多領域得到了廣泛的應用。在數(shù)字信號處理中起著重要

7、的作用并已獲得廣泛應用的是數(shù)字濾波器（DF，Digital Filter）。數(shù)字濾波器是一種用來過濾時間離散信號的數(shù)字系統(tǒng)，通過對抽樣數(shù)據(jù)進行數(shù)學處理來達到頻域濾波的目的。MATLAB是英文MATrix LABoratory(矩陣實驗室)的縮寫。它是美國的MathWorks公司推出的一套用于科學計算和圖形處理可視化、高性能語言與軟件環(huán)境。它的信號處理工具箱包含了各種經(jīng)典的和現(xiàn)代的數(shù)字信號處理技術，是一個非常優(yōu)秀的算法研究與輔助設計的工具。在設計數(shù)字濾波器時，通常采用MATLAB來進行輔助設計和仿真。 本次基礎強化訓練將完成一個數(shù)字切比雪夫帶通IIR濾波器的設計，利用雙線性變換和無限沖激響應II

8、R原理完成設計，并利用MATLAB進行仿真。關鍵字：數(shù)字信號處理 數(shù)字濾波器 切比雪夫 雙線性變換 MATLAB AbstractWith the information age and the advent of the digital world, digital signal processing has become an extremely important disciplines and technical fields. Current digital signal processing in communications, voice, image, automatic co

9、ntrol, radar, military, aerospace, medical and household appliances and many other fields has been widely used. In digital signal processing plays an important role and has been widely used in digital filters (DF, Digital Filter). Digital filter is a time discrete signal is used to filter digital sy

10、stem, through the mathematical treatment of the sample data to achieve the frequency-domain filtering purposes.MATLAB is in English MATrix LABoratory (Matrix Laboratory) acronym. It is the United States, MathWorks has introduced a set of computing and graphics processing for scientific visualization

11、, high-performance language and software environment. Its signal processing toolbox contains a variety of classic and modern digital signal processing technology, is a very good algorithm research and aided design tools. In the design of digital filters, it is usually carried out using MATLAB-aided

12、design and simulation. The basis of intensive training will be completed a number of Chebyshev band-pass IIR filter design using bilinear transform and infinite impulse response IIR principle of the completion of design and simulation using MATLAB.Keywords: Digital signal processing digital filters

13、Chebyshev bilinear transform MATLAB1 數(shù)字濾波器1.1 數(shù)字濾波器介紹 數(shù)字濾波器由數(shù)字乘法器、加法器和延時單元組成的一種算法或裝置。數(shù)字濾波器的功能是對輸入離散信號的數(shù)字代碼進行運算處理，以達到改變信號頻譜的目的。 數(shù)字濾波器是一個HYPERLINK :/baike.baidu /view/1146761.htm離散時間系統(tǒng)（按預定的算法，將輸入HYPERLINK :/baike.baidu /view/4414724.htm離散時間信號轉換為所要求的輸出離散時間信號的特定功能裝置）?；竟ぷ髟硎抢秒x散系統(tǒng)特性對系統(tǒng)輸入信號進行加工和變換,改變輸入序列

14、的頻譜或信號波形,讓有用頻率的信號分量通過,抑制無用的信號分量輸出。與模擬濾波器相比,數(shù)字濾波器除了具有數(shù)字信號處理的固有優(yōu)點外,還有濾波精度高(與系統(tǒng)字長有關)、穩(wěn)定性好(僅運行在0與l兩個電平狀態(tài))、靈活性強等優(yōu)點。應用數(shù)字濾波器處理模擬信號時，首先須對輸入模擬信號進行限帶、抽樣和模數(shù)轉換。數(shù)字濾波器輸入信號的抽樣率應大于被處理信號帶寬的兩倍，其頻率響應具有以抽樣頻率為間隔的周期重復特性，且以折疊頻率即1/2抽樣頻率點呈HYPERLINK :/baike.baidu /view/3555.htm鏡像對稱。為得到模擬信號，數(shù)字濾波器處理的輸出數(shù)字信號須經(jīng)HYPERLINK :/baike.b

15、aidu /view/873549.htm數(shù)模轉換、平滑。數(shù)字濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復用、便于集成等優(yōu)點。數(shù)字濾波器在HYPERLINK :/baike.baidu /view/158711.htm語言信號處理、圖像信號處理、醫(yī)學生物信號處理以及其他應用領域都得到了廣泛應用。 數(shù)字濾波器有低通、高通、帶通、帶阻和全通等類型。它可以是時不變的或時變的、因果的或非因果的、線性的或非線性的。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(FIR)數(shù)字濾波器。1.2 IIR數(shù)字濾波器 IIR(Infinite Impuls

