1、主講人： 時(shí)間: 人教版精品課件內(nèi)容完整14.3.1 因式分解因式分解的定義與提公因式法七樓A座辦公家園復(fù)習(xí)回顧口答：反過(guò)來(lái)七樓A座辦公家園上面我們把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式 ，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式 。分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解與整式乘法是逆變形七樓A座辦公家園 依照定義，判斷下列變形是不是因式分解（把多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積）七樓A座辦公家園創(chuàng)設(shè)情景 學(xué)校打算把操場(chǎng)重新規(guī)劃一下，分為綠化帶、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)、主席臺(tái)三個(gè)部分，如下圖，計(jì)算操場(chǎng)總面積。abcm七樓A座辦公家園abcm方法一：S = m ( a + b + c )方法二：S = ma +

2、 mb + mcmm七樓A座辦公家園方法一：S = m ( a + b + c )方法二：S = ma + mb + mcm ( a + b + c ) = ma + mb + mc下面兩個(gè)式子中哪個(gè)是因式分解？ 在式子ma + mb + mc中，m是這個(gè)多項(xiàng)式中每一個(gè)項(xiàng)都含有的因式，叫做 。公因式ma + mb + mc = m ( a + b + c )七樓A座辦公家園ma + mb + mc = m ( a + b + c ) 在下面這個(gè)式子的因式分解過(guò)程中，先找到這個(gè)多項(xiàng)式的公因式，再將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式，將這個(gè)多項(xiàng)式與公因式相乘即可。這種方法叫做提公因式法。提公因式法一

3、般步驟： 1、找到該多項(xiàng)式的公因式， 2、將原式除以公因式，得到一個(gè)新多項(xiàng)式， 3、把它與公因式相乘。七樓A座辦公家園 如何準(zhǔn)確地找到多項(xiàng)式的公因式呢？ 1、系數(shù) 所有項(xiàng)的系數(shù)的最大公約數(shù) 2、字母 應(yīng)提取每一項(xiàng)都有的字母， 且字母的指數(shù)取最低的。 3、系數(shù)與字母相乘七樓A座辦公家園例題精講最大公約數(shù)為3= 3a的最低指數(shù)為1ab的最低指數(shù)為1b(3a5bc)= 4st2(-3s2+2t-1)pq(5q+7p+3)=七樓A座辦公家園做一做 按照提公因式法因式分解。七樓A座辦公家園提高訓(xùn)練(一)七樓A座辦公家園提高訓(xùn)練(二)七樓A座辦公家園14.3.2 公式法利用平方差公式進(jìn)行因式分解七樓A座辦

4、公家園復(fù)習(xí)回顧還記得學(xué)過(guò)的兩個(gè)最基本的乘法公式嗎？平方差公式：完全平方公式：計(jì)算七樓A座辦公家園= (999+1)(9991)此處運(yùn)用了什么公式?新課引入試計(jì)算：9992 112= 1000998 = 998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2 ;（2）y2 4 2522 52= (x+2)(x2)= (y+5)(y5) 這些計(jì)算過(guò)程中都逆用了平方差公式即：七樓A座辦公家園此即運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解 用文字表述為： 兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積。 嘗試練習(xí)(對(duì)下列各式因式分解)： a2 9 = _ 49 n2 = _ 5s2 20t2 = _ 100 x2 9y2

5、=_(a+3)(a3)(7+n)(7n)5(s+2t)(s2t)(10 x+3y)(10 x3y)七樓A座辦公家園 判斷下列各式是否可以運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解 x2 + 4 4x2 + y2 x4 1 x2 x6 6x3 54xy2 (x+p)2 (xq)2例(1)七樓A座辦公家園= y2 4x2 = (y+2x)(y2x)= (x2)2 12 = (x2+1) (x21) 4x2 + y2 x4 1= (x2+1) (x+1)(x1) 將前面各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)因式分解一定要分解徹底 !七樓A座辦公家園 x2 x6 = x2 (x3)2 = (x+x3)(xx3) =

6、x(1+x2)x(1x2) = x2(1+x2)(1+x)(1x) 將前面各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2) x2 x6 = x2 (1x4) = x2 (1+x2)(1x2) = x2 (1+x2)(1+x)(1x)更簡(jiǎn)便！ 在我們現(xiàn)學(xué)過(guò)的因式分解方法中，先考慮提取公因式，再考慮用公式法。七樓A座辦公家園 6x3 54xy2 = 6x (x29y2) = 6x (x+3y)(x3y) (x+p)2 (xq)2 = (x+p)+(xq) (x+p)(xq) = (2x+pq)(p+q) 將前面各式運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解例(2)YXYXYX七樓A座辦公家園做一做 利用平方差公式因式分解。

