1、 轉(zhuǎn)動慣量指導(dǎo)書 力學(xué)實驗室 2016年3月 轉(zhuǎn)動慣量的測量【預(yù)習(xí)思考】轉(zhuǎn)動慣量的定義式是什么？轉(zhuǎn)動慣量的單位是什么？轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量分布的關(guān)系？了解單擺中擺長與周期的關(guān)系？擺角對周期的影響。【儀器照片】 【原理簡述】1、轉(zhuǎn)動慣量的定義構(gòu)件中各質(zhì)點或質(zhì)量單元的質(zhì)量與其到給定軸線的距離平方乘積的總和，即 （1） 轉(zhuǎn)動慣量是 HYPERLINK /view/68357.htm t _blank 剛體轉(zhuǎn)動時慣性的 HYPERLINK /view/892422.htm t _blank 量度，其量值取決于物體的形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。剛體的轉(zhuǎn)動慣量有著重要的物理意義，在科學(xué)實驗、 HYPERLINK

2、 /view/385126.htm t _blank 工程技術(shù)、航天、電力、機械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個重要參量。 HYPERLINK /image/e6508eef97d732f5ce1b3e09 o 查看圖片 t _blank 圖1 HYPERLINK /view/3822530.htm t _blank 電磁系儀表的指示系統(tǒng)，因線圈的轉(zhuǎn)動慣量不同，可分別用于測量微小 HYPERLINK /view/10897.htm t _blank 電流（檢流計）或電量（沖擊電流計）。在發(fā)動機葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形設(shè)計上，精確地測定轉(zhuǎn)動慣量，都是十分必要的。 2、轉(zhuǎn)動慣量的公式推導(dǎo)測定剛體

3、轉(zhuǎn)動慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復(fù)擺等。本實驗采用的是三線擺，是通過扭轉(zhuǎn)運動測定物體的轉(zhuǎn)動慣量，其特點是無力圖像清楚、操作簡便易行、適合各種形狀的物體，如機械零件、 HYPERLINK /view/1930.htm t _blank 電機轉(zhuǎn)子、槍炮彈丸、電風(fēng)扇的風(fēng)葉等的轉(zhuǎn)動慣量都可用三線擺測定。這種實驗方法在理論和技術(shù)上有一定的實際意義本實驗的目的就是要求學(xué)生掌握用三線擺測定物體轉(zhuǎn)動慣量的方法，并驗證轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理。兩半徑分別為和（）的剛性均勻圓盤，用均勻分布的三條等長的無彈性、無質(zhì)量的細線相連，半徑為的圓盤在上，作為啟動盤，其懸點到盤心的距離為；半徑為的圓盤在下，作為懸盤，其

4、懸點到盤心的距離為。將啟動盤固定，則構(gòu)成一振動系統(tǒng)，稱為三線擺（圖2）。當施加力矩使懸盤轉(zhuǎn)過角后，懸盤將繞中心軸做角簡諧振動。 圖2 如圖2所示，當懸盤轉(zhuǎn)過角時，懸線點上升到，懸盤上升高度為。則 （2） (3)可得： （4）當很小時，括號中第二項遠小于1，作近似 （5）式中， 為兩盤靜止時的垂直距離，和均為時間的函數(shù)。因系統(tǒng)遵從機械能守恒，則對懸盤有下式 （6）式中，為懸盤轉(zhuǎn)到角時上升的高度， 為懸盤上升的最大高度， 是懸盤的質(zhì)量， 是懸盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量， 是懸盤轉(zhuǎn)至角、上升至?xí)r的角速度， 是懸盤的上升速度。將式（5）和式（6）分別對時間微分，經(jīng)合并整理，得 （7）此式表明，懸盤在作角簡諧

