1、數(shù)學建模習題任課教師：鄭勛燁 第132頁 共132頁 日期：2016年 6月10日 數(shù)學模型引論1.在現(xiàn)實生活中，我們總希望事情能達到最好的結(jié)果，解決最優(yōu)化問題便是數(shù)學的一些最為常見的應(yīng)用,比如下面的這個實際問題：配件廠為裝配生產(chǎn)若干種部件,輪換生產(chǎn)不同的部件時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準備費(與生產(chǎn)數(shù)量無關(guān)),同一部件的產(chǎn)量大于需求時因積壓資金,占用倉庫要儲存費。已知某一種部件的日需求量100件，生產(chǎn)準備費5000元，存儲費每件1元，如果生產(chǎn)能力遠大于需求，試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（稱為生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，可使總費用最少？解：存儲量定義的是否合適，將是一個至關(guān)重要的問題。存儲量

2、過大，存儲的費用就會過高，存儲量太小，會導(dǎo)致一次性定購費用增加，或不能及時滿足需求。假設(shè)用戶不允許缺貨的情況出現(xiàn)，此時我們只需要考慮兩種費用：生產(chǎn)準備費和產(chǎn)品的存儲費?？紤]連續(xù)模型，即設(shè)生產(chǎn)周期T和產(chǎn)量Q均為連續(xù)量，根據(jù)問題性質(zhì)作出一些必要的假設(shè)，其中產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r，每次生產(chǎn)準備費，每天c1每件產(chǎn)品儲存費c2,根據(jù)經(jīng)濟學中的經(jīng)濟訂貨批量公式（EOO公式）可得：生產(chǎn)周期T:產(chǎn)量Q:每天的最小平均費用c: 無論我們進行何種工作，我們總是希望達到最好的結(jié)果，而使不好的方面或消耗等降到最低。如：計算機系統(tǒng)管理員要使計算機的處理能力達到最大，而使作業(yè)的延遲最少；農(nóng)民會盡量調(diào)整種植空間從而使收獲

3、最大等，這些以及許多其他的應(yīng)用都有一個共同的數(shù)學模式：有一個或多個可以控制的變量，他們通常要受一些實際中的限制，通過對這些變量的控制，從而使某個目標達到最優(yōu)。最優(yōu)化模型正是要給問題的約束條件，確定受約束的可控變量的取值，以達到最優(yōu)結(jié)果。許多有趣的實際問題包含著隨時間發(fā)展的過程，動態(tài)模型被用于表現(xiàn)這些過程的演變。比如以下的高校餐廳學生就餐問題：在一高校里只有兩類餐廳，一類是學校公辦餐廳，另一類是私人的承包餐廳，通過調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在公辦餐廳就餐的學生有60%的回頭率，而在承包餐廳就餐的學生有50%的回頭率。按照上述規(guī)律，隨著時間的推移，在這兩類餐廳就餐的學生的比例隨之變化，我們要解決的是當時間充分長時

4、學生在每類餐廳長期就餐的百分比。假設(shè)我們是定期統(tǒng)計就餐數(shù)據(jù)，比如可以是一天，一個月或更長的時間段，那么若t時刻學生在公辦餐廳和承包餐廳的百分比分別為a(t)與b(t)，則在t+1時刻學生在兩類餐廳就餐的百分比分別為a(t+1)與b(t+1)，根據(jù)就餐規(guī)律可得利用了數(shù)學建模的方法，我們將原本很抽象的復(fù)雜關(guān)系用簡潔的式子表現(xiàn)出來。原問題就轉(zhuǎn)化為純粹的數(shù)學極限求解問題，從而得到最終的動態(tài)變化結(jié)果。許多現(xiàn)實生活問題包含有不確定性的元素。而把概率這個常見和直觀的概念引入模型當中有時會帶來簡便，有時卻是必須的。我們生活中有如下實例：某人給他的N個朋友寫信，寫好后，分別將這些信封裝入N個信封中，并在信封上隨

5、機、不斷重復(fù)地寫上N個收信人的地址。問他一個都沒寫正確和恰有r個寫正確的概率各是多少？這個問題背景就是將N封寫好的信放到寫著正確地址的信封。而建模目的是計算所有的信都沒有正確放到該放的信封的事件的概率，以及計算恰有r封信正確放到該放的信封的概率。根據(jù)建立數(shù)學模型的目的和問題的背景，用A和Bi表示沒有正確放到該放的信封的事件以及恰有r封信正確放到該放的信封的事件；再利用概率論中的乘法原理和古典概率的計算公式，列出數(shù)學式子，其中k=0,1,2,3N這個問題是直接應(yīng)用概率知識建的一個概率統(tǒng)計模型。實際上，概率統(tǒng)計模型的可以解決很多有規(guī)律性的隨機現(xiàn)象問題。比如：賭博問題，巴拿赫火柴盒問題，施肥效果分析

6、問題還有典型的排隊服務(wù)問題等等。絕大多數(shù)數(shù)學模型可以歸為三大類型：優(yōu)化模型、動態(tài)模型和概率模型。在實際應(yīng)用中模型的類型可能由所遇到的問題決定，但更多的是與使用者對模型的選擇有關(guān)。2.（1）汽車種類,汽車數(shù)量,天然光照時間與強度（2）作物種類,作物數(shù)量,灌溉情況,日照時間與強度（3）市場上存在的產(chǎn)品種類與數(shù)量,消費者心理價位,產(chǎn)品質(zhì)量（4）疾病死亡率,藥的治愈率（5）路線長度,山的高度,天氣情況,能見度3.解：（1）注射一定量的葡萄糖,采集一定容子的血樣, 測量注射前后葡萄糖含量的變話,即可估計人體的血液中總量,注意采集和測量的時間要選擇差當,使血液中的葡萄糖含量充分均勻,有基本上未被人體吸收.

