1、第 5 章 梁剪力圖與彎矩圖1/86 5.1工程中彎曲構(gòu)件 5.2 梁內(nèi)力及其與外力間相依關(guān)系 5.3 剪力方程與彎矩方程 5.5 載荷集度、剪力、彎矩間微分關(guān)系 5.6 剛架內(nèi)力圖 5.7 結(jié)論與討論 5.4 剪力圖與彎矩目 錄 2/865.1 工程中彎曲構(gòu)件 火車(chē)車(chē)軸能夠簡(jiǎn)化為兩端外伸梁 能夠簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁吊車(chē)大梁3/86在Y8飛機(jī)主起落架結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中表達(dá)航向航向車(chē)架大梁是受彎構(gòu)件4/86 5.2 梁內(nèi)力及其與外力相依關(guān)系 5.2.1 梁內(nèi)力與梁上外力改變相關(guān) 5/86 截面法 6/86截面法確定任意橫截面上內(nèi)力分量 用假想截面從所要求截面處將桿截為兩部分 考查其中任意一部分平衡 由平衡方程求

2、得橫截面內(nèi)力分量C7/86 剛體平衡概念擴(kuò)展和延伸：總體平衡，則其任何局部也必定是平衡?？傮w平衡與局部平衡概念8/86總體平衡與局部平衡概念 剛體平衡概念擴(kuò)展和延伸：總體平衡，則其任何局部也必定是平衡。9/86 桿件內(nèi)力改變普通規(guī)律 10/86 某一截面上內(nèi)力與作用在該截面一側(cè)局部桿件上外力相平衡； 在荷載無(wú)突變一段桿各截面上內(nèi)力按相同規(guī)律改變；桿件內(nèi)力改變普通規(guī)律 11/86 梁各截面上內(nèi)力改變規(guī)律伴隨外力改變而改變。結(jié) 論梁內(nèi)力改變普通規(guī)律 12/86 5.2.2. 控 制 面 13/86控制面概念外力規(guī)律發(fā)生改變截面集中力、集中力偶作用點(diǎn)、分布荷載起點(diǎn)和終點(diǎn)處橫截面。14/86依據(jù)以上分

3、析，在一段桿上，內(nèi)力按某一個(gè)函數(shù)規(guī)律改變，這一段桿兩個(gè)端截面稱(chēng)為控制面（control cross-section）。據(jù)此，以下截面均可為控制面： 集中力作用點(diǎn)兩側(cè)截面； 集中力偶作用點(diǎn)兩側(cè)截面； 均布載荷（集度相同）起點(diǎn)和終點(diǎn)處截面。 控制面概念15/86 剪力FQ(FQy或FQz)一使截開(kāi)部分桿件產(chǎn)生順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)者為正；逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)者為負(fù)。 FQFQ 彎矩M(My或Mz)一作用在左側(cè)面上使截開(kāi)部分逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)；或者作用在右側(cè)截面上使截開(kāi)部分順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)者為正；反之為負(fù)。 5.2.3 剪力和彎矩正負(fù)號(hào)規(guī)則16/865.2.4 截面法確定指定橫截面上剪力和彎矩應(yīng)用截面法確定某一個(gè)指定橫

4、截面上剪力和彎矩，首先，需要用假想橫截面從指定橫截面處將梁截為兩部分。然后，考查其中任意一部分受力，由平衡條件，即可得到該截面上剪力和彎矩。17/865.2.4 截面法確定指定橫截面上剪力和彎矩【例題5.1】 圖示之一端固定另一端自由懸臂梁(cantilever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如圖所表示。試確定截面C及截面D上剪力 18/86 解：1求截面C上剪力和彎矩 用假想截面從截面C處將梁截開(kāi)，取右段為研究對(duì)象，在截開(kāi)截面上標(biāo)出剪力FQC和彎矩MC正方向，如圖（b）所表示。由平衡方程19/86 解：2求截面D上剪力和彎矩從截面D處將梁截開(kāi)，取右段為研究對(duì)象。假設(shè)D、B兩

