1、量子力學(xué)自測(cè)題（）一、簡(jiǎn)答與證明：（共25分）1、什么是德布羅意波？并寫(xiě)出德布羅意波的表達(dá)式。 （4分）2、什么樣的狀態(tài)是定態(tài)，其性質(zhì)是什么？（6分）3、全同費(fèi)米子的波函數(shù)有什么特點(diǎn)？并寫(xiě)出兩個(gè)費(fèi)米子組成的全同粒子體系的波函數(shù)。（4分）4、證明是厄密算符 （5分）5、簡(jiǎn)述測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的主要內(nèi)容，并寫(xiě)出坐標(biāo)和動(dòng)量之間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。（6分）二、（15分）已知厄密算符，滿足，且，求1、在A表象中算符、的矩陣表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函數(shù)；3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣S。三、（15分）設(shè)氫原子在時(shí)處于狀態(tài) ，求1、時(shí)氫原子的、和的取值幾率和平均值；2、時(shí)體系的波函數(shù)，并給出此時(shí)體系的、

2、和的取值幾率和平均值。四、（15分）考慮一個(gè)三維狀態(tài)空間的問(wèn)題，在取定的一組正交基下哈密頓算符由下面的矩陣給出 這里，是一個(gè)常數(shù)，用微擾公式求能量至二級(jí)修正值，并與精確解相比較。 五、（10分）令，分別求和作用于的本征態(tài)和的結(jié)果，并根據(jù)所得的結(jié)果說(shuō)明和的重要性是什么？ 量子力學(xué)自測(cè)題（）參考答案一、1、描寫(xiě)自由粒子的平面波稱為德布羅意波；其表達(dá)式：2、定態(tài)：定態(tài)是能量取確定值的狀態(tài)。性質(zhì)：定態(tài)之下不顯含時(shí)間的力學(xué)量的取值幾率和平均值不隨時(shí)間改變。3、全同費(fèi)米子的波函數(shù)是反對(duì)稱波函數(shù)。兩個(gè)費(fèi)米子組成的全同粒子體系的波函數(shù)為：。4、=，因?yàn)槭嵌蛎芩惴允嵌蛎芩惴?、設(shè)和的對(duì)易關(guān)系，是一個(gè)算符

3、或普通的數(shù)。以、和依次表示、和在態(tài)中的平均值，令 ，則有 ，這個(gè)關(guān)系式稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。坐標(biāo)和動(dòng)量之間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系為：二、解1、由于，所以算符的本征值是，因?yàn)樵贏表象中，算符的矩陣是對(duì)角矩陣，所以，在A表象中算符的矩陣是： 設(shè)在A表象中算符的矩陣是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，令，其中為任意實(shí)常數(shù)，得在A表象中的矩陣表示式為：2、類(lèi)似地，可求出在B表象中算符的矩陣表示為：在B表象中算符的本征方程為：，即 和不同時(shí)為零的條件是上述方程的系數(shù)行列式為零，即 對(duì)有：，對(duì)有：所以，在B表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和3、類(lèi)似地，在A表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和從A表象到B表象的幺正變

4、換矩陣就是將算符在A表象中的本征函數(shù)按列排成的矩陣，即三、解： 已知?dú)湓拥谋菊鹘鉃椋海瑢⑾驓湓拥谋菊鲬B(tài)展開(kāi)，1、=，不為零的展開(kāi)系數(shù)只有三個(gè)，即，顯然，題中所給的狀態(tài)并未歸一化，容易求出歸一化常數(shù)為：，于是歸一化的展開(kāi)系數(shù)為：， （1）能量的取值幾率，平均值為：（2）取值幾率只有：，平均值（3）的取值幾率為： ，平均值2、時(shí)體系的波函數(shù)為：=由于、和皆為守恒量，所以它們的取值幾率和平均值均不隨時(shí)間改變，與時(shí)的結(jié)果是一樣的。四、解：（1）的本征值是方程的根 結(jié)果：，這是的精確解。（2）根據(jù)題意，體系能級(jí)的二級(jí)修正可寫(xiě)為：由題設(shè)可知：能量的一級(jí)修正為：，對(duì)于二級(jí)修正，有：所以，將展開(kāi)： ， （

5、3）對(duì)比可知，根據(jù)微擾公式求得的能量二級(jí)修正值，與精確求解的結(jié)果是吻合的。五、解：， 所以和分別作用于的本征態(tài)和的結(jié)果是，結(jié)果表明：稱為自旋升算符是合理的，因?yàn)樗鼘⒎较虻淖孕龔脑黾拥健Ｍ瑯?，稱為自旋降算符，因?yàn)樗鼘⒎较虻淖孕龔慕档?。和容許我們從的一個(gè)本征態(tài)跳躍到另一個(gè)本征態(tài)，它們?cè)谧孕挠?jì)算中是非常有用的。 量子力學(xué)自測(cè)題（）一、填空題（本題20分）1在量子力學(xué)中，體系的量子態(tài)用Hilbert空間中的 來(lái)描述，而力學(xué)量用 描述。力學(xué)量算符必為 算符，以保證其 為實(shí)數(shù)。當(dāng)對(duì)體系進(jìn)行某一力學(xué)量的測(cè)量時(shí)，測(cè)量結(jié)果一般來(lái)說(shuō)是不確定的。測(cè)量結(jié)果的不確定性來(lái)源于 。2在量子力學(xué)中，一個(gè)力學(xué)量是否是守恒量只

6、決定于 的性質(zhì)，也就是說(shuō)，決定于該力學(xué)量是否與體系的 對(duì)易，而與體系的 無(wú)關(guān)。一個(gè)力學(xué)量是否具有確定值，只決定于體系的 ，也就是說(shuō)，決定于體系是否處于該力學(xué)量的 ，無(wú)論該力學(xué)量是否守恒量。二、（本題15分）1設(shè)全同二粒子的體系的Hamilton量為（1，2，），波函數(shù)為（1，2，），試證明交換算符是一個(gè)守恒量。2設(shè)是一個(gè)幺正算符，求證是厄米算符。3設(shè)為Pauli矩陣，（1）求證：（2）試求：三、（本題10分）求證：是角動(dòng)量平方算符的本征值為的本征函數(shù)。四、（本題15分）設(shè)一量子體系處于用波函數(shù)所描述的量子態(tài)。求：（1）在該態(tài)下，的可能測(cè)值和各個(gè)值出現(xiàn)的幾率。（2）的平均值。如有必要可利用，。五

7、、（本題20分）已知，在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)粒子的能量本征值和本征函數(shù)分別為， （n=1，2，3）設(shè)粒子受到微擾： 求基態(tài)（n=1）能量的一級(jí)近似值。如有必要，可利用積分公式。六、（本題20分）設(shè)表示一維諧振子的能量本征態(tài)，且已知，（1）求矩陣元。（2）設(shè)該諧振子在t=0時(shí)處于基態(tài)，從t0開(kāi)始受微擾的作用。求：經(jīng)充分長(zhǎng)時(shí)時(shí)以后體系躍遷到態(tài)的幾率。量子力學(xué)自測(cè)題2參考答案一、填空題1矢量，算符，厄米，本征值，態(tài)的疊加2力學(xué)量，Hamilton量，狀態(tài)，狀態(tài)，本征態(tài)二、1證明 全同粒子的不可區(qū)分性體現(xiàn)在體系Hamilton量的交換對(duì)稱性。也就是說(shuō)，因此，由此得到，所以，為守恒量2證明因?yàn)槭晴壅?/p>

8、，所以因此可見(jiàn)為厄米算符。3證明（1） (2)由于=因此，=Tr=三、證明 因?yàn)橛纱说玫?，因此，可?jiàn)，是的本征值為的本征函數(shù)。四、解 先把用球諧函數(shù)展開(kāi)如下：=可見(jiàn)，體系的=1，m=0，1。因此，的可能測(cè)值為0或，出現(xiàn)0的幾率為 ，出現(xiàn)的幾率為。的平均值為五、解 受到微擾的作用后基態(tài)能量的一級(jí)修正值為六、解（1） 利用公式：得到 因此， 由此可見(jiàn)（2）在一級(jí)近似下，體系從能級(jí)E0躍遷到En的躍遷振幅為，其中，。因此，從基態(tài)躍遷振幅經(jīng)充分長(zhǎng)時(shí)間后，因此，躍遷幾率為 量子力學(xué)自測(cè)題3簡(jiǎn)答題（每小題5分，共40分）1. 一粒子的波函數(shù)為，寫(xiě)出粒子位于間的幾率。2. 粒子在一維勢(shì)阱 中運(yùn)動(dòng)，波函數(shù)為，

