1、階段強(qiáng)化專訓(xùn)一：平行線分線段成比例常見應(yīng)用技巧 證比例式技巧1.中間比代換法證比例式1如圖，已知在ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DEBC，EFAB，且ADDB35，求CFCB的值(第1題)技巧2.等積代換法證比例式2如圖，在ABC中，D是AB上一點，E是ABC內(nèi)一點，DEBC，過D作AC的平行線交CE的延長線于F，CF與AB交于P，連接BF，求證：eq f(PE,PF)eq f(PA,PB).(第2題)技巧3.等比代換法證比例中項3如圖，在ABC中，DEBC，EFCD.求證：AD是AB和AF的比例中項(第3題) 證線段相等技巧4.等比例法證線段相等(等比過渡法)4如圖，

2、在ABC中，ACB90，BA，點D為邊AB的中點，DEBC交AC于點E，CFAB交DE的延長線于點F.求證：DEEF.(第4題) 證比例和為1技巧5.同分母的中間比代換法5如圖，已知ACEFBD，求證：eq f(AE,AD)eq f(BE,BC)1.(第5題)階段強(qiáng)化專訓(xùn)二： 證明相似三角形的方法名師點金：要找三角形相似的條 件，關(guān)鍵抓住以下幾點：(1)已知角相等時，找兩對對應(yīng)角相等，若只能找到一對對應(yīng)角相等，判斷夾相等的角的兩邊是否對應(yīng)成比例； (2)無法找到角相等時，判斷三邊是否對應(yīng)成比例；(3)除此之外，也可考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的“傳遞性” 利用邊或角的關(guān)系判定兩直角三

3、角形相似1下面關(guān)于直角三角形相似敘述錯誤的是()A有一銳角對應(yīng)相等的兩直角三角形相似B兩直角邊對應(yīng)成比例的兩直角三角形相似C有一條直角邊相等的兩個直角三角形相似D兩個等腰直角三角形相似2如圖，BCAD，垂足為C，AD，CD，BC，CE，求證：ABCDEC.(第2題) 利用角判定兩三角形相似3如圖，ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連接BD并延長與CE交于點E.(1)求證：ABDCED；(2)若AB6，AD2CD，求BE的長(第3題) 利用邊角判定兩三角形相似4已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP3PC，Q是CD的中點求證：ADQQCP.(第4題) 利用三邊判

4、定兩三角形相似5如圖，AD是ABC的高，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點求證：DEFABC.(第5題)階段強(qiáng)化專訓(xùn)三： 巧作平行線構(gòu)造相似三角形的技巧名師點金：解有關(guān)相似三角形題目時，常常遇到要證(或求)的問題與相似三角形聯(lián)系不上或者說圖中根本不存在相似三角形時，我們通?？梢宰髌叫芯€構(gòu)造出相似三角形，從而使問題得以解決 巧連線段的中點構(gòu)造相似三角形1如圖，在ABC中，E，F(xiàn)是邊BC上的兩個三等分點，D是AC的中點，BD分別交AE，AF，AC于點P，Q，D，求BPPQQD.(第1題) 過頂點作平行線構(gòu)造相似三角形2如圖，在ABC中，ACBC，F(xiàn)為底邊AB上一點，BFAF32，取CF的中點D，連接AD

5、并延長交BC于點E，求eq f(BE,EC)的值(第2題)3如圖，過ABC的頂點C任作一直線，與邊AB及中線AD分別交于點F和點E.求證：AEED2AFFB.(第3題) 過一邊上的點作平行線構(gòu)造相似三角形4如圖，在ABC中，ABAC，在邊AB上取一點D，在AC上取一點E，使ADAE，直線DE和BC的延長線交于點P.求證：eq f(BP,CP)eq f(BD,EC).(第4題)階段強(qiáng)化專訓(xùn)四： 三角形中位線的應(yīng)用名師點金：三角形中位線定理有著廣泛的應(yīng)用，通?？梢杂脕碜C明或求解許多問題，但我們很多時候往往不能直接利用這個定理，這時要善于觀察圖形中與定理有關(guān)的基本圖形，特別是涉及已知中點有關(guān)條件時，

6、通過巧妙添輔助線構(gòu)造三角形中位線，可以準(zhǔn)確有效地幫助我們解決問題 利用三角形中位線進(jìn)行證明類型1證相等關(guān)系1已知：如圖，在四邊形ABCD中，對角線ACBD，E、F分別為AB、CD中點，點O為AC、BD的交點，M、N為EF與BD、AC的交點求證：OMON.(第1題)類型2證倍分關(guān)系2如圖，已知平行四邊形ABCD中，BD為對角線，點E、F分別是AB、BC的中點，連線EF，交BD于M點求證：(1)BMeq f(1,4)BD；(2)MEMF.(第2題)類型3證不等關(guān)系3如圖，M、N是四邊形ABCD的邊BC、AD的中點，且AB與CD不平行求證：MNeq f(1,2)(ABCD)(第3題)類型4證位置關(guān)系