7、 （2）調(diào)查不同年齡的人的死亡率,并估計異地國內(nèi)時期的變化,還應(yīng)考慮銀行存貨利率和物價指數(shù),保險金和賠償金之比大體上應(yīng)高于死亡率. （3）從椅披燈管中取應(yīng)頂?shù)娜萘康臉颖緜?cè)得平均壽命馬克作為該批燈管壽命的估計值,衡量估計的精度,需要從樣本的壽命決定該批燈管壽命的概率分布.即可得到估計值的置性區(qū)間,還可試驗用提高電壓的辦法加速壽命測試,以縮短測量時間. （4）根據(jù)牛噸第二定律建立向上發(fā)射后的運動方程,初速已知,若不考慮空氣阻力很容易算出到達的最高點時間 若考慮空氣阻力,不妨設(shè)其與火箭的速度成正比 并由試驗及擬和方法確定這里系數(shù),再解方程得到的結(jié)果. （5）司機砍刀黃燈后停車要有一定的剎車距離S1

8、假設(shè)通過十字路口的距離是S2汽車行駛的速度為U 黃燈的時間長度t應(yīng)使距停車線S1之內(nèi)的汽車能通過路口 即T(S1+S2)/V S1可由試驗的到,或按照牛頓第二定律就引動方程,進一步考察不同車重,不同路口和司機的反映程度等因素的影響 （6）根據(jù)資料和經(jīng)驗決定維修費用車齡和行使里程的增加的關(guān)系,在考慮維修和更新費用,可以一年為一個時間段,結(jié)合租金決定應(yīng)該維修后更新. （7）統(tǒng)計在各成上班的人數(shù), 通過數(shù)據(jù)后計算決定運行時間,以等帶的人數(shù)和時間的乘積為目標,建立優(yōu)化模型,決定每部電梯運行的樓層。4.在穩(wěn)定的椅子問題中，如設(shè)椅子的四腳連線呈長方形，結(jié)論如何？解：模型分析：把椅子往不平的地面上一放，通常

9、只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需要稍微挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，放穩(wěn)了。模型假設(shè)與符號說明：1椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一個點，四角的連線成正方形。2地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷（沒有像臺階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面。3對于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。模型建立：首先要用變量表示椅子的位置，注意到椅腳呈長方形，以中心為對稱點，長方形中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這個變量來表示椅子的位置，椅腳的四角分別用ABCD表示，對角線AC與X軸重合，椅子繞中心點O旋轉(zhuǎn)角度后

10、，長方形ABCD轉(zhuǎn)到的位置，所以對角線AC與X軸的夾角表示了椅子的位置。記AB兩腳與地面距離之和為，CD兩腳與地面距離之和為，（，均大于等于0）。由假設(shè)2，f和g都是連續(xù)函數(shù)，由假設(shè)3，椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對于任意的，和至少有一個為零?？紤]到長方形ABCD是中心對稱圖形，繞其對稱中心 O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)180后，長方形位置不變，但A,C和B,D對換了。證明以下命題：已知和是的非負連續(xù)函數(shù)，對任意，證明：存在使得成立。 模型求解：如果，那么結(jié)論成立。如果與不同時為零，不妨設(shè)，。這時，將長方形ABCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)角度后，點A，B分別與C，D互換，但長方形ABCD在地面上所處的位

11、置不變，由此可知，.而由，得，。 令，由和的連續(xù)性知也是連續(xù)函數(shù)。 又，,根據(jù)連續(xù)函數(shù)介值定理，必存在使得，即 ； 又因為，所以。于是，椅子的四只腳同時著地，放穩(wěn)了。5.人、狗、雞、米均要過河，船需要人劃，另外至多還能載一物，而當人不在時，狗要吃雞，雞要吃米。問人、狗、雞、米怎樣過河？解：模型分析：此模型為多步?jīng)Q策的過程，每一步，即船由此岸駛向彼岸，或從彼岸駛回此岸，都要對船上的人員進行分析，做出決策，在保證安全的情況下，在有限步內(nèi)使全部人員過河。用狀態(tài)變量表示某一岸的人員狀況，決策變量表示船上人員狀況?？梢哉页鰻顟B(tài)隨決策變化的規(guī)律。模型假設(shè)與符號說明：記第次渡河前此岸的人，貓，雞，米的數(shù)目分

12、別為，其中將四維向量定義為狀態(tài)，安全渡河條件下的狀態(tài)集合稱為允許狀態(tài)集合，記為.其中及他們的五種反狀態(tài)。決策為乘船方案，記為，分別代表船上人，貓，雞，米的數(shù)目，由條件知，需滿足，且，在滿足安全的條件下，允許決策集合；模型建立：設(shè)為奇數(shù)時，船由此岸駛向彼岸，為偶數(shù)時船由彼岸駛回此岸，所以，狀態(tài)隨決策變化規(guī)律為，求決策，使狀態(tài)按照變化規(guī)律，由初始狀態(tài)由經(jīng)有限步到達狀態(tài)。模型求解：通過編程，可以求出結(jié)果。12345678(1,1,1,1)(0,1,0,1)(1,1,0,1)(0,1,0,0)(1,1,1,0)(0,0,1,0)(1,0,1,0)(0,0,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,0)(

13、1,0,0,1)(1,0,1,0)(1,1,0,0)(1,0,0,0)(1,0,1,0)程序源代碼：A=1,1,1,1;B=1,0,1,0;1,1,0,0;1,0,0,1;1,0,0,0;M=1,1,1,0;0,0,0,1;1,1,0,1;0,0,1,0;1,0,1,1;0,1,0,0;1,0,1,0;0,1,0,1;duhe(A,B,M,1);function duhe(L,B,M,s);h,l=size(L); for k=s:h for i=1:4 C=mod(L(k,:)+B(i,:),2); if C=0,0,0,0 print(B(i,:),C,s); fprintf(渡河成功nn

14、); break; else if fuhe(C,M)=1 print(B(i,:),C,s); S=L;C; if Panduan(S)=1 duhe(S,B,M,s+1); else fprintf(此渡河方案不可行nn); end end end end endfunction y=fuhe(C,M) y=0; for i=1:8 if(C=M(i,:) y=1; break; endendfunction z=Panduan(S)z=1; m,n=size(S); for p=1:m for q=(p+1):m if S(p,:)-S(q,:)=0,0,0,0 z=0; break;

15、end endendfunction print(K,C,s) fprintf(第%d次渡河:,s); if K(1)=1 fprintf(人, ); endif K(2)=1 fprintf(貓, ); endif K(3)=1 fprintf(雞, );endif K(4)=1 fprintf(米, ); endif C(1)=0 fprintf(從左岸到達右岸n); else fprintf(從右岸回到左岸n);end程序運行結(jié)果：第1次渡河:人, 雞, 從左岸到達右岸第2次渡河:人, 從右岸回到左岸第3次渡河:人, 貓, 從左岸到達右岸第4次渡河:人, 雞, 從右岸回到左岸第5次渡河:

16、人, 雞, 從左岸到達右岸此渡河方案不可行第5次渡河:人, 米, 從左岸到達右岸第6次渡河:人, 貓, 從右岸回到左岸第7次渡河:人, 雞, 從左岸到達右岸第8次渡河:人, 雞, 從右岸回到左岸此渡河方案不可行第8次渡河:人, 米, 從右岸回到左岸此渡河方案不可行第7次渡河:人, 貓, 從左岸到達右岸此渡河方案不可行第6次渡河:人, 米, 從右岸回到左岸此渡河方案不可行第6次渡河:人, 從右岸回到左岸第7次渡河:人, 雞, 從左岸到達右岸渡河成功第4次渡河:人, 貓, 從右岸回到左岸此渡河方案不可行第3次渡河:人, 米, 從左岸到達右岸第4次渡河:人, 雞, 從右岸回到左岸第5次渡河:人, 雞

17、, 從左岸到達右岸此渡河方案不可行6.藥物中毒施救模型確定對于孩子（血液總量為2000Ml）以及成人（血液總量為4000ML)服用氨茶堿能引起嚴重中毒和致命的最小計量。解：模型分析：藥物口服后迅速進入腸胃，胃腸道中藥物的轉(zhuǎn)移率即血液的吸收率一般與胃腸道中的藥量成正比，藥物又通過新陳代謝由腎臟排出體外，排除率一般與血液中的藥物成正比，認為血藥濃度是均勻的，可以將血液系統(tǒng)看做是一個房室，建立所謂一室模型。模型假設(shè)與符號說明：胃腸道中藥物的排除率與藥量成正比，比例系數(shù)記做（0），總劑量Tmg的藥物在t=0瞬間進入胃腸道。血液系統(tǒng)中藥物的排除率與藥量成正比，比例系數(shù)記做（0）,t=0時血液中無藥物。氨

18、茶堿被吸收的半衰期為5h,排除的半衰期為6h.模型建立：由假設(shè)1，,滿足微分方程 （1）由假設(shè)2，滿足微分方程 （2）模型求解：微分方程（1）可以分離變量，得到 （3）表明胃腸道中的藥量隨時間單調(diào)減少并趨于0，為了確定，利用藥物吸收的半衰期為5h,即，得到將（3）帶入方程（2），得到一階線性微分方程，求解得 （4）表明血液系統(tǒng)中的藥量隨時間先增后減并趨于0。 為了根據(jù)藥量排除的半衰期為6h來確定，考慮血液系統(tǒng)只對藥物進行排除的情況，這時候滿足方程，若設(shè)在某時刻有。利用，可得 將帶入（3），（4），得 （5） （6）利用matlab求解得孩子服用氨茶堿能引起嚴重中毒的最小劑量為497.66mg，

19、引起致命的最小劑量為995.33mg。大人引起中毒和致命的最小劑量較小孩的翻倍。程序源代碼： t=0:0.0001:20;syms xy=(exp(-0.1155*x)-exp(-0.1386*x);f=inline(y);max=max(f(t);total=200/(6*max)total = 497.6640 t=0:0.0001:20;syms xy=(exp(-0.1155*x)-exp(-0.1386*x);f=inline(y);max=max(f(t);total=400/(6*max)total = 995.32807.對于藥物中毒施救模型，如果采用的是體外血液透析的辦法，求

20、解藥物中毒施救模型的血液中的藥量的變化并做圖。解：模型分析：藥物口服后迅速進入腸胃，胃腸道中藥物的轉(zhuǎn)移率即血液的吸收率一般與胃腸道中的藥量成正比，藥物又通過新陳代謝由腎臟排出體外，排除率一般與血液中的藥物成正比，認為血藥濃度是均勻的，可以將血液系統(tǒng)看做是一個房室，建立所謂一室模型。模型假設(shè)與符號說明：胃腸道中藥物的排除率與藥量成正比，比例系數(shù)記做（0），總劑量1100mg的藥物在t=0瞬間進入胃腸道。血液系統(tǒng)中藥物的排除率與藥量成正比，比例系數(shù)記做（0）,t=0時血液中無藥物。氨茶堿被吸收的半衰期為5h,排除的半衰期為6h.模型建立：采用體外血液透析的辦法，藥物排除率可增加到，血液中藥量下降更

21、快。設(shè)孩子到達醫(yī)院時刻（t=2）就開始施救，前面已經(jīng)算出y(2)=236.5，新模型（血液中藥量記做）仍是一階線性微分方程，只不過初始時刻為t=2，當時，方程的解為程序源代碼：t=2:0.001:25;z=275*exp(-0.1386*t)+112.3*exp(-0.693*t);plot(t,z)hold onr=0:0.001:25;x=1100*exp(-0.1386*r);y=6600*(exp(-0.1155*r)-exp(-0.1386*r);plot(r,x)hold onplot(r,y)程序運行結(jié)果：8.解：（1）設(shè)想有兩個人一人上山，一人下山，同一天出發(fā)，沿同一路徑，必定

22、相遇。（2）36場比賽，因為除冠軍隊外，每隊都負一場；6輪比賽，因為2隊賽1輪，32隊賽5輪，n隊需賽n-1場，若,則需賽k輪。（3）不妨設(shè)從甲到乙經(jīng)過丙站的時刻表是8：00，8:10,8:20,那么從乙到甲經(jīng)過丙站的時刻表應(yīng)該是：8：09，8：19，8：29，。（4）步行了25分鐘，設(shè)想他的妻子駕車遇到他后，先帶他去車站，再回家，汽車多行駛了10分鐘，于是帶他去車站這段路程汽車跑了5分鐘，而到車站的時間是6：00，所以妻子駕車遇到他的時刻是5：55。（5）放學時小狗跑了3分鐘。孩子上學到達學校時小狗的位置不定，因為設(shè)想放學時小狗從任何位置起跑，都會與孩子同時到家。之所以出現(xiàn)位置不定的結(jié)果，是