5、截面之間距離為，因?yàn)榻孛鍰與截面B無(wú)限靠近，且位于截面B左側(cè)，故所截梁段長(zhǎng)度。在截開(kāi)橫截面上標(biāo)出剪力FQD和彎矩MD正方向，如圖（c）所表示。由平衡方程20/86【例題5.1】 圖示之一端固定另一端自由懸臂梁(cantilever beam)。梁承受集中力FP及集中力偶MO作用，如圖所表示。試確定截面C及截面D上剪力 21/86 5.3 剪力方程與彎矩方程在剪力方程和彎矩方程中，x是變量，而FQ(x)和M(x)則是x函數(shù)。梁內(nèi)剪力和彎矩將隨橫截面位置改變而發(fā)生改變。描述梁剪力和彎矩沿長(zhǎng)度方向改變代數(shù)方程，分別稱(chēng)為剪力方程(equation of shearing force)和彎矩方程(equ

6、ation of bending moment)。22/86 5.3 剪力方程與彎矩方程【例題5.2】 圖示之一端為固定鉸鏈支座、另一端為輥軸支座梁，稱(chēng)為簡(jiǎn)支梁(simple supported beam)。梁上承受集度為q均布載荷作用，梁長(zhǎng)度為2l。試寫(xiě)出該梁剪力方程和彎矩方程。23/86 5.3 剪力方程與彎矩方程 解：1確定約束力 因?yàn)橹挥秀U垂方向外力，所以支座A水平約束力等于零。又因?yàn)榱航Y(jié)構(gòu)及受力都是對(duì)稱(chēng)，故支座A與支座B處鉛垂方向約束力相同。于是，依據(jù)平衡條件不難求得：24/86 5.3 剪力方程與彎矩方程2. 確定控制面和分段因?yàn)榱荷现蛔饔糜羞B續(xù)分布載荷(載荷集度沒(méi)有突變)，沒(méi)有集

7、中力和集中力偶作用，所以，從A到B梁橫截面上剪力和彎矩能夠分別用一個(gè)方程描述，因而無(wú)需分段建立剪力方程和彎矩方程。25/86 5.3 剪力方程與彎矩方程3建立Axy坐標(biāo)系以梁左端A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立Axy坐標(biāo)系，如圖a所表示。26/86 5.3 剪力方程與彎矩方程4確定剪力方程和彎矩方程以A、B之間坐標(biāo)為x任意截面為假想截面，將梁截開(kāi)，取左段為研究對(duì)象，在截開(kāi)截面上標(biāo)出剪力FQ(x)和彎矩M(x)正方向，如圖（b）所表示。由左段梁平衡條件27/86 5.3 剪力方程與彎矩方程據(jù)此，得到梁剪力方程和彎矩方程分別為這一結(jié)果表明，梁上剪力方程是x線性函數(shù)；彎矩方程是x二次函數(shù)。28/86作用在梁上平面

8、載荷假如不包含縱向力，這時(shí)梁橫截面上只有剪力FQ和彎矩M兩種內(nèi)力分量。表示剪力和彎矩沿梁軸線方向改變圖形，分別稱(chēng)為剪力圖（diagram of shearing forces）和彎矩圖（diagram of bending moment）。 5.4 剪力圖與彎矩圖29/86 剪力圖與彎矩圖繪制方法與軸力圖大致相同，但略有差異。主要步驟以下： 依據(jù)載荷及約束力作用位置，確定控制面。 應(yīng)用截面法確定控制面上剪力和彎矩?cái)?shù)值。 建立FQ一x和M一x坐標(biāo)系，并將控制面上剪力和彎矩值標(biāo)在對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系中。 應(yīng)用平衡微分方程確定各段控制面之間剪力圖和彎矩圖形狀，進(jìn)而畫(huà)出剪力圖與彎矩圖。 5.4 剪力圖與彎矩圖3