5、振動，其振動周期為 (8) 因此，可知懸盤空載時繞中心軸作扭轉(zhuǎn)擺動時的轉(zhuǎn)動慣量 (9) 由式（8）可以看出，振動系統(tǒng)的周期將取決于結(jié)構(gòu)參數(shù)，和振子（懸盤）的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動慣量（而轉(zhuǎn)動慣量又與質(zhì)量和質(zhì)量分布狀況有關(guān)）。如果將質(zhì)量為，轉(zhuǎn)動慣量為的圓環(huán)放在懸盤上，則新振子質(zhì)量為，轉(zhuǎn)動慣量為，則此新振動系統(tǒng)的振動周期將發(fā)生改變: （10）若懸盤的、為已知，可用比較法求得，即聯(lián)立式（8）和式（10）求解，得: (11) 測出、后代入式（3.4-8）即可求得。實驗時，測出、及，由（3-2-4）式求出圓盤的轉(zhuǎn)動慣量。在下盤上放上另一個質(zhì)量為，轉(zhuǎn)動慣量為（對OO軸）的物體時，測出周期為，則有 （12）從（12）減

6、去（9）得到被測物體的轉(zhuǎn)動慣量為： （13）在理論上，對于質(zhì)量為，內(nèi)、外直徑分別為、的均勻圓環(huán)，通過其中心垂直軸線的轉(zhuǎn)動慣量為。而對于質(zhì)量為、直徑為的圓盤，相對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為?！就卣箤嶒灐框炞C平行軸定理。研究高度H與周期T的關(guān)系？研究質(zhì)量分布與周期T的關(guān)系？研究轉(zhuǎn)動角度對周期的影響？研究不規(guī)則物體轉(zhuǎn)動慣量的測量？【思考題】扭轉(zhuǎn)角的大小對實驗結(jié)果有無影響？若有影響，能否進行修正？三線擺在擺動中受到空氣阻尼，振幅越來越小，它的周期如何變化？請觀察實驗，并說出理論根據(jù)。加上待測物體后，三線擺的周期是否一定比空盤的周期大？為什么？在本實驗中，計算轉(zhuǎn)動慣量公式中的R，是否就是下圓盤的半徑？它的值如

7、何測量？當待測物體的轉(zhuǎn)動慣量比下圓盤的轉(zhuǎn)動慣量小得多時，為什么不適宜用三線擺測量？用三線擺測量剛體轉(zhuǎn)動慣量時，為什么必須保持下盤水平？在測量過程中，如果下盤出現(xiàn)晃動對周期的測量有影響么？如有影響，應(yīng)該如何避免？測量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量時，若圓環(huán)的轉(zhuǎn)軸與下盤轉(zhuǎn)軸不重合，對實驗結(jié)果有何影響？三線擺放上待測物后，其擺動周期是否一定比空盤的轉(zhuǎn)動周期大？為什么？三線擺經(jīng)什么位置計時誤差較?。繛槭裁?？如何利用三線擺測定任意形狀的物體繞某軸的轉(zhuǎn)動慣量？檢驗平行軸定理時，為什么要對稱的放兩個小圓柱體？只放置一個小圓柱體行不行？實驗中誤差來源有哪些？如何克服？比較兩種方法求的優(yōu)劣？在測量圓柱的轉(zhuǎn)動慣量時，圓柱體上有一

8、細絲，注意其作用?！咀⒁馐马棥孔⒁鈨x器的水平調(diào)節(jié)；注意霍爾開關(guān)的安裝；注意預(yù)置次數(shù)與周期的關(guān)系；注意正確啟動三線擺?！緮?shù)據(jù)表格】周期地測定 表1 周期與質(zhì)量測量項目懸盤質(zhì)量圓環(huán)質(zhì)量預(yù)設(shè)次數(shù)202010個周期的總時間t（s）12345平均時間(s)平均周期(s)幾何參數(shù)1（）表2 幾何參數(shù)及其間距離測量項目次數(shù)1測測測測測測 2測測測測測測3測測測測測測平均值【參考數(shù)據(jù)處理】1計算各量的平均值，填入表中。2計算、的值，填入表2中。3計算的值，填入表3中。4懸盤空載時的轉(zhuǎn)動慣量：實驗值： 理論值： 絕對誤差： 結(jié)果表示： 相對誤差： 圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量：總轉(zhuǎn)動慣量：圓環(huán)轉(zhuǎn)動慣量：理論值： 絕對誤差：