23、由于上學時小狗初始跑動的方向華北地區(qū)確定。附加1.在商人們安全過河問題中，若商人和隨從各四人，怎樣才能安全過河呢？一般地，有名商人帶名隨從過河，船每次能渡人過河，試討論商人們能安全過河時，與應(yīng)滿足什么關(guān)系。解：模型分析：問題可以看做一個多步?jīng)Q策過程。每一步由此岸到彼岸或彼岸到此岸船上的人員在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經(jīng)有限步使全體人員過河。用狀態(tài)變量表示某一岸的人員狀況，決策變量表示船上的人員情況，可以找出狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律。問題就轉(zhuǎn)換為在狀態(tài)的允許變化范圍內(nèi)（即安全渡河條件），確定每一步的決策，達到安全渡河的目標。模型假設(shè)與符號說明：1. 過河途中不會出現(xiàn)不可抗力的自然因素。

24、2. 當隨從人數(shù)大于商人數(shù)時，隨從們不會改變殺人的計劃。3船的質(zhì)量很好，在多次滿載的情況下也能正常運作。4. 隨從會聽從商人的調(diào)度。第k次渡河前此岸的商人數(shù) x(k),y(k)=0,1,2,3,4;第k次渡河前此岸的隨從數(shù) k=1,2,.過程的狀態(tài) S允許狀態(tài)集合第k次渡船上的商人數(shù) u(k), v(k)=0,1,2; 第k次渡船上的隨從數(shù) k=1,2.過程的決策 D允許決策集合狀態(tài)因決策而改變狀態(tài)轉(zhuǎn)移律求，使得，（S按轉(zhuǎn)移律）由（4,4）到達（0,0）模型建立： （1） （2） （3） （4） （5）得到綜合（4）得和 （6）還要考慮 （7）把（2）（3）帶入（7）可得化簡得 （8）綜合（6

25、）（7）（8）式可得滿足條件的情況滿足下式 （9）模型求解：滿足條件的點如上圖所示：點移動由 （8）到達（6）時，可以認為完成渡河。因為移動的格數(shù)小于等于2，只有中心點（2，2）到（6）點和（8）點的距離為2，所以中心點（2,2）成為渡河的關(guān)鍵點。當我們移動到（2,2）點時，就無法進行下去。故4個商人，4個隨從，船容量為2人時，無法安全渡河。初等模型在2.3節(jié)中考慮八人艇分重量級組（槳手體重不超過86kg）和輕量級（槳手體重不超過73kg），建立模型說明重量級組的成績比輕量級組大約好5%。解：模型分析：賽艇前進時受到的阻力主要是艇浸沒部分與水之間的摩擦力。船靠槳手的力量克服阻力保持一定的速度前

26、進。槳手越多劃艇前進的動力越大。但是艇和槳手總重量的增加會使艇浸沒面積加大，于是阻力加大,增加的阻力將抵消一部分的動力。建模目的是尋求槳手數(shù)量與比賽成績，航行一定距離所需時間，之間的數(shù)量規(guī)律。如果假設(shè)艇速在整個賽程保持不變,那么只需構(gòu)造一個靜態(tài)模型，使問題簡化為建立槳手數(shù)量與艇速之間的關(guān)系。注意到在實際比賽中槳手在極短的時間內(nèi)使艇加速到最大速度,然后把這個速度保持到終點，那么上述假設(shè)也是合理的。模型假設(shè)1.各種艇的幾何形狀相同，艇的尺寸l, b,l/b為常數(shù)，艇重U與槳手數(shù)n成正比。這是艇的靜態(tài)特性。根據(jù)所給數(shù)據(jù)作出的必要且合理的簡化。 2. 艇速v是常數(shù)，前進時受的阻力f與s QUOTE 成

27、正比(s是艇浸沒部分面積)。這是艇的動態(tài)特性。根據(jù)物理學的知識,運動速度中等大小的物體所受阻力f符合f與s QUOTE 成正比的情況。 3.槳手數(shù)為n=8不變，每個槳手體重記作w 在比賽中每個槳手的劃槳功率p保持不變,且p與w成正比。這是槳手的特征。w, p為常數(shù)屬于必要的簡化,而p與w成正比可解釋為,p與肌肉體積、肺的體積成正比,對于身材勻稱的運動員,肌肉、肺的體積與體重w成正比。模型建立：又根據(jù)艇重U與槳手數(shù)目8成正比，所以艇和槳手的總重量W=U+8W1，設(shè)，a為常數(shù)?？头枇ψ龉β蕿椋虼丝偣β蕽M足，且對于重量級八人賽艇由上述各式可得，因此，且已知又知賽艇總重，定義，從而而由阿基米德定

28、律，艇排水體積A與總重量W成正比，可得到我們就可以知道兩種艇成績比值的關(guān)系模型求解：根據(jù)模型，我們有重量級八人賽艇比輕量級的成績領(lǐng)先率為：令得W1=86kg,W2=73kg,在接近1時，模型求解的結(jié)果表明86kg重量級的比73重量級的成績大概好5%。用2.4節(jié)實物交換模型中介紹的無差別曲線的概念，討論一下雇員與雇主之間的協(xié)議關(guān)系。解：雇員的無差別曲線族是是下凸的，原因如下：當人們占有較少的工資時，愿意以較多的時間來換較少的工資，當人們占有較高的工資時，就會要求以較多的工資來換少量的時間。如圖（2）雇主的計時工資族是，是工資率，這族直線與的切點的連線PQ就是雇主與雇員的協(xié)議線，通常PQ是上升的。

29、如圖：設(shè)雙方在點達成協(xié)議，當雇主想使雇員的工作時間增至時，用提高工資率的方法，應(yīng)在協(xié)議線PQ上找出時間為的點，工資為。如果用超時工資的辦法，應(yīng)從點做某一條無差別曲線的切線（粗虛線），使切點的橫坐標剛好是，若點在點的下方，則工資額，則第二種方法對雇主有利，否則，第一種方法。得到這個結(jié)果的條件是在雇員沒有工作時和已經(jīng)工作了時（其工資為），其無差別曲線族沒有變化。如圖根據(jù)2.5節(jié)中的流量數(shù)據(jù)（表2）和（2）式作插值和數(shù)值積分，按照連續(xù)模型考慮均流池的容量解：模型分析：社區(qū)生活污水進入均流池的流量可以看做是以小時為單位間隔。根據(jù)以小時為單位間隔的污水流入量和從均流池到精化設(shè)備的恒定流出量，可以得到均流