9、0/86BA簡(jiǎn)支梁受力大小和方向如圖示。例題21kN.m2kN1.5m1.5m1.5m 試畫(huà)出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對(duì)值最大值。 解：1確定約束力求得A、B 二處約束力 FRA0.89 kN , FRB1.11 kN FRAFRB依據(jù)力矩平衡方程 31/86例題2 解：2確定控制面 在集中力和集中力偶作用處兩側(cè)截面以及支座反力內(nèi)側(cè)截面均為控制面，即A、B、C、D、E、F各截面均為控制面。 3建立坐標(biāo)系建立FQx和Mx坐標(biāo)系 xFQ/kNOxM/kN.mOBCDEBA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBFRA32/86例題2 5依據(jù)微分關(guān)系連圖線 因?yàn)榱荷蠠o(wú)分布載荷作用

10、，所以剪力FQ圖形均為平行于x軸直線；彎矩M圖形均為斜直線。于是，次序連接FQx和Mx坐標(biāo)系中a、b、c、d、e、f各點(diǎn)，便得到梁剪力圖與彎矩圖。 xFQ/kNOxM/kN.mO 解：4應(yīng)用截面法確定控制面上剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FQx和Mx坐標(biāo)系中。1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBBCDEFRA33/86例題2 5確定剪力與彎矩最大絕對(duì)值從圖中不難得到剪力與彎矩絕對(duì)值最大值分別為 (發(fā)生在EF段) (發(fā)生在D、E截面上) BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRB

11、BCDExFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11eb0.89,ca0a0.89FRA34/86例題2 從所得到剪力圖和彎矩圖中不難看出AB段與CD段剪力相等，因而這兩段內(nèi)彎矩圖含有相同斜率。另外，在集中力作用點(diǎn)兩側(cè)截面上剪力是不相等，而在集中力偶作用處兩側(cè)截面上彎矩是不相等，其差值分別為集中力與集中力偶數(shù)值，這是因?yàn)榫S持DE小段和BC小段梁平衡所必需。提議大家自行加以驗(yàn)證。 BA1kN.m2kN1.5m1.5m1.5mFRBBCDExFQ/kNOxM/kN.mO1.11f0.89dd,e1.665f0c0.335b1.3351.11

12、eb0.89,ca0a0.89FRA35/86例題3qBADa4aqlFAyFBy 梁由一個(gè)固定鉸鏈支座和一個(gè)輥軸支座所支承，不過(guò)梁一端向外伸出，這種梁稱(chēng)為外伸梁(overhanging beam)。梁受力以及各部分尺寸均示于圖中。 試畫(huà)出：其剪力圖和彎矩圖,并確定剪力和彎矩絕對(duì)值最大值。 解：1確定約束力依據(jù)梁整體平衡，由 求得A、F 二處約束力36/86例題3qBADa4aqlFAyFByCOxFQOxM 解：2確定控制面因?yàn)锳B段上作用有連續(xù)分布載荷，故A、B兩個(gè)截面為控制面，約束力FBy右側(cè)C截面，以及集中力qa左側(cè)D截面，也都是控制面。 3建立坐標(biāo)系建立FQx和Mx坐標(biāo)系 37/86

13、例題3qBADa4aqlFAyFByOxFQOxM9qa/4a7qa/4bdqacqaadb,cqa2 解：4確定控制面上剪力和彎矩值，并將其標(biāo)在FQx和Mx坐標(biāo)系中。38/86例題3qBADa4aqlFAyFByOxFQOxMcqa9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2 5依據(jù)微分關(guān)系連圖線對(duì)于剪力圖：在AB段，因有均布載荷作用，剪力圖為一斜直線，于是連接a、b兩點(diǎn)，即得這一段剪力圖；在CD段，因無(wú)分布載荷作用，故剪力圖為平行于x軸直線，由連接c、d二點(diǎn)而得，或者由其中任一點(diǎn)作平行于x軸直線而得。 39/86例題3qBADa4aqlFAyFBy 5依據(jù)微分關(guān)系連圖線對(duì)于彎矩圖：在AB