9、寫(xiě)出的躍變條件。3. 量子力學(xué)中，體系的任意態(tài)可用一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)展開(kāi)：，寫(xiě)出展開(kāi)式系數(shù)的表達(dá)式。4. 給出如下對(duì)易關(guān)系： 5. 一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)的旋量波函數(shù)為 ，寫(xiě)出表示電子自旋向上、位置在處的幾率密度表達(dá)式，以及表示電子自旋向下的幾率的表達(dá)式。6. 何謂幾率流密度？寫(xiě)出幾率流密度的表達(dá)式。7. 散射問(wèn)題中，高能粒子散射和低能粒子散射分別宜采用什么方法處理？8. 一維運(yùn)動(dòng)中，哈密頓量，求 計(jì)算題（共60分。911題各10分；12、13題各15分）9. 在時(shí)間時(shí)，一個(gè)線性諧振子處于用下列歸一化的波函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)： ，式中是振子的第個(gè)本征函數(shù)。（1）試求的數(shù)值；（2）寫(xiě)出在時(shí)刻的波函數(shù)

10、；（3）在時(shí)振子能量的期望值是多少？秒時(shí)呢？10. 為的本征態(tài)，本征值為。求在的本征態(tài)下，和的平均值。11. 氫原子處于狀態(tài) ，（1）求軌道角動(dòng)量的分量的平均值；（2）求自旋角動(dòng)量的分量的平均值；（3）求總磁矩的分量的平均值。12. 、分別為電子的自旋和軌道角動(dòng)量，為電子的總角動(dòng)量。證明：=0；=0，13. 質(zhì)量為的粒子受微擾后，在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)， （1）題中應(yīng)當(dāng)把什么看作微擾勢(shì)？（2）寫(xiě)出未受微擾時(shí)的能級(jí)和波函數(shù)；（3）用微擾論計(jì)算基態(tài)能量到二級(jí)近似，其中。量子力學(xué)自測(cè)題3參考答案簡(jiǎn)答題（每小題5分，共40分）1. 一粒子的波函數(shù)為，寫(xiě)出粒子位于間的幾率。解： 。2. 粒子在一維勢(shì)阱 中運(yùn)動(dòng)

11、，波函數(shù)為，寫(xiě)出的躍變條件。解： 。3. 量子力學(xué)中，體系的任意態(tài)可用一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)展開(kāi)：，寫(xiě)出展開(kāi)式系數(shù)的表達(dá)式。解： 。4. 給出如下對(duì)易關(guān)系： 解： 5. 一個(gè)電子運(yùn)動(dòng)的旋量波函數(shù)為 ，寫(xiě)出表示電子自旋向上、位置在處的幾率密度表達(dá)式，以及表示電子自旋向下的幾率的表達(dá)式。解： 6. 何謂幾率流密度？寫(xiě)出幾率流密度的表達(dá)式。解：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)與粒子前進(jìn)方向垂直的單位面積的幾率稱為幾率流密度。 7. 散射問(wèn)題中，高能粒子散射和低能粒子散射分別宜采用什么方法處理？解：高能粒子散射宜采用玻恩近似方法處理；低能粒子散射宜采用分波法處理。8. 一維運(yùn)動(dòng)中，哈密頓量，求 解：二、計(jì)算題（共

12、60分。911題各10分；12、13題各15分）9. 在時(shí)間時(shí)，一個(gè)線性諧振子處于用下列歸一化的波函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)： ，式中是振子的第個(gè)本征函數(shù)。（1）試求的數(shù)值；（2）寫(xiě)出在時(shí)刻的波函數(shù)；（3）在時(shí)振子能量的平均值是多少？秒時(shí)呢？解：（1） 得 。（2）。（3）在時(shí)振子能量的平均值是 ；秒時(shí)振子能量的平均值也是。10. 為的本征態(tài)，本征值為。求在的本征態(tài)下，和的平均值。解：同理， 。11. 氫原子處于狀態(tài) ，（1）求軌道角動(dòng)量的分量的平均值；（2）求自旋角動(dòng)量的分量的平均值；（3）求總磁矩的分量的平均值。解： （1）；（2）；（3）。12. 、分別為電子的自旋和軌道角動(dòng)量，為電子的總角動(dòng)量。

13、證明：=0；=0，證： 。同理， ，從而 =0。同理， ，從而 。13. 質(zhì)量為的粒子受微擾后，在一維勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)。（1）題中應(yīng)當(dāng)把什么看作微擾勢(shì)？（2）寫(xiě)出未受微擾時(shí)的能級(jí)和波函數(shù)；（3）用微擾論計(jì)算基態(tài)能量到二級(jí)近似，其中。解：（1）應(yīng)當(dāng)把看作微擾勢(shì)，即 。（2）未受微擾時(shí)的波函數(shù)和能級(jí)分別為 （3）未受微擾時(shí)的基態(tài)波函數(shù)和能量分別為，基態(tài)能量的一級(jí)修正： ，基態(tài)能量的二級(jí)修正： ， 所以 。 。 量子力學(xué)自測(cè)題4一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特點(diǎn)？（4分） 2、什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡(jiǎn)并態(tài)和偶宇稱態(tài)？（6分）3、全同玻色子的波函數(shù)有什么特點(diǎn)？并寫(xiě)出兩個(gè)玻色子組成的全同

14、粒子體系的波函數(shù)。（4分）4、在一維情況下，求宇稱算符和坐標(biāo)的共同本征函數(shù)。（6分） 5、簡(jiǎn)述測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的主要內(nèi)容，并寫(xiě)出時(shí)間和能量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。（5分）二、（15分）已知厄密算符，滿足，且，求1、在A表象中算符、的矩陣表示；2、在A表象中算符的本征值和本征函數(shù)；3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣S。三、（15分）線性諧振子在時(shí)處于狀態(tài) ，其中，求1、在時(shí)體系能量的取值幾率和平均值。2、時(shí)體系波函數(shù)和體系能量的取值幾率及平均值四、（15分）當(dāng)為一小量時(shí)，利用微擾論求矩陣 的本征值至的二次項(xiàng)，本征矢至的一次項(xiàng)。五、（10分）一體系由三個(gè)全同的玻色子組成, 玻色子之間無(wú)相互作用. 玻色子只有兩個(gè)可

15、能的單粒子態(tài). 問(wèn)體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)? 它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成? 量子力學(xué)自測(cè)題4參考答案一、1、厄密算符的本征值是實(shí)數(shù)，本征矢是正交、歸一和完備的。2、在無(wú)窮遠(yuǎn)處為零的狀態(tài)為束縛態(tài)；簡(jiǎn)并態(tài)是指一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)一個(gè)以上本征函數(shù)的情況；將波函數(shù)中坐標(biāo)變量改變符號(hào)，若得到的新函數(shù)與原來(lái)的波函數(shù)相同，則稱該波函數(shù)具有偶宇稱。3、全同玻色子的波函數(shù)是對(duì)稱波函數(shù)。兩個(gè)玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)為：4、宇稱算符和坐標(biāo)的對(duì)易關(guān)系是：，將其代入測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系知，只有當(dāng)時(shí)的狀態(tài)才可能使和同時(shí)具有確定值，由知，波函數(shù)滿足上述要求，所以是算符和的共同本征函數(shù)。5、設(shè)和的對(duì)易關(guān)系，是一個(gè)算符或普通的數(shù)。