30、池中污水（以小時為單位間隔，隨時間變化）的容量，均流池的容積應(yīng)該按照污水的最大容量并考慮保留一定裕量來設(shè)計。模型假設(shè)與符號說明：以表2社區(qū)一天的生活污水流量為依據(jù)，并保留25%裕量進行設(shè)計。模型建立： 記均流池中污水的容量為c（t），t=0,1,2，.，23，顯然c（t）與流入量f（t）和恒定流出量g之間的關(guān)系為 經(jīng)過轉(zhuǎn)化 繼而可得到 是的插值函數(shù)，t0是某一個初始時刻。又因為需要求出均流池的最大容量，就要令，可以求出t0，帶入到。模型求解：由表二 再由散點圖我們大致可以知道，有。利用MATLAB的插值函數(shù)spline，可以知道h時，達到最大值。利用插值后的數(shù)值以及以直代曲的方法來求，再利用M

31、ATLAB求得最大值為，若考慮25%的裕量，可按照來設(shè)計均流池的具體尺寸。編程源代碼：散點圖h=0:1:23;y=150.12,115.56,84.96,66.6,68.04,71.64,82.08,132.84,185.04,226.80,246.6,250.92,261,271.44,273.96,279,291.6,302.04,310.68,290.52,281.16,248.4,210.24,186.84;x1=0:0.01:23;t=sum(y)/24;plot(h,y,-,x1,t)hold onplot(h,y,x1,r*)均流池的裕量a=876.15;x=0:23;y=150

32、.12,115.56,84.96,66.6,68.04,71.64,82.08,132.84,185.04,226.80,246.6,250.92,261,271.44,273.96,279,291.6,302.04,310.68,290.52,281.16,248.4,210.24,186.84;h=0:0.001:23;t=interp1(x,y,h,spline);t1=t(2:22209);m=0.001*(sum(t1)-203.67*22.208;Max=m+a在2.6節(jié)中從機理分析的角度建立車速與車流密度的對數(shù)模型。解：模型分析：在車輛行駛過程中，將第n輛車的的位置和速度分別記作

33、和。在穩(wěn)定狀態(tài)下每輛車的速度和車流密度都是常數(shù)。若前面第n-1輛車突然減速，穩(wěn)定狀態(tài)被破壞，則第n輛車將施加制動力，隨之減速，當兩車速度差越大時制動力越大，同時當車流擁擠，即兩車距離越小時，制動力也越大。經(jīng)制動作用后穩(wěn)定恢復(fù)。若加速，則可做類似分析。 模型假設(shè)1.車速v是車流密度k的函數(shù)，k= eq f(kj,e) 時，v=v1，k=kj（堵塞密度）時，v=0。2.在穩(wěn)定狀態(tài)下車速v及相鄰兩車的車頭間隔d都相同，因而車流密度k等于1/d是常數(shù)。3.當?shù)趎-1輛車減速或加速致使穩(wěn)定狀態(tài)被破壞時，第n輛車施加的制動力或驅(qū)動力與兩車速度差成正比，與兩車間隔成反比，制動或驅(qū)動后穩(wěn)定狀態(tài)恢復(fù)。根據(jù)牛頓第

34、二定律和假設(shè)3可以寫出微分方程 eq f(dvn, dt) = eq f(vn-vn-1,xn-xn-1) （1）其中是比例系數(shù)。注意到vn(t)和xn(t)之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，（1）可寫作 eq f(dvn, dt) = eq f(d,dt) (lnxn-xn-1) （2）對（2）兩邊積分可得 vn(t)=ln xn(t)-xn-1(t)+c （3） 其中c是待定常數(shù)。根據(jù)假設(shè)2，穩(wěn)定狀態(tài)恢復(fù)后vn(t)=v，xn(t)-xn-1(t)=d= eq f(1,k) ,于是（3）式為 v= -lnk+c （4）利用假設(shè)1的條件確定（4）式中的和c， =v1 c=v1lnkj即得到車速與車流密度的對數(shù)

35、模型: 5.乙安全線表為；可以用MATLAB計算出其導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)就可以說明相關(guān)結(jié)論。在用MATLAB時，取求導(dǎo)代碼： syms x y F=y-50/(0.5(x/y); dy1=-diff(F,x)/diff(F,y) %一階導(dǎo)數(shù) dy1 = (50/(1/2)(x/y)*log(1/2)/(y*(50/(1/2)(x/y)*x*log(1/2)/y2 - 1) dy2=diff(dy1,x)+diff(dy1,y)*dy1;%二階導(dǎo)數(shù) dy2=simplify(dy2) dy2 = (50*(1/2)(x/y)*y3*log(2)2*(1/2)(x/y)*y - 100)/(5

36、0*x*log(2) + (1/2)(x/y)*y2)3 繪制函數(shù)圖像:代碼： syms x y F=y-50/(0.5(x/y); ezplot(F,0,100,0,100)圖像由此看出來是一條上凸的曲線。通過改變和取值，可以判斷出曲線如何變化。代碼： clear syms x y F=y-50/(0.5(x/y); G=y-60/(0.5(x/y); ezplot(F,0 100,0 100) hold on ezplot(G,0 100,0,100)圖像：其中data1的取值60，data2的取值50.同理可知。圖像如下：代碼： syms x y F=y-50/(0.5(x/y); G=

37、y-50/(0.7(x/y); ezplot(F,0 100,0 100) hold on ezplot(G,0 100,0,100) 圖像：其中data1的取值0.5，data2的取值為0.7.6.在2.7節(jié)核武器競賽模型中，討論以下因素引起的平衡點的變化：（1）甲方提高導(dǎo)彈導(dǎo)航系統(tǒng)的性能。（2）甲方增加導(dǎo)彈爆破的威力。（3）甲方發(fā)展電子干擾系統(tǒng)。（4）雙方建立反導(dǎo)系統(tǒng)。解：列表如下甲的殘存率乙的殘存率甲的威懾值乙的威懾值（1）不變變小不變不變（2）不變不變變小不變（3）變大不變不變變大（4）變大變大變大變大分別作圖：（1）甲方提高導(dǎo)彈導(dǎo)航系統(tǒng)的性能。乙的殘存率變小而威懾值不變，說明乙安全區(qū)