16、e Response)數(shù)字濾波器，又名“無限脈沖響應數(shù)字濾波器”，或“遞歸濾波器”。遞歸濾波器，也就是IIR數(shù)字濾波器，顧名思義，具有反饋，一般認為具有無限的脈沖響應。 IIR數(shù)字濾波器的特點IIR濾波器有以下幾個特點： 1、封閉函數(shù) IIR數(shù)字濾波器的HYPERLINK :/baike.baidu /view/710031.htm系統(tǒng)函數(shù)可以寫成封閉函數(shù)的形式。 2、IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結構 IIR數(shù)字濾波器采用遞歸型結構，即結構上帶有反饋環(huán)路。IIR濾波器運算結構通常由延時、乘以系數(shù)和相加等基本運算組成，可以組合成直接型、正準型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種結構形式，都具有反饋回路。由于運算中

17、的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產生微弱的HYPERLINK :/baike.baidu /view/2027004.htm寄生振蕩。 3、借助成熟的模擬濾波器的成果IIR數(shù)字濾波器在設計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和HYPERLINK :/baike.baidu /view/3044598.htm橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設計數(shù)據(jù)或圖表可查，其設計工作量比較小，對計算工具的要求不高。在設計一個IIR數(shù)字濾波器時，我們根據(jù)指標先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉換成數(shù)字濾波器的公式。 4、需加相位校準網(wǎng)絡IIR數(shù)字濾波器的相位特性不好控制，對

18、相位要求較高時，需加相位校準網(wǎng)絡。 IIR數(shù)字濾波器與FIR數(shù)字濾波器的區(qū)別1、單位響應IIR數(shù)字濾波器單位響應為無限脈沖序列，而FIR數(shù)字濾波器單位響應為有限的；HYPERLINK :/baike.baidu /view/2908166.htmFIR濾波器，也就是“非遞歸濾波器”，沒有引入反饋。這種濾波器的HYPERLINK :/baike.baidu /view/1176449.htm脈沖響應是有限的。 2、幅頻特性IIR數(shù)字濾波器HYPERLINK :/baike.baidu /view/1962421.htm幅頻特性精度很高，不是HYPERLINK :/baike.baidu /vie

19、w/1424251.htm線性相位的，可以應用于對相位信息不敏感的音頻信號上；FIR數(shù)字濾波器的幅頻特性精度較之于IIR數(shù)字濾波器低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號經(jīng)過FIR濾波器后他們的HYPERLINK :/baike.baidu /view/208622.htm時間差不變，這是很好的性質。 3、實時信號處理FIR數(shù)字濾波器是有限的單位響應也有利于對數(shù)字信號的處理，便于編程，用于計算的時延也小，這對實時的信號處理很重要。2切比雪夫濾波器概述 目的：構造一個模擬低通濾波器。為了從模擬濾波器出發(fā)設計IIR數(shù)字濾波器，必須先設計一個滿足技術指標的模擬濾波器，亦即要把數(shù)字濾波器的指標轉換成模

20、擬濾波器的指標，因此必須先設計對應的模擬原型濾波器。 模擬濾波器的理論和設計方法己發(fā)展得相當成熟，且有一些典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些典型的濾波器各有特點。這里介紹切比雪夫濾波器。 切比雪夫濾波器是在通帶或阻帶上%3A%3F%5CC%16頻率響應幅度等波紋波動的HYPERLINK ://wiki/%0EV%22%186g濾波器。在通帶波動的為“I型切比雪夫濾波器”，在阻帶波動的為“II型切比雪夫濾波器”。切比雪夫濾波器在

21、過渡帶比HYPERLINK ://wiki/%20=%3CH%3EF;)2;%22%186g巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應的幅頻特性不如后者平坦。切比雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應曲線之間的誤差最小，但是在通頻帶內存在幅度波動。 這種濾波器來自HYPERLINK ://wiki/7!8A%19b&P%3F%5E%3A-切比雪夫多項式，因此得名，用以記念HYPERLINK ://wiki/&%5D2N;)俄羅斯數(shù)學家HYPERLINK ://w/index.php

22、?title=%20=b4Q%3CQ%11%141%22%18%3E%1C6V%11%147!8A%19b&action=edit&redlink=1巴夫尼提列波維奇切比雪夫。根據(jù)頻率響應曲線波動位置的不同，切比雪夫濾波器可以分為以下兩種： I型切比雪夫濾波器：在 HYPERLINK :/baike.baidu /view/1268982.htm t _blank 通帶（或稱“m t _blank 通頻帶”）上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器稱為“I型切比雪夫濾波器”； II型切比雪夫濾波器：在 HYPERLINK :/baike.baidu /view/3822285.htm t _blank

