1、繪制曲線的基本方法課件繪制曲線的基本方法課件一、繪制曲線的基本方法在設計和繪圖中，幾乎不可能沒有曲線。這些曲線一般分為兩類：一類是標準曲線，可以有標準的數學方程來描述，如圓、橢圓、拋物線等；另一類是擬合曲線，它們不能用標準的數學方程來描述，只有先給出一些數據點，然后用相應的數學方法來擬合這些數據點成曲線。一、繪制曲線的基本方法例如有實驗曲線、等值線等，它們都是通過做實驗得到一些實驗數據、或經測量得到一系列離散數據點。依據 這些實際數據，我們希望能構造出一 條曲線，使其完全通過或者比較貼近 這些數據點。 擬合曲線的問題：討論由離散的數據點如何構成曲線的方法。例如有實驗曲線、等值線等，它們都在計算

2、機圖形學這個領域里討論的曲線，一般都是指的擬合曲線。要討論 的問題：已知一組數據點（型值點）， 選用哪種數學方法來加以擬合，相應 的數學表達方式以及如何繪制成曲線。為了說清這些問題，還須先從標準曲線開始。在計算機圖形學這個領域里討論的曲在手工操作繪制曲線時，除了圓弧類曲線可以直接借助于工具圓規(guī)來畫出外，其他的曲線一般都是先確定幾個點，然后借用曲線板分段繪出。其實這也是用計算機來繪制曲線的基本原理。由于計算機圖形輸出設備的工作特點，曲線一般是離散成直線畫出的。（見圖）在手工操作繪制曲線時，除了圓弧類 另一個問題是參數法表示。（特別是對于多值曲線，尤為重要）例如看一個圓，它的標準方程是：x2 +

3、y2 = r2可寫成：y = 圓的參數方程表示為：x = rcos(t)y = rsin(t) 這兩種表示方法，在繪圖的時候是存有明顯的差別的?？磮D。取等量的變量但得不到均勻曲線取等量的變量得到均勻曲線 另一個問題是參數法表示。（特別是取等量的變量但取等量的變從以上的分析可得出繪制曲線的基本方法有兩條： 離散化這是由于硬件的條件決定的，理想化的曲線是繪不出來的。 參數法這是由于曲線的質量要求決定的。從以上的分析可得出繪制曲線的基本下面我們以一個橢圓為例，來說明其繪圖過程和程序。橢圓的參數方程為：（中心在原點）x=a cos(t)y=b sin(t) (0t2)下面我們以一個橢圓為例，來說明其當

4、參數 t=ti 時：xi=acos(ti) yi=bsin(ti) 當參數 t=tit 時：x i+1=acos(ti t ) y i+1=bsin(ti t )當 t 相當小時，我們認為在橢圓上兩點之間的弧長就可以用該兩點之間的弦長來代替。（見圖）(xi,yi)(xi+1,yi+1)ti t當參數 t=ti 時：(xi,yi)(xi+1,yi+1)所以橢圓的繪圖程序可寫成：void ellipse(x0, y0, a, b, dt)int x0, y0, a, b, dt; int x, y, n, i; float t1, t=0.0; t1=dt*0.01745; n=360/dt; m

5、oveto(x0+a, y0); for(i=1; in; i+) t=t+t1; x=x0+a*cos(t); y=y0+b*sin(t); lineto(x, y); lineto(x0+a, y0); 所以橢圓的繪圖程序可寫成：這個程序說明了繪制曲線的一般方法，用離散的直線段代替了曲線。致於直線段長度的取值則決定于對曲線的精度要求。顯然，參變量的增量越小，則離散直線段的長度越短，于是得到的曲線精度越高。（另外，還可以應用兩角和的三角公式來簡化程序中的運算步驟）這個程序說明了繪制曲線的一般方法，二、拋物樣條曲線用拋物線作為基本曲線，通過一定的數學方法，把一組離散的數據點用一條復合的曲線光滑