9、結(jié)果表示： 相對誤差： 6平行軸定理的驗證 總轉(zhuǎn)動慣量：一個圓柱的轉(zhuǎn)動慣量：理論值： 相對誤差： 由此可知：在誤差范圍內(nèi)，可以認為,既平行軸定理成立?！局R拓展】對于質(zhì)量分布均勻，外形不復(fù)雜的物體可以從它的外形尺寸的質(zhì)量分布用公式計算出相對于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。對于幾何形狀簡單、質(zhì)量分布均勻的剛體可以直接用公式計算出它相對于某一確定 HYPERLINK /view/1167132.htm t _blank 轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。而對于外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均勻的物體只能通過實驗的方法來精確地測定物體的轉(zhuǎn)動慣量，因而實驗方法就顯得更為重要。 Moment of Inertia剛體繞軸轉(zhuǎn)動慣性的度量。

10、其數(shù)值為J= mi*ri2，式中mi表示剛體的某個 HYPERLINK /view/26217.htm t _blank 質(zhì)點的質(zhì)量，ri表示該質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離。 求和號（或積分號）遍及整個剛體。轉(zhuǎn)動慣量只決定于剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置，而同剛體繞軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)（如 HYPERLINK /view/84858.htm t _blank 角速度的大?。o關(guān)。規(guī)則形狀的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可直接計得。不規(guī)則剛體或非均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量，一般用實驗法測定。轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)用于剛體各種運動的 HYPERLINK /view/35067.htm t _blank 動力學(xué)計算中。 描述剛體繞互相平行諸轉(zhuǎn)

11、軸的轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系，有如下的 HYPERLINK /view/990937.htm t _blank 平行軸定理：剛體對一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于該剛體對同此軸平行并通過 HYPERLINK /view/139124.htm t _blank 質(zhì)心之軸的轉(zhuǎn)動慣量加上該剛體的質(zhì)量同兩軸間距離平方的乘積。由于和式的第二項恒大于零，因此剛體繞過 HYPERLINK /view/471370.htm t _blank 質(zhì)量中心之軸的轉(zhuǎn)動慣量是繞該束平行軸諸轉(zhuǎn)動慣量中的最小者。 垂直軸定理還有垂直軸定理：垂直軸定理 一個平面剛體薄板對于垂直它的平面的軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)

12、 HYPERLINK /image/72b19c0286225b4d4afb5175 o 查看圖片 t _blank 垂直軸定理動慣量之和。 表達式:Iz=Ix+Iy 剛體對一軸的轉(zhuǎn)動慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個質(zhì)點對該軸所形成的轉(zhuǎn)動慣量。由此折算所得的質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的距離 ，稱為剛體繞該軸的 HYPERLINK /view/1625336.htm t _blank 回轉(zhuǎn)半徑，其公式為 I=MK2，式中M為剛體質(zhì)量；I為轉(zhuǎn)動慣量。 轉(zhuǎn)動慣量的量綱為L2M，在SI單位制中，它的單位是kgm2。 剛體繞某一點轉(zhuǎn)動的慣性由更普遍的慣量 HYPERLINK /view/19611.htm t _b

13、lank 張量描述。慣量張量是二階對稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點任一軸的轉(zhuǎn)動慣量的大小。 補充對轉(zhuǎn)動慣量的詳細解釋及其物理意義： 先說轉(zhuǎn)動慣量的由來，先從 HYPERLINK /view/93009.htm t _blank 動能說起大家都知道動能E=(1/2)mv2，而且動能的實際物理意義是：物體相對某個系統(tǒng)（選定一個參考系）運動的實際能量，（P勢能實際意義則是物體相對某個系統(tǒng)運動的可能轉(zhuǎn)化為運動的實際能量的大小）。 E=(1/2)mv2 （v2為v的2次方） 把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半徑，在這里對任何物體來說是把物體微分化分為無數(shù)個質(zhì)點，質(zhì)點與運動整體的 HYPERLINK /view/18274.htm t _blank 重心的距離為r,而再把不同質(zhì)點積分化得到實際等效的r) 得到E