7、4如圖，自ABC的頂點A，向ABC和ACB的平分線作垂線，垂足分別為D、E，連接DE.求證：DEBC.(第4題) 利用三角形中位線探究多邊形形狀5順次連接對角線相等的四邊形各邊中點，所得四邊形是()A矩形B平行四邊形C菱形 D任意四邊形6順次連接正方形各邊中點所得的四邊形一定是()A平行四邊形 B矩形C菱形 D正方形7D，E分別是不等邊三角形ABC(即ABBCAC)的邊AB，AC的中點O是ABC所在平面上的動點，連接OB，OC，點G，F(xiàn)分別是OB，OC的中點，順次連接點D，G，F(xiàn)，E.如圖，當(dāng)點O在ABC的內(nèi)部時，試判斷四邊形DGFE的形狀，并說明理由(第7題) 利用三角形中位線求值8如圖所示

8、，在四邊形ABCD中，ADBC，ADBC8，且ADBC37，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點，求EF的長(第8題)階段強(qiáng)化專訓(xùn)五： 位似、位置與坐標(biāo)名師點金：1.生活中很多物體的位置需用坐標(biāo)來表示，其中選擇參照物是確定位置的關(guān)鍵，參照物不同，往往表示同一位置的坐標(biāo)也不同2求位似圖形中點的坐標(biāo)或作已知圖形的位似圖形時，要注意位似變換的要求是同側(cè)還是異側(cè)，若沒有明確說明，則要根據(jù)實際情況分類討論 位置與坐標(biāo)類型1利用坐標(biāo)表示座位號1如圖，王明的座位是1組2排，如果用有序數(shù)對(1，2)表示，那么張敏同學(xué)和石玲同學(xué)的座位，怎樣用有序數(shù)對表示？(第1題)類型2利用坐標(biāo)表示地理位置2如圖所示是一個雷達(dá)探測器的

9、示意圖，探測器的位置在O點(圓心位置)，如果六個同心圓的半徑依次為1 km，2 km，3 km，4 km，5 km，6 km，請你以點O為參照點，用方位角和距離分別表示雷達(dá)探測器探測到的目標(biāo)A，B，C，D，E，F(xiàn)的位置(第2題)類型3利用坐標(biāo)表示運動路徑3如圖，小軍家的位置點A在經(jīng)5路和緯4路的十字路口，用有序數(shù)對(5，4)表示；點B是學(xué)校的位置，點C是小蕓家的位置，如果用(5，4)(5，5)(5，6)(6，6)(7，6)(8，6)表示小軍家到學(xué)校的一條路徑(1)請你用有序數(shù)對表示出學(xué)校和小蕓家的位置；(2)請你寫出小軍家到學(xué)校的其他幾條路徑(寫3條)(第3題) 位似變換與坐標(biāo)4(2023十堰

10、)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(4，2)，B(6，4)，以原點O為位似中心，相似比為eq f(1,2)，把ABO縮小，則點A的對應(yīng)點A的坐標(biāo)是()A(2，1)B(8，4)C(8，4)或(8，4) D(2，1)或(2，1)(第5題)5如圖，在ABC中，A，B兩個頂點在x軸的上方，點C的坐標(biāo)是(1，0)，以點C為位似中心，在x軸的下方作ABC的位似圖形，并把ABC的邊長放大到原來的2倍，所得到的圖形是ABC.設(shè)點B的對應(yīng)點B的橫坐標(biāo)是a，則點B的橫坐標(biāo)是()Aeq f(1,2)a Beq f(1,2)(a1)Ceq f(1,2)(a1) Deq f(1,2)(a3) 平面直角坐標(biāo)系中的位似變換作圖

11、6如圖，已知ABC在坐標(biāo)平面內(nèi)，三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度(1)畫出ABC向下平移4個單位得到的A1B1C1，并直接寫出C1點的坐標(biāo)；(2)以點B為位似中心，在網(wǎng)格中畫出A2BC2，使A2BC2與ABC位似，且位似比為21，并直接寫出C2點的坐標(biāo)及A2BC2的面積(第6題)階段強(qiáng)化專訓(xùn)六： 巧用位似解三角形中的內(nèi)接多邊形問題名師點金：位似圖形是特殊位置的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)；位似圖形必須具備三個條件：(1)兩個圖形相似；(2)對應(yīng)點的連線相交于一點；(3)對應(yīng)邊互相平行或在同一直線上 三角形的內(nèi)接正三

