復(fù)變函數(shù)第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用知識點總結(jié)_第1頁
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1、5/5第六章留數(shù)理論及其應(yīng)用1.留數(shù)1.（定理柯西留數(shù)定理）：2.（定理）：設(shè)a為f(z)的m階極點，其中在點a解析，則3.（推論）：設(shè)a為f(z)的一階極點，則4.（推論）：設(shè)a為f(z)的二階極點則5.本質(zhì)奇點處的留數(shù)：可以利用洛朗展式6.無窮遠點的留數(shù)：即，等于f(z)在點的洛朗展式中這一項系數(shù)的反號7.（定理）如果函數(shù)f(z)在擴充z平面上只有有限個孤立奇點（包括無窮遠點在內(nèi)），設(shè)為，則f(z)在各點的留數(shù)總和為零。注：雖然f(z)在有限可去奇點a處，必有，但是，如果點為f(z)的可去奇點（或解析點），則可以不為零。8.計算留數(shù)的另一公式：2.用留數(shù)定理計算實積分一.引入注：注意偶函數(shù)

2、二.型積分1.（引理大弧引理）：上則2.（定理）設(shè)為互質(zhì)多項式，且符合條件：（1）n-m2;（2）Q(z)沒有實零點于是有注：可記為三.型積分3.（引理若爾當(dāng)引理）：設(shè)函數(shù)g(z)沿半圓周上連續(xù)，且在上一致成立。則4.（定理）：設(shè)，其中P(z)及Q(z)為互質(zhì)多項式，且符合條件：（1）Q的次數(shù)比P高；（2）Q無實數(shù)解；（3）m0則有特別的，上式可拆分成：及四.計算積分路徑上有奇點的積分5.（引理小弧引理）：于上一致成立，則有五.雜例六.應(yīng)用多值函數(shù)的積分3.輻角原理及其應(yīng)用即為：求解析函數(shù)零點個數(shù)1.對數(shù)留數(shù)：2.（引理）：（1）設(shè)a為f(z)的n階零點，則a必為函數(shù)的一階極點，并且（2）設(shè)b為f(z)的m階極點，則b必為函數(shù)的一階極點，并且3.（定理對數(shù)留數(shù)定理）：設(shè)C是一條周線，f(z)滿足條件：（1）f(z)在C的內(nèi)部是亞純的；（2）f(z)在C上解析且不為零。則有注1：當(dāng)條件更改為：（1）f在Int(C)+C上解析；（2）C上有f0，有，即注2：條件可減弱為：f(z)連續(xù)到邊界C，且沿C有f(z)04.（輔角原理）：5.（定理魯歇（Rouche）定理）：設(shè)C是一條周線，函數(shù)f(z)及(z)滿足條件：（1）它們在C的內(nèi)部均解析，且連續(xù)到C；（2）在C上，|f(z)|(z)|則函數(shù)f(z)與f(z)+(z)在C內(nèi)部有同樣多（幾階算幾個）的零點，

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