23、 阻帶（或稱“阻頻帶”）上頻率響應幅度等波紋波動的濾波器稱為“II型切比雪夫濾波器”。切比雪夫濾波器特點：誤差值在規(guī)定的頻段上等波紋變化。切比雪夫濾波器在過渡帶比巴特沃斯濾波器的衰減快，但頻率響應的幅頻特性不如后者平坦。切比雪夫濾波器和理想濾波器的頻率響應曲線之間的誤差最小，但是在通頻帶內存在幅度波動。 巴特沃茲濾波器在通帶內幅度特性是單調下降的，如果階次一定，則在靠近截止 處，幅度下降很多，或者說，為了使通帶內的衰減足夠小，需要的階次N很高，為了克服這一缺點，采用切比雪夫多項式來逼近所希望的 。切比雪夫濾波器的 在通帶范圍內是等幅起伏的，所以在同樣的通常內衰減要求下，其階數(shù)較巴特沃茲濾波器要

24、小。切比雪夫濾波器的振幅平方函數(shù)為 (2-1)式中c為有效通帶截止頻率，表示與通帶波紋有關的參量，值越大通帶不動愈大。VN（x）是N階切比雪夫多項式，定義為 (2-2)切比雪夫濾波器的振幅平方特性如圖所示：N為偶數(shù)，cos2( )=1，得到min， （2-3）N為奇數(shù)，cos2( ，得到max， （2-4）圖2-1 切比雪夫濾波器的振幅平方特性 有關參數(shù)的確定: a、通帶截止頻率： 預先給定;b、與通帶波紋有關的參數(shù),通帶波紋表示成 （2-5） 所以, , 給定通帶波紋值 分貝數(shù)后，可求得 。 、階數(shù)N:由阻帶的邊界條件確定。 、A2為事先給定的邊界條件,即在阻帶 中的頻率點處 ,要求濾波器頻

25、響衰減到1/A2以上。 (2-6) (2-7) (2-8) （2-9）因此，要求阻帶邊界頻率處衰減越大，要求N也越大，參數(shù)N， 給定后，查閱有關模擬濾波器手冊，就可求得系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。3雙線性變換法目的：將模擬帶通濾波器轉換成數(shù)字帶通濾波器為了克服沖激響應法可能產生的頻率響應的混疊失真，這是因為從S平面到平面是多值的映射關系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-/T/T之間，再用z=esT轉換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-/T/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。

26、這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關系如圖3-1。 圖3-1雙線性變換的映射關系為了將S平面的整個虛軸j壓縮到S1平面j1軸上的-/T到/T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn)（3-1）式中,T仍是采樣間隔。當1由-/T經(jīng)過0變化到/T時，由-經(jīng)過0變化到+，也即映射了整個j軸。將式（3-1）寫成(3-2)將此關系解析延拓到整個S平面和S1平面，令j=s，j1=s1，則得(3-3) 再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面 z=es1T從而得到S平面和Z平面的單值映射關系為：（3-4)（3-5)式（3-4）與式（3-5）是S平面與Z平

27、面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。首先,把z=ej，可得（3-6）即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將s=+j代入式（3-5），得因此（3-7）由此看出，當0時，|z|0時，|z|1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。雙線性變換法優(yōu)缺點：雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應關系

28、。S平面整個j軸單值地對應于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關系。這個關系重寫如下：（3-8）上式表明，S平面上與Z平面的成非線性的正切關系，如圖3-2所示。由圖3-2看出，在零頻率附近，模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的變換關系接近于線性關系；但當進一步增加時，增長得越來越慢，最后當時，終止在折疊頻率=處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。 圖3-2雙線性變換法的頻率變換關系 但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關系而得到的，由于這種頻率之間的非線性變換關系，就產生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到

29、非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性），不然變換所產生的數(shù)字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖3-3所示。 圖3-3雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。4 IIR數(shù)字濾波

30、器設計原理與方法4.1 IIR數(shù)字濾波器設計原理 利用HYPERLINK :/baike.baidu /view/10598.htmMATLAB信號處理HYPERLINK :/baike.baidu /view/1241761.htm工具箱中的濾波器設計和分析工具(FDATool)可以很方便地設計出符合應用要求的未經(jīng)量化的IIR數(shù)字濾波器。需要將MATLAB設計出的IIR數(shù)字濾波器進一步分解和量化，從而獲得可用FPGA實現(xiàn)的濾波器系數(shù)。 IIR數(shù)字濾波器的最通用的方法是借助于模擬濾波器的設計方法。模擬濾波器設計已經(jīng)有了相當成熟的技術和方法，有完整的設計公式，還有比較完整的圖表可以查詢，因此設計