12、角形問題1如圖，用下面的方法可以畫AOB的內(nèi)接等邊三角形，閱讀后證明相應(yīng)問題畫法：在AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE，使點C在OA上，點D在OB上；連接OE并延長，交AB于點E，過點E作ECEC，交OA于點C，作EDED，交OB于點D；連接CD，則CDE是AOB的內(nèi)接等邊三角形求證：CDE是等邊三角形(第1題) 三角形的內(nèi)接矩形問題2求作：內(nèi)接于已知ABC的矩形DEFG，使它的邊EF在BC上，頂點D，G分別在AB，AC上，并且有DEEF12.(第2題) 三角形的內(nèi)接正方形問題(方程思想)3如圖，ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC120 mm，高AD80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊Q

13、M在BC上，其余兩個頂點P，N分別在AB，AC上，則這個正方形零件的邊長是多少？(第3題)4(1)如圖，在ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于點P.求證：eq f(DP,BQ)eq f(PE,QC).(2)在ABC中，BAC90，正方形DEFG的四個頂點在ABC的邊上，連接AG，AF，分別交DE于M，N兩點如圖，若ABAC1，直接寫出MN的長；如圖，求證：MN2DMEN.(第4題)答案階段強(qiáng)化專訓(xùn)一1解：ADDB35，BDAB58.DEBC，CEACBDAB58.EFAB，CFCBCEAC58.2證明：DEBC，eq f(PD,PB)eq f(PE,PC).

14、PDPCPEPB.DFAC，eq f(PF,PC)eq f(PD,PA).PDPCPFPA.PEPBPFPA.eq f(PE,PF)eq f(PA,PB).3證明：EFCD，eq f(AF,AD)eq f(AE,AC).DEBC.eq f(AD,AB)eq f(AE,AC).eq f(AF,AD)eq f(AD,AB)，AD是AB和AF的比例中項4證明：DEBC，eq f(AD,DB)eq f(AE,EC).點D為AB的中點，ADDB，即eq f(AD,DB)1.eq f(AE,EC)1.CFAB，eq f(DE,EF)eq f(AE,EC)1.DEEF.5證明：ACEF，eq f(BE,BC

15、)eq f(BF,BA).又EFBD，eq f(AE,AD)eq f(AF,AB).，得eq f(BE,BC)eq f(AE,AD)eq f(BF,BA)eq f(AF,AB)eq f(AB,AB)1，即eq f(AE,AD)eq f(BE,BC)1.階段強(qiáng)化專訓(xùn)二1C2證明：AD，CD，ACADCD.eq f(AC,CD)eq f,3.又eq f(BC,EC)eq f,3，eq f(AC,CD)eq f(BC,EC).又BCAD，ACBDCE90，ABCDEC.(第3題)3(1)證明：ABC是等邊三角形，AACB60.ACF120.CE是外角平分線，ACEeq f(1,2)ACFeq f(1

16、,2)12060.AACE.又ADBCDE，ABDCED.(2)解：如圖，作BMAC于點M，則AMCM3，BM3eq r(3).AD2CD，CD2，AD4.則MD1.在RtBDM中，BDeq r(BM2MD2)2eq r(7).由ABDCED得eq f(BD,ED)eq f(AD,CD)，即eq f(2r(7),ED)2，EDeq r(7).BEBDED3eq r(7).4證明：在正方形ABCD中，Q是CD的中點，eq f(AD,QC)2.BP3PC，eq f(BC,PC)4.又BC2DQ，eq f(DQ,PC)2.在ADQ和QCP中，eq f(AD,QC)eq f(DQ,CP)，CD90，A

17、DQQCP.5證明：AD是ABC的高，ADBD.又E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點在RtABD中，DE為斜邊AB上的中線DEeq f(1,2)AB，即eq f(DE,AB)eq f(1,2).同理eq f(DF,AC)eq f(1,2).EF為ABC的中位線，EFeq f(1,2)BC，即eq f(EF,BC)eq f(1,2).eq f(DE,AB)eq f(EF,BC)eq f(DF,AC).DEFABC.階段強(qiáng)化專訓(xùn)三1解：連接DF.E，F(xiàn)是邊BC上的兩個三等分點，BEEFFC.D是AC的中點，ADCD.DF是ACE的中位線DFAE，且DFeq f(1,2)AE.DFPE.BEPBFD，BP

18、EBDF.BEPBFD.eq f(BE,BF)eq f(BP,BD)eq f(EP,FD).BEEF，BF2BE，BD2BP，DF2PE.BPPD.DFAE，APQFDQ，PAQDFQ.APQFDQ.eq f(PQ,QD)eq f(AP,DF).設(shè)PEa，則DF2a，AP3a.PQQDAPDF32.BPPQQD532.2解：過點C作CGAB交AE的延長線于點G.CGAB，DAFG.又D為CF的中點，CDDF.在ADF和GDC中，eq blc(avs4alco1(DAFG，,ADFCDG，,DFCD，)ADFGDC，ABAF52.ABCG.BECG，BAGG.ABEGCE.eq f(BE,EC)