14、段，因有均布載荷作用，圖形為二次拋物線。又因?yàn)閝向下為負(fù)，彎矩圖為凸向M坐標(biāo)正方向拋物線。于是，AB段內(nèi)彎矩圖形狀便大致確定。為了確定曲線位置，除AB段上兩個(gè)控制面上彎矩?cái)?shù)值外，還需確定在這一段內(nèi)二次拋物線有沒(méi)有極值點(diǎn)，以及極值點(diǎn)位置和極值點(diǎn)彎矩?cái)?shù)值。從剪力圖上能夠看出，在e點(diǎn)剪力為零。 9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqae81qa2/32eEOxFQOxM40/86例題3MEqAExE 6確定彎矩圖極值點(diǎn)位置。qBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/32eE41/86例題3 7確定剪力與彎矩最大絕對(duì)值從圖

15、中不難得到剪力與彎矩絕對(duì)值最大值分別為 qBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/32eE42/86例題3 注意到在右邊支座處，因?yàn)榧s束力作用，該處剪力圖有突變（支座兩側(cè)截面剪力不等）彎矩圖在該處出現(xiàn)折點(diǎn)（彎矩圖曲線段在該處切線斜率不等于斜直線cd斜率）。 qBADa4aqlFAyFBy9qa/4a7qa/4bdqaadb,cqa2cqaOxFQOxMe81qa2/32eE43/86xQFQ xqa/2qa/2FQFQqqMxMxqq 例 題 444/86qqqqxFQxFQqaFQMxMxqa2/2qa2FQqq例 題 54

16、5/86qqFQ例 題 646/865.5 載荷集度、剪力、彎矩間微分關(guān)系 47/86OxydxxFQFQ+ dFQMM+d Mq(x)考查 dx 微段受力與平衡平衡微分方程 48/86平衡微分方程 FQFQ+ dFQMM+d Mq(x)OxyC考查 dx 微段受力與平衡Fy=0:MC=0:FQqdxFQdFQ =0 M+(M+dM)FQdxqdx dx /2=0 49/86略去高階項(xiàng)，得到Fy=0:MC=0:FQq dxFQd FQ =0 M+(M+dM)FQ dxq dx dx /2=0 上述結(jié)果是在分布載荷向下情形下得到，假如作用梁上分布載荷向上，上述平衡方程將變?yōu)?依據(jù)上述微分方程，由

17、載荷改變規(guī)律，即可推知內(nèi)力FQ 、M 改變規(guī)律。平衡微分方程 50/86 應(yīng)用平衡微分方程以及控制面上內(nèi)力分量，即可確定兩控制面之間內(nèi)力分量沿桿長(zhǎng)度方向改變表示式與改變曲線，二者分別稱(chēng)為內(nèi)力方程（equation of Internal forces）與內(nèi)力圖（diagram of internal forces）。本節(jié)將主要介紹以下幾個(gè)工程上常見(jiàn)情形下內(nèi)力圖:軸力圖、扭矩圖、剪力圖、彎矩圖，重點(diǎn)是剪力圖和彎矩圖。 51/865.6 剛架內(nèi)力與內(nèi)力圖 52/86B剛架組成橫梁、立柱與剛節(jié)點(diǎn)。立柱剛節(jié)點(diǎn)橫梁53/86 面內(nèi)載荷作用下，剛架各桿橫截面上內(nèi)力分 量軸力、剪力和彎矩。剛架特點(diǎn) 內(nèi)力分量