38、應(yīng)該減少，起點Y0不變，虛線上移。甲方增加導(dǎo)彈爆破的威力。甲的威懾值變小，說明X0應(yīng)該左移，整體虛線左移。（3）甲方發(fā)展電子干擾系統(tǒng)。甲的殘存率變大而威懾值不變，所以X0不動，甲安全區(qū)變大；乙的威懾值變大而殘存率不變，Y0上移。（4）雙方建立反導(dǎo)系統(tǒng)。由于兩方0威懾值和殘存率均變大，前者使平衡向右上方移動，后者使平衡向左下方移動，綜合情況無法確定。下圖兩種虛線都是可能的結(jié)果：7.解：模型分析：包裝越大的商品，重量越重，而相比小包裝同重量的商品往往又比其便宜，這與生產(chǎn)成本、包裝成本和其它成本因素有關(guān)，比如銷售一樣重量的商品，包裝小的商品使用的包裝成本較包裝大的商品高。其中單位重量價格等于總價格除

39、以總質(zhì)量。 比例方法是一般指正比例與反比例，正比例指兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果兩種量中，相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值一定，兩種量就叫做正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例的關(guān)系。而反比例指兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果兩種量中，相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做反比例的量他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。而本題中的比例關(guān)系多為正比例關(guān)系。模型假設(shè)： 根據(jù)以上分析作如下假設(shè)：不考慮商品的生產(chǎn)效率和包裝效率。包裝材料、形狀不因包裝大小而有較大區(qū)別。商品是一樣的產(chǎn)品，不包含不同成分。符號說明：商品價格：P；商品重量： ；單位重量價格：c；商品包裝面積：S；商品總成本：

40、C；生產(chǎn)成本：C1；包裝成本：C2；其它成本：C3模型建立：商品包裝面積與重量的關(guān)系：因為形狀一定時，一般有S=L2 ，=g*g1*L3（g為重力加速度，g1為物體密度）推出S 2/3 ，所以設(shè)S =a*2/3生產(chǎn)成本與重量的關(guān)系：生產(chǎn)成本主要與重量成正比，所以設(shè)C1=b*包裝成本與重量的關(guān)系：包裝成本與包裝表面積成正比，所以設(shè)C2= c* S=a*c*2/3其他成本與重量，商品包裝面積無關(guān)，為固定常數(shù)。（a, b, c為大于0的常數(shù)）因此總成本：C=C1 + C2+ C3 = b* +a*c*2/3 + C3 =x *+ y*2/3+z（x, y, z為大于0的常數(shù)）因此單位商品價格：c =

41、C/=x +y*-1/3+z*-1模型求解：（1）生產(chǎn)成本主要與重量w成正比，包裝成本主要與表面積s成正比，其它成本也包含與的部分，上述三種成本中都含有與w，s均無關(guān)的成分。又因為形狀一定時一般有 s和w(2/3)成正比，故商品的價格可表為C=Xw+Yw(-1/3)+Z （X,Y,Z 為大于0的常數(shù)）。（2）單位重量價格 c=C/w，代入C可知，顯然c是w的減函數(shù)，說明大包裝比小包裝的商品便宜；c的曲線是下凸的，說明單價的減少值隨著包裝的變大是逐漸降低的，不要追求太大包裝的商品。9.用寬w的布條纏繞直徑d的圓形管道，要求布條不重疊，問布條與管道軸線的夾角 QUOTE 應(yīng)多大(如下圖)。若知道管

42、道長度，需用多長布條（可考慮兩端的影響）。如果管道是其他形狀呢？解：取布條的邊緣寬度為 QUOTE 帶寬，則可將此看成在管道上的上升的螺旋曲線則滿足螺旋方程：為上旋轉(zhuǎn)的角度設(shè)曲線上一點恰好延曲線運動上升的高度恰好為L，帶入上面方程則有要使布條不重疊則上升一周的高度L恰好為所以有：解得：設(shè)已知的管道長度為l,需要布帶長度為s,不考慮兩邊影響時，布帶覆蓋道，則兩者表面積應(yīng)相等，所以有：解得如果是其他形狀只需要知道管道截面周長h，則可知表面積hl，利用表面可求出所需布帶長度為將管道展開如圖4，可 QUOTE ，若d一定， QUOTE 若管道長度為l，不考慮兩端的影響時布條長度顯然為若考慮兩 端的影響

43、，則應(yīng)加上對于其它形狀管道，只需將改為相應(yīng)的周長即可。程序源代碼：function arfa,chang=suru(d,w,l)arfa=atan(3.14*d/w)chang=l/w*sqrt(w2+d2)+2*sqrt(d2-w2運行結(jié)果 假設(shè)d=3,w=1;l=9;運行程序結(jié)果如下suru(2,1,9)arfa = 1.4129chang = 23.5887ans =1.412911.雨滴勻速下降,空氣阻力與雨滴表面積和速度平方的乘積成正比，試確定雨速與雨滴質(zhì)量的關(guān)系。解: 模型分析：雨滴在重力和空氣阻力的作用下是勻速v下降的。模型假設(shè)和符號說明：設(shè)雨滴質(zhì)量m，體積V，表面積S，雨滴的特

44、征尺寸L，重力f1,空氣阻力f2., 雨滴下降速度為v.模型建立：根據(jù)已知條件可知： , .可得我們知道，雨滴在重力f1和空氣阻力f2的作用下是勻速v下降的，從而可以得出： f1=f2 .又因為由以上關(guān)系可以得出：簡單的優(yōu)化模型1.在3.1節(jié)貯存模型的總費用中增加購買貨物本身的費用，重新確定最優(yōu)訂貨周期和訂貨批量。證明在不允許缺貨模型和允許缺貨模型中結(jié)果都與原來的一樣。解模型分析：生產(chǎn)周期短，產(chǎn)量小，會使貯存費用小，準備費大；而周期長，產(chǎn)量多，會使貯存費大，準備費小。所以一定存在一個最佳周期，使得總費用最少。我們先考慮不允許缺貨的情況，再考慮允許缺貨的情況。模型假設(shè)與符號說明：在不允許缺貨的情