16、以、和依次表示、和在態(tài)中的平均值，令 ，則有 ，這個(gè)關(guān)系式稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。時(shí)間和能量之間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系為：二、1、由于，所以算符的本征值是，因?yàn)樵贏表象中，算符的矩陣是對(duì)角矩陣，所以，在A表象中算符的矩陣是： 設(shè)在A表象中算符的矩陣是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，令，（為任意實(shí)常數(shù)）得在A表象中的矩陣表示式為：2、在A表象中算符的本征方程為：即 和不同時(shí)為零的條件是上述方程的系數(shù)行列式為零，即 對(duì)有：，對(duì)有：所以，在A表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣就是將算符在A表象中的本征函數(shù)按列排成的矩陣，即三、解：1、的情況：已知線諧振子的能量本征解為： ，

17、 當(dāng)時(shí)有：，于是時(shí)的波函數(shù)可寫(xiě)成：，容易驗(yàn)證它是歸一化的波函數(shù)，于是時(shí)的能量取值幾率為：，能量取其他值的幾率皆為零。能量的平均值為：2、 時(shí)體系波函數(shù)顯然，哈密頓量為守恒量，它的取值幾率和平均值不隨時(shí)間改變，故時(shí)體系能量的取值幾率和平均值與的結(jié)果完全相同。四、解：將矩陣改寫(xiě)成：能量的零級(jí)近似為：，能量的一級(jí)修正為：，能量的二級(jí)修正為：， ，所以體系近似到二級(jí)的能量為：，先求出屬于本征值1、2和3的本征函數(shù)分別為：，利用波函數(shù)的一級(jí)修正公式，可求出波函數(shù)的一級(jí)修正為：，近似到一級(jí)的波函數(shù)為：，五、解：由玻色子組成的全同粒子體系，體系的波函數(shù)應(yīng)是對(duì)稱函數(shù)。以表示第個(gè)粒子的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)，體系可能的

18、狀態(tài)有以下四個(gè)：（1）；（2）（3）； （4）量子力學(xué)自測(cè)題5填空題（本題20分）1Planck的量子假說(shuō)揭示了微觀粒子 特性，Einstein的光量子假說(shuō)揭示了光的 性。Bohr的氫原子理論解決了經(jīng)典電磁場(chǎng)理論和原子的 之間的矛盾，解決了原子的 的起源問(wèn)題。2力學(xué)量算符必須是 算符，以保證它的本征值為 。對(duì)一個(gè)量子體系進(jìn)行某一力學(xué)量的測(cè)量時(shí)，所得到的測(cè)量值肯定是 當(dāng)中的某一個(gè)，測(cè)量結(jié)果一般來(lái)說(shuō)是不確定的，除非體系處于 。測(cè)量結(jié)果的不確定性來(lái)源于 。兩個(gè)力學(xué)量同時(shí)具有確定值的條件是 。二、（本題15分）1設(shè)算符具有性質(zhì)。求證：（1）本征值必為實(shí)數(shù)。（2）（3）的本征值為0或者1。2利用對(duì)易式，

19、求證：，其中，為Pauli矩陣。三、（本題15分）1設(shè)氦原子中的兩個(gè)電子都處于1s態(tài)，（不簡(jiǎn)并）兩個(gè)電子體系的空間波函數(shù)為（1）寫(xiě)出兩個(gè)電子體系的四個(gè)可能的自旋波函數(shù)。（2）寫(xiě)出對(duì)兩個(gè)電子的交換反對(duì)稱的總體波函數(shù)（同時(shí)考慮空間自由度和自旋自由度）。2一電子處于自旋態(tài)，求：（1）在自旋態(tài)下，的可能測(cè)值與相應(yīng)的幾率。（2）在自旋態(tài)下，的可能測(cè)值與幾率。四、（本題15分）設(shè)一個(gè)類(lèi)氫離子的電荷數(shù)由Z變成Z+1，試用微擾方法計(jì)算基態(tài)能量的一級(jí)近似值。已知：類(lèi)氫離子的基態(tài)能量本征值和本征函數(shù)分別為，計(jì)算時(shí)，可利用積分公式。五、（本題20分）設(shè)一維諧振子的能量本征函數(shù)為，求：（1）動(dòng)量在態(tài)下的平均值。（2）

20、動(dòng)能在態(tài)下的平均值。如有必要，可以利用六、（本題15分）設(shè)一量子體系的Hamilton量為而且，試?yán)梦_法計(jì)算體系能量的一，二級(jí)修正值。量子力學(xué)自測(cè)題5參考答案一、填空題1能量的量子化，粒子，穩(wěn)定性，線光譜2厄米，實(shí)數(shù)，該力學(xué)量的本征值，該力學(xué)量的某一本征態(tài)，態(tài)的疊加，兩個(gè)力學(xué)量算符對(duì)易二、1證明 （1）因?yàn)?，所以是一個(gè)厄米算符，它的本征值必為實(shí)數(shù)。（2）。（3）設(shè)的本征值為n，本征矢量為，則因?yàn)樗詮亩玫絥2-n=0,可見(jiàn)，的本征值為n=0或n=1。2證明 由 得即 （1）（1）式的兩邊左乘得，右乘得，兩式相加得這就是說(shuō)，完全相同的方法可以證明，三、1解 (1)四個(gè)可能的自旋態(tài)有，（2）

21、因?yàn)榭臻g波函數(shù)對(duì)的交換對(duì)稱，對(duì)兩個(gè)電子的交換反對(duì)稱的總體波函數(shù)為：2解 （1）在自旋態(tài)下，的可能測(cè)值為或-，相應(yīng)的幾率分別為。（2）把自旋態(tài)寫(xiě)成可見(jiàn)，自旋態(tài)正是的本征值為的本征態(tài)，因此的測(cè)值為，幾率為1。四、解 類(lèi)氫離子的Hamilton量為當(dāng)時(shí)，體系的Hamilton量變?yōu)槠渲幸虼?，能量的一?jí)修正值在計(jì)算中利用了積分公式因此，基態(tài)能量的一級(jí)近似值是五、解 （1）利用 （2）諧振子的動(dòng)能的平均值利用可以得到因此，六、解 先把Hamilton量分解成，其中，很容易看出，能量的一級(jí)修正值，二級(jí)修正值， 量子力學(xué)自測(cè)題6一、填空題（本題18分）自由粒子的能量算符= ，它是 量。是自由粒子能量算符的本

22、征值為 的本征函數(shù)，它是平面單色波 和 的疊加態(tài)，在該態(tài)下， 具有確定值，但 不具有確定值，它的可能測(cè)值是 或 。二、（本題12分）在下列兩種情況下，求一維運(yùn)動(dòng)粒子的動(dòng)量平均值：（1）波函數(shù)是實(shí)函數(shù)。（2）波函數(shù)=，其中是歸一化的實(shí)函數(shù)，是實(shí)常數(shù)。三、（本題10分）在氯化鈉晶體內(nèi)有些負(fù)離子空穴，每個(gè)空穴束縛一個(gè)電子，因此可將這些電子看成束縛在邊長(zhǎng)為晶格常數(shù)的立方體內(nèi)的粒子。設(shè)在室溫下電子處于基態(tài)，求處于基態(tài)的電子吸收電磁波躍遷到第一激發(fā)態(tài)時(shí)，所吸收電磁波的波長(zhǎng)。四、（本題10分）一個(gè)電子在t=0時(shí)，觀測(cè)到自旋沿z軸正向。問(wèn)在t0時(shí)電子的自旋方向在x-z平面內(nèi)與z軸成角的幾率是多少？五、（本題1

23、5分）設(shè)一個(gè)置于中心力場(chǎng)中的粒子，其軌道角動(dòng)量量子數(shù)=2，自旋角動(dòng)量量子數(shù)s=1。體系的自旋一軌道相互作用Hamilton量為 （A為常數(shù)）求體系的能級(jí)和各個(gè)能級(jí)的簡(jiǎn)并度。六、（本題15分）阱寬為a的一維無(wú)限深對(duì)稱方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)粒子的能量本征值和本征函數(shù)分別為，n=1，3，5，（只考慮偶宇稱態(tài)）設(shè)阱內(nèi)粒子處于狀態(tài)（1）求粒子處于各個(gè)能量本征態(tài)的幾率。（2）利用所求得的幾率，求體系的能量平均值。如有必要可利用：，n=1，3，5，七、（本題20分）一根長(zhǎng)為的細(xì)繩（忽略它的質(zhì)量）的一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在重力的作用下，質(zhì)點(diǎn)在豎直平面內(nèi)小角擺動(dòng)（簡(jiǎn)諧振動(dòng)）。用量子力學(xué)方法（1）求質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧

24、振動(dòng)能級(jí)（勢(shì)能項(xiàng)關(guān)于擺動(dòng)角的展開(kāi)式取到項(xiàng)）。（2）把小角近似帶來(lái)的誤差作為微擾，計(jì)算質(zhì)點(diǎn)基態(tài)能量的一級(jí)近似值（把勢(shì)能的項(xiàng)當(dāng)作微擾計(jì)算）。 量子力學(xué)自測(cè)題6參考答案一、填空題，守恒，能量，動(dòng)量，二、解 （1）由于是實(shí)函數(shù)， ，因此，動(dòng)量平均值進(jìn)行分部積分得 這就是說(shuō)，由此得到動(dòng)量平均值（2）由于是實(shí)函數(shù)，動(dòng)量的平均值 但前面已經(jīng)證明，當(dāng)是實(shí)函數(shù)時(shí)，上式的第一項(xiàng)等于零。在上式的第二項(xiàng)中，由于是歸一化的，因此最后得動(dòng)量平均值三、解 空穴中電子的能量，n1,n2,n3=1,2,3基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)的能量分別為，因此，電子從基態(tài)躍遷到第一激發(fā)態(tài)時(shí)所吸收電磁波的頻率滿足電磁波的波長(zhǎng)四、解 電子的自旋初態(tài)為，

25、自旋方向在xz平面內(nèi)（）與z軸成角的態(tài)為因此，在t0時(shí)，電子的自旋方向在xz平面內(nèi)與z軸成角的幾率為五、解 選取為力學(xué)量完全集，設(shè)其共同本征矢量為，其中j,m分別為的相應(yīng)量子數(shù)。的本征值方程分別為由于相互作用Hamilton量及其本征值方程可以寫(xiě)成同時(shí)，由于，體系的總角動(dòng)量量子數(shù)因此，體系的能量為j=3時(shí)， j=2時(shí)，j=1時(shí)，簡(jiǎn)并度：j=3時(shí)，f=2j+1=7,j=2時(shí)，f=5,j=1時(shí)，f=3。六、解 （1）把波函數(shù)用能量本征函數(shù)展開(kāi)：因此 ，n=1，3，5由此得到粒子處于各個(gè)能級(jí)的幾率，n=1，3，5（2）利用以上結(jié)果，能量平均值七、解 （1）以質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的平衡位置作為勢(shì)能零點(diǎn)，則在小角近

26、似下質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能（近似到項(xiàng)）因此，體系的Hamlton量為其中，由此可見(jiàn)，質(zhì)點(diǎn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)能級(jí)，n=1，2，3（2）小角近似帶來(lái)的勢(shì)能的誤差（精確到項(xiàng)）因此，基態(tài)能量的一級(jí)修正值利用，得到因此，最后得到能量的一級(jí)修正值能量的一級(jí)近似值量子力學(xué)自測(cè)題七一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特點(diǎn)？（4分） 2、什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡(jiǎn)并態(tài)和偶宇稱態(tài)？（6分）3、全同玻色子的波函數(shù)有什么特點(diǎn)？并寫(xiě)出兩個(gè)玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)。（4分）4、在一維情況下，求宇稱算符和坐標(biāo)的共同本征函數(shù)。（6分） 5、簡(jiǎn)述測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的主要內(nèi)容，并寫(xiě)出時(shí)間和能量的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。（5分）二、（15分）已知厄密

27、算符，滿足，且，求1、在A表象中算符、的矩陣表示；2、在A表象中算符的本征值和本征函數(shù)；3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣S。三、（15分）線性諧振子在時(shí)處于狀態(tài) ，其中，求1、在時(shí)體系能量的取值幾率和平均值。2、時(shí)體系波函數(shù)和體系能量的取值幾率及平均值四、（15分）當(dāng)為一小量時(shí)，利用微擾論求矩陣 的本征值至的二次項(xiàng)，本征矢至的一次項(xiàng)。五、（10分）一體系由三個(gè)全同的玻色子組成, 玻色子之間無(wú)相互作用. 玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài). 問(wèn)體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)? 它們的波函數(shù)怎樣用單粒子波函數(shù)構(gòu)成?量子力學(xué)自測(cè)題七參考答案一、1、厄密算符的本征值是實(shí)數(shù)，本征矢是正交、歸一和完備的。2、在無(wú)窮遠(yuǎn)處

28、為零的狀態(tài)為束縛態(tài)；簡(jiǎn)并態(tài)是指一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)一個(gè)以上本征函數(shù)的情況；將波函數(shù)中坐標(biāo)變量改變符號(hào)，若得到的新函數(shù)與原來(lái)的波函數(shù)相同，則稱該波函數(shù)具有偶宇稱。3、全同玻色子的波函數(shù)是對(duì)稱波函數(shù)。兩個(gè)玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)為：4、宇稱算符和坐標(biāo)的對(duì)易關(guān)系是：，將其代入測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系知，只有當(dāng)時(shí)的狀態(tài)才可能使和同時(shí)具有確定值，由知，波函數(shù)滿足上述要求，所以是算符和的共同本征函數(shù)。5、設(shè)和的對(duì)易關(guān)系，是一個(gè)算符或普通的數(shù)。以、和依次表示、和在態(tài)中的平均值，令 ，則有 ，這個(gè)關(guān)系式稱為測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系。時(shí)間和能量之間的測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系為：二、1、由于，所以算符的本征值是，因?yàn)樵贏表象中，算符的矩陣是對(duì)角矩陣，所

29、以，在A表象中算符的矩陣是： 設(shè)在A表象中算符的矩陣是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，令，（為任意實(shí)常數(shù)）得在A表象中的矩陣表示式為：2、在A表象中算符的本征方程為：即 和不同時(shí)為零的條件是上述方程的系數(shù)行列式為零，即 對(duì)有：，對(duì)有：所以，在A表象中算符的本征值是，本征函數(shù)為和3、從A表象到B表象的幺正變換矩陣就是將算符在A表象中的本征函數(shù)按列排成的矩陣，即三、解：1、的情況：已知線諧振子的能量本征解為： ， 當(dāng)時(shí)有：，于是時(shí)的波函數(shù)可寫(xiě)成：，容易驗(yàn)證它是歸一化的波函數(shù)，于是時(shí)的能量取值幾率為：，能量取其他值的幾率皆為零。能量的平均值為：2、 時(shí)體系波函數(shù)顯然，哈密頓量為守恒量，它的

30、取值幾率和平均值不隨時(shí)間改變，故時(shí)體系能量的取值幾率和平均值與的結(jié)果完全相同。四、解：將矩陣改寫(xiě)成：能量的零級(jí)近似為：，能量的一級(jí)修正為：，能量的二級(jí)修正為：， ，所以體系近似到二級(jí)的能量為：，先求出屬于本征值1、2和3的本征函數(shù)分別為：，利用波函數(shù)的一級(jí)修正公式，可求出波函數(shù)的一級(jí)修正為：，近似到一級(jí)的波函數(shù)為：，五、解：由玻色子組成的全同粒子體系，體系的波函數(shù)應(yīng)是對(duì)稱函數(shù)。以表示第個(gè)粒子的坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)，體系可能的狀態(tài)有以下四個(gè)：（1）；（2）（3）； （4）量子力學(xué)自測(cè)題8一、填空題（本題25分）1自由粒子平面波函數(shù)的動(dòng)量不確定度 ，坐標(biāo)不確定度 。2波函數(shù)是否自由粒子的能量本征態(tài)？答：