31、數(shù)字濾波器可以充分利用這些豐富的資源來進行。 對于IIR數(shù)字濾波器的設計具體步驟如下： (1)按照一定的規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術指標轉換為模擬低通濾波器的技術指標。 (2)根據(jù)轉換后的技術指標設計模擬低通濾波器G(s)(G(s)是低通濾波器的傳遞函數(shù))。 (3)再按照一定的規(guī)則將G(s)轉換成H(z)(H(z)是數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù))。 若設計的數(shù)字濾波器是低通的，上述的過程可以結束，若設計的是高通、帶通或者是帶阻濾波器，那么還需要將高通、帶通或帶阻數(shù)字濾波器的技術指標轉換為低通模擬濾波器的技術指標，然后設計出低通G(s)，再將G(s)轉換為H(z)。IIR濾波器運算結構通常由延時、乘以系

32、數(shù)和相加等基本運算組成，可以組合成直接型、正準型、級聯(lián)型、并聯(lián)型四種結構形式，都具有反饋回路。由于運算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時會產生微弱的寄生振蕩。 IIR數(shù)字濾波器在設計上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和HYPERLINK :/baike.baidu /view/3044598.htm橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設計數(shù)據(jù)或圖表可查，其設計工作量比較小，對計算工具的要求不高。在設計一個IIR數(shù)字濾波器時，我們根據(jù)指標先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉換成數(shù)字濾波器的公式。IIR數(shù)字濾波器的相位特性不好控制，對相位要求較高時，需加相位校準網(wǎng)

33、絡。 在MATLAB下設計IIR濾波器可使用Butterworth函數(shù)設計出HYPERLINK :/baike.baidu /view/391252.htm巴特沃斯濾波器，使用Cheby1函數(shù)設計出契比雪夫I型濾波器，使用Cheby2設計出契比雪夫II型濾波器。與HYPERLINK :/baike.baidu /view/2908166.htmFIR濾波器的設計不同，IIR濾波器設計時的階數(shù)不是由設計者指定，而是根據(jù)設計者輸入的各個濾波器參數(shù)（截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等），由軟件設計出滿足這些參數(shù)的最低濾波器階數(shù)。在MATLAB下設計不同類型IIR濾波器均有與之對應的函數(shù)用于階數(shù)的選擇。

34、IIR數(shù)字濾波器是一種離散時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為 （4-1） 假設MN，當MN時,系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個IIR的子系統(tǒng)和一個(M-N)的FIR子系統(tǒng)的級聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設計實際上是求解濾波器的系數(shù)和 ，它是數(shù)學上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準則）去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。設計高通、帶通、帶阻等數(shù)字濾波器通?？梢詺w納為如圖所示的兩種常用方法。 圖4-1 數(shù)字濾波器設計的兩種方法 方法1： 首先設計一個模擬原型低通濾波器，然后通過頻率變換成所需要的模擬高通、帶通或帶阻濾波器，最后再使用沖激不變法或雙

35、線性變換成相應的數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器。方法2 ：先設計一個模擬原型低通濾波器，然后采用沖激響應不變法或雙線性變換法將它轉換成數(shù)字原型低通濾波器，最后通過頻率變換把數(shù)字原型低通濾波器變換成所需要的數(shù)字高通、帶通或帶阻濾波器。方法一的缺點是，由于產生混疊是真，因此不能用沖激不變法來變換成高通或阻帶濾波器，故一般采用第二種方法進行設計。 本課程設計先構造一個切比雪夫模擬低通濾波器，然后將模擬低通濾波器轉換成模擬帶通濾波器，最后利用雙線性變換將模擬帶通濾波器轉換成數(shù)字帶通濾波器。4.2 IIR 數(shù)字濾波器設計的基本方法IIR 數(shù)字濾波器的設計方法有兩類,一類是借助于模擬濾波器的設計方法設計出模擬

