1、2圓與圓的方程2.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程問(wèn)題引航1.圓的定義是怎樣的？一個(gè)圓由哪些因素確定？2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由什么確定？若求一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需要求什么？1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的定義：平面內(nèi)到_的距離等于_的點(diǎn)的集合叫作圓，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為圓的半徑.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為A(a，b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.當(dāng)a=b=0時(shí)，方程為x2+y2=r2，表示以_為圓心，r為半徑的圓.定點(diǎn)定長(zhǎng)(x-a)2+(y-b)2=r2(0，0)2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式A(x1，y1)，B(x2，y2)的中點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi).1.判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)確定一個(gè)圓的幾何要素是圓心與半徑.()(2)若點(diǎn)M

2、(1，1)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)的外部，則(1-a)2+(1-b)2r2.()(3)A(a，0)，B(0，b)的中點(diǎn)坐標(biāo)為 .()【解析】(1)正確.只要圓心與半徑確定，則圓的方程就確定.(2)正確.因?yàn)镸在圓外，所以 所以(1-a)2+(1-b)2r2.(3)正確.A，B中點(diǎn)坐標(biāo)為 即 答案：(1)(2)(3)2.做一做(請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上)(1)圓心在(0，1)，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).(2)圓(x-3)2+(y-2)2=9的圓心為_(kāi)，半徑r=_.(3)點(diǎn)P(0，2)與圓x2+(y-1)2=2的位置關(guān)系是_.【解析】(1)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得(x-0)2+(

3、y-1)2=4.答案：x2+(y-1)2=4(2)由圓的方程知圓心坐標(biāo)為(3，2)，半徑為3.答案：(3，2)3(3)把P(0，2)代入到圓的方程中，可知02+(2-1)2=124，所以點(diǎn)P(m，5)在圓外.【題型示范】類型一 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法【典例1】(1)(2014德州高一檢測(cè))已知一圓的圓心為(2，-3)，一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上，則此圓的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52(2)(2014南京高一檢測(cè))圓心是(-2，3)，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).(3)(

4、2014長(zhǎng)沙高一檢測(cè))求過(guò)點(diǎn)A(1，-1)，B(-1，1)且圓心C在直線x+y-2=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題探究】1.在題(1)中，若設(shè)直徑的端點(diǎn)為(x0，0)，(0，y0)，那么如何求x0，y0的值？2.在題(2)中，半徑r如何求？3.在題(3)中，若設(shè)圓心為(a，b)，那么a，b滿足何種關(guān)系？【探究提示】1. y0=-6.2. 3.a+b-2=0且(a-1)2+(b+1)2=(a+1)2+(b-1)2.【解析】(1)選A.設(shè)直徑端點(diǎn)為A(x0，0)，B(0，y0).則 所以x0=4，y0=-6.所以半徑為r= 所以圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=13.(2)設(shè)圓的半徑為r，則r=

5、所以圓的方程為(x+2)2+(y-3)2=13.答案：(x+2)2+(y-3)2=13.（3）設(shè)圓心為(a，b)，半徑為r，由題意得：解得 r=所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=4.【方法技巧】求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法(1)待定系數(shù)法：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)條件求出方程中的參數(shù).(2)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)求出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【變式訓(xùn)練】(2014南京高一檢測(cè))當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a-1)x-y+a+1=0恒過(guò)定點(diǎn)C，則以C為圓心， 為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.【解析】將直線方程化為：(x+1)a-(x+y-1)=0，可知直線恒過(guò)點(diǎn)(-1，2)，從而圓

6、心為(-1，2)，r= ，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+(y-2)2=5.答案：(x+1)2+(y-2)2=5【補(bǔ)償訓(xùn)練】以線段AB：x+y-2=0(0 x2)為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).【解析】由題意可設(shè)A(0，2)，B(2，0)，則圓心為AB的中點(diǎn)(1，1)，半徑 故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-1)2=2.答案：(x-1)2+(y-1)2=2類型二 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【典例2】(1)點(diǎn)(1，1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部，則a的取值范圍是()A.a1 B.-1a1C.0a1 D.a=1(2)已知A(-1，1)，B(-2，-6)，C(6，0).求ABC的外接圓方程.試判斷M