6、地連接起來。二、拋物樣條曲線 .過三點定義一條拋物線設有不在一直線上的任意三點：P1,P2,P3。如何定義一條拋物線使其通過該三點。P2 P1 P3 .過三點定義一條拋物線拋物線參數表達式的一般形式為：P(t)=A1+A2*t+A3*t2（t1)目前，表達式中的三個系數A1、A2和A3是未知的，所以只要確定該三個系數的值，則拋物線就能唯一確定。拋物線參數表達式的一般形式為：要求三個未知數，必須設三個獨立的條件。因拋物線過該三點，所以設：(1) 拋物線以 P1 為始點，即t=0時，P(0)=P1；(2) 拋物線以 P3 為終點，即t=1時，P(1)=P3;(3) 當 t=0.5 時，曲線過P2點

7、，即P(0.5)=P2。要求三個未知數，必須設三個獨立的P2 (t=0.5) P1 (t=0) P3 (t=1)于是可列出三個獨立的方程為：A1=P1（t=0） A1+A2+A3=P3 （t=1） A1+0.5A2+0.25A3=P2（t=0.5）P2 (t=0.5)解以上的聯列方程組，可得：A1=P1A2=4*P2-P3-3*P1A3=2*P1+2*P3-4*P2故拋物線的參數表達式就可以唯一確定為：P(t)=A1+A2*t+A3*t2=P1+(4*P2-P3-3*P1)t+ (2*P1+2*P3-4*P2) t2（0t1)解以上的聯列方程組，可得：將上式先展開再整理后可得：P(t)=(2t

8、2-3t+1)P1+(4t-4t2)P2+ (2t-t)P3 (0t1)式中的是一個向量，在二維平面內它包含兩個分量（x, y）。以上推導求出的算式，即為過不在一直線上的三點：P1(x1,y1)、P2(x2,y2)和P3(x3,y3)的拋物線的方程。這時根據 t的取值，可以一一計算出曲線上的點，從而繪出圖形。 將上式先展開再整理后可得：.樣條曲線表達式的推導設有一離散點列i,(i=1,2,.,n)。我們可以用上述方法每經過相鄰的三點作一條拋物線，則由n個點最多總共可以作出（n-2）條拋物線。見圖。 兩種連接法.樣條曲線表達式的推導兩種連接法在第二種連接方式的(n-2)條拋物線中，第i條拋物線的

9、方程應為：第i+1條拋物線的方程應為： (0ti,ti+11)在第二種連接方式的(n-2)條拋物線一般來說，兩段曲線 Si 和 Si+1 在其重疊區(qū)間是不可能完全自然重合的。 見圖 Pi+1 (t) 一般來說，兩段曲線 Si 和 Si+1 在其但是，整個點列必須是只能用一條曲線連接起來的。為了做到這一點，在兩條曲線的共同區(qū)間內，必須想法讓它們按照一定的規(guī)則結合組成一條曲線。有效的辦法就是 加權合成。所謂的加權合成，就是用權函數來分 配原曲線在形成的合成曲線中各自所 占的比例。但是，整個點列必須是只能用一條曲 設兩個權函數分別為：f1(T)=1-Tf2(T)=T (0T1)則加權合成后的曲線為：

10、Pi+1(t)=f1(T)*Si(ti)+f2(T)*Si+1(ti+1)在同一個參數方程中，出現了三個參變量：T、ti和ti+1。所以，為了使下面的工作得以進行，首先要統(tǒng)一參變量。 設兩個權函數分別為：對于f(T)：(0T1)Si(ti)：(0.5ti1)Si+1(ti+1)：（0ti+10.5)我們設統(tǒng)一后的參變量為 t，并且使其定義域為：0t0.5,則有： T=2tti=0.5+t ti+1=t對于f(T)：(0T1)于是合成曲線的以上表達式： Pi+1(t)=f1(T)*Si(ti)+f2(T)*Si+1(ti+1)可以改寫成以下形式： Pi+1(t)=(1-2t)*Si(t+0.5)