45、況下，考慮生產(chǎn)周期和產(chǎn)量均為連續(xù)的情況。做出如下假設(shè)：1.產(chǎn)品每天的需求量是常數(shù)。2.每次生產(chǎn)準備費用為。3.生產(chǎn)能力無限大（相對于需求量），當貯存量降到0時，件產(chǎn)品立刻生產(chǎn)出來供給需求。4.每天每件產(chǎn)品的貯存費用不變。5.購買單位貨物本身費用不變。6.每天平均費用為。模型建立：對不允許缺貨的模型，假定每隔時間補充一次貯存，那么必須滿足如下關(guān)系，即供需平衡。準備費用為，每件貨物費用，總的準備費用為，則平均費用為。而時間內(nèi)的平均貯存費為。 則=+。模型求解：由微積分可以知，得。由于關(guān)于的二階導(dǎo)數(shù)大于零，可以知，。模型建立：對允許缺貨的情況，設(shè)單位時間單位物品貯存費用為，每次訂購費為，缺貨費為，產(chǎn)

46、品每天的需求量是常數(shù)，設(shè)最初貯存量是，可以滿足時間的需求。在的時間內(nèi)處于缺貨狀態(tài)。則時間所需貯存費，時間的缺貨費，訂購費為，則總平均費用為 模型求解：用多元函數(shù)求極值，對其進行求偏導(dǎo)數(shù)。求解即得：。所得結(jié)果與上面一致。當，即為不允許缺貨的情況。建立不允許缺貨的生產(chǎn)銷售存貯模型。設(shè)生產(chǎn)速率為常數(shù)k，銷售速率為常數(shù)r，kr。在每個生產(chǎn)周期T內(nèi)，開始的一段時間(0tT0)一邊生產(chǎn)一遍銷售，后來的一段時間（T0tr和k=r的情況。解模型分析：應(yīng)該建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、生產(chǎn)準備費、貯存費之間的關(guān)系。一般來說產(chǎn)品銷售速率不變，只能調(diào)整生產(chǎn)速率，使得總費用最小。模型假設(shè)：為了處理的方便，考慮連續(xù)模型，

47、即設(shè)生產(chǎn)周期T和產(chǎn)量Q均為連續(xù)量。根據(jù)問題性質(zhì)做如下假設(shè)：產(chǎn)品每天銷售速率為常數(shù)r每次生產(chǎn)準備費為c1,單位時間每件產(chǎn)品貯存費為c2貯存量降到零時，產(chǎn)品又開始生產(chǎn)出來供給需求，即不允許缺貨模型建立：將貯存量表示為時間的t的函數(shù)q(t)，t=0生產(chǎn)0件，在T0之前，q以k-r的增長率增加，T0之后以r需求率減少，直到q=0。qqrk-rrk-rTtTtTT0(0tT0)內(nèi)的貯存費是，（T0tt1）火勢蔓延速度降為，其中消防隊員的滅火速度可以設(shè)為；顯然應(yīng)有。每個消防員單位時間的費用c2，于是每個隊員的救火費用是c2(t2-t1)；每個隊員的一次性支出是c3。模型建立：由于消防員的平均滅火速度只與火

48、勢相關(guān)，故只需在原模型（滅火速度恒定）進行替換即可。根據(jù)假設(shè)條件2,3，火勢蔓延程度在線性地增加，在線性地減小。記時，。燒毀面積有，而t2滿足于是根據(jù)假設(shè)條件1,4，森林損失費為，救援費為。將（1），（2）代入，得到救火總費用為C（x）即為這個優(yōu)化模型的目標函數(shù)。模型求解：求x使C（x）達到最小，令，代入可以得到應(yīng)派出的隊員人數(shù)為4.（1）證明若條件（3）成立，則是單調(diào)減、下凸的曲線。由隱函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則，在條件（3）成立的條件下，由于等效用線的斜率為，故可知其一階導(dǎo)數(shù)小于零，而二階導(dǎo)數(shù)由條件（3）可知大于零，故為單調(diào)減，下凸的曲線。（2）驗證（4），（6），（8）式給出的效用函數(shù)是否滿足條件（3

49、）。第4式，效用函數(shù)為，驗證的圖像，取一組特殊的值，繪圖可知程序為 ezplot(1/(1./x+2./y)-1,0,5)求導(dǎo)數(shù)程序為 syms x y; f=1/(1.x+2.y); fx=diff(f,x); fy=diff(f,y); dydx=-fx/fy第6式，效用函數(shù)為，驗證的圖像。取一組特殊的值，繪圖可知程序 ezplot(x.(1/2)*y.(1/3)-2,0,5)求導(dǎo)程序為： syms x y; f=x.(1/2)*y.(1/3); fx=diff(f,x); fy=diff(f,y); dydx=-fx/fy dydx = -(3*y)/(2*x) 第8式，由題知：效用函數(shù)

50、為，驗證的圖像。取一組特殊的值，繪圖可知圖中取。程序為：ezplot(x.(1/2)+2*y.(1/2).2-10,0,5)對其求導(dǎo)，可知一階導(dǎo)數(shù)小于零，二階導(dǎo)數(shù)大于零。求一階導(dǎo)數(shù)程序： syms x y; f=(x.(1/2)+2*y.(1/2).2; fx=diff(f,x); fy=diff(f,y); dydx=-fx/fy dydx = -y(1/2)/(2*x(1/2)（3）若消費者的效用函數(shù)為（8）式，求最優(yōu)比例，并分析參數(shù)a,b的意義。設(shè)效用函數(shù)為，則由效用最大化模型可知，在甲乙兩種商品價格為時，消費者準備付出的錢是，購得甲乙兩種商品的數(shù)目是，滿足時，使得效用函數(shù)最大，可知其滿

51、足。通過求偏導(dǎo)數(shù)知，則可知本題最優(yōu)比例為，其中分別表示對商品甲乙的偏愛程度。（4）若商品甲的價格p1增加，其余條件不變，討論消費點Q的變化。商品甲的價格增加，由于增加，等效用線的斜率增大，在同一條等效用線上，消費點會向左移動。（5）若消費者購買商品的錢s增加，其余條件不變，討論消費點Q的變化。當買商品的錢增加，由于商品單價沒有發(fā)生改變，則等效用線的斜率不會發(fā)生變化，而會使等效用線向右上方移動，或者是切線的截距變大，使得消費點向右上方移動。（6）推廣到消費者購買m(2)種商品的情況。購買多件產(chǎn)品時的情況，有兩件商品情況推廣，設(shè)購買種商品，單價分別為，設(shè)消費者擁有的錢數(shù)為，設(shè)分別購買這種商品件，則