31、 。如果是，能量本征值是 。該波函數(shù)是否是動(dòng)量本征態(tài)？答： ，因?yàn)?。3設(shè)是兩個(gè)互為不對(duì)易的厄米算符。在下列算符（1）； （2）； （3）； （4）+中，算符 和 的本征值必為實(shí)數(shù)。4設(shè)兩個(gè)電子散射波的自旋波函數(shù)，則散射波的空間波函數(shù)應(yīng)為 。因此微分散射截面 。5設(shè)一個(gè)二能級(jí)體系的兩個(gè)能量本征值分別為E1和E2，相應(yīng)的本征矢量為。則在能量表象中，體系Hamilton量的矩陣表示是 ，體系的可能狀態(tài)是 ，在各可能狀態(tài)下，能量的可能測(cè)值是 ，相應(yīng)的幾率是 。二、（本題15分）1已知在坐標(biāo)表象中，自由粒子的坐標(biāo)本征函數(shù)為求在動(dòng)量表象中坐標(biāo)的本征函數(shù)。2氫原子中的電子在徑向坐標(biāo)的球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為。已

32、知，求IS電子的徑向幾率最大的位置。三、（本題15分）1求證：，分別為角動(dòng)量算符的本征值為的本征態(tài)。2試證明：在電子的任意自旋態(tài)下，只要，則自旋角動(dòng)量的平均值必為零。四、（本題15分）1已知其中，A、B為與Pauli矩陣對(duì)易的任意兩個(gè)矢量算符。試證明：，其中，p為三維動(dòng)量， 為三維角動(dòng)量。2設(shè)力學(xué)量（不顯含時(shí)間）為守恒量。求證：的平均值不隨時(shí)間改變，即五、（本題15分）已知一維諧振子處于基態(tài)，坐標(biāo)的不確定度求該諧振子躍遷到第一激發(fā)態(tài)所需能量。六、（本題15分）設(shè)一電子在沿x方向的均勻磁場(chǎng)B中運(yùn)動(dòng)。在t=0時(shí)，電子的自旋向z軸的正向極化。求：（1）在任意時(shí)刻t，電子的自旋波函數(shù)。（2）的平均值。

33、（3）的測(cè)值為和的幾率。量子力學(xué)自測(cè)題8參考答案一、填空題10，2是，否，可見(jiàn)，它是兩個(gè)動(dòng)量本征態(tài)和的疊加態(tài)34，5，或1、或二、1解 可通過(guò)Fourier變換得到動(dòng)量表象中坐標(biāo)的本征函數(shù)：可見(jiàn)，在動(dòng)量表象中，坐標(biāo)的本征值為x0的本征函數(shù)是2由于電子在的球殼內(nèi)出現(xiàn)的幾率為，幾率密度，即幾率分布函數(shù)，對(duì)1s電子的徑向幾率最大的位置應(yīng)有把代入上式得r=0或r=a0 (r=0舍去)可見(jiàn)，1s電子的徑向幾率最大的位置是r=a0。三、1證明 因?yàn)?，因此，可?jiàn)，是的本征值為的本征態(tài)。同理可證明，2證明 在自旋態(tài)下，的平均值可見(jiàn)，只要的平均值必為零。四、1證明 由可看出，當(dāng)A=B時(shí)，當(dāng)A的三個(gè)分量Ax,Ay

34、,Az互為對(duì)易時(shí)，上式中的，當(dāng)A的三個(gè)分量Ax,Ay,Az互為不對(duì)易時(shí)，。 對(duì)，由于(對(duì)易)，所以=但對(duì)，由于的三個(gè)分量不對(duì)易，且有，因此2證明 根據(jù)平均值的定義，因此，但由于是守恒量，=0，因此=0，的平均值不隨時(shí)間改變。五、解 我們已經(jīng)知道，對(duì)一維諧振子對(duì)諧振子的基態(tài)，能量，因此，由此得到但由于，（因?yàn)椋┮虼?，由基態(tài)躍遷到第一激發(fā)態(tài)所需能量為六、解 （1）電子的自旋磁矩與外磁場(chǎng)的相互作用Hamilton量 因?yàn)椋?，設(shè)在任意時(shí)刻，電子的自旋波函數(shù)，則Schrdinger方程為或由此得到，兩式相加得兩式相減得因此，因初始時(shí)刻（t=0），電子的自旋向z軸的正向極化，a(0)=1,b(0)=0由

35、此得到，c1=a(0)=1,c2=a(0)=1因此最后得到，電子在任意時(shí)刻的自旋波函數(shù)為（2）在狀態(tài)下，的平均值分別為（3）在態(tài)下的測(cè)值為的幾率是的測(cè)值為-的幾率是因此， 量子力學(xué)自測(cè)題9一回答下列問(wèn)題（共30分, 第1、2小題各10分，第3、4小題各5分）1、下列波函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)是否為定態(tài)？并說(shuō)明其理由。 （1）、 （1）、 2、描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù)在坐標(biāo)表象中為 ，在動(dòng)量表象中為 ，在力學(xué)量Q表象中為矩陣 且它們都是歸一化的，試指出 ， 與 的物理意義，并分別寫(xiě)出用這三個(gè)波函數(shù)計(jì)算力學(xué)量平均值的表示式。3、己知，試問(wèn)是否一定不能同時(shí)測(cè)定？說(shuō)明其原由或舉例說(shuō)明。4、量子力學(xué)的波函數(shù)與經(jīng)典的

36、波場(chǎng)有何本質(zhì)性的區(qū)別？二、在動(dòng)量表象中，求線性諧振子的能量本征函數(shù)（15分）三、(16分) 在 和 的共同本征態(tài)中，求 和的平均值。四(25分) 設(shè)一體系未受微擾作用時(shí)只有兩個(gè)非簡(jiǎn)并能級(jí)和，現(xiàn)在受到微擾的作用，體系的哈密頓算符為 +b a H= a +b 其中a，b為常數(shù)，用微擾公式求能量至二級(jí)近似和波函數(shù)一級(jí)近似，然后再用直接的方法求能量算符的本征值，并將能量本征值與微擾法得到的能量二級(jí)近似值進(jìn)行比較。五、(14分) 一體系由三個(gè)全同玻色子組成，玻色子之間無(wú)相互作用。玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)。問(wèn)體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子態(tài)構(gòu)成？ 量子力學(xué)自測(cè)題9參考答案一回答下列問(wèn)題

37、（共30分, 第1、2小題各10分，第3、4小題各5分） 1、下列波函數(shù)所描寫(xiě)的狀態(tài)是否為定態(tài)？并說(shuō)明其理由。 （1）、 （2）、 答: (1) 為非定態(tài)，因與有關(guān)。（5分）（2）為定態(tài)，因與無(wú)關(guān)。（5分）2、描寫(xiě)粒子狀態(tài)的波函數(shù)在坐標(biāo)表象中為 ，在動(dòng)量表象中為 ，在力學(xué)量Q表象中為矩陣 且它們都是歸一化的，試指出 ， 與 的物理意義，并分別寫(xiě)出用這三個(gè)波函數(shù)計(jì)算力學(xué)量平均值的表示式。答: t時(shí)刻粒子處在位置處的概率。（2分）t時(shí)刻粒子的動(dòng)量取值的概率。（2分）t時(shí)刻測(cè)量粒子的力學(xué)量F，測(cè)得值為其本征值Fn的幾率。（2分） （1分） （1分）=A+FA （2分）3、己知，試問(wèn)是否一定不能同時(shí)測(cè)

38、定？說(shuō)明其原由或舉例說(shuō)明。答: 不一定不能同時(shí)測(cè)定。例如在狀態(tài)中，可同時(shí)測(cè)定，它們的測(cè)量值均為零。 （5分）4、量子力學(xué)的波函數(shù)與經(jīng)典的波場(chǎng)有何本質(zhì)性的區(qū)別？答: 量子力學(xué)的波函數(shù)是一種概率波，沒(méi)有直接可測(cè)的物理意義，它的模方表示概率，才有可測(cè)的意義；經(jīng)典的波場(chǎng)代表一種物理場(chǎng)，有直接可測(cè)的物理意義。 （5分）二、（15分）在動(dòng)量表象中，求線性諧振子的能量本征函數(shù)Solve: 在動(dòng)量表象中 （2分）本征方程 ： （3分）令 該方程在區(qū)域上存在有限解的條件是要求 （3分）本征函數(shù)： （5分）歸一化常數(shù)： （2 分）即 二、（15分）在動(dòng)量表象中，求線性諧振子的能量本征函數(shù)Solve: 在動(dòng)量表象中

