1、高一必修一函數(shù)學(xué)問點（12.1 ）1.1 指數(shù)函數(shù)（ 1）根式的概念 n a 叫做根式,這里 n 叫做根指數(shù), a 叫做被開方數(shù)nan|a|aa a0當(dāng) n 為奇數(shù)時, a 為任意實數(shù)；當(dāng) n 為偶數(shù)時,a0根式的性質(zhì)：n ana ；當(dāng) n 為奇數(shù)時,nana ；當(dāng) n 為偶數(shù)時, a0 （ 2）分數(shù)指數(shù)冪的概念ma0,m nN,且n10 的正分數(shù)指數(shù)冪等于0正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是：annam0,m nN,且n1 0 的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是：am1mn1m annaa義留意口訣： 底數(shù)取倒數(shù),指數(shù)取相反數(shù)（ 3） 分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)arasar sa0, , r

2、sR arsarsa0, , r sR abrr a bra0,b0,rR （ 4）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱y1yay1函數(shù)yaxa指數(shù)函數(shù)1叫做指數(shù)函數(shù)a1定義0且a0圖象axyaxy0,1y10,1定義域值域過定點奇偶性 單調(diào)性函數(shù)值的 變化情形a 變化對 圖象的影 響RO（ 0,+ ）x圖象過定點（ 0,1 ）,即當(dāng) x=0 時, y=1Ox非奇非偶在 R 上是增函數(shù)在 R 上是減函數(shù)y1x 0, y=1x=0, 0y1x 0 y 1x 0, y=1x=0, 0y1x 0在第一象限內(nèi), a 越大圖象越高,越靠近 在其次象限內(nèi), a 越大圖象越低,越靠近y 軸；在第一象限內(nèi), a 越小圖象越高,越

3、靠近 在其次象限內(nèi), a 越小圖象越低,越靠近y 軸；x 軸x 軸例：比較1.2 對數(shù)函數(shù)（ 1）對數(shù)的定義如 a xN a 0, 且 a 1,就 x 叫做以 a 為底 N 的對數(shù),記作 x log a N ,其中 a 叫做底數(shù), N 叫做真數(shù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x log a N a xN a 0, a 1, N 0（ 2）常用對數(shù)與自然對數(shù)：常用對數(shù)：lg N ,即 log 10 N ；自然對數(shù)： ln N ,即 log e N （其中 e 2.71828 ）（ 3） 幾個重要的對數(shù)恒等式 : log 1 a 0, log aa 1, log aa bb （ 4）對數(shù)的運算性質(zhì) 假如 a

4、 0, a 1, M 0, N 0,那么加法： log a M log a N log a MN 減法： log a M log a N log a MN數(shù)乘：nlogaMalogaMnnRR alog a NNNNb0,且b1 logabMnn blogM b0,n換底公式：logalogblogba（ 5）對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱yxa函數(shù)ylogax a對數(shù)函數(shù)1叫做對數(shù)函數(shù)a1x定義0且a101ylog axyx1ylog a圖象1,0定義域圖O1, 0 xOxx 軸0,值域R 圖象過定點 1,0 ,即當(dāng)x1時,y0過定點奇偶性非奇非偶單調(diào)性在 0, 上是增函數(shù)在 0, 上是減函數(shù)函數(shù)值的lo

5、gax0 x1logax0 x1logax0 x1logax0 x1變化情形a 變化對 象的影響logax0 0 x1logax0 0 x1在第一象限內(nèi), a 越大圖象越靠低,越靠近 在第四象限內(nèi), a 越大圖象越靠高,越靠近x 軸在第一象限內(nèi), a 越小圖象越靠低,越靠近 在第四象限內(nèi), a 越小圖象越靠高,越靠近y 軸y 軸6 反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域,即y原函數(shù)的值域 ；從原函數(shù)式y(tǒng)f x 中反解出xf1 ；將xf1 改寫成f1 ,并注明反函數(shù)的定義域（ 7）反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù)yf x 與反函數(shù)yf1 的 圖象關(guān)于直線 yx 對稱即, 如P a b 在原函數(shù)yf x 的圖象上,就P