7、(-3，-3)，N(5，2)，Q(4，-7)是在所求圓的圓上，圓內(nèi)還是圓外.【解題探究】1.在題(1)中，有幾種方法可確定a的范圍？2.在題(2)中，要確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有幾個(gè)參數(shù)待定？【探究提示】1.有兩種方法.代數(shù)法：將(1，1)代入圓的方程滿足(1-a)2+(1+a)24.幾何法：點(diǎn)到圓心的距離小于半徑.2.有三個(gè)參數(shù)a，b，r.【自主解答】(1)選B.因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4的內(nèi)部，所以(1-a)2+(1+a)24，所以2+2a24，a21，-1a4，8+2a24，a2-2，所以a是任意實(shí)數(shù).即aR.答案：(-，+)【誤區(qū)警示】在解答本題時(shí)，往往會(huì)對(duì)結(jié)果產(chǎn)生懷疑

8、，誤認(rèn)為a的取值不可能是全體實(shí)數(shù).從平面幾何的角度深度思考，會(huì)發(fā)現(xiàn)圓心在直線y=-x上，而點(diǎn)(2，2)到直線的距離為2 2，故點(diǎn)(2，2)一定在圓外.【方法技巧】判斷點(diǎn)與圓位置關(guān)系的兩種方法判斷點(diǎn)P(x0，y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關(guān)系有幾何法和代數(shù)法兩種：(1)幾何法主要是利用點(diǎn)和圓心的距離與半徑比較大小.(2)代數(shù)法主要是把點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，具體判斷如下：當(dāng)(x0-a)2+(y0-b)2r2時(shí)，點(diǎn)在圓外.【變式訓(xùn)練】點(diǎn)P(a，-5)與圓x2+(y-3)2=63的位置關(guān)系是 ()A.點(diǎn)P在圓內(nèi) B.點(diǎn)P在圓外C.點(diǎn)P在圓上 D.不確定【解析】選B.判斷點(diǎn)與圓的位

9、置關(guān)系，即尋求點(diǎn)P到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系，設(shè)C為圓心，r為半徑，則|PC|2=a2+6463=r2，所以點(diǎn)P在圓外.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知點(diǎn)A(8，-6)與圓C：x2+y2=25，P是圓C上任意一點(diǎn)，則|AP|的最小值是_.【解析】由題意|AP|的最小值等于點(diǎn)A與圓心的距離減去半徑，由于|AC|-r= -5=10-5=5，故|AP|的最小值等于5.答案：5【拓展類型】與圓有關(guān)的應(yīng)用性問(wèn)題【備選例題】1.一輛卡車寬2.7米，要經(jīng)過(guò)一個(gè)半徑為4.5米的半圓形隧道(雙車道，不得違章)，則這輛卡車的平頂車篷篷頂距離地面的高度不得超過(guò)_米.2.如圖，河道上有一座圓拱橋，在正常水位時(shí)，拱圈最高點(diǎn)距水面9m

10、，拱圈內(nèi)水面寬22m.一條船在水面以上部分高6.5m，船頂部寬4m，故通行無(wú)阻.近日水位暴漲了2.7m，為此，必須加重船載，降低船身，才能通過(guò)橋洞.試問(wèn)船身至少應(yīng)該降低多少？(精確到0.01，參考數(shù)據(jù)： 99.383)【解析】1.可畫(huà)出示意圖，如圖所示，通過(guò)勾股定理解得答案：3.62.以正常水位時(shí)河道中央O為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O垂直于水面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)橋拱圓的圓心O1(0，y0)，半徑為r，則圓的方程為x2+(y-y0)2=r2，依題意得：(r-9)2+112=r2，112+(0-y0)2=r2，解得： 所以圓的方程為 當(dāng)x=2時(shí)，y= 8.82，6.5-(8.82-2

11、.7)=0.38(m).所以為使船能通過(guò)橋洞，應(yīng)至少降低船身0.38m.【方法技巧】圓的實(shí)際問(wèn)題的求解思路與圓有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題很多，解決這些實(shí)際問(wèn)題時(shí)首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，根據(jù)實(shí)際意義寫(xiě)(設(shè))出圓的方程，再利用方程解決問(wèn)題.【易錯(cuò)誤區(qū)】對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)形式認(rèn)識(shí)不清致誤【典例】(2014南京高一檢測(cè))已知點(diǎn)A(2，-1)，B(-2，4)，以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r，由題意知，圓心為AB中點(diǎn)，所以a= b= 所以圓心為 半徑r= 故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 答案： 【常見(jiàn)誤區(qū)】錯(cuò)解錯(cuò)因剖析 陰影處對(duì)圓的方程形式記錯(cuò)而致誤【防范措施】1.確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵是確定圓心和半徑.如本例即是先求出圓心，再求出半徑，從而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.準(zhǔn)確