39、 （2分）本征方程 ： （3分）令 該方程在區(qū)域上存在有限解的條件是要求 （3分）本征函數(shù)： （5分）歸一化常數(shù)： （2 分）即 能量一級(jí)修正： （2分）能量二級(jí)修正：（2分）（2分）能量二級(jí)近似：（1分）（1分） 設(shè)和為零級(jí)近似波函數(shù), 則波函數(shù)一級(jí)近似 （3分） （3分）直接計(jì)算：設(shè)的本征矢為（），本征值為E，則本征方程為：（2分）久期方程：（3分）能量一級(jí)修正： （2分）能量二級(jí)修正：（2分）（2分）能量二級(jí)近似：（1分）（1分） 設(shè)和為零級(jí)近似波函數(shù), 則波函數(shù)一級(jí)近似 （3分） （3分）直接計(jì)算：設(shè)的本征矢為（），本征值為E，則本征方程為：（2分）久期方程：（3分）=（2分）（1分）

40、（1分）可見(jiàn)，用直接解能量算符本征方程的方法，求得的本征能量值在泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的二級(jí)近似下與微擾法得到的能量二級(jí)近似值一致五(14分) 一體系由三個(gè)全同玻色子組成，玻色子之間無(wú)相互作用。玻色子只有兩個(gè)可能的單粒子態(tài)。問(wèn)體系可能的狀態(tài)有幾個(gè)？它們的波函數(shù)怎樣用單粒子態(tài)構(gòu)成？解：體系的可能狀態(tài)有4個(gè)：（2分）（3分）（3分）（3分） 量子力學(xué)自測(cè)題101、一質(zhì)量為m的粒子沿x正方向以能量E向x=0處勢(shì)壘運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，勢(shì)能為零；當(dāng)時(shí)，勢(shì)能為。問(wèn)在x=0處粒子被反射的幾率多大？2、計(jì)算 （1）（2）設(shè)是的整函數(shù)，則3、試在氫原子的能量本征態(tài)下，計(jì)算和的平均值。4、有一個(gè)二能級(jí)體系，哈密頓量為， 和微擾算符

41、的矩陣表示為 其中表征微擾強(qiáng)度，。用微擾法求的本征值和本征態(tài)。5、自旋投影算符，為泡利矩陣，為單位矢量（）。 （1）對(duì)電子自旋向上態(tài)，求的可能值及相應(yīng)幾率； （2）對(duì)的本征值為1的本征態(tài)，求的可能值及相應(yīng)幾率。 6、設(shè)質(zhì)量為的兩個(gè)全同粒子作一維運(yùn)動(dòng)，它們之間的相互作用能為。 （1）若粒子自旋為0，寫(xiě)出它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)態(tài)的能量和波函數(shù)； （2）若粒子自旋，寫(xiě)出它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的能量和波函數(shù)。 量子力學(xué)測(cè)試題10參考答案1、一質(zhì)量為m的粒子沿x正方向以能量E向x=0處勢(shì)壘運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，勢(shì)能為零；當(dāng)時(shí)，勢(shì)能為。問(wèn)在x=0處粒子被反射的幾率多大？解：S-eq為 其中 由題意知 區(qū)域 既有入射

42、波，又有反射波；區(qū)域僅有透射波 故方程的解為 在x=0處，及都連續(xù)，得到 由此解得 注意 透射率 因?yàn)?將 ，分別代入幾率流密度公式 得 入射粒子流密度 反射粒子流密度 透射粒子流密度 由此得 反射率 透射率 2、計(jì)算 （1）（2）設(shè)是的整函數(shù)，則解：（1）因?yàn)閷⒌诙?xiàng)啞標(biāo)作更換 所以 （2）先由歸納法證明 （）式 上式顯然成立；設(shè)時(shí)上式成立，即 則 顯然，時(shí)上式也成立，（）式得證。因?yàn)?則 3、試在氫原子的能量本征態(tài)下，計(jì)算和的平均值。解：處于束縛態(tài)下的氫原子的能量 （1）計(jì)算 方法1 相應(yīng)的維里定理為 所以 方法2 選為參量 相應(yīng)的F-H定理 （2）計(jì)算 等效的一維哈密頓量 取為參量 相應(yīng)

43、的F-H定理 注意 4、有一個(gè)二能級(jí)體系，哈密頓量為， 和微擾算符的矩陣表示為 其中表征微擾強(qiáng)度，。用微擾法求的本征值和本征態(tài)。解：由于是對(duì)角化的，可見(jiàn)選用表象為表象 對(duì)于，由非簡(jiǎn)并微擾論計(jì)算公式 得 所以 ，二級(jí)近似能量和一級(jí)近似態(tài)矢為 ，；，。對(duì)于，由簡(jiǎn)并微擾論計(jì)算得一級(jí)近似能量和零級(jí)近似態(tài)矢為 ，；，。5、自旋投影算符，為泡利矩陣，為單位矢量（）。 （1）對(duì)電子自旋向上態(tài)，求的可能值及相應(yīng)幾率； （2）對(duì)的本征值為1的本征態(tài)，求的可能值及相應(yīng)幾率。解：（1）由 得 對(duì)于電子自旋向上態(tài)，取值的幾率分別為 （2）的本征值和本征態(tài) ，； ， 電子處于的本征值為1的本征態(tài)(即的本征值為的本征態(tài))

44、，則的可能值及相應(yīng)幾率為 6、設(shè)質(zhì)量為的兩個(gè)全同粒子作一維運(yùn)動(dòng)，它們之間的相互作用能為。 （1）若粒子自旋為0，寫(xiě)出它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)態(tài)的能量和波函數(shù)； （2）若粒子自旋，寫(xiě)出它們的相對(duì)運(yùn)動(dòng)基態(tài)及第一激發(fā)態(tài)的能量和波函數(shù)。解：體系的哈密頓量為 引入質(zhì)心坐標(biāo)和相對(duì)坐標(biāo)： 在坐標(biāo)變換下，體系的哈密頓量變?yōu)?相對(duì)運(yùn)動(dòng)哈密頓量為 （1）若粒子自旋為0，則相對(duì)運(yùn)動(dòng)態(tài)的能量和波函數(shù)為 限定是為了保證波函數(shù)對(duì)交換和是對(duì)稱的。（2）若粒子自旋，則相對(duì)運(yùn)動(dòng)態(tài)的能量和波函數(shù)為 其中 體系基態(tài)能量和波函數(shù) 體系第一激發(fā)態(tài)能量和波函數(shù) 量子力學(xué)自測(cè)題(11)一、（30分）回答下列問(wèn)題：（1）何謂微觀粒子的波粒兩象性？（2

45、）波函數(shù)是用來(lái)描述什么的？它應(yīng)該滿足什么樣的自然條件？的物理意義是什么？（3）分別說(shuō)明什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡(jiǎn)并態(tài)與負(fù)宇稱態(tài)？（4）物理上可觀測(cè)量應(yīng)該對(duì)應(yīng)什么樣的算符？為什么？（5）坐標(biāo)x分量算符與動(dòng)量x分量算符是對(duì)易關(guān)系是什么？并寫(xiě)出兩者滿足的不確定關(guān)系。（6）厄米算符的本值與本征矢|n分別具有什么性質(zhì)？二（20分）設(shè)氫原子處于的狀態(tài)上，求能其量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量Z分量的可能取值與相應(yīng)的取值概率，進(jìn)而求出它們的平均值。三、（25分）設(shè)厄米算符的本征矢為,構(gòu)成正交歸一完備函數(shù)系，定義一個(gè)算符（1）計(jì)算對(duì)易（2）證明（3）計(jì)算陣跡（4）若算符的矩陣元為證明四、（25分）自旋為，固有磁矩為（其中

46、為實(shí)常數(shù)）的粒子，處于均勻外磁場(chǎng)中，設(shè)t=0時(shí)粒子處于的狀態(tài)。（1）求出t0時(shí)的波函數(shù)；（2）求出t0時(shí)與的可測(cè)值及相應(yīng)的取值概率。五、（25分）已知二維諧振子的哈密頓算符為，對(duì)其施加微擾后，利用微擾論求基態(tài)能量至二級(jí)修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級(jí)修正。六、（25分）設(shè)粒子處于Ylm(,)態(tài),求該態(tài)中Lx, Ly, Lz的平均值.量子力學(xué)自測(cè)題(11)答案一、（30分）回答下列問(wèn)題：（1）何謂微觀粒子的波粒兩象性？解 微觀粒子既不是粒子，也不是波。更確切地說(shuō)，它既不是經(jīng)典意義下的粒子，也不是經(jīng)典意義下的波，但是，它即具有經(jīng)典粒子的屬性（具有確定的質(zhì)量、電荷與自旋），又具有經(jīng)典波動(dòng)的屬性（具有干涉及