36、濾波器,利用沖激響應不變法或雙線性變換法轉換成數(shù)字濾波器,再用硬件或軟件實現(xiàn)；另一類是直接在頻域或時域中進行設計,設計時需要計算機作輔助工具。隨著MATLAB 軟件尤其是MATLAB 的信號處理工作箱的不斷完善,不僅數(shù)字濾波器的計算機輔助設計有了可能,而且還可以使設計達到最優(yōu)化。IIR 數(shù)字濾波器設計的基本步驟如下: (1) 根據(jù)任務,確定性能指標。在設計一個濾波器之前,首先根據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術指標如：邊界頻率：p ，s ，c ；阻帶最小衰減As 和通帶最大衰減Rp； (2) 將數(shù)字濾波器的技術指標轉換成模擬濾波器指標。利用沖激響應不變法與雙線性變換法進行頻率間的轉換，主要是邊界

37、頻率Wp與Ws 的轉換。 （3) 用模擬濾波器設計方法得到模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha ( s) ；可借助巴特沃斯(Butterworth) 濾波器、切比雪夫(Chebyshev) 濾波器、橢圓(Cauer) 濾波器、貝塞爾(Bessel) 濾波器等，這些濾波器都有嚴格的設計公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設計人員使用。 (4) 映射實現(xiàn)。利用雙線性變換法將模擬濾波器Ha ( s) 轉換成數(shù)字濾波器H( z ) 。 (5) 用有限精度算法實現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)H ( z ) (包括選擇運算結構、選擇合適的字長、有效數(shù)字處理方法 )。 (6) 用適當?shù)能?、硬件技術實現(xiàn)。包括采用通用計算機軟件、數(shù)字濾波器硬件或者軟

38、硬件結合，確定DF采用的結構將會影響其精度、穩(wěn)定性、經(jīng)濟性及運算速度等很多重要性質。5 IIR帶通濾波器的MATLAB 設計 根據(jù)以上IIR數(shù)字濾波器設計方法，下面運用雙線性變換法基于MATLAB設計一個IIR帶通濾波器。IIR帶通濾波器的設計框圖如下：模擬低通濾波器的設計模擬頻帶變換：低通變高通、帶通等濾波器變換：模擬變?yōu)閿?shù)字IIR濾波器圖 5-1 IIR帶通濾波器的設計框圖 設計的IIR帶通濾波器是從低通變換過來的，利用的是雙線性變換以及切比雪夫II濾波器的原型，其具體的設計流程如圖 所示。首先根據(jù)題目要求確定帶通濾波器的技術指標，先要進行頻率的預畸變，并且歸一化頻率，再設計出切比雪夫II

39、模擬低通濾波器，并求出其階數(shù)等相關參數(shù)。其次利用雙線性變換法設計數(shù)字帶通濾波器，再調用函數(shù)進行雙線性變換，并求出分子、分母的系數(shù)向量。最后通過畫圖求出其幅頻響應、相頻響應、幅度特性曲線與零極點，并畫出波形圖。最后進行驗證，看所設計的濾波器能否達到要求的指標，若能達到，則說明該濾波器設計符合要求。 開始 確定帶通濾波器的技術指標設計切比雪夫低通濾波器并求出相關參數(shù)求相應的幅頻響應與相頻響應雙線性變換：模擬低通濾波器轉化為帶通濾波器) 結束 圖5-2 IIR帶通濾波器的設計流程5.1 IIR帶通濾波器的設計步驟(1)確定性能指標；阻帶最小衰減As=40dB和通帶最大衰減Ap=1dB。(2)頻率預畸

40、變用=2/T*tan(w/2)對帶通數(shù)字濾波器H(z)的數(shù)字邊界頻率預畸變,得到帶通模擬濾波器H(s)的邊界頻率主要是通帶截止頻率Wp1,Wp2;阻帶截止頻率Ws1，Ws2的轉換。(3)模擬帶通性能指標轉換成模擬低通性能指標(4)模擬低通濾波器的構造借助切比雪夫(Chebyshev)濾波器得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)。(5)模擬低通濾波器轉換成模擬帶通濾波器 調用lp2bp函數(shù)將模擬低通濾波器轉化為模擬帶通濾波器。(6)模擬帶通濾波器轉換成數(shù)字帶通濾波器利用雙線性變換法將模擬帶通濾波器Ha(s)轉換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。(7)輸入信號檢驗濾波器性能 輸入不同頻率的正弦波，觀察輸出

41、波形，檢驗濾波器性能。5.2 IIR帶通濾波器設計的MATLAB程序（1）根據(jù)設計流程，首先確定所要設計的數(shù)字帶通濾波器的相關指標：通帶截止頻率，通帶最大衰減Rp =1dB；阻帶截止頻率ws1=0.3 和，阻帶最小衰減Rs =40dB；取樣間隔。其實現(xiàn)程序如下（程序中pi代表）：Ts = 0.1; Fs=1/Ts;取樣周期或頻率Rp = 1;通帶最大衰減Rs = 40;阻帶最小衰減wp1=0.45*pi;通帶、阻帶上、下限截止頻率wp2=0.65*pi;ws1=0.3*pi;ws2=0.75*pi;（2）頻率的預畸變。 雙線性變換中無法避免的一個問題即是頻率的非線性偏移，因為數(shù)字頻率的最大值為