6、 b a 在反函數(shù) , yf1 的圖象上函數(shù)yf x 的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1 的值域、定義域1.3 冪函數(shù)（ 1）冪函數(shù)的圖象 需要知道 x=錯誤！未找到引用源；,1,2,3與 y=錯誤！未找到引用源；的圖像 （ 2）冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限,第四象限無圖象 過定點： 圖象都通過點 1,11.4 二次函數(shù)（ 1）二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：頂點式：兩根式：（ 2）求二次函數(shù)解析式的方法 已知 三個點坐標(biāo) 時,宜用一般式已知拋物線的 如已知拋物線頂點坐標(biāo) 或與 對稱軸 有關(guān)或與最大（小）值有關(guān)時,常使用頂點式與x軸有兩個交點 ,且橫線坐標(biāo)已知時,選用

7、兩根式求 f x 更便利（ 3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù)f x ax2bxc a0的圖象是一條拋物線,對稱軸方程為,頂點坐標(biāo)是時,；在二次函數(shù)f x ax2bxc a0中上遞增,當(dāng)xb當(dāng)b24ac0時,圖象與 x 軸有 個交點時,圖象與 x 軸有 1 個交點時,圖象與 x 軸有沒有交點當(dāng)當(dāng)當(dāng)時,拋物線 開口向上 ,函數(shù)在 ,b上遞減,在 b,2a2a2 afxmin= ；當(dāng)時,拋物線 開口向下 ,函數(shù)在 ,b上遞增,在 b,上遞減,當(dāng)xb時,2a2a2 afxmax= （ 4）一元二次方程ax2bxc0a0根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容,這部分學(xué)問在中學(xué)代數(shù)中雖有所涉及,

8、但尚不夠系統(tǒng)和完整,且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達定理）的運用,下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì),系統(tǒng)地來分析一元二次方程實根的分布設(shè)一元二次方程ax2bxc0a0的兩實根為x 1,x ,且x 1x 令f x ax2bxc ,從以下四個方面來分析此類問題：開口方向： a對稱軸位置：xb 2 a判別式：端點函數(shù)值符號kx1 x2ya0yxbfk02ak1xOx2xkx 1Ox2xx 1x 2kyxbfk0a02afk0yxba02a1xOx2x 1Ox2kxkxx 1k x2xba0fk02aafk 0 1xOyka20 xx 1yfkx0 xx0Oka2fk0k 1x

9、1x2k 2ya0y00 xxb0,并同時考慮fk1=0 或fk2=0fk12a0fk201xx21kk2k2xOx 1O1k2x有且僅有一個根xbfk1fk20a2afk1fk2x1（或x2）滿意k1x1（或x2）k2這兩種情形是否也符合y1kfk1a20 xOy1xfk 10 x2k2xO01xk2x1kfk20a0fk20k1x1k2p1x2p2 此結(jié)論可直接由推出冪函數(shù)（1）冪函數(shù)的定義：一般地,函數(shù)yx叫做冪函數(shù),其中x 為自變量,是常數(shù)（2）冪函數(shù)的圖象（3）冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限,第四象限無圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時,圖象分布在第一、二象限 圖象關(guān)于 y 軸對稱 ；是奇函數(shù)時,圖象分布在第一、三象限 圖象關(guān)于原點對稱 ；是非奇非偶函數(shù)時,圖象只分布在第一象限過定點：全部的冪函數(shù)在 0, 都有定義,并且圖象都通過點 1,1單調(diào)性：假如 0 ,就冪函數(shù)的圖象過原點,并且在 0, 上為增函數(shù)假如 0,就冪函數(shù)的圖象在 0, 上為減函數(shù),在第一象限內(nèi),圖象無限接近 x 軸與 y 軸奇偶性：當(dāng) 為奇數(shù)時,冪函數(shù)為奇函數(shù),當(dāng) 為偶數(shù)時,冪函數(shù)為偶函數(shù)當(dāng) q（其中 p q 互pq q質(zhì), p 和 q Z ）,如 p 為奇數(shù) q 為奇數(shù)時,就