47、衍射現(xiàn)象）。嚴(yán)格地說(shuō)，微觀粒子就是微觀粒子，粒子與波只是微觀粒子的兩種不同屬性。如果硬是要用經(jīng)典的概念來(lái)理解它的話，那么，微觀粒子既具有經(jīng)典粒子的屬性又具有經(jīng)典波動(dòng)的屬性，是經(jīng)典粒子與經(jīng)典波動(dòng)這一矛盾的綜合體。（2）波函數(shù)是用來(lái)描述什么的？它應(yīng)該滿足什么樣的自然條件？的物理意義是什么？解 波函數(shù)是用來(lái)描述體系狀態(tài)的復(fù)函數(shù)，除了應(yīng)滿足平方可積的條件之外，它還應(yīng)該是單值、有限和連續(xù)的。表示在時(shí)刻附件體積元中粒子出現(xiàn)的概率密度。（3）分別說(shuō)明什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡(jiǎn)并態(tài)與負(fù)宇稱態(tài)？解 當(dāng)粒子在坐標(biāo)趨向無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，描述粒子狀態(tài)的波函數(shù)趨向零，稱之為粒子處于束縛態(tài)。若一個(gè)本征值對(duì)應(yīng)一個(gè)以上不同的本征態(tài)，則

48、稱該本征值是簡(jiǎn)并的，所對(duì)應(yīng)的本征態(tài)即為簡(jiǎn)并態(tài)，本征態(tài)的個(gè)數(shù)就是相應(yīng)的簡(jiǎn)并度。將波函數(shù)中的坐標(biāo)變量改變一個(gè)負(fù)號(hào)，若得到的新波函數(shù)與原波函數(shù)相差一個(gè)負(fù)號(hào)，則稱其為負(fù)宇稱態(tài)。（4）物理上可觀測(cè)量應(yīng)該對(duì)應(yīng)什么樣的算符？為什么？解 物理上可觀測(cè)量對(duì)應(yīng)線性厄米算符。線性是狀態(tài)疊加原理要求的，厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)，可與（實(shí)數(shù)）觀測(cè)值比較。（5）坐標(biāo)x分量算符與動(dòng)量x分量算符是對(duì)易關(guān)系是什么？并寫(xiě)出兩者滿足的不確定關(guān)系。解 對(duì)易關(guān)系為不確定關(guān)系為x。（6）厄米算符的本值與本征矢|n分別具有什么性質(zhì)？解 本征值為實(shí)數(shù)，本征矢構(gòu)成正交、歸一和完備的函數(shù)系。二（20分）設(shè)氫原子處于的狀態(tài)上，求能其量、角動(dòng)量平方及

49、角動(dòng)量Z分量的可能取值與相應(yīng)的取值概率，進(jìn)而求出它們的平均值。解 選為描述體系的力學(xué)量完全集，氫原子的本征解為(r,)=其中量子數(shù)的取值范圍是n=1,2,3,； =0,1,2,，n-1；m=,-1, -2,，-+1,- 利用歸一化條件求出歸一化常數(shù)為氫原子的能量只與主量子數(shù)n有關(guān)，依題題可知，n的可能取值有兩個(gè)，即n=2,3,于是； ； 角動(dòng)量量子數(shù)l的可能取值只有一個(gè)，即 l=1,故有角動(dòng)量磁量子數(shù)m的可能取值有兩個(gè)，即m=-1,0,于是； ； 三、（25分）設(shè)厄米算符的本征矢為,構(gòu)成正交歸一完備函數(shù)系，定義一個(gè)算符（1）計(jì)算對(duì)易（2）證明（3）計(jì)算陣跡（4）若算符的矩陣元為證明解 （1）對(duì)

50、于任意一個(gè)態(tài)矢，有 故 （2）（3）算符的陣跡為 （4）算符而 四、（25分）自旋為，固有磁矩為（其中為實(shí)常數(shù)）的粒子，處于均勻外磁場(chǎng)中，設(shè)t=0時(shí)粒子處于的狀態(tài)。（1）求出t0時(shí)的波函數(shù)；（2）求出t0時(shí)與的可測(cè)值及相應(yīng)的取值概率。解 體系的哈密頓算符為 在泡利表象中，哈密頓算符的本征解為 （1）在t=0時(shí)，粒子處于的狀態(tài)，即式中，是相應(yīng)于本征值為1的本征態(tài)。為了求出在泡利表象中的具體形式，需要求解滿足的本征方程解之得 于是有由于哈密頓算符不顯含時(shí)間，故t0時(shí)刻的波函數(shù)為（2）因?yàn)樗允鞘睾懔?，它的取值概率與平均值不隨時(shí)間改變。換句話說(shuō)，只要計(jì)算出t=0時(shí)，的取值概率，就知道了t0時(shí)的取值概

51、率。由于 故有的取值概率為 而 五、（25分）已知二維諧振子的哈密頓算符為，對(duì)其施加微擾后，利用微擾論求基態(tài)能量至二級(jí)修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級(jí)修正。提示：，其中為線諧振子的第n個(gè)本征矢。解 體系的哈密頓算符為其中已知的解為其中n1、n2、n=0,1,2，i=1,2,3,，fn將前三個(gè)能量與波函數(shù)具體寫(xiě)出來(lái)；對(duì)于基態(tài)而言，n1=n2=n=0,f0=1,體系無(wú)簡(jiǎn)并。利用公式可知顯然，求和號(hào)中不為零的矩陣無(wú)只有于是得到第二激發(fā)態(tài)為3度簡(jiǎn)并，在簡(jiǎn)并子空間中，能量一級(jí)修正滿足的久期方程 =0 其中W11=W22=W33=W12=W21=0W13=W31=W23=W32=于是得到； ；量子力學(xué)自測(cè)題(1

52、2)一、填空題（本題20分）1在量子力學(xué)中，體系的量子態(tài)用Hilbert空間中的 來(lái)描述，而力學(xué)量用 描述。力學(xué)量算符必為 算符，以保證其 為實(shí)數(shù)。對(duì)體系進(jìn)行某一力學(xué)量的測(cè)量時(shí)，測(cè)量結(jié)果一般來(lái)說(shuō)是不確定的。測(cè)量結(jié)果的不確定性來(lái)源于 。2在量子力學(xué)中，一個(gè)力學(xué)量是否是守恒量只決定于 的性質(zhì)，也就是說(shuō)，決定于該力學(xué)量是否與體系的 對(duì)易，而與體系的 無(wú)關(guān)。一個(gè)力學(xué)量是否具有確農(nóng)業(yè)環(huán)境保護(hù)值，只決定于體系的 ，也就是說(shuō)，決定于體系是否處于該力學(xué)量的 ，無(wú)論該力學(xué)量是否守恒量。二、（本題15分）1設(shè)全同二粒的體系的Hamilton量為（1，2，），波函數(shù)為（1，2，），試證明交換算符是一個(gè)守恒量。2設(shè)是

53、一個(gè)幺正算符，求證是厄米算符。3設(shè)為Pauli矩陣，（1）求證：（2）試求：三、（本題10分）求證：是角動(dòng)量平方算符的本征值為的本征函數(shù)。四、（本題15分）設(shè)一量子體系處于用波函數(shù)所描述的量子態(tài)。求：（1）在該態(tài)下，的可能測(cè)值和各個(gè)值出現(xiàn)的幾率。（2）的平均值。如有必要可利用，。五、（本題20分）已知，在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)粒子的能量本征值和本征函數(shù)分別為， （n=1，2，3）設(shè)粒子受到微擾： 求其態(tài)（n=1）能量的一級(jí)近似值。如有必要，可利用積分公式。六、（本題20分）設(shè)表示一維諧振子的能量本征態(tài)，且已知，（1）求矩陣元。（2）設(shè)該諧振子在t=0時(shí)處于基態(tài)，從t0開(kāi)始受微擾的作用。求：經(jīng)充