42、，而模擬頻率可以向無窮延伸，兩者之間又要保持一一對應的映射關系。雙線性變換中的模擬角頻率與數(shù)字角頻率之間的關系為： (5-1)表明S平面與Z平面是單值的一一對應關系，即頻率軸是單值變換關系。雖然避免了脈沖響應不變法的頻率響應的混疊現(xiàn)象，但是經(jīng)過變換后，得到的幅頻響應特性各分段邊緣頻率不能保持原來的比例關系，必須通過預修正加以校正。做法是將數(shù)字頻率按2/T*tan(w/2)的關系，變成模擬頻率，利用這組做過修正的模擬頻率來設計模擬帶通濾波器作為模擬原型。Wp1=(2/T)*tan(wp1/2);Wp2=(2/T)*tan(wp2/2);Wp=Wp1,Wp2; 模擬濾波器的通帶截止頻率 Ws1=(

43、2/T)*tan(ws1/2);Ws2=(2/T)*tan(ws2/2);Ws=Ws1,Ws2; 模擬濾波器的阻帶截止頻率 BW=Ws2-Ws1; 模擬濾波器的帶寬 Omegaw0=sqrt(Ws1*Ws2); 模擬濾波器的中心頻率（2）設計切比雪夫模擬低通濾波器。求模擬低通濾波器的階數(shù)與邊緣頻率N,OmegaC=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s); 求切比雪夫II型模擬低通濾波器的零、極點與增益z0,p0,k0=cheb2ap(N,Rs); 利用函數(shù)N,OmegaC=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)，通過給定濾波器的技術指標Wp、Ws、Rp、Rs，求得濾波器的階數(shù)N

44、與邊緣頻率OmegaC。Wp、Ws、與OmegaC均在0,1區(qū)間歸一化，以弧度為單位。利用函數(shù)z,p,k=cheb2ap(N,Rs)，來設計一個階數(shù)為N，阻帶波動為Rs的歸一化切比雪夫II型原型濾波器，得到左半平面零極點。數(shù)組Z中返回零點，數(shù)組P中返回極點，并且返回增益K。（3）設計歸一化的模擬原型帶通濾波器：%求原型濾波器的分子系數(shù)AnalogB=k0*real(poly(z0); %求原型濾波器的分母系數(shù)AnalogA=real(poly(p0); %模擬低通到模擬帶通的分子、分母系數(shù)的變換BandB,BandA=lp2bp(AnalogB,AnalogA,Omegaw0,BW); %雙線

45、性變換：模擬帶通與數(shù)字帶通的分子分母系數(shù)的變換 DigitalB,DigitalA = bilinear(BandB,BandA,Fs)； %變?yōu)槎A節(jié)級聯(lián)結構sos,G = tf2sos(DigitalB,DigitalA); 利用函數(shù)p = poly(A)來計算模擬濾波器的分子、分母系數(shù)向量，因其為實數(shù)，因此用real函數(shù)取其實部，即可得模擬濾波器的分子、分母系數(shù)向量。這兩個函數(shù)實現(xiàn)的功能可以用函數(shù)Bs,As=zp2tf(z,p,k)直接求得傳遞函數(shù)的分子，分母系數(shù)向量。利用函數(shù)BandB,BandA=lp2bp(AnalogB,AnalogA,Omegaw0,BW)，將模擬域的低通變?yōu)閹?/p>

46、通，并且得到模擬帶通濾波器的分子、分母系數(shù)向量，Omegaw0取為中心頻率，BW為帶寬。利用函數(shù)DigitalB,DigitalA = bilinear(BandB,BandA,Fs)，雙線性變換為數(shù)字帶通濾波器的指標，如分子、分母的系數(shù)向量。函數(shù)sos,G = tf2sos(DigitalB,DigitalA)，即把z變換傳遞函數(shù)的直接形式轉換成級聯(lián)形式。需要注意的是，這個函數(shù)是針對以z的負冪排列的多項式開發(fā)的，雖然可以推廣到s域，但連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)是按s的正冪排列的，要使兩者一致，關鍵是使分子、分母系數(shù)向量同長，兩序列中各元素的冪次排列一致（4）求數(shù)字帶通濾波器的幅頻、相頻特性、及其群延遲