19、eq f(AB,CG)eq f(AB,AF)eq f(5,2).3證明：過點B作BNCF交AD的延長線于點N.eq f(AF,FB)eq f(AE,EN)，F(xiàn)CDNBD.又CDEBDN，EDCNDB.eq f(ED,DN)eq f(CD,BD).BDCD，EDDNeq f(1,2)EN.eq f(AF,FB)eq f(AE,2ED).AEED2AFFB.4證明：過點C作CFAB交DP于點F，PFCPDB，PCFB，PCFPBD.eq f(BP,CP)eq f(BD,CF).ADCF，ADEEFC.ADAE，ADEAED.AEDCEP，EFCCEP.ECCF.eq f(BP,CP)eq f(BD

20、,EC). 階段強(qiáng)化專訓(xùn)四1證明：取AD中點H并分別連接EH、HF，即EH與FH分別為ABD與DAC的中位線EH綊eq f(1,2)BD，HF綊eq f(1,2)AC(三角形中位線定理)而ACBD，EHHF，HEFHFE.又EHBD，HFAC，HEFDMF，HFEANM，DMFANM，OMON.2證明：(1)連接AC，交BD于O點，E、F分別為AB、BC的中點，EFAC，BEFBAC，eq f(BE,BA)eq f(BM,BO).eq f(EF,AC)eq f(BE,BA).eq f(BM,BO)eq f(EF,AC)eq f(1,2)EFeq f(1,2)AC.BMMOeq f(1,2)BO

21、.又四邊形ABCD是平行四邊形，BOODeq f(1,2)BD，BMeq f(1,2)BOeq f(1,4)BD，即BMeq f(1,4)BD.(2)由(1)知M是BO的中點，E、F分別是AB、BC的中點MEeq f(1,2)AO，MFeq f(1,2)OC，又AOOC，MEMF.3證明：連接BD并取BD的中點P，連接NP，MP，N為AD的中點，P為BD的中點，NP為DAB的中位線，NPeq f(1,2)AB，同理可得MPeq f(1,2)CD.AB與CD不平行，P點不在MN上在PMN中，由于兩邊之和大于第三邊，MNPMPNeq f(1,2)(ABCD)點撥：此類題型通過轉(zhuǎn)化，把有關(guān)的線段或與

22、之有聯(lián)系的線段集中在一個三角形中，再應(yīng)用三角形的有關(guān)知識，如：三角形中位線及兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等，即可得出證明(第4題)4證明：如圖，延長AD、AE交BC、CB的延長線于G、H，BD平分ABC，12，又BDAD，ADBBDG90.在ABD與GBD中，eq blc(avs4alco1(12，,BDBD，,BDGBDA，)ABDGBD，同理可證，AEEH，D、E分別為AG、AH的中點，EDBC.5C7解：四邊形DGFE是平行四邊形理由如下：D，E分別是AB，AC邊的中點，DE是ABC的中位線，DEBC且DEeq f(1,2)BC.同理，GFBC且GFeq f(1,2)BC，DE

23、GF且DEGF，四邊形DEFG是平行四邊形8解：由ADBC8，ADBC37得AD，BC.如圖，連接DF，并延長交BC于H，ADBC，DAF(第8題)HCF.在ADF與CHF中，eq blc(avs4alco1(DAFHCF，,AFCF，,12，)ADFCHF，DFFH，EFeq f(1,2)BHeq f(1,2)(BCAD).階段強(qiáng)化專訓(xùn)五1解：張敏的座位可以表示為(3，3)，石玲的座位可以表示為(4，5)2解：A(30，4km)，B(90，2km)，C(120，6km)，D(240，4km)，E(300，3km)，F(xiàn)(210，5km)點撥：利用方位角和距離表示平面內(nèi)點的位置，可看成用一個有序

24、實數(shù)對表示點的位置，并且這個實數(shù)對由角度和距離組成3解：(1)學(xué)校和小蕓家的位置分別是(8，6)，(3，3)(2)答案不唯一，如：(5，4)(5，5)(6，5)(7，5)(8，5)(8，6)；(5，4)(6，4)(7，4)(8，4)(8，5)(8，6)；(5，4)(6，4)(6，5)(7，5)(8，5)(8，6)4D點撥：根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或k，即可求得答案5D6解：(1)如圖所示，A1B1C1即為所求，C1(2，2)；(2)如圖所示，A2BC2即為所求，C2(1，0)，SA2B C210.(第6題)階段強(qiáng)化專訓(xùn)六1證明：ECEC，CEOCEO，eq f(CE,CE)eq f(OE,OE).又EDED，DEODEO，eq f(DE,DE)eq f(OE,OE).CEDCED，eq f(CE