52、滿足，所求的效用函數(shù)為一個維的函數(shù)，記為，即求在條件下的。在3.5節(jié)最優(yōu)定價模型中，如果考慮到成本q隨著投入x的增加而降低，試作出合理的假設(shè)，重新求解模型。解：模型分析：生產(chǎn)者的利潤等于產(chǎn)品的產(chǎn)值減去成本，當然這里假定產(chǎn)品可以全部銷售出去變成收入。模型假設(shè)：模型建立：記生產(chǎn)者對產(chǎn)品的投入量為x，產(chǎn)值和成本都是x的函數(shù)，分別記做f(x)和c(x)，則利潤r(x)為使利潤達到最大值的投入量可以從得到，即有在市場經(jīng)濟中除了少數(shù)生活必需品外，大多數(shù)商品的銷售量與價格直接相關(guān)，價格p越高，銷售x越小，簡化假設(shè)二者成線性關(guān)系將都代入上式，得模型求解：考慮到成本q隨著投入x的增加而降低，不妨設(shè)。當給定后容易

53、求出使利潤達到最大的定價為6.考慮最優(yōu)定價時設(shè)銷售期為，由于商品的損耗，成本隨時間增長，設(shè) ，為增長率。有設(shè)單位時間的銷售量為 （為價格）。今將銷售期分為 和兩段，每段的價格固定，記為。求的最優(yōu)值，使銷售期內(nèi)的總利潤最大。如果要求銷售期內(nèi)的總銷售量為，再求的最優(yōu)值。解：模型分析：生產(chǎn)者的利潤等于產(chǎn)品的產(chǎn)值減去成本，當然這里假定產(chǎn)品可以全部銷售出去變成收入。根據(jù)不同階段時期成本和銷售量的不同，要進行分段處理。模型假設(shè)：模型建立：按分段價格，單位時間內(nèi)的銷售量為因為 .所以總利潤為=模型求解：, 就可以得到最優(yōu)價格為：在銷售期T內(nèi)的總銷量為：于是得到如下極值問題：于是利用拉格朗日乘數(shù)法，解得：即為

54、的最優(yōu)值.數(shù)學規(guī)劃模型1.某銀行經(jīng)理計劃用一筆資金進行有價證券的投資，可供購進的證券以及其信用等級、到期年限、收益如下表所示。按照規(guī)定，市政證券的收益可以免稅，其他證券的收益需要按50%的稅率納稅。此外還有以下限制：（1）政府以及代辦機構(gòu)的證券總共至少購進400萬元；（2）所購證券的平均信用等級不超過1.4（信用等級數(shù)字越小，信用程度越高）；（3）所購證券的平均到期年限不超過5年。問：（1）若該經(jīng)理有1000萬元資金，應(yīng)如何投資？（2）如果能夠以2.75%的利率借到不超過100萬元的資金，該經(jīng)理應(yīng)如何操作？（3）在1000萬元資金情況下，若證券A的稅前收益增加為4.3%，投資應(yīng)否改變？若證券C

55、的稅前收益減少為4.8%，投資應(yīng)否改變？解模型分析：問題分析 這個優(yōu)化問題的目標是有價證券回收的利息為最高,要做的決策是投資計劃。即應(yīng)購買的各種證券的數(shù)量的分配。綜合考慮：特定證券購買、資金限制、平均信用等級、平均年限這些條件，按照題目所求，將決策變量、決策目標和約束條件構(gòu)成的優(yōu)化模型求解問題便得以解決。 模型假設(shè)：1.假設(shè)銀行有能力實現(xiàn)5種證券任意投資。2.假設(shè)符號0表示沒有投資。3.假設(shè)在投資過程中，不會出現(xiàn)意外情況，以至不能正常投資。4.假設(shè)各種投資的方案是確定的。5.假設(shè)證券種類是固定不變的，并且銀行只能在這幾種證券中投資。6.假設(shè)各種證券的信用等級、到期年限、到期稅前收益是固定不變的

56、。7.假設(shè)各種證券是一直存在的。模型建立：決策變量 用X1、X2、X3、X4、X5、分別表示購買A、B、C、D、E證券的數(shù)值， 單位：百萬元 目標函數(shù)以所給條件下銀行經(jīng)理獲利最大為目標。則由表可得： MAX Z=0.043X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5 （1） 約束條件 為滿足題給要求應(yīng)有： X2+X3+X4 = 4 (2) X1+X2+X3+X4+X5=10 (3) 6X1+6X2-4X3-4X4+36X5=0 (4) 4X1+10X2-X3-2X4-3X5=0 (5) 且 X1、X2、3X、X4、X5均非負。 模型求解：（1）設(shè)投資證券A，B，C，D，

57、E的金額分別為 （百萬元），按照規(guī)定、限制和1000萬元資金約束，列出模型 Max 0.043X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5s.t X2+X3+X4大于等于4 X1+X2+X3+X4+X5小于等于10 （2*X1+2*X2+X3+X4+5X5）除以（X1+X2+X3+X4+X5）小于等于1.4 即6X1+6X2-4X4+36X5小于等于0 （9X1+15X2+14X3+3X4+2X5）除以（X1+X2+X3+X4+X5）小于等于5 即4X1+10X2-1X3-2X4-3X5小于等于0X1，X2，X3，X4，X5大于等于0用LINDO求解并要求靈敏性分析，得

58、到：OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 0.2983637 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 2.181818 0.000000 X2 0.000000 0.030182 X3 7.363636 0.000000 X4 0.000000 0.000636 X5 0.454545 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 3.818182 0.000000 2) 0.000000 0.029836 3) 0.000000 0.000618 4) 0.000000 0.002364 RANGES IN W

59、HICH THE BASIS IS UNCHANGED:OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 0.043000 0.003500 0.013000 X2 0.027000 0.027818 INFINITY X3 0.025000 0.017333 0.000560 X4 0.022000 0.000636 INFINITY X5 0.045000 0.052000 0.014000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOW

60、ABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 4.000000 3.818182 INFINITY 3 10.000000 INFINITY 4.883721 4 0.000000 231.428574 20.000000 5 0.000000 10.000000 12.000000即證券A，C，E分別投資2 182百萬元，7 364百萬元，0 454百萬元，最大稅后收益為0 298百萬元。模型的評價：兼于銀行投資問題對銀行的重要性，本題中我建立了相應(yīng)的投資決策最優(yōu)化模型，為銀行在投資過程的決策提供了參考，我的模型有以下優(yōu)點：對問題一，兼于銀行的1000萬有不同