47、求數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性Hz,Wz=freqz(DigitalB,DigitalA,1024,whole);將數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性轉化為分貝表示dbHz=20*log10(abs(Hz)+eps)/max(abs(Hz); 求數(shù)字帶通濾波器的相頻特性angle(Hz)求數(shù)字帶通濾波器的群延遲特性grd = grpdelay(DigitalB,DigitalA,Wz); 函數(shù)Hz,Wz=freqz(DigitalB,DigitalA,1024,whole)可以求數(shù)字帶通濾波器的幅頻特性，而其幅度（即模值）的最大值可以歸一化為1，則其模值（單位為dB）即可以用公式表示為dbHz=20*log

48、10(abs(Hz)+eps)/max(abs(Hz)。函數(shù)angle(Hz)可求得其相頻特性，而對于一個濾波器來說，要滿足其線性相位，則其群延遲要為一常數(shù)，則其相位特性必須為一直線，即滿足。因此，利用群延遲函數(shù)grd = grpdelay(DigitalB,DigitalA,Wz)可以判斷所設計的濾波器是否是線性相位，如果不符合，可以更改參數(shù)加以較正或者用其他方法重新設計，從而方便了設計。（5）作圖%繪制幅頻響應曲線subplot(2,3,1);plot(Wz/pi,abs(Hz);title(幅頻響應);xlabel(),ylabel(幅度:|Hz|);axis(0,1,0,1.1);se

49、t(gca,XTickMode,manual,XTick,0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1);grid;%橫值曲線subplot(2,3,4);plot(Wz/pi,dbHz);title(模值(dB);xlabel(頻率（單位：pi）);ylabel(分貝（dB）);axis(0,1,-40,5);set(gca,XTickMode,manual,XTick,0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1);set(gca,YTickmode,manual,YTick,-50,-30,-2,0);set(gca,YTickLabelMode,ma

50、nual,YTickLabels,50;30; 2; 0);grid;%繪制相頻響應曲線subplot(2,3,2);plot(Wz/pi,angle(Hz)/pi);title(相頻響應);xlabel();ylabel(單位：pi );axis(0,1,-1,1);set(gca,XTickMode,manual,XTick,0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1);grid;&繪制零極點圖subplot(2,3,5);title(零極點圖);ylabel(單位：dB);xlabel(單位：pi );zplane(DigitalB,DigitalA);axis(-1

51、.1,1.1,-1.1,1.1);%群延遲subplot(2,3,3); plot(Wz/pi,grd); title(群延遲)xlabel(頻率（單位：pi）); ylabel(樣本); axis(0,1,0,8)set(gca,XTickMode,manual,XTick,0,ws1/pi,wp1/pi,wp2/pi,ws2/pi,1); %畫高刻度線 set(gca,YTickmode,manual,YTick,0:0.5:10); gridset(gcf,color,w) 以上是根據(jù)切比雪夫I型濾波器設計的程序，完整程序見附錄。6 IIR帶通濾波器的仿真結果及波形根據(jù)上述對IIR切比雪

52、夫I、II帶通濾波器的設計過程，在Matlab軟件中得到其幅頻響應、相頻響應、零極點圖以及群延遲特性曲線如下圖所示。圖6-1 Chebyshev I 型IIR帶通濾波器特性圖6-2 Chebyshev II 型IIR數(shù)字帶通濾波器特性圖 6-3Chebyshev I 型IIR數(shù)字帶通濾波器特性（無頻率預畸變）圖 6-4 Chebyshev II 型 IIR 數(shù)字帶通濾波器特性（無頻率預畸變）7 IIR帶通濾波器的仿真結果分析根據(jù)上述的仿真波形，可以看出： (1)由ChebyshevI 型、ChebyshevII型低通原型變換成帶通模型的幅頻特性可以用分貝形式表示。對于ChebyshevI 型的

53、幅頻響應在通帶內為等紋波衰減、阻帶內為單調減小的，且通帶（歸一化）截止頻率在波形上顯示為：0.45與0.65，阻帶（歸一化）截止頻率在波形上顯示為：0.3與0.75，與設計要求基本一致。對于ChebyshevII型的幅頻響應來說，在通帶內單調減小、阻帶內為等紋波衰減的，而通帶、阻帶（歸一化）截止頻率為：0.45與0.65，0.3與0.75，均滿足設計要求。 (2)此次設計的IIR帶通濾波器的階數(shù)可由函數(shù)N,OmegaC=cheb1ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)或N,OmegaC=cheb2ord(Wp,Ws,Rp,Rs,s)求得，N=3。則從ChebyshevI 型帶通濾波器的幅頻響應曲