54、分長(zhǎng)時(shí)時(shí)以后體系躍遷到態(tài)的幾率。量子力學(xué)自測(cè)題(12)參考答案一、填空題1矢量，算符，厄米，本征值，態(tài)的疊加2力學(xué)量，Hamilton量，狀態(tài)，狀態(tài)，本征態(tài)二、1證明 全同粒子的不可區(qū)分性體現(xiàn)在體系Hamilton量的交換對(duì)稱性。也就是說(shuō)，因此，由此得到，所以，為守恒量2證明因?yàn)槭晴壅?，所以因此可?jiàn)為厄米算符。3證明（1） (2)由于=因此，=Tr=三、證明 因?yàn)橛纱说玫?，因此，可?jiàn)，是的本征值為的本征函數(shù)。四、解 先把用球諧函數(shù)展開(kāi)如下：=可見(jiàn)，體系的=1，m=0，1。因此，的可能測(cè)值為0或，出現(xiàn)0的幾率為 ，出現(xiàn)的幾率為。的平均值為五、解 受到微擾的作用后基態(tài)能量的一級(jí)修正值為六、解（1

55、） 利用公式：得到 由此可見(jiàn)（2）在一級(jí)近似下，體系從能級(jí)E0躍遷到En的躍遷振幅為，其中，。因此，從基態(tài)躍遷振幅經(jīng)充分長(zhǎng)時(shí)間后，因此，躍遷幾率為 量子力學(xué)考自測(cè)題（13）一、（20分）質(zhì)量為m的粒子做一維自由運(yùn)動(dòng)，如果粒子處于的狀態(tài)上，求其動(dòng)量p與動(dòng)能T的取值概率分布及平均值。二、（20分）質(zhì)量為m的粒子處于如下一維勢(shì)阱中 若已知粒子在此勢(shì)阱中存在一個(gè)能量的本征態(tài)，試確定此勢(shì)阱的寬度a。三、（20分）在三維希爾波特空間中，已知兩個(gè)算符的矩陣形式為； 其中、為實(shí)常數(shù)。證明算符是厄米算符，并且兩者相互對(duì)易，進(jìn)而求出它們的共同本征函數(shù)。四、（20分）固有磁矩為的電子，t=0時(shí)處于的狀態(tài)，同時(shí)進(jìn)入均

56、勻磁場(chǎng)中。給出t0時(shí)的波函數(shù)，在此狀態(tài)下測(cè)量得的概率是多少。五、（20分）一個(gè)電荷為q、質(zhì)量為和角頻率為的線諧振子，受到恒定弱電場(chǎng)的作用，即，求其能量近似到二級(jí)修正，波函數(shù)近似到一級(jí)修正。量子力學(xué)自測(cè)題（13）參考答案一、（20分）質(zhì)量為m的粒子做一維自由運(yùn)動(dòng)，如果粒子處于的狀態(tài)上，求其動(dòng)量p與動(dòng)能T的取值概率分布及平均值。解 做一維自由運(yùn)動(dòng)粒子的動(dòng)量與動(dòng)能算符分別為； 顯然兩者相互對(duì)易，有共同完備本征函數(shù)分別滿足將向展開(kāi)，即展開(kāi)系數(shù)只有當(dāng)p=0，2k時(shí)，。利用歸一化條件可知，歸一化常數(shù)為于是歸一化后的展開(kāi)系數(shù)為； ； 動(dòng)量的取值概率為； ； 平均值為動(dòng)能的取值概率與動(dòng)量相同，而平均值為二、（

57、20分）質(zhì)量為m的粒子處于如下一維勢(shì)阱中 若已知粒子在此勢(shì)阱中存在一個(gè)能量的本征態(tài)，試確定此勢(shì)阱的寬度a。解 對(duì)于的情況，三個(gè)區(qū)域中的波函數(shù)分別為其中； 當(dāng)時(shí)，于是C=0。在x=0處，故有，即，于是波函數(shù)簡(jiǎn)化為在x=a處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件得到于是有此即能量本征值滿足的超越方程。當(dāng)時(shí)，由于 （n=1，2，3，）最后得到勢(shì)阱的寬度三、（20分）在三維希爾波特空間中，已知兩個(gè)算符的矩陣形式為； 其中、為實(shí)常數(shù)。證明算符是厄米算符，并且兩者相互對(duì)易，進(jìn)而求出它們的共同本征函數(shù)。解 由厄米算符的定義知，厄米算符滿足或者 題中所給出的算符和算符皆為實(shí)對(duì)稱矩陣，故它們都是厄米算符。因?yàn)槎?/p>

58、有設(shè)滿足的本征方程為由于是對(duì)角矩陣，所以它的本征值就是其對(duì)角元，即其中E2=E3，該本征值具有二度簡(jiǎn)并。由于簡(jiǎn)并的存在，僅由算符不能惟一確定E2、E3的波函數(shù)。當(dāng)時(shí)，由本征方程可知，c1=1, c2=c3=0,于是波函數(shù)為進(jìn)而得到上式說(shuō)明也是算符的本征波函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本征值為-b。由此看來(lái)，是算符與的共同本征函數(shù)，對(duì)應(yīng)的本值分別為和B1=-b。當(dāng)E2=E3=-時(shí)，波函數(shù)無(wú)法惟一確定，它們的矩陣形式是一樣的，為簡(jiǎn)潔起見(jiàn)，統(tǒng)一記為用算符作用上式，得到其滿足的本征方程在簡(jiǎn)并子空間中，久期方程為得到B的另外兩個(gè)本征值，分別記為B2=b； B3=-b當(dāng)B2=b時(shí)，將其代入本征方程，有得到d2=d3由歸一化

59、條件知進(jìn)而得到將其代入的表達(dá)式，有當(dāng)B3=-b時(shí)，重復(fù)上面的求解過(guò)程，可以得到綜上所述，算符與的本征值都是二度簡(jiǎn)并的，本征波函數(shù)皆不能惟一確定，但因?yàn)樗鼈兿嗷?duì)易，所以有共同完備本征函數(shù)系，它們的共同本征函數(shù)是惟一確定的，用公式表示如下四、（20分）固有磁矩為的電子，t=0時(shí)處于的狀態(tài)，同時(shí)進(jìn)入均勻磁場(chǎng)中。給出t0時(shí)的波函數(shù)，在此狀態(tài)下測(cè)量得的概率是多少。解 第一步，解定態(tài)薛定諤方程。這是一個(gè)討論自旋狀態(tài)隨時(shí)間演變的問(wèn)題，故可以不顧及空間自由度。磁矩與外磁場(chǎng)相互作用引起一個(gè)附加能量，與自旋相關(guān)的哈密頓算符為其中e、m分別為電子的電荷的絕對(duì)值與質(zhì)量。若令則哈密頓算符可簡(jiǎn)化為在表象中，哈密頓算符是

60、對(duì)角矩陣，它的解可以直接寫(xiě)出； ； 第二步，寫(xiě)出任意時(shí)刻的波函數(shù)。依題意知式中是在s2、sx表象中的的本征矢。為了將其在表象中表示出來(lái)，必須求解滿足的本征方程，即解之得，對(duì)應(yīng)的本征矢分別為在表象中，初態(tài)為于是t 0時(shí)刻的波函數(shù)為第三步，求在態(tài)上測(cè)量，得的概率。在態(tài)上測(cè)量得的概率為實(shí)際上，由于的守恒量，故其取值概率不隨時(shí)間改變。五、（20分）一個(gè)電荷為q、質(zhì)量為和角頻率為的線諧振子，受到恒定弱電場(chǎng)的作用，即，求其能量近似到二級(jí)修正，波函數(shù)近似到一級(jí)修正。解 體系的哈密頓算符與微擾算符分別為的解為； 由于的解無(wú)簡(jiǎn)并，可以利用無(wú)簡(jiǎn)并微擾論的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。由可知顯然能量一級(jí)修正能量的二級(jí)修正為近似