7、七樓A座辦公家園提高訓(xùn)練(一)七樓A座辦公家園14.3.2 公式法（中級(jí)篇2）利用完全平方公式進(jìn)行因式分解七樓A座辦公家園復(fù)習(xí)回顧還記得前面學(xué)的完全平方公式嗎？計(jì)算：七樓A座辦公家園新課引入試計(jì)算：9992 + 1998 + 129991= (999+1)2 = 106此處運(yùn)用了什么公式?完全平方公式逆用 就像平方差公式一樣，完全平方公式也可以逆用，從而進(jìn)行一些簡(jiǎn)便計(jì)算與因式分解。即：七樓A座辦公家園這個(gè)公式可以用文字表述為： 兩個(gè)數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個(gè)數(shù)的積的兩倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（或差）的平方。 牛刀小試(對(duì)下列各式因式分解)： a2+6a+9 = _ n210n+25 = _ 4

8、t28t+4 = _ 4x212xy+9y2 = _(a+3)2(n5)24(t1)2(2x3y)2七樓A座辦公家園 判斷下列各式是否可以運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解 16x2 + 24x + 9 4x2 + 4xy y2 x2 + 2x 1 4x2 8xy + 4y2 1 2a2 + a4 (p+q)2 12(p+q) + 36例(1) 形如a22ab+b2的式子叫做完全平方式。 完全平方式一定可以利用完全平方公式因式分解七樓A座辦公家園完全平方式的特點(diǎn)： 1、必須是三項(xiàng)式（或可以看成三項(xiàng)的） 2、有兩個(gè)同號(hào)的平方項(xiàng) 3、有一個(gè)乘積項(xiàng)（等于平方項(xiàng)底數(shù)的2倍） 簡(jiǎn)記口訣： 首平方，尾平方，首尾

9、兩倍在中央。七樓A座辦公家園 將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進(jìn)行因式分解例(2) 16x2 + 24x + 9 4x2 + 4xy y2 4x2 8xy + 4y2= (4x+3)2= (4x24xy+y2)= (2xy)2= 4 (x22xy+y2)= 4 (xy)2七樓A座辦公家園 2a2 + (p+q)2 12(p+q) + 36 將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進(jìn)行因式分解例(2)a41= (a21)2= (a+1)2 (a1)2= (a+1) (a1)2= (p+q6)2XXX七樓A座辦公家園做一做 用完全平方公式進(jìn)行因式分解。七樓A座辦公家園做一做 用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)

10、行因式分解。備選方法：提公因式法平方差公式完全平方公式七樓A座辦公家園提高訓(xùn)練(一) 給4x2+1加上一個(gè)單項(xiàng)式，使它成為一個(gè)完全平方式，這個(gè)單項(xiàng)式可以是 _。七樓A座辦公家園提高訓(xùn)練(二)七樓A座辦公家園提高訓(xùn)練(三)七樓A座辦公家園14.3.3* 因式分解（高級(jí)篇）因式分解的其他常用方法七樓A座辦公家園知識(shí)結(jié)構(gòu)因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分組分解法拆項(xiàng)添項(xiàng)法配方法待定系數(shù)法求根法七樓A座辦公家園一、提公因式法 只需找到多項(xiàng)式中的公因式，然后用原多項(xiàng)式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可。往往與其他方法結(jié)合起來(lái)用。提公因式法隨堂練習(xí)：1）15(mn)+13(nm)2）4(x+

11、y)+4(x3y)七樓A座辦公家園二、公式法 只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。 接下來(lái)是一些常用的乘法公式，可以逆用進(jìn)行因式分解。七樓A座辦公家園常用公式1、(a+b)(ab)=a2b2（平方差公式）2、(ab)2=a22ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)及 a3b3=(ab)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq

12、7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導(dǎo)七樓A座辦公家園這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導(dǎo)過(guò)程不要與(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆七樓A座辦公家園公式法隨堂練習(xí)：1）(a210a+25)(a225)2）x3+3x2+3x+1二、公式法 只需發(fā)現(xiàn)多項(xiàng)式的特點(diǎn)，再將符合其形式的公式套進(jìn)去即可完成因式分解，有時(shí)需和別的方法結(jié)合或多種公式結(jié)合。七樓A座辦公家園三、十字相乘法前面出現(xiàn)了一個(gè)公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們可以用它進(jìn)行因式分解（適用于二次三項(xiàng)式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常數(shù)項(xiàng) 3 = 13而一次項(xiàng)系數(shù)