54、線上看，當N3時，在（歸一化后為0-1）范圍內通帶波動只有兩個波谷，阻帶則單調減小，這與理論內容一致。對于ChebyshevII 型帶通濾波器來說，其幅頻響應曲線的通帶波動在（歸一化后為0-1）范圍內阻帶波動只有兩個波峰，通帶則單調減小，這與理論內容一致。因此，對于濾波器階數(shù)這一指標來說，滿足要求。 （3）對于分貝化后的幅度特性，ChebyshevI 型帶通濾波器的通帶最大衰減大約為1dB，阻帶衰減最小為40dB，而ChebyshevII 型帶通濾波器的阻帶最小衰減大約為40dB，通帶最小衰減大約為1dB，這與帶通濾波器的技術指標相同。因此，在衰減性能上，所設計的濾波器達到了要求。 （4）對于

55、相頻響應來說，ChebyshevI 型帶通濾波器在通帶內的相頻響應曲線接近為一條平滑曲線，在阻帶內則存在衰減、畸變。ChebyshevII 型帶通濾波器在通帶截止頻率以內的相頻響應曲線幾乎為一條直線，但在通帶截止頻率處有很大角度的轉折，使相頻特性在通帶內產生了的畸變，而在阻帶內存在很大的畸變。因此，對于雙線性變換法，其相位特性得不到滿足，必須用其它方法加以校正或采用其它方法重新設計濾波器，使之滿足線性相位。 （5）群延遲是衡量一個濾波器或是整個系統(tǒng)性能指標的一個重要參數(shù)。對于利用這兩種低通濾波器原型模型設計的這兩種帶通濾波器，帶通濾波器的延遲是同等帶寬的低通濾波器延遲的兩倍。這個結果是由低通特

56、性向帶通特性變換引起的，n階低通濾波器傳遞函數(shù)總是變換為2n階帶通濾波器傳遞函數(shù)，其濾波器的群延遲特性的中心頻率與理論上的很接近。 （6）零、極點圖則反映Z域的傳遞函數(shù)，因為從圖上得知，ChebyshevI 型帶通濾波器在域單位圓內的傳遞函數(shù)存在3對極點，其每一對則關于實軸對稱，而且存在1對零點，且關于虛軸對稱。ChebyshevII 型帶通濾波器在域單位圓內的傳遞函數(shù)存在3對極點，其每一對則關于實軸對稱，而且存在3對零點，且關于虛軸對稱。從理論上分析，可以求出其傳遞函數(shù)。綜上所述，由于軟件的精度要求以及所調用函數(shù)的特性，在誤差允許范圍內，上述的濾波器特性的仿真結果基本符合題目的要求，并且在一

57、定的程度上設計的指標遠遠好于題目的要求。因此，所設計的濾波器達到了題目的要求。8 收獲體會 通過本次課程設計對MATLAB認識了很多。在先修課程信號與系統(tǒng)中，大量有MATLAB設計方面的知識，已經(jīng)接觸了解了MATLAB的操作和功能，有了一定的基礎。而以前做實驗時，對它都是半知半解。只學習了MATLAB的一些簡單基本的語句功能，根本沒有認識到MATLAB在信號處理方面的強大功能。這次的課程設計認真的了解了這方面的知識，對MATLAB程序有了整體的認識。且經(jīng)過了自己的親身實踐，學到了許多實踐方面的知識。剛開始看到題目時完全不懂，通過自己去圖書館借閱有關數(shù)字信號處理的書籍和上網(wǎng)搜集資料了解后，對這次

58、課程設計有了整體的框架，然后是對程序進行MATLAB仿真。我用的是，一開始出現(xiàn)了一堆錯誤，但經(jīng)過細心的檢查與修改，最后終于得到了理想的波形，總的來說這次仿真結果比較理想。這次課設下來，我對數(shù)字濾波器的概念和分類有了更深的了解，對設計數(shù)字帶通濾波器的整個過程有了基本的掌握，懂得了設計IIR濾波器的基本方法，對雙線性變換法，切比雪夫濾波器有了一定了解，同時也熟悉了MATLAB的環(huán)境，鞏固了相關知識?？傊斋@還是很大的。 通過本次課程設計，我深深地感受到了自己所學到知識多么的匱乏，明白了只學好課本上的知識是不夠的，要通過圖書館和互聯(lián)網(wǎng)等各種渠道來擴充自己的知識。通過自己想辦法解決在實驗過程中遇到的問題，調試修改程序來鍛煉自己，