11、+2t*Si+1(t)其中： Si(t+0.5)=(2t2-t)Pi+(1-4t2)Pi+1+ (2t2+t)Pi+2Si+1(t)=(2t2-3t+1)Pi+1+(4t-4t2)Pi+2 +(2t2-t)Pi+3 (0t0.5)于是合成曲線的以上表達式：把新的Si和Si+1代入i+1(t)，得到：Pi+1(t)=(-4t2+4t2-t)Pi+(12t2-10t2+1)Pi+1 +(-12t2+8t2+t)Pi+2+(4t2-2t2)Pi+3式中：0t 0.5 i=1,2,3,n-3該式的實質是：每四個相鄰的數據點可以確定中間一段拋物樣條曲線?？偣灿衝個點，只能確定(n-3)段分段曲線把新的S

12、i和Si+1代入i+1(t)，得到：總共有n個點.拋物樣條曲線的端點條件根據以上得到的結果，每相鄰四個點可以確定一段樣條曲線。以此類推，我們可以得到后續(xù)的各段曲線。但全部 n 個數據點，總共只能產生 n-3 個曲線段。還有首、尾兩端 P1P2和 Pn-1Pn之間的曲線無法確定。.拋物樣條曲線的端點條件首、尾兩端曲線無法確定的原因在于缺乏連續(xù)的相鄰四點。所以解決問題的方法也就是要想辦法補足四點。即在P1前補一點P0，在Pn后補一點Pn+1，以使首、尾兩端具備有相鄰四點的條件：P0、P1、P2、P3和Pn-2、Pn-1、Pn、Pn+1。從而可產生P1P2曲線段和 Pn-1Pn曲線段。（見圖）首、尾

13、兩端曲線無法確定的原因在于如何添加這P0和Pn+1兩個點，就是要討論的 端點條件。(1) 已知曲線兩端的切矢（P1和Pn）這種條件稱為夾緊端。適用于新生成的曲線要和已經存在的曲線或者直線相連接，這樣已有曲線或直線在連接端的切矢就決定了新曲線在該點的切矢。如何添加這P0和Pn+1兩個點，就是根據拋物線的性質：P2=P3-P1即可得P1=P3-P2P2P2 P1P3以此可推出，如果P1和Pn已知，則P1=P2-P0 P0=P2-P1 Pn=Pn+1-Pn-1 Pn+1=Pn-1+Pn根據拋物線的性質：P2=P3-P1 (2) 自由端對曲線的兩端沒有約束條件，我們稱為自由端。這時讓新補之點和原端點

14、重合，即P0=P1Pn+1=Pn (2) 自由端4.拋物樣條曲線的性質不管用什么方法由離散點生成曲線，總希望所得到的曲線是連續(xù)光滑的。用來評價曲線連續(xù)光滑程度的指標是曲線在節(jié)點處的導數能滿足于什么樣的條件。假如在節(jié)點處兩曲線的一階導數相等，則我們稱曲線為一階連續(xù)（C連續(xù)）；而如果兩曲線的二階導數相等，則我們稱曲線為二階連續(xù)（C連續(xù)）。以此類推。 4.拋物樣條曲線的性質下面我們來看拋物樣條曲線的情況：設它們的相鄰兩段為i+1(t)和Pi+2(t)，Pi+1(t)=(-4t2+4t2-t)Pi+(12t2-10t2+1)Pi+1 +(-12t2+8t2+t)Pi+2+(4t2-2t2)Pi+3 Pi+2(t)=(-4t2+4t2-t)Pi+1+(12t2-10t2+1)Pi+2 +(-12t2+8t2+t)Pi+3+(4t2-2t)Pi+4見圖Pi+2(t)節(jié)點處t=0Pi+1(t)節(jié)點處t=0.5下面我們來看拋物樣條曲線的情況：Pi+2(t)Pi+1(t分別對i+1(t)和Pi+2(t)求導：Pi+1(t)=(-12t2+8t-1)P