13、4 = 1 + 3原式=(x+1)(x+3)暫且稱為p、q型因式分解七樓A座辦公家園例2：因式分解x27x+10可以看出常數(shù)項(xiàng)10 = (2)(5)而一次項(xiàng)系數(shù) 7 = (2) + (5)原式=(x2)(x5)這個(gè)公式簡(jiǎn)單的說(shuō)，就是把常數(shù)項(xiàng)拆成兩個(gè)數(shù)的乘積，而這兩個(gè)數(shù)的和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)十字相乘法隨堂練習(xí)：1）a26a+5 2）a25a+63）x2(2m+1)x+m2+m2七樓A座辦公家園三、十字相乘法試因式分解6x2+7x+2。這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項(xiàng)式）。既然是二次式，就可以寫(xiě)成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd 所以

14、，需要將二次項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別拆成兩個(gè)數(shù)的積，而這四個(gè)數(shù)中，兩個(gè)數(shù)的積與另外兩個(gè)數(shù)的積之和剛好等于一次項(xiàng)系數(shù)，那么因式分解就成功了。七樓A座辦公家園= 173 x2 + 11 x + 106 x2 + 7 x + 223124+ 3= 76x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+ 15= 1113255+ 63x2+11x+10=(x+2)(3x+5)七樓A座辦公家園= 65 x2 6 xy 8 y2試因式分解5x26xy8y2。這里仍然可以用十字相乘法。15244 105x26xy8y2 =(x2y)(5x+4y)簡(jiǎn)記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。十字相乘法隨堂練習(xí)：1）4

15、a29a+22）7a219a63）2(x2+y2)+5xy七樓A座辦公家園四、分組分解法 要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過(guò)交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解 abac+bdcd 。解：原式 = (ab ac) + (bd cd) = a (b c) + d (b c) = (a + d) (b c)還有別的解法嗎？七樓A座辦公家園四、分組分解法 要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過(guò)交換項(xiàng)的位置，添、去括號(hào)等一些變換達(dá)到因式分解的目的。例1：因式分解 abac+bdcd 。解：原式 = (ab + bd) (ac + cd) = b (a + d) c (a + d) = (a

16、 + d) (b c)七樓A座辦公家園例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。解：原式 = (x5+x4+x3)+(x2+x+1) = (x3+1)(x2+x+1) = (x+1)(x2x+1)(x2+x+1)立方和公式分組分解法隨堂練習(xí)：1）xyxzy2+2yzz22）a2b2c22bc2a+1七樓A座辦公家園回顧例題：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1) = (x+1)(x4+x2+1) = (x+1)(x4+2x2+1x2) = (x+1)(x2+1)2x2 = (x+1)(x2+x+1)(x2x+1)五*、拆項(xiàng)

17、添項(xiàng)法怎么結(jié)果與剛才不一樣呢？因?yàn)樗€可以繼續(xù)因式分解七樓A座辦公家園 拆項(xiàng)添項(xiàng)法對(duì)數(shù)學(xué)能力有著更高的要求，需要觀察到多項(xiàng)式中應(yīng)拆哪一項(xiàng)使得接下來(lái)可以繼續(xù)因式分解，要對(duì)結(jié)果有一定的預(yù)見(jiàn)性，嘗試較多，做題較繁瑣。 最好能根據(jù)現(xiàn)有多項(xiàng)式內(nèi)的項(xiàng)猜測(cè)可能需要使用的公式，有時(shí)要根據(jù)形式猜測(cè)可能的系數(shù)。五*、拆項(xiàng)添項(xiàng)法七樓A座辦公家園例因式分解 x4 + 4解：原式 = x4 + 4x2 + 4 4x2 = (x2+2)2 (2x)2 = (x2+2x+2)(x22x+2)都是平方項(xiàng)猜測(cè)使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆項(xiàng)添項(xiàng)法隨堂練習(xí)：1）x423x2y2+y42）(m21)(n21)+4mn七樓

18、A座辦公家園配方法 配方法是一種特殊的拆項(xiàng)添項(xiàng)法，將多項(xiàng)式配成完全平方式，再用平方差公式進(jìn)行分解。因式分解 a2b2+4a+2b+3 。解：原式 = (a2+4a+4) (b22b+1) = (a+2)2 (b1)2 = (a+b+1)(ab+3)配方法 (拆項(xiàng)添項(xiàng)法)分組分解法完全平方公式平方差公式七樓A座辦公家園六*、待定系數(shù)法試因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。通過(guò)十字相乘法得到 (2x3y)(x+3y)設(shè)原式等于(2x3y+a)(x+3y+b)通過(guò)比較兩式同類項(xiàng)的系數(shù)可得：解得： ，原式 = (2x3y+4)(x+3y+5)七樓A座辦公家園= 3= 1410+ 42 x2 + 3 xy 9 y2 + 14 x 3 y + 20雙十字相乘法 雙十字相乘法適用于二次六項(xiàng)式的因式分解，而待定系數(shù)法則沒(méi)有這個(gè)限制。因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。21336 345= 312 15原式 = (2x3y+4)(x+3y+5)七樓A座辦公家園七*、