18、正負(fù)號(hào)與觀察者位置關(guān)系：軸力正負(fù)號(hào)與觀察者位置無(wú)關(guān)；剪力正負(fù)號(hào)與觀察者位置無(wú)關(guān)；彎矩正負(fù)號(hào)與觀察者位置相關(guān)。54/86剛架特點(diǎn)軸力正負(fù)號(hào)與觀察者位置無(wú)關(guān)55/86剛架特點(diǎn)剪力正負(fù)號(hào)與觀察者位置無(wú)關(guān)56/86剛架特點(diǎn)彎矩正負(fù)號(hào)與觀察者位置相關(guān)57/86 剛架內(nèi)力圖畫(huà)法(1) 無(wú)需建立坐標(biāo)系；(2) 控制面、平衡微分方程；(3) 彎矩?cái)?shù)值標(biāo)在受拉邊;(4) 軸力、剪力畫(huà)在里側(cè)和外側(cè)均可， 但需標(biāo)出正負(fù)號(hào)；(5) 注意節(jié)點(diǎn)處平衡關(guān)系。58/86節(jié)點(diǎn)處平衡關(guān)系FNFQFNFQMMFNFQFNFQBMM59/86例 題 7 已知平面剛架上均布載荷集度q,長(zhǎng)度l。B 試：畫(huà)出剛架內(nèi)力圖。60/86例 題

19、7B 解：1、確定約束力ql61/86Bql 解：2、確定控制面。BBAC例 題 762/86例 題 7BABA 解：3、確定控制面上內(nèi)力。FQ(B)FN(B)M(B)考查豎桿AB平衡63/86例 題 7BBC解：3、確定控制面上內(nèi)力。FN(B)FQ(B)M(B)考查 橫桿BC平衡64/86解：4、畫(huà)剪力圖和彎矩圖。qlababcb 將控制面上剪力和彎矩分別標(biāo)在FQ和M坐標(biāo)中。 依據(jù)微分關(guān)系連圖線。 剪力圖標(biāo)上正負(fù)號(hào)。 彎矩圖畫(huà)在受壓一側(cè)。bc例 題 765/86例 題 7解：4、畫(huà)軸力圖。 將控制面上軸力標(biāo)在FN坐標(biāo)中。 連圖線。babc 依據(jù)軸力拉、壓性質(zhì)，在圖上標(biāo)上正負(fù)號(hào)。66/86例

20、題 7FNFQqa2/2qa2/267/865.7 結(jié)論與討論5.7.1 于彎曲內(nèi)力與內(nèi)力圖幾點(diǎn)主要結(jié)論1.依據(jù)彈性體平衡原理，應(yīng)用剛體靜力學(xué)中平衡方程，能夠確定靜定梁上任意橫截面上剪力和彎矩。2.剪力和彎矩正負(fù)號(hào)規(guī)則不一樣于靜力學(xué)，但在建立平衡方程時(shí)，依然能夠要求某一方向?yàn)檎?、相反者為?fù)。3.剪力方程與彎矩方程都是橫截面位置坐標(biāo)x函數(shù)表示式，不是某一個(gè)指定橫截面上剪力與彎矩?cái)?shù)值。68/865.7 結(jié)論與討論5.7.1 于彎曲內(nèi)力與內(nèi)力圖幾點(diǎn)主要結(jié)論4.論是寫(xiě)剪力與彎矩方程，還是畫(huà)剪力與彎矩圖，都需要注意分段。所以，正確確定控制面是很主要。5.能夠依據(jù)剪力方程和彎矩方程繪制剪力圖和彎矩圖，也能夠不寫(xiě)方程直接利用載荷集度、剪力、彎矩之間微分關(guān)系繪制剪力圖和彎矩圖。69/865.7.2 正確應(yīng)用力系簡(jiǎn)化方法確定控制面上剪力和彎矩70/86 一個(gè)主要概念 三個(gè)微分方程 一套方法 主要結(jié)論 71/86 比較前面三個(gè)梁受力、剪力和彎矩圖相同 之處和不一樣之處，從中能得到什么主要結(jié)論？ 72/86從中能得到什么主要結(jié)論？ qqFQFQqqqqFQ 比較三種情形下梁受力、剪力和彎矩圖相同 之處和不一樣之處.73/86 力系簡(jiǎn)化在確定控制面上 剪力和彎矩時(shí)應(yīng)用 74/86 確定控制